第四章指数函数与对数函数4.5函数的应用（二）4.5.3函数模型的应用word版含答案

第四章指数函数与对数函数4.5函数的应用（二）4.5.3函数模型的应用
一、单选题
1．视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表：
小数记录
五分记录
现有如下函数模型：①，②，表示小数记录数据，表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为，则小明同学的小数记录数据为（附，，）（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合,，则=
A．{1} B．{-1,0,2} C．{-1,0,1,2} D．
3．函数，则的所有根的和为（ ）．
A．1 B． C．2 D．
4．下列角中终边与相同的角是（ ）
A． B． C． D．
5．图甲中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律、对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述错误的是
A．捕食者和被捕食者数量与时间以年为周期
B．由图可知，当捕食者数量增多的过程中，被捕食者数量先增多后减少
C．捕食者和被捕食者数量之间的关系可以用图1乙描述
D．捕食者的数量在第年和年之间数量在急速减少
6．某电信公司推出了两种手机通信收费方式，A种方式与B种方式一个月的本地网内打出电话时间t（min）与通信费S（元）的函数关系如图．A种方式对应的函数解析式为（m为常数），B种方式对应的函数解析式为（n为常数）．当通话50min时，这两种方式产生的通信费相差（ ）
A．10元 B．20元 C．30元 D．元
7．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（单位：件）与售价P（单位：元/件）之间的关系为，日销售量x与成本C（单位：元）之间的关系为，要使日利润不少于1300元，则x满足（ ）
A． B．
C． D．
8．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它球：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升到8000，则大约增加了（ ）
A．10% B．20% C．30% D．50%
9．若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
10．函数的图像大致是
A． B． C． D．
二、多选题
11．已知的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
三、双空题
12．为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒.教室内每立方米空气中的含药量y(单位：：随时间x(单位：：的变化情况如图所示：在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为(a为常数：，则含药量y随时间x变化的函数表达式为___________；经过___________小时以后教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.125以下.
13．如图，一个小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1m，皮球经过路线的最高点为，落地点记为C，则这个函数的表达式为________，小孩将球大约抛出了________米（精确到0.1m）
四、填空题
14．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示.
销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
请根据以上数据分析，这个经营部定价在________元/桶才能获得最大利润.
15．拉面是很多人喜好的食物.师傅在制作拉面的时候，将面团先拉到一定长度，然后对折，对折后面条根数变为原来的2倍，再拉到上次面条的长度.每次对折后，师傅都要去掉捏在一只手里的面团.如果拉面师傅将300克而团拉成细丝面条，每次对折后去掉捏在手里的面团都是18克.第一次拉的长度是，共拉了7次，假定所有细丝面条粗线均匀 质量相等，则最后每根长的细丝面条的质量是___________.
16．南昌市某服装店出售一批新款服装，预计从年初开始的第月，服装售价满足（ 价格单位：元），且第个月此商品销售量为万件，则年中该服装店月销售收入最低为________万元.
五、解答题
17．某公司投资72万元建了一座加工厂，已知第一年需要各种费用12万元，以后每年增加4万元，每年的销售收入为50万元.
（1）该公司几年后总利润最大，求出此最大值；
（2）该公司几年后平均利润最大，求出此最大值.
18．某市“网约车”的现行计价标准是：路程在2km以内（含2km）按起步价8元收取，超过2km后的路程按1.9元/km收取，但超过10km后的路程需加收50%的返空费（即单价为元/km）.
（1）将某乘客搭乘一次“网约车”的费用（单位：元）表示为行程（，单位：km）的分段函数；
（2）某乘客的行程为16km，他准备先乘一辆“网约车”行驶8km后，再换乘另一辆“网约车”完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆“网约车”完成全部行程更省钱？请说明理由.
19．已知A、B两城相距100km，在两地之间距A城km处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全.核电站距市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月.
（1）把月供电总费用表示成的函数，并求定义域；
（2）核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小.
20．某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”规则如下：
①3小时内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值E（单位：）与游玩时间t（单位：小时）满足关系式：；
②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验值不变）；
③超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50．
（1）当时，写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式，求出游玩6小时的累积经验值；
（2）该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围．
21．某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年的蔬菜销售收入均为50万元，设表示前年的纯利润总和（=前年的总收入前年的总支出投资额）.
（1）该厂从第几年开始盈利？
（2）若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案：
① 当年平均利润达到最大时，以48万元出售该厂；
② 当纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂，
问哪种方案更合算？
22．已知点O在所在的平面内，且，说明O是的内心还是外心.
23．某个体经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
投资A商品金额（万元） 1 2 3 4 5 6
获纯利润（万元） 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
投资B商品金额（万元） 1 2 3 4 5 6
获纯利润（万元） 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51
该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A、B两种商品各多少才最合算．请你帮助制定一下资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大利润（结果保留两个有效数字）．
24．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示）,该扇环是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点,的两条线段围成．设圆弧和圆弧所在圆的半径分别为米,圆心角为θ（弧度）．
(1)若,,求花坛的面积；
(2)设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题,已知直线部分的装饰费用为60元/米,弧线部分的装饰费用为90元/米,预算费用总计1200元,问线段AD的长度为多少时,花坛的面积最大？
25．参加劳动是学生成长的必要途径，每个孩子都要抓住日常生活中的劳动实践机会，自觉参与、自己动手，坚持不懈进行劳动，掌握必要的劳动技能．在劳动中接受锻炼、磨炼意志，培养正确的劳动价值观和良好的劳动品质．大家知道，用清水洗衣服，其上残留的污渍用水越多，洗掉的污渍量也越多，但是还有污渍残留在衣服上，在实验基础上现作如下假定：用单位的水清洗1次后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数．
（1）①试解释与的实际意义；
②写出函数应该满足的条件或具有的性质（写出至少2条，不需要证明）；
（2）现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．B
【分析】
根据表格中可知函数的单调性，可选择合适的函数模型，然后令，解方程即可得解.
【详解】
由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为，
令，解得.
故选：B.
2．A
【分析】
直接利用交集的定义求解即可.
【详解】
已知集合,，则= {1}.
故选A.
【点睛】
本题考查集合的交集，属基础题.
3．D
【分析】
根据函数解析式，分别求出和时，方程对应的根，即可得出结果.
【详解】
当时，由得，解得（舍）或；
当时，由得，即，解得，所以；
因此的所有根的和为.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查由分段函数值求自变量，属于基础题型.
4．B
【解析】
略
5．C
【详解】
分析：由题意可知：捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期呈周期性变化，故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状，进而得到答案
详解：由已知中某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．
可得捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期呈周期性变化，
捕食者的数量在第25年和30年之间数量在急速减少，正确；
由图可知，当捕食者数量增多的过程中，被捕食者数量先增多后减少，
故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状，
捕食者和被捕食者数量之间的关系可以用图1乙描述，显然不正确；
故选C．
点睛：本题考查的知识点是函数的图象的识别，本题比较抽象，属于中档题．
6．A
【分析】
根据给定图象结合时的通信费相等探求出m与n的关系，再列式计算作答.
【详解】
依题意，当时，，即，整理得，
则当时，(元)，
所以当通话50min时，这两种方式产生的通信费相差10元.
故选：A
7．A
【分析】
根据题意，列出利润关于日销售量的关系式，令其大于等于1300，解不等式即可
【详解】
由题意得，化简得，解得，
故选：A.
8．C
【分析】
根据所给公式、及对数的运算法则代入计算可得.
【详解】
当时，，当时，，
∴，∴ 约增加了30%.
故选：C .
9．D
【分析】
分别讨论两个函数的单调性，是二次函数，由对称轴可得，，只要在上一定递减，两者结合可得．
【详解】
对于，开口向下，对称轴为
若函数在区间上都是减函数，则区间在对称轴的右侧，所以可得：；
对于，其相当于将的图象向左平移1个单位，得到如下函数图像：
此时我们可以判断，当时，则函数在第一象限为单调递减，而在单调递减，故的取值范围是.
故选：D．
【点睛】
本题考查函数的单调性，掌握二次函数与反比例函数的单调性是解题关键．
10．A
【分析】
通过奇偶性的定义可知函数为偶函数，图象关于轴对称，排除；当时，可确定函数有两个零点，排除，从而得到结果.
【详解】
函数为偶函数 函数图象关于轴对称，可排除
当时，
令，解得：或，即函数在上有两个零点，可排除
本题正确选项：
【点睛】
本题考查函数图象的识别，常用方法是通过函数的奇偶性、零点、特殊位置符号、单调性等方式，采用排除法来得到结果.
11．ABC
【分析】
根据a的取值分类讨论函数f(x)的单调性、奇偶性、值域，据此判断图像即可.
【详解】
若a＝0，则f(x)＝，图像为C；
若a＞0，则f(x)定义域为{x|x≠±}，f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数，
x∈(－∞，－)时，f(x)＜0，x∈(－，0)时，f(x)＞0，x∈(0，)，f(x)＜0，x∈(，＋∞)时，f(x)＞0，
又x≠0时，f(x)＝，函数y＝x－在(－∞，0)和(0，＋∞)均单调递增，∴f(x)在(－∞，－)，(－，0)，(0，)，(，＋∞)均单调递减，综上f(x)图像如A选项所示；
若a＜0，则f(x)定义域为R，f(x)为奇函数，f(0)＝0，
当x＞0时，f(x)＞0，当x＜0时，f(x)＜0，
当x≠0时，f(x)＝，函数y＝x＋时双勾函数，x∈时，y均单调递减，x∈时，y均单调递增，
∴f(x)在单调递增，在单调递减，结合以上性质，可知B图像符合.
故选：ABC.
12． 1.2
【分析】
由图中前一段为过原点的一次函数，求出斜率即可写出解析式.第二段，代点进解析式，可求得出参数.最后将结果写成分段函数形式.
第二空中，解不等式即可作答.
【详解】
一次函数过点，，故，一次函数解析式为
过点，故，故
故含药量y随时间x变化的函数表达式为
若，则，则
故经过1.2小时以后教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.125以下.
故答案为：；1.2
13． 16.5
【分析】
先根据顶点坐标设函数关系式为，再把点代入即可求得二次函数的表达式，最后把代入即可求得结果.
【详解】
解: 设，将点代入，得
所以，
令，得，
解得（负值舍去），
所以点，
所以.
故答案为； 16.5
【点睛】
本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数关系式是函数问题中极为重要的方法，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需熟练掌握.
14．11. 5
【分析】
通过表格可知销售单价每增加1元、日均销售量减少40桶，进而列出表达式，利用二次函数的简单性质即得结论．
【详解】
设每桶水的价格为(6+x)元，公司日利润y元，
则：y=(6+x 5)(480 40x) 200，
= 40x2+440x+280，(0∵ 40<0，
∴当x=5.5时函数y有最大值，
因此，每桶水的价格为11.5元，公司日利润最大，
故答案为11.5.
【点睛】
本题考查二次函数的应用问题，考查二次函数的最值问题，考查分析问题解决问题的能力.
15．3克
【分析】
求出拉面师傅拉7次面条共有面条的根数，在7次拉面过程中共对折6次，求出去掉面的质量，则可得剩下面条的总质量，从而可求得每根长的细丝面条的质量.
【详解】
解：拉面师傅拉7次面条共有根面条，在7次拉面过程中共对折6次，则去掉面的质量为；剩下64根面条的总质量为，则每根长的细丝面条的质量为克.
故答案为：3克.
16．289
【解析】
设第x月的销售收入为y（万元），依题意有y=（x2﹣12x+69）（x+12）=（x3﹣75x+828），…∴y′=（x+5）（x﹣5），
∴当1≤x≤5时y′≤0，y递减；
当5≤x≤12时y′≥0，y递增，
∴当x=5时，y最小，即第5个月销售收入最少．最低销售收入为289万元
故答案为：289.
17．（1）公司10年后的利润最大，为118万元；（2）公司6年的平均利润最大为16万元.
【分析】
（1）求出总利润表达式配方求最值即可；
（2）求出年平均利润表达式根据基本不等式求最值即可.
【详解】
（1）设该公司年后的总利润为万元，则
所以该公司10年后的利润最大，为118万元.
（2）年平均利润为，
当且仅当，即时取等号，该公司6年的平均利润最大，为16万元.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
18．（1）；（2）乘两辆“网约车”完成行程更省钱，理由见解析.
【分析】
（1）根据题中信息得出分段函数的解析式；
（2）利用的解析式计算两种方式的费用，比较即可作出判断.
【详解】
解：由已知得
即
（2）只乘一辆“网约车”花费（元）
乘两辆“网约车”花费
∵
故乘两辆“网约车”完成行程更省钱.
19．（1），
（2），y最小
【详解】
（1） ；
（2）由
则当米时，y最小．
20．（1）；（2）
【分析】
（1）分三段求函数的解析式，并根据解析式求；（2）由条件写出 时，，转化为函数的最小值大于等于0，求的取值范围.
【详解】
（1）当时，，，当时，,
当时，
当时，
所以，
当时，.
（2）当时，，
整理得：恒成立，
令函数的对称轴是，
当时，取得最小值，即，
【点睛】
关键点点睛：本题属于分段函数应用问题，题干较长，所以第一个关键就是读懂题意，尤其是时，能正确转化为一次函数，第二个关键就是第二问转化为的最小值大于等于0.
21．（1）第3年开始盈利（2）方案①更合理
【详解】
试题分析：（1）赢利总额f（n）元即n年中的总收入50n减去n年总支出再减去投资额，f（n）＞0解出结果进行判断得出何年开始赢利；
（2）利用基本不等式算出第一种方案总盈利，利用二次函数性质算出第二种方案的总盈利，得到每一种方案的总盈利，比较大小选择方案
试题解析：（1），
令，则 ，∴ ，
∴ 该厂从第3年开始盈利.
（2）按方案①，年平均利润为，
∵ ，当且仅当 时取等号，∴ 当时， 取最大值16，
∴ 第6年出售该厂时，可盈利（万元）.
按方案②，，
当时， 取最大值128，
∴ 第10年出售该厂时，可盈利（万元）.
两种方案虽然盈利总额相同，但方案①时间短，
∴ 方案①更合理.
考点：一元二次不等式的解法，以及基本不等式求最值和应用题中盈利最大化的问题
22．点O是△ABC的外心
【分析】
结合向量模的知识，以及三角形内心、外心的知识，判断出点O是△ABC的外心.
【详解】
∵，∴点O到△ABC的三个顶点距离相等，∴点O是△ABC的外心.
【点睛】
本小题主要考查向量模的概念，考查三角形内心、外心，属于基础题.
23．分别投资A、B两种商品3.2万元和8.8万元，可获最大利润4.1万元
【分析】
根据表格数据，画出散点图，从而求出函数模型，再设第7个月投入A，B两种商品的资金分别为x万元，总利润为万元，求出利润函数，利用配方法，即可得到结论．
【详解】
以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图（如下图）．
据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系：
① ②
把，代入①式，得，解得
故前六个月所获纯利润关于月投资于A种商品的金额的函数关系式可近似的用
表示
再把，代入②式，得，故前六个月所获纯利润关于月投资于
B种商品的金额的函数关系式可近似的用表示
设下月投资于A种商品x万元，则投资于B种商品万元，可获纯利润：
当时，
故下月分别投资A、B两种商品3.2万元和8.8万元，可获最大利润4.1万元
【点睛】
本题考查函数模型的选择与运用，考查配方法的运用．根据已知数据建立数学模型的方法：①画出散点图；②根据点的分布特征选择适当的函数模型；③用待定系数法求函数模型．
24．（1）；（2）当线段的长为5米时，花坛的面积最大.
【分析】
(1)根据扇形的面积公式,求出两个扇形面积之差就是所求花坛的面积即可；
(2)利用弧长公式根据预算费用总计1200元可得到等式,再求出花坛的面积的表达式,结合得到的等式,通过配方法可以求出面积最大时, 线段AD的长度.
【详解】
(1)设花坛的面积为S平方米.
答：花坛的面积为；
(2) 圆弧的长为米，圆弧的长为米，线段的长为米
由题意知，
即 * ，
，
由*式知，，
记则
所以=
当时，取得最大值，即时，花坛的面积最大，
答：当线段的长为5米时，花坛的面积最大.
【点睛】
本题考查了弧长公式和扇形面积公式,考查了数学阅读能力,考查了数学运算能力.
25．
（1）表示没有用水清洗时，衣服上的污渍不变；表示用1个单位的水清洗时，可清除衣服上残留的污渍的；定义域为，值域为，在区间内单调递减.
（2）当时，，此时两种清洗方法效果相同；
当时，，此时把单位的水平均分成份后，清洗两次，残留的污渍较少；
当时，，此时用单位的水清洗一次后残留的污渍较少.
【分析】
（1）①根据函数的实际意义说明即可；
②由实际意义可得出函数的定义域，值域，单调性.
（2）求出两种清洗方法污渍的残留量，并进行比较即可.
（1）
①表示没有用水清洗时，衣服上的污渍不变；
表示用1个单位的水清洗时，可清除衣服上污渍的.
②函数的定义域为，值域为，在区间内单调递减.
（2）
设清洗前衣服上的污渍为1，用单位的水，清洗一次后残留的污渍为，
则；
用单位的水清洗1次，则残留的污渍为，
然后再用单位的水清洗1次，则残留的污渍为，
因为，
所以当时，，此时两种清洗方法效果相同；
当时，，此时把单位的水平均分成份后，清洗两次，残留的污渍较少；
当时，，此时用单位的水清洗一次后残留的污渍较少.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页