苏州市2021—2022学年第一学期期末学业质量阳光指标调研卷
高三数学试题
一、选择题： 本大题共 8 小题， 每小题 5 分， 共计 40 分． 每小题给出的四个选项中， 只有一项是 符合要求的．
设 为虚数单位， 若复数 是纯虚数， 则实数 的值为
A．
B． 0
C． 1
D． 2
设集合 ， 则集合 的元素个数为
A． 6
B． 7
C． 8
D． 9
已知圆锥的高为 ， 其侧面展开图为一个半圆， 则该圆雉的母线长为
A．
B．
C．
D．
在 中， ， 点 在边 上， 则 “ ” 是 “ 为 中点” 的
A． 充分不必要条件
B．必要不充分条件
C． 充要条件
D． 既不充分也不必要条件
记 为等差数列 的前 项和， 若 ， 则
A．
B．
C．
D．
北京时间 2021 年 10 月 16 日 0 时 23 分， 神舟十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射， 受到国际舆论的高度关注．为弘扬航天精神、普及航天知识、激发全校学生为国争光的荣誉感 和责任感， 某校决定举行以 “传航天精神、铸飞天梦想” 为主题的知识竞赛活动．现有 两 队均由两名高一学生和两名高二学生组成． 比赛共进行三轮， 每轮比赛两队都随机挑选两名成 员参加答题， 若每位成员被选中的机会均等， 则第三轮比赛中被两队选中的四位学生不全来 自同一年级的概率是
A．
B．
C．
D．
已知 ， 则下列不等式一定成立的是
A．
B．
C．
D．
若斜率为 的直线 与抛物线 和圆 分别交于 和 两点， 切 ， 则当 面积最大时 的值为
A． 1
B．
C． 2
D．
选择题： 本题共4小题， 每小题5分， 共计 20 分． 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合 题目要求， 全部选对的得 5 分， 部分选对的得 2 分， 有选错的得 0 分．
折纸发源于中国．19世纪， 折纸传入欧洲， 与自然科学结合在一起称为建筑学院的教具， 并 发展成为现代几何学的一个分支．我国传统的一种手工折纸风车 (如图1) 是从正方形纸片的一 个直角顶点开始， 沿对角线部分剪开成两个角， 将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线 上， 同样操作其余三个直角制作而成的， 其平面图如图2， 则
A．
B．
C．
D．
下列命题正确的是
A． 若 为复数， 则
B． 若 为向量， 则
C． 若 为复数， 且 ， 则
D． 若 为向量， 且 ， 则
已知函数 ， 则
A． ， 函数 在 上均有极值
B． ， 使得函数 在 上无极值
C． ， 函数 在 上有且仅有一个零点
D． ， 使得函数 在 上有两个零点
甲同学投掷骰子 5 次， 并请乙同学将向上的点数记录下来， 计算出平均数和方差． 由于记录遗失， 乙同学只记得这五个点数的平均数为 2 ， 方差在区间 内， 则这五个点数
A． 众数可能为 1
B．中位数可能为 3
C． 一定不会出现 6
D． 出现 2 的次数不超过两次
三、填空题： 本题共4小题， 每小题5分， 共 20 分．
记数列 的前 项积为 ，写出一个同时满足①②的数列 的通项公式 ： ________．
① 是递增的等比数列②
设点 是曲线 上的任意一点，则 到直线 的最小距离是 ________．
已知 分别为双曲线 的左，右焦点，若点 关于双曲线 的渐近线的对称点 在 上，则双曲线 的离心率为________．
已知直棱柱 中， 分别为棱 的中点，过点 作平面 将此三棱柱分为两部分，其体积分别记为 ， 则 ________；平面 截此三棱柱的外接球的截面面积为________．
四、解答题：本题共 6 小题， 共计 70 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(10 分)
在① ；② ③ 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题（2）的横线上， 并解答下列题目．
在 中， 已知角 的对边分别为 ， 且 ．
(1) 求 ；
(2) 若 为边 上一点， 且 ， ________， 求 的面积．
（注：如果选择多个条件分别解答， 则按第一个解答计分)
(12 分)
若数列 满足 是不等于 0 的常数) 对任意 恒成立， 则称 是 周期为 ， 周期公差为 的"类周期等差数列"． 已知在数列 中， ．
(1) 求证： 是周期为 2 的"类周期等差数列"， 并求 的值；
(2) 若数列 满足 ， 求 的前 项和 ．
(12 分)
2021 年 8 月国务院印发 《全民健身计划 2021－2025》， 《计划》中提出了各方面的主要任务， 包括加大全民健身场地设施供给、广泛开展全民健身赛事活动、提升科学健身指导服务水平、 激发体育社会组织活动、促进重点人群健身活动开展和营造全民健身社会氛围等． 在各种健身 的方式中， 瑜伽逐渐成为一种新型的热门健身运动． 某瑜伽馆在 9 月份随机采访了 100 名市民， 对于是否愿意把瑜伽作为主要的健身方式作了调查．
愿意 不愿意 合计
男性 25 25 50
女性 40 10 50
合计 65 35 100
(1) 能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为“愿意把瑜伽作为主要健身方式”与性别 有关
附：
为了推广全民健身， 某市文化馆计划联合该瑜伽馆举办"瑜你一起"的公益活动， 在全市 范围内开设一期公益瑜伽课， 先从上述参与调查的 100 人中选择"愿意"的人按分层抽样抽出 13 人， 再从 13 人中随机抽取 2 人免费参加． 市文化馆拨给瑜伽馆一定的经费补贴， 补贴方案 为：男性每人 1000 元， 女性每人 500 元．求补贴金额的分布列及数学期望 (四舍五入精确到元)．
(12 分)
如图， 在四面体 中， 已知 是边长为 2 的等边三角形， 是以点 为直角顶 点的等腰直角三角形， 为线段 的中点， 为线段 的中点， 为线段 上的点．
(1) 若 平面 ， 求线段 的长；
(2) 若二面角 的大小为 ， 求 与平面 所成角的大小．
(12 分)
在平面直角坐标系 中， 已知点 ， 直线 与直线 的斜率之积为 ，记动 点 的轨迹为曲线 ．
(1) 求曲线 的方程；
(2) 若点 为曲线 上的任意一点 (不含短轴端点)， 点 ， 直线 与直线 交 于点 ， 直线 与 轴交于点 ， 记直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为 ， 求证： 为定值．
(12 分)
已知函数 ．
（1）判断 的单调性， 并说明理由；
（2）若数列 满足 ， 求证： 对任意 ．苏州市2021-2022学年第一学期期末学业质量阳光指标调研卷
高三数学
注意事项：
1．答题前，学生务必将自己的学校、班级、姓名、调研序列号填写在答题卡上.
2．做答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4．学生必须保持答题卡的整洁.调研结束后，将调研卷和答题卡一并收回.
一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】为纯虚数，，，选A.
2．设集合，，则集合的元素个数为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，个元素.
3．已知圆锥的高为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设底面半径为，母线长为，侧面展开是一个半圆
，即，，，，选A.
4．在中，，点在边上，则“”是“为中点”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】“”，不妨设，，则，则
满足条件有两个，一个是中点，一个是点，不充分.
为中点，，则，必要.
“”是“是中点”的必要不充分条件，选B.
5．记为等差数列的前项和，若，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
，选C.
6．北京时间年月日时分，神舟十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，受到国际舆论的高度关注.为弘扬航天精神、普及航天知识、激发全校学生为国争光的荣誉感和责任感，某校决定矩形以“传航天精神、铸飞天梦想”为主题的知识竞赛活动.现有两队报名参加，两队均由两名高一学生和两名高二学生组成，比赛共进行三轮，每轮比赛两队都随机挑选两名成员参加答题，若每位成员被选中的机会均等，则第三轮比赛中被两队选中的四位学生不会来自同一年级的概率是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】四个学生来自同一年级的概率为，
四个学生不全来自同一年级的概率为，选C.
7．已知，则下列不等式一定成立的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，，，A错.
，，，B错.
，，，，，
，，，C对.选C.
8．若斜率为的直线与抛物线和圆分别交于和两点，且，则当面积最大时的值为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】法一：，则的中点与的中点重合，设此点为，
当时，取最大值，，
令，，，
，
，选D.
法二：，当且仅当时取“”，
，，
设直线方程为，，
，中点
，，选D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．折纸发源于中国.世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车（如图）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图，则
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】如图，，则与不平行，A错.
设，
，B对.
，C对
，D对，选BCD.
10．下列命题正确的是
A．若为复数，则
B．若为向量，则
C．若为复数，且，则
D．若为向量，且，则
【答案】AD
【解析】令，，
，，，
，A对.
，，B错.
，
，
，C错.
选AD.
11．已知函数，则
A．，函数在上均有极值
B．，使得函数在上无极值
C．，函数在上有且仅有一个零点
D．，使得函数在上有两个零点
【答案】BC
【解析】，时，，无极值，A错，B对.
时，在上，，，
在有且仅有一个零点.
时，在恒成立，在
时，，，在有且仅有一个零点.
时，，或0，在，
.
时，，有且仅有一个零点.
，有且仅有一个零点，C对，D错.
12．甲同学投掷骰子次，并请乙同学将向上的点数记录下来，计算出平均数和方差.由于记录遗失，乙同学只记得这五个点数的平均数为，方差在区间内，则这五个点数
A．众数可能为 B．中位数可能为
C．一定不会出现 D．出现的次数不会超过两次
【答案】ACD
【解析】法一：
，众数为，平均数为，方差，A对.
若中位数为，设五次数据为，
即，，，，矛盾，B错.
若出现了，则其它四次和为，即数据为，矛盾，C对.
若出现次，则其它2次和为4，这2次为，
，D对.
法二：设向上的点数分别为，
，
，
不妨取，，，则，A正确.
对于B，不妨设，都中位数为3，则
，，不可能为，B错.
对于C，若出现，则，与矛盾，故不可能出现，C正确.
对于6，假设出现2的次数超过2次，则至少有次.
不妨设，，，
这与矛盾，故D正确.
选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．记数列的前项积为，写出一个同时满足①②的数列的通项公式：__________.
①是递增的等比数列；②.
【答案】（答案不唯一）
【解析】，，.
不妨设，则，.
14．设点是曲线上的任意一点，则到直线的最小距离是__________.
【答案】
【解析】的斜率为，设，切点，
，，
切点到的距离.
15．已知分别为双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线的渐近线的对称点在上，则双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】
法一：设的中点为，为中点.
为中位线，，则.
，则，
，.
.
法二：秒杀
令，则，如图，由《网课》解几公式“12”知，
关于对称点为
即也在上，而，则，.
16．已知直三棱柱中，，，分别为棱，的中点，过点作平面将此三棱柱分成两部分，其体积分别记为，则__________；平面截此三棱柱的外接球的截面面积为__________.（本小题第一空2分，第二空3分）
【答案】；
【解析】法一：
取中点，取中点，连，
平面为平面，，
，，
三棱锥外接球半径，
如下图建系，，，，，
设平面的法向量，
，，不妨设，则，
球心到平面距离，
，.
法二：秒杀一
图（1） 图（2） 图（3）
由《几公式秒杀》课程知：截面过四等分点，
由体积公式“”知，
而，.
由课程推论“”知，棱柱外接球球心在中点，
其中为中点，如图知，外接球半径，如图（3）知，
截面半径，.
法三：秒杀二
由《网课》几秒杀公式与推论知，截面过四等分点，
由“公式”知：
由《网课》公式“12”知：，
建立空间坐标系，，，
，，
，.
法四：设为上靠近的四等分点，则，
平面即为平面，
.
取中点，则三棱柱外接球球心为中点，外接球半径，
到平面的距离即为到的距离，
截面面积.
故应填：；.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）的横线上，并解答下列题目.
在中，已知角的对边分别为，且，.
（1）求；
（2）若为边上一点，且，__________，求的面积.
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
【解析】
（1）由，得，
由正弦定理得.
因为，所以，
所以，即.
（2）选①，设，.因为，所以.
由余弦定理得，解得.
所以，所以的面积.
选②，因为，所以.
由正弦定理得，解得，
由余弦定理得，解得.
所以，所以的面积.
选③，因为，所以.
由，解得，所以.
由余弦定理得，解得.
所以，所以的面积.
18．（12分）若数列满足（，是不等于的常数）对任意恒成立，则称是周期为，周期公差为的“类周期等差数列”.已知在数列中，，.
（1）求证：是周期为的“类周期等差数列”，并求的值；
（2）若数列满足，求的前项和.
【解析】
（1）法一：由，，相减得，
所以周期为，周期公差为的“类周期等差数列”，
由，，得，
所以.
法二：由，，相减得，
所以是周期为，周期公差为的“类周期等差数列”，
从而的奇数项和偶数项分别是公差为的等差数列，
所以所以.
（2）法一：由，，得，
当为偶数时，；
当为奇数时，.
综上所述，
法二：当为偶数时，；
当为奇数时，.
所以当为偶数时，；
当为奇数时，.
综上所述，
19．（12分）年月国务院印发《全民健身计划》，《计划》中提出了各方面的主要任务，包括加大全民健身场地设施供给、广泛开展全民健身赛事活动、提升科学健身指导服务水平、激发体育社会组织活动、促进重点人群健身活动开展和营造全民健身社会氛围等.在各种健身的方式中，瑜伽逐渐成为一种新型的热门健身运动.某瑜伽馆在月份随机采访了名市民，对于是否愿意把瑜伽作为主要的健身方式作了调查.
愿意 不愿意 合计
男性
女性
合计
（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“愿意把瑜伽作为主要健身方式”与性别有关？
附：
（2）为了推广全民健身，某市文化馆计划联合该瑜伽馆举办“瑜你一起”的公益活动，在全市范围内开设一期公益瑜伽课，先从上述参与调查的人中选择“愿意”的人按分层抽样抽出人，再从人中随机抽取人免费参加.市文化馆拨给瑜伽馆一定的经费补贴，补贴方案为：男性每人元，女性每人元.求补贴金额的分布列及数学期望（四舍五入精确到元）
【解析】
（1）由已知得.
所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为“愿意把瑜伽作为主要健身方式”与性别有关.
（2）调查的人中选择“愿意”的人按分层抽样抽出人，
其中男性人数为，女性人数为.
记补贴金额为，则可能为，，.
，，，
则的分布列为
数学期望（元）.
20．（12分）如图，在四面体中，已知是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，为线段的中点，为线段的中点，为线段上的点.
（1）若平面，求线段的长；
（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的大小.
【解析】
（1）因为面，面，面面，所以.
又因为为线段的中点，所以为线段的中点，
因为为线段的中点，且，所以.
因为是以点为直角顶点的等腰直角三角形，所以.
在直角中，.
（2）法一：连接，因为在等边中，为的中点，所以.
又因为是以点为直角顶点的等腰直角三角形，为线段的中点，
所以，所以为二面角的平面角，所以.
过点作，垂足为，连接.
因为，，，面，
所以面.又因为面，所以.
又因为，面，所以面，
所以为与面所成的角.
因为，，所以，，
因为，所以为线段的的中点.
所以，且，所以，
所以与面所成角的大小为.
法二：连接.因为在等边中，为的中点，所以.
又因为是以点为直角顶点的等腰直角三角形，为线段的中点.
所以，所以为二面角的平面角，所以.
以点为原点，所在的直线分别为轴，轴，
过点且垂直于面的直线为轴建立空间直角坐标系（如图），
则，，.
因为，，，所以，
所以，，
所以，.
设平面的法向量为，则
即解得，
取其中一个法向量为.
因为，所以，
设与平面所成的角为，则.
又，所以，即与面所成角的大小为.
21．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，，直线与直线的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若点为曲线上的任意一点（不含短轴端点），点，直线与直线交于点，直线与轴交于点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.
【解析】
（1）法一：设，，，，
，曲线的方程为.
法二：设动点，由题意可得，
所以曲线的方程为.
（2）法一：设点
设，直线方程为
直线方程为：，方程为：
在方程中令，
联立，
，
为定值.
法二：设线
设直线方程为，方程：
，
，，
方程：
令，
为定值.
法三：
设的直线方程为，
联立方程组得，
由，得，
代入直线方程得，所以，
所以的直线方程为，所以.
联立方程组解得.
所以，所以为定值.
法四：设，则直线的方程为，
联立方程组解得.
由直线的方程为，得，
所以.
又因为，
所以为定值.
22．（12分）已知函数.
（1）判断的单调性，并说明理由；
（2）若数列满足，，求证：对任意，.
【解析】
法一：巧妙推理
（1）
令，
在上，，，
在上单调递增.
（2）由
要证，只需证
即证：，，，
先证左边：
令证，即证
令，，在上，，得证.
再证右边：，即证，
令，
在上，，也得证.
综上：对，，.
法二：（1）显然定义域为.
当时，
记，
，故在时为增.
（2）令，只需证明恒成立和恒成立.
因为
若，则有
①先证明，记
记，，恒成立，
故，
，故成立.
②记
，简记为
，，，
恒成立，故命题得证！
（不想多取几个名字，就用二阶，三阶导数了.）
法三：
（1）的定义域是，.
令，.
因为，所以，所以在上单调递增，
所以.又，，从而，
所以在上单调递增.
（2）设，.
当时，，所以在上单调递增，
所以，即，
所以.
由（1）可知，即，
所以，即，从而.
设，则.
当时，，所以，
所以在上单调递增.
故当时，，即，
从而，即，即.
因为，所以.
综上，.
