人教A版（2019）必修第一册必杀技第三章3.3幂函数word版含答案.docx

人教A版（2019）必修第一册必杀技第三章3.3幂函数
一、单选题
1．下列四个结论中，正确的是（ ）
A．幂函数的图象过和两点 B．幂函数的图象不可能出现在第四象限
C．当时，是增函数 D．的图象是一条直线
2．设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当时，
3．幂函数的图象不过原点，则（ ）
A． B． C．或 D．
4．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
5．给出下列命题：①幂函数图象一定不过第四象限；②函数的图象过定点；③是奇函数；④函数有两个零点．其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
6．幂函数的图象过点，那么函数单调递增区间是　　
A． B． C． D．
7．已知函数，，（其中且），在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的大致图像，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．幂函数的图像过点，且，则实数的值为（ ）
A．4或 B． C． D．或2
9．已知幂函数的图像过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数与有相同的定义域，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．若函数是幂函数，且其图像过点，则函数的单调递增区间为
A． B． C． D．
12．已知点（a，）在幂函数f（x）=（a–1）xb的图象上，则函数f（x）是
A．奇函数 B．偶函数
C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数
13．函数在[﹣π，0）∩（0，π]的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
14．已知幂函数的图象经过点，则下列命题中不正确的是（ ）
A．函数图象过点
B．当时，函数取值范围是
C．
D．函数单调减区间为
15．函数的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（ ）
A．8 B．12 C．27 D．
16．若，则，，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
17．已知幂函数 在第一象限的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
18．当时，下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
19．幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），则幂函数y=f（x）的图象是
A． B．
C． D．
20．函数的图像大致为
A． B． C． D．
21．函数（且）的图象恒过定点P，点P又在幂函数的图象上，则的值为（ ）
A．4 B．8 C．9 D．16
22．已知幂函数的图象经过点，则（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
23．已知幂函数的图象经过点.则（　　）
A．的定义域为 B．的值域为
C．是偶函数 D．的单调增区间为
24．已知，则使函数的值域为，且为奇函数的的值为（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
三、填空题
25．已知幂函数①，②，③，④，其中图像关于轴对称的是__________（填写全部正确的编号）
26．已知幂函数的图象经过，则函数_____
27．已知幂函数过点，则的反函数为____
28．已知幂函数在上单调递增，则的值为__________.
四、解答题
29．已知幂函数的图象过(2，).
（1）求m的值与函数的定义域；
（2）已知，求 的值.
30．已知幂函数（m，）为偶函数，且在区间上是单调递增函数.
（1）求函数的解析式；
（2）设函数（），其中a，.若函数仅在处有极值，求实数a的取值范围.
31．已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时，f(x)=x2-4x；
（1）求f(0);
（2）求f(x)的解析式；
（3）求不等式f(x)>x的解集.
32．已知函数为偶函数，且.
（1）求的值，并确定的解析式；
（2）若且）,是否存在实数，使得在区间上为减函数.
试卷第页，共页
试卷第页，共页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据幂函数的图象与性质，对选项逐一分析即可.
【详解】
幂函数的图象都过点，但不一定过点，所以A错；
因为当时，，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，即B对；
当时，不一定是增函数，如在上单调递减，所以C错；
的图象是一条去掉一点的直线，所以D错.
故选：B
【点睛】
本题主要考查幂函数的图象与性质，属于基础题.
2．B
【解析】
【详解】
令,可得．
设
根据题意与直线只有两个交点，
不妨设，结合图形可知，当时如右图，
与左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点，
根据对称性可得，即，此时，
，
同理可得，当时如左图，，
故选：B．
【点睛】
本题从最常见了两类函数出发进行了巧妙组合，考查数形结合思想、分类讨论思想，函数与方程思想等，难度较大，不易入手,具有很强的区分度.
3．B
【解析】
【分析】
根据幂函数的性质求参数.
【详解】
是幂函数
，解得或
或
幂函数的图象不过原点
，即
故选：B
4．C
【解析】
【分析】
根据函数的定义域与值域，求出集合A与集合B，进而求出.
【详解】
解：，，
.
故选：C.
5．D
【解析】
【分析】
根据幂函数的性质判断①；根据指数函数过定点判断②；根据奇偶性的定义判断③；将零点个数转化为交点个数来判断④.
【详解】
根据幂函数的性质可知幂函数图象一定不过第四象限，①正确；
函数，令，得，代入函数得，图象过定点，②正确；
，且的定义域为，是奇函数，③正确；
函数的零点个数，可为与的交点个数，观察图像可得有2个交点，即有两个零点，④正确.
故选：D.
6．B
【解析】
【分析】
根据题意求出函数的解析式，再求的单调递增区间．
【详解】
幂函数的图象过点，
则，解得，
，
的单调递增区间是．
故选B．
【点睛】
本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
7．C
【解析】
【详解】
试题分析：若a>1则三个函数在第一象限都是增函数且过（0,1），过原点，过（1,0）故此时C符合要求,故选C．
考点：指数函数对数函数幂函数的性质．
8．C
【解析】
【分析】
将点代入求出，再由解析式求自变量即可.
【详解】
因为过，所以，，，.
故选：C
9．A
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义，求解幂函数解析式，再代入求值.
【详解】
由题意，幂函数的图像过点，
设，代入，则，则，
故选：A
【点睛】
本题考查幂函数解析式的求法，考查对数运算法则，考查计算能力，属于基础题.
10．A
【解析】
【分析】
因为为指数型函数，定义域为R，由题知应恒成立，再结合判别式求解即可
【详解】
为指数型函数，所以对应定义域为R，故的定义域也为R，即等价于恒成立，即，解得
故答案选：A
【点睛】
本题考查函数定义域的求解，二次函数恒成立问题的转化，是中档题型
11．A
【解析】
【分析】
由幂函数的定义可得，由其图像过点，则，即，
由复合函数的单调性有：的单调递增区间等价于的减区间，
一定要注意对数的真数要大于0，再求单调区间即可.
【详解】
解：因为，
则，即，
又其图像过点，
则，即，
则，
由复合函数的单调性有：的单调递增区间等价于的减区间，
又的减区间为，
故选A.
【点睛】
本题考查了幂函数的定义及复合函数的单调性，重点考查了对数的真数要大于0，属中档题.
12．A
【解析】
【分析】
先根据幂函数的定义得到a-1=1,再根据点（a，）在幂函数f（x）=（a–1）xb的图象上得到b的值，再研究函数的奇偶性和单调性得解.
【详解】
点在幂函数f（x）=（a–1）xb的图象上，∴a–1=1，解得a=2．又点（a，）在幂函数f（x）=（a–1）xb的图象上，∴2b=，解得b=–1，∴f（x）=x–1．∴函数f（x）是定义域上的奇函数，且在每一个区间内是减函数．故选A．
【点睛】
(1) 本题主要考查幂函数的概念和解析式的求法，考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 幂函数在是增函数，，幂函数在是减函数，且以两条坐标轴为渐近线．
13．D
【解析】
【分析】
根据奇偶函数的对称性排除A，再根据对应的函数值符号排除BC即可求解.
【详解】
， ，定义域关于原点对称，、
，
是奇函数，排除A；
当时，，排除C；
当时，，排除B.
故选：D
14．C
【解析】
【分析】
根据题意计算出的值，然后根据幂函数的性质对四个选项进行判断，从而得到答案.
【详解】
因为幂函数的图象经过点，
所以，解得
所以幂函数，
所以函数图像过，故A选项正确，
单调递减，单调递增，
所以当时，函数取值范围是
故B选项正确，
为偶函数，故C选项错误，
在上单调减区，故D选项正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查幂函数的图像和性质，属于简单题.
15．C
【解析】
【分析】
由对数函数性质求出点坐标，从而求得幂函数的解析式，然后计算函数值即可．
【详解】
在中令，即得，∴，
设幂函数解析式为，则，，∴．
∴．
故选：C.
【点睛】
本题考查对数函数的性质，考查幂函数的概念．属于基础题．
16．D
【解析】
直接利用指数函数，对数函数，幂函数的性质求解即可.
【详解】
由，指数函数为减函数，幂函数为增函数，
所以，
又对数函数为减函数，则，
而，则，所以.
综上；
故选：D.
【点睛】
本题考查比较数的大小，考查指数函数，对数函数，幂函数的性质，属于基础题.
17．B
【解析】
取，结合图象得出，最后由指数函数的性质得出大小关系.
【详解】
由图象可知，当时，，则
故选：B
18．B
【解析】
【分析】
利用特值可判断A，利用指数函数、对数函数及幂函数的性质可判断BCD.
【详解】
∵，
∴，
∴显然CD错误，B正确，又时，，故A错误.
故选：B.
19．C
【解析】
【分析】
设出函数的解析式，根据幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），构造方程求出指数的值，再结合函数的解析式研究其性质即可得到图象．
【详解】
设幂函数的解析式为y=xa，
∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），
∴2=4a，
解得a=
∴，其定义域为[0，+∞），且是增函数，
当0＜x＜1时，其图象在直线y=x的上方．对照选项．
故选C．
【点睛】
本题考查的知识点是函数解析式的求解及幂函数图象及其与指数的关系，其中对于已经知道函数类型求解析式的问题，要使用待定系数法．
20．B
【解析】
【详解】
令，可得，即函数有唯一的零点，四个选项中，只有选项符合题意，故选B.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
21．C
【解析】
先求出定点P的坐标，然后代入幂函数中，即可求出幂函数的解析式，进而可以求出的值.
【详解】
∵，令得，
∴，
∴的图象恒过点，
设，把代入得，
∴，∴，∴.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：对于指数型和对数型函数图象恒过定点问题，要熟练掌握指数函数、对数函数恒过定点问题，指数函数恒过定点，对数函数恒过定点，然后对于指数型函数和对数型函数，类比进行即可.
22．C
【解析】
设幂函数的解析式为，代入点，求得的值，即可求解.
【详解】
设幂函数的解析式为，
因为幂函数的图象经过点，可得，解得，
所以该函数的解析式为.
故选：C.
23．ABD
【解析】
先求出幂函数的解析式，再根据解析式判断各项的正误.
【详解】
因为为幂函数，故，所以，故，
故，
所以函数的定义域为，值域为，单调增区间为，
且不是偶函数，
故选：ABD.
24．BD
【解析】
【分析】
对的四个取值逐一分析的值域和奇偶性，由此确定正确选项.
【详解】
当时，，为奇函数，但值域为，不满足条件；
当时，为奇函数，值域为，满足条件；
当时，为偶函数，值域为，不满足条件；
当时，为奇函数，值域为，满足条件.
故选BD.
【点睛】
本小题主要考查幂函数的值域，考查幂函数的奇偶性，属于基础题.
25．②④
【解析】
【分析】
本题可根据函数的定义域以及是否满足判断函数是否关于轴对称.
【详解】
①：，，不关于轴对称；
②：，，满足，关于轴对称；
③：，，不满足，不关于轴对称；
④：，，满足，关于轴对称，
故答案为：②④.
26．2
【解析】
【分析】
设幂函数，将点代入求出，即可求解.
【详解】
设，的图象经过，
.
故答案为:2.
【点睛】
本题考查幂函数的定义以及函数值，属于基础题.
27．（）
【解析】
【分析】
先根据幂函数通过的点求出该幂函数，再求它的反函数即得．
【详解】
设幂函数（为常数），由题得，解得，故.由可得，把x与y互换可得，得的反函数为.
【点睛】
本题考查求幂函数的解析式进而求其反函数，属于基础题．
28．2
【解析】
【分析】
利用幂函数定义求出m值，再借助幂函数单调性即可判断作答.
【详解】
因函数是幂函数，则有，解得或，
当时，函数在上单调递减，不符合题意，
当时，函数在上单调递增，则，
所以的值为2.
故答案为：2
29．（1），；（2）1
【解析】
【分析】
（1）由已知得，可求得函数的解析式和定义域；
（2）设，则，由，得出为奇函数，可求得所求的值.
【详解】
（1）因为幂函数的图象过(2，)，所以，∴，
∴，函数的定义域为.
（2）设，则，
∴
，
∴为奇函数，
∴.
【点睛】
本题考查求幂函数的解析式，幂函数的定义域，函数的奇偶性的应用，属于中档题.
30．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据幂函数的定义、单调性和奇偶性，求得解析式.
（2）求得的解析式，利用导数研究的极值点，由此求得实数的取值范围.
【详解】
（1）因为为幂函数，
所以，
因为在区间上是单调递增函数，
所以即，
解可得，
因为，
所以或或，
当时，为奇函数，不合题意，
当时，符合题意，
当时，为奇函数，不合题意，
故；
（2），，
∵函数仅在处有极值，
∴恒成立，
∴，解可得，.
故a的范围为.
【点睛】
本小题主要考查幂函数的定义，考查函数的单调性、奇偶性，考查利用导数研究函数的极值点，属于中档题.
31．（1）； （2）；（3）或.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）由奇函数定义得，再令x=0，可得f(0)（2）时由奇函数定义，将所求区间转化到已知区间，即得解析式（3）分段列不等式组，最后求两个不等式组的并集
试题解析：(1) f(x)是定义在R上的奇函数 f(0)=0;(2) ,f(x)= (3) f(x)>x ,
32．（1）或,（2）存在;
【解析】
【分析】
（1）根据函数为偶函数,且可知且为偶数,即可求得的值,进而确定的解析式.
（2）将（1）所得函数的解析式代入即可得的解析式.根据复合函数单调性对底数分类讨论,即可求得在区间上为减函数时实数的取值范围.
【详解】
（1）因为
则,解不等式可得
因为
则或或
又因为函数为偶函数
所以为偶数
当时, ,符合题意
当时, ,不符合题意,舍去
当时, ,符合题意
综上可知, 或
此时
（2）存在.理由如下:
由（1）可得
则且
当时,根据对数函数的性质可知对数部分为减函数.根据复合函数单调性判断方法可知, 在上为增函数且满足在上恒成立
即解不等式组得
当时,根据对数函数的性质可知对数部分为增函数.根据复合函数单调性判断方法可知, 在上为减函数且满足在上恒成立
即解不等式组得
综上可知,当或时, 在上为减函数
所以存在实数,满足在上为减函数
【点睛】
本题考查了幂函数的定义及性质,复合函数单调性的判断及应用,分类讨论思想的用法,属于中档题.
试卷第页，共页
试卷第页，共页