第五章三角函数5.4三角函数的图象与性质5.4.2正弦函数、余弦函数的性质第一课时wod版含答案

第五章三角函数5.4三角函数的图象与性质5.4.2正弦函数、余弦函数的性质第一课时
一、单选题
1．
A． B． C． D．
2．下列函数中周期为且为偶函数的是
A． B．
C． D．
3．定义在上的函数满足与，且当时，，则函数的零点个数为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
4．下列函数中，对于任意，同时满足条件和的函数是
A． B．
C． D．
5． （ ）
A． B． C． D．
6．函数是
A．周期为的奇函数 B．周期为的奇函数
C．周期为的偶函数 D．周期为的偶函数
7．关于函数的图象向右平移个单位长度后得到图象，则函数（ ）
A．最大值为3 B．最小正周期为
C．为奇函数 D．图象关于轴对称
8．若函数的最小正周期为，且其图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为偶函数，则的图象（ ）
A．关于直线对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于点对称
9．已知、，且，则（ ）
A． B．
C． D．
10．的值为
A．90 B．45 C．44 D．44.5
11．下列说法正确的是（ ）
A．命题、都是假命题，则命题“”为真命题
B．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍后得到
C．，函数都不是奇函数
D．函数的图象关于直线对称
12．“”是“函数为偶函数”的
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
13．已知定义在上的奇函数满足，曲线在点处的切线的倾斜角为，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
14．在中，下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
15．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
16．已知函数，则下列结论中错误的是（ ）
A．为偶函数 B．最大值为
C．在区间上单调递增 D．的最小正周期为
17．函数的最小正周期是（ ）
A．3 B． C．4 D．
二、多选题
18．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象的对称中心是（0，1） B．函数在R上是增函数
C．函数是奇函数 D．方程的解为
19．下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在单调递增，在单调递增，则在上是单调递增.
C．函数与关于对称.
D．函数是上的增函数，若成立，则
20．已知函数 则下面叙述正确的是（ ）
A．最小正周期为 B．在区间是增函数
C．是对称轴 D．最大值为
三、填空题
21．已知函数（为常数，，的部分图象如图所示，有下列结论：
①函数的最小正周期为
②函数在上的值域为
③函数的一条对称轴是
④函数的图象关于点对称
⑤函数在上为减函数
其中正确的是______.（填写所有正确结论的编号）
22．若，则__________．
23．若奇函数定义域为,且,则=______
24．设函数，若是奇函数，则实数的取值集合是______．
25．已知函数，则______．
26．已知函数的最小正周期为，则方程在上的解集为___________．
27．给出下列命题：（1）函数不是周期函数；（2）函数在定义域内为增函数；（3）函数的最小正周期为；（4）函数，的一个对称中心为．其中正确命题的序号是______．
28．已知的图象与的图象的两相邻交点间的距离为，要得到的图象，最少需要把的图象向左平移________个单位
29．已知数列{an}的通项公式是设其前n项和为Sn，则S12_____.
30．已知函数是定义在实数集上的奇函数，当时，，若集合，则实数的取值范围为__________．
31．已知函数的图像与轴的一个交点为，且与点相邻的一个最高点为，则当时，函数与函数的图像的所有交点的横坐标之和为______.
四、解答题
32．已知函数．
（1）求函数的最小值和最大值;
（2）画出函数在区间内的图象．
33．已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是减函数，若f(1)>f(lg)，求x的取值范围．
34．已知函数，，且.
（1）求的解析式；
（2）已知，，求.
35．已知向量 ，,函数的图象过点，点与其相邻的最高点的距离为.
（1）求的单调递增区间；
（2）计算；
（3）设函数，试讨论函数在区间上的零点个数.
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．B
【分析】
利用诱导公式及特殊角的三角函数值，即可得到结果.
【详解】
，
故选B
【点睛】
本题考查诱导公式与特殊角的三角函数值，意在考查学生的恒等变形能力．
2．A
【分析】
对于每一个选项化简再判断得解.
【详解】
对于选项A,周期为且是偶函数，所以选项A正确；
对于选项B,，周期为π且是奇函数，所以选项B错误；
对于选项C,y=cosx,周期为2π，所以选项C错误；
对于选项D,y=-sinx,周期为2π，所以选项D错误.
故答案为A
【点睛】
(1)本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 使用周期公式，必须先将解析式化为或的形式；正弦余弦函数的最小正周期是.
3．C
【分析】
根据题意得出奇偶性和周期性，利用当时的解析式，将转化为，画出在R上的图像，再画出的图象，即可得函数的零点个数.
【详解】
因为，令，得，
所以函数是定义在上的偶函数．
又因为，得，
所以函数是周期为2的周期函数．
由，得，
由换底公式，得，即，
因此，求函数的零点个数，
即可以转化为求函数与的图象的交点个数．
另外，函数的周期为2，得；
由且，得，1，2，
所以函数的定义域是，
函数的定义域是．
在同一坐标系中作出函数与的图象（如图所示），
由图可知，
函数与的图象一共有8个交点．
即函数的零点个数为8．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是函数零点的个数问题，利用数形结合的办法转化为判断两个函数图象交点的个数，考查指数函数的图像，对数函数的图像，属于中档题目.
4．D
【详解】
试题分析：可知函数为偶函数，由可知函数是以为周期的周期函数，对于A选项中的函数，该函数是奇函数，且以为最小正周期的周期函数；对于B选项中的函数，该函数是奇函数，且以为最小正周期的周期函数；对于C选项中的函数，该函数是偶函数，且以为最小正周期的周期函数；对于D选项中的函数
，该函数是偶函数，且以为最小正周期的周期函数，故选D.
考点：1.二倍角公式；2.三角函数的奇偶性与周期性
5．A
【分析】
利用诱导公式以及两角和与差的三角函数化简求解即可．
【详解】
解：
故选：
【点睛】
本题考查诱导公式以及两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力，属于基础题．
6．A
【详解】
对于函数y＝sin，T＝4π，且sin(－)＝－sin．故选A．
7．D
【分析】
先根据图象的平移变换和诱导公式得,再根据的解析式可得答案.
【详解】
依题意可得,
所以的最大值为4,最小正周期为,为偶函数,图象关于轴对称.
故选:D
【点睛】
本题考查了函数图像的平移变换,考查了诱导公式,考查了函数的最值,周期性和奇偶性,属于基础题.
8．D
【分析】
利用正弦函数的周期性、函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律、偶函数的定义，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．
【详解】
依题意可得，
所以，
所以的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为，
又函数为偶函数，
所以，
解得，，
又，所以，
所以，
由，得，
所以图象的对称轴为，排除AC，
由，得，
则图象的对称中心为，排除B，
当时，，故D正确.
故选：D.
9．B
【分析】
根据函数图像和性质依次代入分析即可。
【详解】
A：因为，是减函数，所以，即，A错；
B：因为，是减函数，所以，即，B正确；
C：，如果，则，C错；
D：比如，所以D错。
故选：B
【点睛】
此题考查基本初等函数的性质，掌握每种函数的基本性质较易求解，属于较易题目。
10．D
【分析】
将所给的式子重新组合，利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得它的值．
【详解】
cos21°+cos22°+cos23°+…+cos290°
＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+（cos23°+cos287°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245°+cos290°
＝（cos21°+sin21°）+（cos22°+sin22°）+（cos23°+sin23°）+…+（cos244°+sin244°）0
＝440＝44.5，
故选D．
【点睛】
本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．
11．D
【分析】
根据复合命题的真假可判断A选项的正误；利用三角函数图象变换可判断B选项的正误；利用特殊值法可判断C选项的正误；利用正弦函数的对称性可判断D选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于A选项，若命题、都是假命题，则命题“”为假命题，A选项错误；
对于B选项，将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍后得到，B选项错误；
对于C选项，取，则为奇函数，C选项错误；
对于D选项，，，
所以，函数的图象关于直线对称，D选项正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及复合命题、全称命题真假，同时也考查三角函数图象变换以及正弦型函数对称性的判断，考查推理能力，属于中等题.
12．A
【详解】
若则函数是偶函数；若函数是偶函数，则对定义域内任意x恒成立；即恒成立；所以恒成立不恒成立，舍去；所以
故选A
13．B
【分析】
由R上的奇函数可得，结合奇函数的导数为偶函数，可得在处的切线斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程．
【详解】
因为是奇函数，所以，，
由,得
即，
所以，.
即是周期为4的函数，
由得，图象关于对称，
所以，曲线在点处的切线与点处的切线的倾斜角互补，
而在点的切线和点处的切线平行，
因为是定义在上的奇函数，所以，，，
线在点处的切线的倾斜角为，
切线方程为：，
故选：B.
【点睛】
本题考查导数的运用,求切线方程，考查函数的奇偶性，以及直线方程的运用，考查化简运算能力，属于中档题．
14．D
【分析】
利用诱导公式可判断各选项的正误.
【详解】
对于A选项，，A错；
对于B选项，，B错；
对于CD选项，，C错，D对.
故选：D.
15．B
【分析】
确定函数的奇偶性排除，再求一些特殊的函数值，根据其正负排除一些选项．
【详解】
由，知为奇函数，排除D；，排除C；，排除A．
故选：B
【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过确定函数的奇偶性、单调性等性质，特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势等由排除法得出正确选项．
16．D
【分析】
去绝对值，转化为分段函数，作出函数图象，利用二倍角公式和三角函数的性质逐项判断.
【详解】
如图所示：
A. 因为，故为偶函数.
B.如图，最大值为.
C. 当单调递增，故在区间上单调递增.
D. 是偶函数，故不具有周期性.，故错误.
故选：D
【点睛】
本题主要考查二倍角公式和三角函数的性质，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于中档题.
17．C
【分析】
由公式直接求解即可.
【详解】
函数的最小正周期是.
故选：C.
18．ABD
【分析】
首先变形函数，再设函数，利用的奇偶性，判断函数的对称中心，以及利用导数判断函数的单调性，以及利用函数的对称性，解方程.
【详解】
选项A． 设，，则，
则函数为奇函数，所以的图象关于原点成中心对称．
所以的图象关于成中心对称，故A正确．
选项B． 由，则，
所以函数在R上是增函数，故B正确．
选项C． ，则，函数不是奇函数，故C不正确．
选项D． 由选项A有的图象关于成中心对称，即，
由方程，则，即，故D正确．
故选:ABD．
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是判断函数的对称性，由函数变形可知，可知函数关于点对称.
19．ACD
【分析】
对于A，运用三角函数的诱导公式可判断；
对于B，由函数的单调性的定义可判断.
对于C，设函数上任意一点，得出上的对应点为，再得出的对应点为，由两点的位置关系可判断.
对于D，设，则有函数是上的增函数，再得，即有，由此可判断.
【详解】
解：对于A，，故A正确；
对于B，函数在单调递增，在单调递增，则在上不一定单调递增，故B不正确.
对于C，设函数上任意一点，则将函数向左平移2个单位得函数，此时对应点为，
将函数关于y轴对称得函数，此时对应点为，再将函数的图象向右平移2个单位得，此时对应点为，
而点与有，所以点与关于对称，
所以函数与关于对称，故C正确.
对于D，设，因为函数是上的增函数，所以函数是上的增函数，
因为，所以，即，
所以，
所以，即，故D正确.
故选：ACD.
20．AC
【分析】
利用辅助角公式化简已知可得，结合三角函数的性质依次判断选项即可得解.
【详解】
由题意
对于A，函数的最小正周期，故A正确；
对于B，由，得，令，得，，故B错误；
对于C，由，得，令，得，故C正确；
对于D，，，，即函数的最大值为，故D错误；
故选：AC
【点睛】
方法点睛：函数的性质：
(1) .
(2)周期
(3)由 求对称轴，由求对称中心.
(4)由求增区间；由求减区间.
21．②⑤
【分析】
先利用三角函数图像求出三角函数解析式，再结合三角函数的性质逐一判断即可得解.
【详解】
解：由图可知，
则，
又 ，由五点作图法可得，即，
又，
即，即，
即，
对于①，显然错误；
对于②，，则，即，即②正确；
对于③，令，解得，即函数的一条对称轴是，令，无整数解，即③错误；
对于④，令，解得，即函数的对称中心为，令，无整数解，即④错误；
对于⑤，令，
解得：，即函数的减区间为，
又，即⑤正确，
综上可得②⑤正确，
故答案为：②⑤.
【点睛】
本题考查了利用函数图像求解函数解析式，重点考查了三角函数的性质，属中档题.
22．
【详解】
令，则，，所以，填．
23．
【分析】
先根据的性质得出周期为4,再利用周期性与奇偶性将中的自变量转换,利用求解即可.
【详解】
因为,故,故周期为4.又奇函数,故.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了根据函数的奇偶性与对称性求解函数值的问题,需要根据题意确定函数的周期,再将自变量转换到已知函数值的自变量进行计算.属于中档题.
24．
【分析】
根据是奇函数来求得的取值集合.
【详解】
依题意为奇函数，
所以，
所以的取值集合为.
故答案为：
25．0
【分析】
先求出f(1)，再求f(f(1))即可﹒
【详解】
f(1)＝－1，f(－1)＝ln1＝0，∴0，
故答案为：0﹒
26．
【分析】
由已知及周期公式可求，可解得：，由，可得，从而解得在上的解集．
【详解】
解：∵由题意可得：，解得：，
，可解得：，
∵，
，
或，即：．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的性质的简单应用，三角函数周期性及其求法，属于基础题．
27．（1）（4）
【详解】
（1）函数它是偶函数,不是周期函数,正确;
（2）函数在每一个单调区间是增函数,定义域内不是增函数.
（3）函数的周期是,所以不正确;
（4）把代入函数成立,正确.
故本题正确答案为（1）（4）.
28．
【详解】
∵的最大值为1，其图象与y=1的图象的两相邻交点间的距离为π，令ω>0，
∴函数y=f(x)的周期T==π，
∴ω=2；
∴f(x)=cos(2x+)=sin[(2x+)+]=sin2(x+)
∴要得到y=f(x)的图象，只需把y=sin2x的图象向左移动个单位长度单位，
故答案为
29．0
【详解】
试题分析：数列{an}的周期为T=4，而，所以.
考点：1、三角函数值的运算；2、数列的周期性；3、数列的求和.
30．
【解析】
当时, ,满足条件;
当时,
所以实数的取值范围为
点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.
(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.
31．
【分析】
首先根据题意求出，再数结合的函数图像，求得与函数的图像的所有交点的横坐标之和.
【详解】
由题意可得：
，则，
所以，
由一个最高点为，则，
，
代入可得：，
由，可得：， ，
如图：与函数的图像的共有6个交点，
分别关于，所有交点的横坐标之和为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了三角函数的图像与性质，考查了三角函数的周期、振幅等基本量的计算，同时考查了三角函数的对称性，主要方法是数形结合，属于中档题.
32．（1）最小值，最大值；（2）图象见解析.
【分析】
（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简，由此求得的最小值和最大值.
（2）利用五点作图法作出在区间内的图象.
【详解】
（1）依题意.
所以的最小值为，最大值为.
（2）列表如下：
画出的图象如下图所示：
【点睛】
本小题主要考查二倍角公式、辅助角公式，考查五点作图法，属于中档题.
33．
【解析】
【分析】
先由题得到lg >1或lg <－1，再解对数不等式即得解.
【详解】
因为f(x)是定义在R上的偶函数且在区间[0，＋∞)上是减函数，
所以f(x)在区间(－∞，0)上是增函数，
所以不等式f(1)>f(lg)可化为
lg >1或lg <－1，
所以lg >lg 10或lg 所以>10或0<<，
所以010.
所以x的取值范围为(0，)∪(10，＋∞)．
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性和单调性的运用，考查解对数函数不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
34．（1）；（2）.
【分析】
（1）由，解得，即可求出的解析式；
（2）由两角和的正弦公式可得，再利用平方关系结合的范围求解.
【详解】
（1）由，得
又，则
∴
（2），即
又，，，则，
.
35．(1) .(2) 2018. (3)当或时，函数在上无零点；当或时，函数在上有一个零点；当时，函数在有两个零点.
【解析】
试题分析：(1)根据平面向量数量积的坐标表示、二倍角公式和与辅助角公式可得,根据的图象过点，点与其相邻的最高点的距离为，确定，从而根据正弦函数的单调性可得结果;(2)根据特殊角的三角函数及周期性可得结果；（3）,函数在区间上的零点个数，即为函数的图象与直线在上的交点个数.在同一直角坐标系内作出这两个函数的图象，几何图形可得结果.
试题解析：(1)向量，，点为函数图象上的一个最高点，点与其相邻的最高点的距离为，，函数图象过点，，，，由，得，的单调增区间是.
(2) 由（1）知的周期为，且，，而.
(3),函数在区间上的零点个数，即为函数的图象与直线在上的交点个数.在同一直角坐标系内作出这两个函数的图象如图所示，
由图象可知，①当或时，函数的图象与直线在上的无公共点，即函数无零点；②当与时，函数的图象与直线在上有一个公共点，即函数有一个零点；③当时，函数的图象与直线在上有两个公共点，即函数有两个零点，综上，当或时，函数在上无零点；当或时，函数在上有一个零点；当时，函数在有两个零点.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页