人教A版（2019）必修第一册必杀技第五章5.7三角函数的应用word版含答案.docx

人教A版（2019）必修第一册必杀技第五章5.7三角函数的应用
一、单选题
1．若函数，则函数的定义域为
A． B． C． D．
2．函数是
A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
3．某旅游区每年各个月接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而一年中的第月的从事旅游服务工作的人数可以近似用函数来刻画（其中正整数表示一年中的月份）.当该地区从事旅游服务工作人数在5500或5500以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么一年中是“旺季”的月份总数有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
4．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于
A． B．
C． D．
5．设是某港口水的深度（米）关于时间（时）的函数，其中，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间与水深的关系：
经长期观察，函数的图像可以近似地看成函数的图像．下面的函数中，最能接近表示表中数据间对应关系的函数是
A． B．
C． D．
6．如图，某公园内有一个半圆形湖面，为圆心，半径为1千米，现规划在半圆弧岸边上取点，，，满足，在扇形和四边形区域内种植荷花，在扇形区域内修建水上项目，并在湖面上修建栈道，作为观光路线，则当取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的一条对称轴方程为，则函数的单调递增区间为
A．， B．，
C．， D．，
8．函数在区间上的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
9．甲、乙两人准备在一段长为的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为和，起跑前乙在起点，甲在乙前面处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙之间的距离与时间的函数图像是
A． B．
C． D．
10．已知函数，若，则上具有单调性，那么的取值共有
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
11．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当时，（ ）
A．6 B． C． D．
12．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
13．摩天轮是一种大型转轮状的机械建设设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周的景色.如图，某摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，从此时开始计时，游客距离地面的高度H(单位：)关于时间t(单位：)的函数为.已知在距离地面超过90的高度，游客可以观看到游乐场全景，那么从游客进舱开始，在摩天轮转动一圈的过程中，他可以观看到游乐场全景时，t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、双空题
14．已知函数，某同学描点绘制函数在区间上的草图，部分列表如下：
……
则______；函数的单调递增区间是_________.
三、填空题
15．已知余弦函数过点，则的值为__________．
16．已知函数的导函数为，者，满足的实数的最大值为，则___________.
17．若函数，则函数的零点个数是________.
18．在等比数列中，，则__________．
19．如图1，动点在以为圆心，半径为1米的圆周上运动，从最低点开始计时，用时4分钟逆时针匀速旋转一圈后停止.设点的纵坐标（米）关于时间（分）的函数为，则该函数的图像大致为________.（请注明关键点）
20．若指数函数的图象过点（3，8），则__________.
21．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象的一条对称轴是直线x＝，且与之相邻的一个对称中心是（，0），则f（x）＝_____.
22．据气象部门报道，台风“天秤”此时中心位于地，并以千米每小时的速度向北偏西的方向移动，假设距中心千米以内的区域都将受到台风影响.已知地在地的正西方向，地在地的正西方向，若小时后，两地均恰好受台风影响，则的取值范围是__________．
四、解答题
23．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若x∈[，]，求函数f（x）的值域．
24．已知函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.
（1）求的解析式和周期.
（2）当时，求的值域.
25．已知有半径为，圆心角为（其中为给定的锐角）的扇形铁皮，现利用这块铁皮并根据下列方案之一，裁剪出一个矩形.
方案1：如图1，裁剪出的矩形的顶点，在线段上，点在弧上，点在线段上；
方案2：如图2，裁剪出的矩形的顶点，分别在线段，上，顶点，在弧上，并且满足，其中点为弧的中点.
（1）按照方案1裁剪，设，用表示矩形的面积，并求出其最大面积；
（2）按照方案2裁剪，求矩形的最大面积，并与（1）中的结果比较后指出按哪种方案可以裁剪出面积最大的矩形.
26．如图，某地一天4~13时的温度（单位：℃）变化曲线近似满足函数
（1）分别求出A，b，，的值；
（2）估计该地当天7时、10时温度的大小．
27．已知函数．
（1）若角的顶点在坐标原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆（圆心为坐标原点O）交于点，求的值；
（2）当时，求函数的值域．
28．某景区拟将一半径为的半圆形绿地改建为等腰梯形(如图，其中为圆心，点在半圆上)的放养观赏鱼的鱼池，周围四边建成观鱼长廊（宽度忽略不计）.设，鱼池面积为(单位：).
（1）求S关于的函数表达式，并求鱼池面积何时最大；
（2）已知鱼池造价为每平方米2000元，长廊造价为每米3000元，问此次改建的最高造价不超过多少？（取计算）
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．B
【解析】试题分析：函数的定义域即为不等式的解集， ，
解得；
考点：函数的定义域；
2．A
【详解】
因为
所以函数是周期为的奇函数，选A.
3．B
【分析】
令，解出的范围即可得出.
【详解】
令，
则，
则，
解得，
，，
是正整数，共5个.
故选：B.
4．A
【分析】
由题意画出图形，由两角差的正切求出的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到和的长度，作差后可得答案．
【详解】
如图，，
∵.
在中，又，
∴.
在中，，，
∴.
∴.
∴河流的宽度等于．
故选A．
【点睛】
本题给出实际应用问题，求河流在、两地的宽度，着重考查了三角函数的定义，属于中档题．
5．A
【详解】
利用特殊值考查所给的函数解析式，当时：
15 ，符合题中的结果；
，不符合题中的结果，排除B选项；
，不符合题中的结果，排除C选项；
，不符合题中的结果，排除D选项；
利用排除法可知，只有A选项符合题意.
本题选择A选项.
6．B
【分析】
设，则，由余弦定理可表示出，则，即可得出结果.
【详解】
设，则，
在中，由余弦定理得
，
在中，由余弦定理得
，
又，所以当时，有最大值.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了三角函数的应用，余弦定理，三角函数的最值求解，考查了学生的应用意识与运算求解能力.
7．A
【详解】
由可得，所以，又函数的一条对称轴方程为，所以得，所以，令解得的单调递增区间为
点睛：要明确三角函数对称轴处一定使函数取得最大值或最小值，从而求出，然后根据三角函数单调性求法即可得出结论
8．B
【分析】
可分析得函数f(x)为奇函数，图像关于原点对称，排除A,C；再当时，，故排除D，即可得解.
【详解】
函数定义域关于原点对称，且
则f(x)为奇函数，图像关于原点对称，排除A,C
当时，，故排除D
故选：B
【点睛】
本题考查了借助函数性质判断函数图像，考查了学生综合分析，数形结合的能力，属于中档题.
9．C
【分析】
设时，甲、乙两人距离起点分别是和，得到，的函数关系式，由函数解析式求出甲乙达到终点的时间以及相遇时间，从而判断图像．
【详解】
设时，甲、乙两人距离起点分别是和，则，，它们到达终点所需时间分别为和，
经过，乙先到达终点.
令，则，即经过乙追上甲，此时两人间的距离为0.
结合选项图像可知，C正确.
【点睛】
本题考查的是函数图像与实际结合的问题，需要注意相遇时间、全程时间以及最后甲乙的距离这几点，属于基础题．
10．D
【分析】
由，得到，因为在上具有单调性，得到，则，即可得到的个数.
【详解】
因为，所以，
所以，因为在上具有单调性，
所以，所以，所以，所以，
因此，所以的取值共有个，故选D.
【点睛】
本题主要考查正弦函数的周期性与单调性，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力，考查了数形结合思想的应用，属于中档题.
11．A
【分析】
计算，可得的值，将当时，代入结合可得的值，即可得的解析式，由可得点的坐标，即可求解.
【详解】
由题意得：，
，所以，
所以，
当时，，可得，即，
因为，所以，所以，
所以，
当时，，
此时，即点，
所以，
故选：A.
12．A
【分析】
求得函数的定义域，分析函数的奇偶性，结合的值以及排除法可得出合适的选项.
【详解】
对于函数，，得，所以，函数的定义域为.
，函数为奇函数，图象关于原点对称，
排除B、D选项；
又，排除C选项.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用函数的解析式选择图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
13．C
【分析】
根据题意可得，求解三角函数不等式结合的范围，即可得到答案．
【详解】
解：由题意可知，在距离地面超过的高度，游客可以观看到游乐场全景，
所以令，
则，
所以，
解得，，
因为，
所以，
则的取值范围是．
故选：．
14．；
【分析】
根据表格可求得函数的解析式，从而可求的值；然后再利用整体代入法求函数的单调递增区间.
【详解】
因为，，
所以，
又时，；时，，
所以，所以，
所以；
由，得，
所以函数的单调递增区间是.
故答案为：；.
15．
【分析】
将代入余弦函数即可求解.
【详解】
设余弦函数为，
由函数过点可得.
故答案为：.
16．
【分析】
先对函数求导，进而建立不等式，然后通分化简，结合二倍角公式与三角函数的图象和性质求得的最大值为，即可求解.
【详解】
由可得，
由可得，即，
故，故，
由可得，
故，即，
故的最大值为，
故.
故答案为：.
17．5
【分析】
令，所以，作出函数和的图象，即得函数的零点个数.
【详解】
令，
所以，
作出函数和的图象，如图所示，
所以函数的零点个数是5.
故答案为5
【点睛】
本题主要考查函数的零点的个数问题，考查函数图象的作法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18．
【详解】
由题设可得，则，应填答案．
19．
【分析】
根据题意先得出，再画图．
【详解】
解：设，，
，，，
则
当时，处于最低点，则，
，
可画图为：
故答案为
【点睛】
本题考查了三角模型的实际应用，关键是根据题意建立函数模型，属中档题．
20．
【分析】
设指数函数的解析式为（且），由题意函数过代入求出参数的值．
【详解】
设（且），则由得，，，．
故答案为
【点睛】
本题主要考查指数函数解析式和函数值的计算，属于基础题．
21．
【分析】
借助于正弦函数相邻的对称轴和对称中心的距离为四分之一个周期,求出的值,再由五点作图法的对称轴处取得最大值或者最小值,代入横坐标求出值,可得.
【详解】
函数图象的一条对称轴是直线,且与之相邻的一个对称中心是（，0），
所以,又,则,解得,,
又,解得,
,即,
故答案为: .
【点睛】
本题考查三角函数的图象和性质,利用五点作图法来解题是关键,考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题.
22．
【详解】
小时后台风“天秤”中心位于地，则
23．（1）f（x）＝sin（） （2）[，1]
【分析】
(1)根据图像可得最大值,周期,根据最大值和周期可得和,根据五点作图法中的第一个关键点可得;
(2)根据正弦函数的性质可得最大最小值,进一步可得值域.
【详解】
（1）由图象知函数的最大值为1，即A＝1，
3﹣（﹣1）＝4，即周期T＝8，
即8，得ω，
则f（x）＝2sin（x+φ），
由五点对应法得1+φ，得φ，
即f（x）＝sin（）．
（2）若x∈[，]，
则∈[，]，
∴当时，即x时，f（x）最小，最小值为f（），
当时，即x＝1时，f（x）最大，最大值为f（1）＝1，
∴f（x）的值域为[，1]．
【点睛】
本题考查了由图像求解析式,考查了求正弦型函数在指定区间上的值域,属于中档题.
24．（1），周期为；（2）
【分析】
（1）由图象上的最低点，可求.由图象与轴的相邻两个交点之间的距离求出周期，可求，再由最低点求，可得函数的解析式.
（2）利用函数的定义域、图象和单调性求值域.
【详解】
（1）由图象上一个最低点为，可得.
又函数的图象与轴的相邻两个交点之间的距离为，
，.
又图象上的一个最低点为，
，
，
又，.
，周期为.
（2）当时，，
又函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，；
当时，.
故函数的值域为.
【点睛】
本题考查三角函数的图象和性质，属于基础题.
25．（1），最大值为；（2）按方案2得到的矩形的最大面积为，经比较，按方案1可以裁剪出面积最大的矩形，其最大面积为.
【分析】
（1）分别用含有的三角函数表示，写出矩形的面积，利用三角函数求最值；
（2）利用（1）的结论，根据对称性知，矩形的最大面积为，然后利用作差法比较大小即可
【详解】
（1）在图1中，，，，，
，
，
当时，矩形的最大面积为.
（2）在图（2）中，设与边，分别交于点，，则利用（1）的结论，
可以得到矩形的最大面积为，
根据对称性知，矩形的最大面积为.
因为为锐角，所以，于是.
因此，.
故按照方案1可以裁剪出面积最大的矩形，其最大面积为.
26．（1），，，；（2）7时的温度为6℃，10时温度为10℃.
【分析】
（1）由图可得，，求出周期，即可得出，将，代入可得；
（2）将代入解析式可求出.
【详解】
（1）由图可得，则，
可得，即，，
，
当时，，即，则，
，，；
（2）由（1）可得，
当时，，
当时，
所以当天7时的温度为6℃，10时温度为10℃.
27．（1）；（2）.
【分析】
（1）先求得，由此求得的值.
（2）化简解析式，结合三角函数值域的求法，求得当时，函数的值域.
【详解】
（1）角的终边与单位圆交于点
.
（2）
.
，，.
故函数的值域为.
28．（1），；时，（2）27000000
【分析】
（1）结合三角函数的基本概念，表示出等腰梯形的上底下底和高，结合和面积公式和导数即可求解
（2）作，求出，则 ，表示等腰梯形周长为
，进而表示出总造价公式，利用导数研究函数增减性，进而求解
【详解】
如图，，，则等腰梯形面积为
，代入数据可得：，
，当时，，，时，，，故当时，函数取到最大值，
（2）作，得，，等腰梯形周长为：
，结合（1）中面积，可得总造价
化简得：
由（1）知在时单调递增，时单调递减，令
则，令，，当时，，时，，故得出与在上增减性相同，所以在单增，时单减，在时取到最大值：
故总造价不超过27000000元
【点睛】
本题考查三角函数模型在实际生活中的应用，利用导数研究函数最值问题，计算能力，属于常考题
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页