2021-2022学年湘教版九年级数学上册4.1.1 正弦及30°角的正弦值 练习题 (word版含答案）

4.1.1 正弦及30°角的正弦值
一、选择题
1.在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，则sinA的值为( )
A.　 B.　　C.　 D.
2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是( )
A. sinB＝ B. sinB＝ C. sinB＝ D. sinB＝
3.如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值是( )
A. 　　 B.　　 　C.　　 D.
4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinA的值为( )
A.　　 B.　　 　C.　　 D.
5. 如图，直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于A、B两点，则sin∠OAB的值为( )
A.　　 B.－　　 C.　　 D.－
6. 在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，那么锐角A的正弦值( )
A.没有变化　　B.扩大2倍　　　C.缩小2倍　　D.不能确定
二、填空题
7. 在△ABC中，若∠C＝90°，c＝5，b＝3，则a＝ ，sinA＝　 　，sinB＝　 　.
8. 在△ABC中，∠C＝90°，若＝，则sinA＝　 　.
9. 如图，P是∠α的边OA上一点，且P点坐标为(3,4)，则sinα＝　 　.
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，CD＝4，AC＝6，则sinB的值是　 　.
11. .在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则sinA＋sinB＝　 　.
12. 如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A出发，沿与地面成30°的坡度向上走，送水到受旱缺水的王奶奶家(B处)，AB＝80米，则孔明从A到B上升的高度BC是
米.
13. 如图所示，修建抽水站时，沿着倾斜角为30°的斜坡铺设管道，若量得水管AB的长度为80m，那么点B离水平面的高度BC的长为 m.
三、解答题
14. 如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝9，AC＝5.求sinB及sinC.
15. 已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，求sinB.
16. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，求底角的正弦值.
17. 如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且sinα＝，AB＝4，求AD的长.
18. 已知a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，关于x的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b.
(1)判断△ABC的形状；
(2)求sinA＋sinB的值.
答案：
一、
1-6 BCBBA A
二、
7. 4
8.
9.
10.
11.
12. 40
13. 40
三、
14. 解：作AD⊥BC于D，设BD＝x，则DC＝9－x.
∵AB2－BD2＝AD2＝AC2－DC2，∴(2)2－x2＝52－(9－x)2，解得：x＝6，
∴BD＝6，CD＝3.由勾股定理得：AD＝＝4.
∴sinB＝＝＝，sinC＝.
15. 解：Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，即＝，设CB＝5x，则AB＝13x，
∴根据勾股定理可得：AC＝12x，∴sinB＝＝.
16. 解：作AD⊥BC，∵AB＝AC＝10，∴BD＝CD＝8.
在Rt△ABD中，AD＝＝＝6，∴sinB＝＝，即底角的正弦值为.
17. 解：由题意知，∠ADE＝∠BAC，∴sinα＝sin∠BAC＝＝.设BC＝4k，
则AC＝5k，由勾股定理得AB＝3k，又AB＝4，∴3k＝4，k＝，∴AD＝BC＝.
18. 解：(1)整理原方程，得(c－a)x2＋2bx＋(a＋c)＝0，
Δ＝(2b)2－4(c－a)(a＋c)＝0，整理可得，a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形；　
(2)由3c＝a＋3b得，a＝3c－3b，代入a2＋b2＝c2，得(b－c)·(5b－4c)＝0.∵c＞b，∴5b－4c＝0，即b＝c，∴a＝3c－3×(c)＝C.∴sinA＝＝，sinB＝＝，
∴sinA＋sinB＝.