人教A版(2019)必修第一册必杀技第五章5.4.1正弦函数、余弦函数的图像
一、单选题
1.已知函数y= 4cosx的定义域为,值域为[a,b],则b-a的值是
A.4 B. C.6 D.
2.下列函数中,图象的一部分如图所示的是
A.
B.
C.
D.
3.下列说法错误的是( )
A.,使
B.,成立
C.,使
D.,成立
4.用“五点法”作的图像时,首先描出的五个点的横坐标是
A. B.
C. D.
5.函数(且)的图象可以是( )
A. B.
C. D.
6.“”是“”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
7.设等差数列的前项和为,若,则
A.1 B. C. D.2
8.已知函数,若方程的解为 (),则=( )
A. B. C. D.
9.设函数 ,且为奇函数,则=
A. B. C. D.
10.函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
11.已知函数下列关于函数的零点个数判断正确的是( )
A.当时,至少有2个零点 B.当时,至多有9个零点
C.当时,至少有4个零点 D.当时,至多有4个零点
12.用五点法画y=sin x,x∈[0,2π]的图像时,下列哪个点不是关键点( )
A. B.
C.(π,0) D.(2π,0)
13.已知,,分别是方程,,的实数解,则
A. B.
C. D.
14.已知函数是上的偶函数,是的奇函数,且,则的值为( )
A. B. C. D.
15.若方程在 内有解,则的图象可能是( )
A. B.
C. D.
16.函数的图象如图所示,为了得到的图象,只需将的图象( )
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
二、多选题
17.设函数,已知在有且仅有个零点,下述结论正确的是( )
A.在有且仅有个极大值点
B.在有且仅有个极小值点
C.在
D.在单调递增
18.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度后,得到函数的图象,则下列结论中正确的有( )
A.函数的最大值为2 B.函数的图象关于点对称
C.函数是偶函数 D.直线是函数图象的一条对称轴
三、填空题
19.方程的解的个数为_____________
20.已知,则θ所在象限为第___________象限.
21.已知函数的图象与函数的图象相邻的三个交点分别是、、,则的面积为________.
22.已知函数,若在区间上方程只有一个解,则实数的取值范围为______.
23.设,且,则的取值范围为_________.
24.函数的图象与函数图象的所有交点的横坐标之和为___________.
25.若函数f(x)=2(m+1)x2-1与函数g(x)=4mx-2m有两个交点,则m的取值范围是________.
四、解答题
26.已知函数的图像向右平移个单位长度得到的图像, 图像关于原点对称,的相邻两条对称轴的距离是.
(1)求的解析式,并求其在上的增区间;
(2)若在上有两解,求实数的取值范围.
27.(1)不用计算机和图形计算器,画出函数的简图;
(2)根据函数的简图,写出(1)中函数的减区间.
试卷第1页,共3页
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参考答案
1.C
【分析】
根据定义域,结合余弦函数的图像,即可求得值域,进而求得b-a的值.
【详解】
当定义域为时,函数y=cosx的值域结合图像可知为
所以y= 4cosx的值域为
所以b-a=6
所以选C
【点睛】
本题考查了三角函数图像及其简单的性质,属于基础题.
2.A
【详解】
试题分析:设,根据函数的最大值,得到,函数的周期,所以,,当时,,解得,所以,若要设,那么时,,解得,那么,故选A.
考点:的图像
【易错点睛】考察了的图像,属于基础题型,本题中的振幅,周期都好求,就是容易求出,函数与X轴的一个交点是,会错写成,当时,这样求得的,注意是函数与x轴的交点,是减区间的交点,所以此时代入,这时本题容易出错的一个地方.
3.D
【分析】
当时,代入检验,可判断A的正误;利用两角和差的正弦公式,化简整理,可判断B的正误;当时,代入检验,可判断C的正误;令,代入检验,可判断D的正误,即可得答案.
【详解】
对于A:当时,,,
所以,使,故A正确;
对于B:因为
,
所以,成立,故B正确;
对于C:当时,,,
所以,使,故C正确;
对于D:取,则 ,
,此时,故D错误.
故选:D
4.A
【分析】
根据五点作图法,确定首先描出的五个点的横坐标.
【详解】
由五点作图法可知,首先描出的五个点的横坐标为:,,,,.
故选A.
【点睛】
本小题主要考查五点作图法横坐标的选取,属于基础题.
5.C
【分析】
由函数的奇偶性的定义求得函数为奇函数,排除A、B,再结合,即可求解.
【详解】
由题意,函数定义域为关于原地对称,
可得,
所以函数为奇函数,图象关于原点对称,排除A、B;
又由,所以选项D不符合题意.
故选:C.
6.A
【分析】
用定义法,分充分性和必要性分别讨论即可.
【详解】
因为当时,都有,所以充分性满足;
反之,若,取,则或,都不在内,故必要性不满足.
所以“”是“”的充分非必要条件.
故选:A
7.B
【分析】
由可得,根据余弦的二倍角公式,可得原式,
由,根据余弦函数的性质,可知,从而可求出的值.
【详解】
解: ,则.设
因为对称中心为,且,
所以,即原式.
故选:B.
【点睛】
本题考查了等差中项,考查了等差数列的求和公式,考查了余弦函数的性质,考查了二倍角公式.本题的难点是将所求式子进行变形.
8.C
【分析】
由已知可得,结合x1<x2求出x1的范围,再由求解即可.
【详解】
因为0<x,∴,
又因为方程的解为x1,x2(0<x1<x2<π),
∴,∴,
∴,
因为,∴0<x1,
∴,
∴由,得,
∴,故=
故选C.
【点睛】
本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质,属中档题.
9.D
【详解】
设,则,由奇函数的性质有:
,
则.
本题选择D选项.
10.A
【分析】
利用排除法,先判断函数的奇偶性,再取特殊值可得答案
【详解】
解:函数的定义域为,
因为,
所以为奇函数,所以其图像关于原点对称,所以排除B,D,
因为 ,所以排除C,
故选:A
11.B
【分析】
画出的图像,再分,两种情况分析复合函数的零点个数即可.
【详解】
先分析,,令,故在
处取最大值2.
①当时:
要取得最少的零点个数,则,此时.此时函数图像如图.
故有,故,由图得零点个数为1.故A错误.
要取得最多的零点个数,则此时,此时.如图
故有,所以,,.
当时, 有一根, ,均有4根,一共有9个零点.
此时即在区间上有两根.
故 .求解得.故B正确.
②当时,函数为增函数,画出图像有
令有,,其中,由图知,故.故有2个零点, 有一个零点.故一共有3个零点.
所以C,D错误.
【点睛】
本题主要考查了数形结合解决复合函数的零点个数的问题,一般方法是画出图像再分析内层函数的函数值,再当成函数值求零点个数.属于难题.
12.A
【分析】
根据五点法作图选取的关键点,即可容易判断.
【详解】
用五点法画的图象,五个关键点分别为:
,
故不是关键点的是:.
故选:.
【点睛】
本题考查用五点法绘制正弦函数图象的细节,属简单题.
13.B
【分析】
将函数,,,画在同一坐标系中,可知图像的交点就是方程的根.
【详解】
根据题干要求得到,在同一坐标系中画出函数,,,四个函数图像,如下图:
方程的根就是两个图像的交点,根据图像可得到:.
故答案为B.
【点睛】
这个题目考查了方程的根的大小的判断,函数的零点和方程的根和图像的交点可以互相转化.
14.B
【分析】
根据函数的奇偶性及题设中关于与关系,转换成关于的关系式,通过变形求解出的周期,进而算出.
【详解】
为上的奇函数,
,
而函数是上的偶函数,,
,
故为周期函数,且周期为
故选:B
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性,函数的周期性的应用,属于基础题.
15.D
【分析】
方程在内有解,转化为函数的图象和直线在上有交点,结合选项中的图象逐一判断即可.
【详解】
根据方程在内有解,转化为函数的图象和直线在上有交点.
:与直线的交点是,不符合题意,故不正确;
:与直线无交点,不符合题意,故不正确;
:与直线在区间上有交点,不符合题意,故不正确;
:与直线在上有交点,故正确.故选D.
【点睛】
函数零点的几种等价形式:函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.
16.A
【分析】
首先根据函数的图象得到,再根据三角函数的平移变换即可得到答案.
【详解】
由题知:,所以,解得.
,
所以,,解得,.
又因为,所以,.
因为,所以只需将的图象向右平移个单位长度.
故选:A
17.BC
【分析】
根据已知求出的范围,然后再结合的图象判断其余选项是否正确.
【详解】
如图是的部分图象,
由于,,而在有且仅有6个零点,
所以应处在第6与第7个零点之间,即,
解得,C正确;
因此满足的一定是在上的最大值点,共3个,
当时,也可以取得最大值,最多可有4个最大值,故A错误;
满足的显然是在上的最小值点,故B正确;
当时,由,由,所以的单调性不确定,D错误.
故选:BC.
【点睛】
结合参数取值范围,整体法结合三角函数图像判断极值情况,单调区间情况.
18.AC
【分析】
先根据平移伸缩表示出函数的解析式,再根据图像性质判断选项即可.
【详解】
由题意得,
所以的最大值为2,为偶函数,
的图像关于点对称,关于直线对称,
故B和D错误,A和C正确.
故选:AC.
【点睛】
根据三角函数解析式求解性质时,可以用整体代换来进行处理,也可以作图处理.
19.4个
【分析】
方程的解的个数转化为函数与函数的图象的交点的个数,数形结合即可判断.
【详解】
作出函数与函数的图象:
由图象可知有4个交点,故方程的解的个数为4.
故答案为:4个.
20.一或三
【分析】
利用指数函数的单调性得到,再根据三角函数的性质得到的范围,进而利用不等式的基本性质得到所在的象限.
【详解】
解:
,
,
.
为第一或第三象限的角.
故答案为:一或三.
【点睛】
本题主要考查正弦函数的性质,涉及指数函数的单调性.
一般地,解形如,,),,,的不等式时,都是将 看做一个整体,利用正弦,余弦正切函数的图像求解(其中是特殊角的相应三角函数值可以直接写出不等式的解集).
另外对于的情况,也可以根据任意角三角函数在各个象限内的符号进行判定.
21.
【分析】
设、、是两个函数图象在轴右边且靠近轴的三个交点,求出这三个点的坐标,即可计算出的面积.
【详解】
设、、是两个函数图象在轴右边且靠近轴的三个交点,
设点、、,令,得,
得,解得.
由于、、是两个函数图象在轴右边且靠近轴的三个交点,
则,,,可得、、,
因此,的面积为.
故答案为:.
【点睛】
本题考查三角函数图象交点坐标的计算,同时也涉及了三角形面积的计算,求出交点坐标是关键,考查计算能力,属于中等题.
22.或
【分析】
由题意变量分离,此题可转为函数与函数的图像在区间上有且仅有一个交点. 在同一平面直角坐标系中画出两个函数图像分析可得答案.
【详解】
当时,由,得,即;
当时,由,得,即.
令函数,则问题转化为函数与函数的图像在区间上有且仅有一个交点.
在同一平面直角坐标系中画出函数与在区间函数上的大致图象如下图所示:
结合图象可知:当,即时,两个函数的图象只有一个交点;
当时,两个函数的图象也只有一个交点,所求实数的取值范围是或.
故答案为:或
【点睛】
已知方程的解的个数求参数的取值范围时,要根据方程的特点去判断零点的分布情况(特别是对于分段函数对应的方程),也可以参变分离,把方程的解的问题归结为不同函数的交点的个数问题.
23.
【分析】
根据题意可得:,作出函数和在上的图像,结合图像即可得到满足条件的的取值范围.
【详解】
由题意可知,即,在同一坐标系中画出与的图象.如图所示,
所以当时,观察图象得.
故答案为
【点睛】
本题考查三角函数的不等式,考查三角函数的符号和三角函数的图像与性质等知识,属于基础题.
24.-7
【分析】
由函数解析式可得两函数图象均关于点(﹣1,0)对称,进而探讨函数的单调性,然后画出图象的大致形状,即可求得两图象所有交点的横坐标之和.
【详解】
易知函数的图象关于点(﹣1,0)对称,
设函数图象上任意一点为,则它关于(-1,0)的对称点为,将其代入的解析式得:,
即,于是函数关于点(-1,0)对称.
又,
所以时,,单调递减,时,,单调递增,时,,单调递减.
于是x=-2时,的极小值为,
而,
x=0时,的极大值为,
而.
现作出两个函数的大致图象,如图:
于是得到图象交点横坐标之和为:﹣1+(﹣2)×3=﹣7.
故答案为:-7.
【点睛】
本题在函数的对称性的应用类题型中非常典型,首先要对函数的大致图象要有所把握(在草稿纸上分析),进而找出函数的对称点或对称轴(大题需说明理由),然后讨论函数的单调性;需要注意的是在本题中在[-2,0]这个区间上(即函数两个极值点之间),两个函数都是单调递增,这里有一个函数增加快慢的问题,如果把函数的图象画得太靠近x轴,最后会影响两个函数图象交点的个数,这个时候往往代特值比较两个函数的函数值大小进行解决.
25.m<1且m≠-1
【分析】
根据两个函数图象有两个交点转化成方程有两个不等实数根,结合一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可.
【详解】
由条件得方程2(m+1)x2-1=4mx-2m有两个不等的实数根,
即2(m+1)x2-4mx+2m-1=0有两个不等的实数根,
因此有16m2-8(m+1)(2m-1)>0且m+1≠0,
解得m<1,且m≠-1.
故答案为:m<1且m≠-1
【点睛】
本题考查了已知两个函数图象的交点个数求参数取值范围问题,考查了转化思想,考查了数学运算能力.
26.(1),;(2).
【分析】
(1)根据平移变换得到图像,再结合函数的性质可得的解析式,令,可得结果
(2)令,问题等价于在上有两解,数形结合得到结果.
【详解】
解:由的相邻两条对称轴的距离是,则,
函数的图像关于原点对称,,所以
(1)由, 得,
令得,得
在增区间是;
令,则所以
若有两解,即在上有两解,
由的图象可得,,即
的取值范围是
27.(1)答案见解析;(2)().
【分析】
(1)利用五点作图法,列表、描点连线画出的图象;
(2)由的简图写出的单调减区间.
【详解】
解:(1)列表如下:
0
0 3 0 0
描点连线得的图象如图所示,
(2)由的简图知,的单调减区间为().
答案第1页,共2页
答案第1页,共2页