人教A版（2019）必修第一册必杀技第五章5.5.1课时1两角和和与差的正弦、余弦和正切公式word版含答案.docx

人教A版（2019）必修第一册必杀技第五章5.5.1课时1两角和和与差的正弦、余弦和正切公式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．cos 80°·cos 35°＋sin 80°·cos 55°的值是(　　)
A． B．－ C． D．
2．的值为
A．0 B． C．1 D．2
3．已知，，，是第三象限角，则的值是
A． B． C． D．
4．若，则
A． B． C． D．
5．在中，，则
A．或 B．或 C． D．
6．已知，且，则
A． B． C． D．
7．已知，是方程的两根，若，则（ ）
A． B．或
C．或 D．
8．对任意的锐角，下列不等关系中一定成立的是
A． B．
C． D．
9．在中，已知，那么一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
10．已知函数，则函数是
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
11．若，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
12．若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．在中，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
14．若，，则的值为
A． B． C． D．1
15．的化简结果是
A． B．
C． D．
16．的值是
A． B． C． D．
17．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
18．若，均为锐角，，，则（ ）
A． B． C．或 D．
19．已知在中，，则角的大小为(　　)
A． B． C．或 D．或
20．若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
21．（多选）下面各式中，正确的是
A． B．
C． D．
三、填空题
22．______.
23．______.
24．______.
25．已知，求________．
26．已知则的值是__________．
27．已知，均为锐角，且，，则的值为__________．
28．已知，，，则的值为______.
29．若，，其中，，则的值为______.
30．若方程的两个根分别是，则______.
31．已知，，则_________.
32．已知，且，则______.
四、双空题
33．函数的最大值为______，最小值为______.
五、解答题
34．不用计算器，求值：．
35．计算：
（1）；
（2）.
36．已知，求的值.
37．已知cosα，sin（α﹣β），且α、β∈（0，）．求：
（Ⅰ）cos（2α﹣β）的值；
（Ⅱ）β的值．
38．是否存在锐角，使得：，同时成立？若存在，求出锐角的值；若不存在，说明理由.
试卷第页，共页
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参考答案：
1．A
【解析】
【详解】
cos 80°·cos 35°＋sin 80°·cos 55°＝cos 80°·cos 35°＋sin 80°·sin 35°＝cos(80°－35°)＝cos 45°＝.故选A
2．A
【解析】
【分析】
直接利用两角和的正弦展开公式求解即可.
【详解】
原式
故选A.
【点睛】
本题主要考查了两角和的正弦展开公式，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键，属于基础题.
3．A
【解析】
【分析】
由，利用同角三角函数关系求三角函数值代入求解即可.
【详解】
因为，所以，
因为是第三象限角，所以，
所以
【点睛】
本题主要考查了两角差的余弦展开及同角三角函数的基本关系，解题的关键是由角所在象限确定三角函数值的正负，属于基础题.
4．A
【解析】
【分析】
直接平方打开，利用两角差的余弦展开逆用求解即可.
【详解】
原式
【点睛】
本题主要考查了两角差的余弦展开及同角三角函数的基本关系，解题的关键利用化简求值，属于基础题.
5．D
【解析】
【详解】
试题分析：,由可得.若为钝角，则，此时,不合题意，所以，,故选D.
考点：同角三角函数基本关系及两角和的余弦.
6．D
【解析】
【详解】
由，可得：，又，∴，
则.
故选D
7．D
【解析】
【分析】
先用根与系数的关系可得＋＝，＝4，从而可得＜0，＜0，进而，所以，然后求的值，从而可求出的值
【详解】
由题意得＋＝，＝4，
所以＜0，＜0，
又，故，
所以.
又.
所以.
故选：D
【点睛】
此题考查已知三角函数值求角，考查韦达定理的应用，属于基础题
8．C
【解析】
【分析】
利用三角函数的两角和公式展开，结合锐角的范围，利用三角函数的范围可判断.
【详解】
为任意锐角，在上余弦函数是减函数，显然，
，
，所以C一定成立.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了两角和公式的应用，利用三角函数的有界性是解题的关键，属于中档题.
9．B
【解析】
【分析】
利用正弦定理和余弦定理将已知的式子转化为边的形式，然后化简可得答案
【详解】
因为，，
所以，
所以由正余弦定理得，化简得，
因为
所以，
所以为等腰三角形，
故选：B
10．B
【解析】
【分析】
函数化简可得，再利用可得结论.
【详解】
因为函数的定义域为R，且
，所以任取,
，故函数为偶函数.
故选B.
【点睛】
本题主要考查了两角和的余弦展开公式的逆用，属于基础题.
11．A
【解析】
【分析】
根据题意得再由，从而可得的范围.
【详解】
，
，，
.
故选A.
【点睛】
本题主要考查了函数与方程的思想，首先通过参变分离，将参数的范围问题转化为求函数的值域问题，本题中解题的关键再由结合三角函数的范围可得参数的范围，属于基础题.
12．C
【解析】
【详解】
,
所以 原式
，
故选C.
点睛：三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用.
本题主要考查两角和与差的公式.
13．B
【解析】
由两角和的正切公式求出，再根据三角形内角和定理及诱导公式求出，从而得解；
【详解】
解：由，得，
∴，∵.∴.
又，∴.
故选：B.
【点睛】
本题考查两角和的正切公式及诱导公式的应用，属于基础题.
14．B
【解析】
【分析】
将条件中的两式平方相加可得解.
【详解】
由题意知
，得
故选B.
【点睛】
本题主要考查了两角差的余弦展开，利用是解题的关键，属于基础题.
15．A
【解析】
【分析】
先整理，再由两角和正弦的展开式逆用可得解.
【详解】
故选A.
【点睛】
本题主要考查了辅助角公式的应用，涉及诱导公式的化简，属于基础题.
16．A
【解析】
【分析】
由展开化简可得解.
【详解】
，
，
，
故选A.
【点睛】
本题主要考查了两角和的正切展开，凑出是解题的关键，属于基础题.
17．A
【解析】
【分析】
利用两角和的正弦公式以及辅助角公式化简即可得结果.
【详解】
，
所以，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了三角函数式的化简，熟练掌握公式是解题的关键，属于基础题.
18．B
【解析】
【分析】
首先判断的范围，再表示为，利用两角差的余弦公式求解.
【详解】
因为，均为锐角，若是锐角，那么，则，这与已知矛盾，所以是钝角，则
，
.
故选：B
【点睛】
本题考查已知三角函数求值，重点考查角的转化，属于基础题型，本题的易错点是忽略判断的范围，而造成增根情况.
19．A
【解析】
【详解】
由，两式平方和得9＋16＋24sin(A＋B)＝37，
因而.
在△ABC中，sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝，因而C＝或，
又3cosA＋4sinB＝1化为4sinB＝1－3cosA>0，所以cosA<<，则A>，故C＝，
故选A.
20．C
【解析】
【分析】
由于，所以先由已知条件求出，的值，从而可求出答案
【详解】
，
因为，，
所以，，
因为，，
所以，，
则．
故选：C
【点睛】
此题考查同角三角函数的关系的应用，考查两角差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
21．ABC
【解析】
【分析】
根据两角和与差的正弦公式，直接化简，即可求出结果.
【详解】
∵，∴A正确；
∵，∴B正确；
∵，∴C正确；
∵，∴D不正确.
故选ABC
【点睛】
本题主要考查两角和与差的化简，熟记公式即可，属于常考题型.
22．
【解析】
【分析】
根据，化简整理，即可得出结果.
【详解】
因为，
所以，
∴原式.
故答案为
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，熟记两角和与差的正切公式即可，属于常考题型.
23．
【解析】
【分析】
由诱导公式及两角差的余弦展开可得解.
【详解】
原式.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的诱导公式及两角差的余弦展开，属于基础题.
24．
【解析】
【分析】
观察角之间的特殊关系：，，运用两角差的余弦公式和诱导公式可得解.
【详解】
原式
.
故填：.
【点睛】
本题考查两角差的余弦公式和诱导公式，关键在于观察出题目的角之间的特殊关系，属于中档题.
25．
【解析】
【分析】
由条件利用同角三角函数的基本关系求得和的值，再利用两角和差的三角公式求得的值．
【详解】
∵ ，
∴ ，，，
∴ ，．
∴
故答案为：
26．
【解析】
【分析】
由已知等式可得，利用诱导公式以及两角和的正弦公式可得，从而可得结果.
【详解】
因为，
所以，
，
故答案为.
【点睛】
三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围确定角．
27．.
【解析】
【详解】
分析：由已知及同角三角函数关系式可求cosα，sinβ，由两角和与差的余弦函数公式即可求sin（α﹣β）的值，结合α﹣β的范围即可得解．
详解：∵α，β均为锐角，sinα=，cosβ=，
∴cosα==，sinβ==，
∴sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=，
∵﹣＜α﹣β<，
∴可解得：.
故答案为.
点睛：本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式的应用，考查了同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．
28．
【解析】
【分析】
将题中两方程平方相加，可得，结合角的范围可得解.
【详解】
由已知，得.
两式分别平方相加，得.
，，.
，，.
【点睛】
本题主要考查了两角差的余弦展开及同角三角函数的基本关系，解题的关键利用化简求值，属于基础题.
29．
【解析】
【分析】
由，利用两角和的余弦展开，结合条件，由同角函数关系求三角函数值代入求解即可.
【详解】
，，，
，，
.
又，
故答案为.
【点睛】
本题主要考查了给值求角问题，解题的关键是利用求得三角函数值，进而由角的范围可得解，属于中档题.
30．
【解析】
【分析】
利用韦达定理可得，进而化简式子得，进而可得解.
【详解】
由题意知.所以
【点睛】
本题主要考查了三角函数的两角和公式的逆用，属于基础题.
31．
【解析】
【分析】
因为，所以可利用三角恒等变换求的正切值
【详解】
.
考点：三角函数的恒等变换.
32．
【解析】
【分析】
利用将条件整理可得从而可得解.
【详解】
，
，
【点睛】
本题主要考查了三角函数的两角和差的展开公式，解题的关键是配凑出“”，属于难题.
33． 1 －1
【解析】
【分析】
根据两角和与差的正弦公式，化简函数，即可得出结果.
【详解】
因为
，
所以函数的最大值为1，最小值为－1.
故答案为(1). 1 (2). －1
【点睛】
本题主要考查三角函数的最值问题，熟记两角和与差的正弦公式即可，属于常考题型.
34．
【解析】
【分析】
利用和差公式化简得到原式为，再利用和差公式得到答案.
【详解】
【点睛】
本题考查了和差公式，意在考查学生的计算能力.
35．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用展开代入求解即可；
（2）由，变形化简可得解.
【详解】
（1）
（2）由，可得，即
.【点睛】本题主要考查了三角函数的两角和的展开公式，牢记公式是解题的关键，属于基础题.
36．
【解析】
【分析】
由题可求得，，由差的余弦公式求得，即可得出所求.
【详解】
，，
，，
，，
，，
，
，
.
故答案为：.
37．（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由α，β的范围求出α﹣β的范围，由题意和平方关系求出sinα和cos（α﹣β），由两角和的余弦公式求出cos（2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]的值；
（Ⅱ）由两角差的余弦公式求出cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]的值，再由β的范围求出β的值．
【详解】
（Ⅰ）∵，∴α﹣β∈（，），
∵，，
∴sinα，cos（α﹣β），
∴cos（2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]＝cos（α﹣β）cosα﹣sin（α﹣β）sinα
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosα cos（α﹣β）+ sinα sin（α﹣β）
，
又∵，∴β．
【点睛】
关键点点睛：拆角，是本题解题关键.
38．存在，
【解析】
【分析】
利用两角和的正切公式可得，结合可求及，求出后可得的值.
【详解】
假设存在锐角使得，
同时成立.
得，所以.
又因为，所以.
因此可以看成是方程的两个根.
解该方程得.
若，则.这与为锐角矛盾.
所以，
故，因为为锐角，
所以.
所以满足条件的存在，且.
【点睛】
三角方程的求解的基本方法是消元法，也可以利用三角变换公式把三角方程化简为角的三角函数的方程，求出它们的值后可得角的大小，化简三角方程时要关注三角方程的结构形式便于找到合理的三角变换方法.
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