人教A版（2019）必修第一册第一章1.1集合的概念同步练习（Word含解析）

人教A版（2019）必修第一册第一章1.1集合的概念
一、单选题
1．设是一数集，且至少含有两个数，若对任意，都有、、、（除数），则称是一个数域，例如有理数集是数域，数集也是数域，则下列命题：① 整数集是数域；② 若有理数集，则数集必为数域；③ 数域必为无限集；④ 存在无穷多个数域；其中正确的命题的序号（ ）
A．①②④ B．②③④ C．③④ D．②④
2．下列结论中，不正确的是
A．若a∈N，则–a N B．若a∈Z，则a2∈Z
C．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则
3．已知集合，则集合中元素的个数为
A． B．
C． D．
4．下列选项中元素的全体可以组成集合的是（ ）
A．2007年所有的欧盟国家 B．校园中长的高大的树木
C．学校篮球水平较高的学生 D．中国经济发达的城市
5．把集合用列举法表示为
A． B． C． D．
6．已知集合A含有三个元素，且当时，有，则a为（ ）
A．2 B．2或4 C．4 D．2或4或6
7．已知，若集合，则（ ）
A． B． C．1 D．2
二、填空题
8．已知，表示小于的最大整数，，令，则中元素之和为________.
9．某高级中学高三特长班有名学生，其中学绘画的学生人，学音乐的学生人，则同时学绘画和音乐的学生至少有__________人.
10．方程组的解集为_______．
11．已知集合，用列举法表示集合，则__________.
12．把集合用列举法表示出来_______________.
三、解答题
13．（1）已知，求；
（2）已知集合,若，试求实数的值．
14．已知等差数列的公差，数列满足，集合.
（1）若，，求集合；
（2）若，求使得集合恰有两个元素；
（3）若集合恰有三个元素，，T是不超过5的正整数，求T的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列的通项公式及集合.
15．已知集合，集合.判断集合A与集合B的包含关系，并证明你的结论.
16．设正整数,集合，是集合P的3个非空子集,记为所有满足：的有序集合对（A,B,C）的个数.
（1）求；
（2）求.
17．对于一个非空集合A，如果集合D满足如下四个条件：①；②，；③，若且，则；④，若且，则，则称集合D为A的一个偏序关系.
（1）设，判断集合是不是集合A的偏序关系，请你写出一个含有4个元素且是集合A的偏序关系的集合D；
（2）证明：是实数集R的一个偏序关系：
（3）设E为集合A的一个偏序关系，.若存在，使得，，且，若，，一定有，则称c是a和b的交，记为.证明：对A中的两个给定元素a，b，若存在，则一定唯一.
18．集合A是由具备下列性质的函数组成的：①函数的值域是.②，且，都有.
（1）判断函数及是否属于集合A？并简要说明理由；
（2）对于（1）中你认为属于A的函数，试判断是否存在正数m，使函数在区间上的最大值为5.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．C
【分析】
根据题中定义，结合特殊值法逐一判断即可.
【详解】
①例如a=1，b=2，除法为不满足条件，故①不正确；②若M中有一个无理数，如，由于则集合M就不是数域，②不正确；③因为数域中的元素可以任意取两个，进行连续的四则运算，可产生无数个元素，所以数域必为无限集，③正确；④因为任意两个数，即可产生一个数域，故数域有无穷多个，④正确；
故选择：C．
2．A
【解析】
0∈N，且–0∈N（自然数集），所以A不正确；因为整数的平方仍为整数，所以B正确；有理数的绝对值仍是有理数，所以C正确；任何实数的立方根都还是实数，所以D正确．故选A．
3．D
【解析】
由集合C的定义可得： ，集合C中元素的个数为5个.
本题选择D选项.
4．A
【分析】
根据集合元素的确定性进行判断即可.
【详解】
A：因为2007年欧盟国家是确定的，所以本选项符合题意；
B：因为不确定什么样子的树木叫高大的树木，所以本选项不符合题意；
C：因为不确定篮球水平较高是一种什么水平，所以本选项不符合题意；
D：因为不确定经济水平什么样叫发达，所以本选项不符合题意，
故选：A
5．A
【详解】
解方程得，应用列举法表示解集即为
故选A
6．B
【分析】
根据题意，分别取进行验证，即可求解.
【详解】
由题意，当时，则，符合题意；
当时，则，符合题意；
当时，则，不符合题意；
所以的值为或.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了元素与集合的关系，其中解答中熟记元素与集合的关系是解答的关键，属于容易题.
7．B
【分析】
根据集合相等的条件建立关系式即可求出a,b的值，进而可求得的值.
【详解】
∵，又，，
，
当时，，不符合集合元素的互异性，故舍去；
当时，，符合题意.
∴.
故选：B
【点睛】
本题考查集合相等的条件，集合的构成元素，属于基础题.
8．
【分析】
本题首先可根据题意确定集合，然后根据等差数列求和公式即可得出结果.
【详解】
因为，，，
所以集合，
则中元素之和为，
故答案为：.
【点睛】
本题考查求集合中所有元素的和，能否确定集合中包含的元素是解决本题的关键，考查等差数列求和公式，考查推理能力与计算能力，是中档题.
9．
【分析】
设学绘画的学生构成集合，学音乐的学生构成集合，同时学绘画和音乐的学生有人，根据集合间的基本运算可得学音乐或学绘画的人数，使其小于或等于即可求解.
【详解】
设该高级中学高三特长班的名学生构成全集，
学绘画的学生构成集合，学音乐的学生构成集合，
同时学绘画和音乐的学生有人，
则学绘画但不学音乐的学生有人，
学音乐但不学绘画的学生有人，如图所示，
则中的人数是，
又中的人数不大于全集中的人数，则，
解得：，
所以同时学绘画和音乐的学生至少有人，
故答案为：.
10．
【分析】
解方程组得，再根据方程组的解集为点的集合即可得答案
【详解】
解：解方程组得，
故方程组的解集为：
故答案为：
11．
【分析】
根据集合的描述法即可求解.
【详解】
,
故答案为：
12．
【分析】
根据x为自然数及x的范围，即可列出x的所有取值，即可得答案.
【详解】
因为且，
所以x的所有取值为4,5,6，
故答案为：
13．（1）；（2）1或0.
【详解】
试题分析：（1）根据集合交集的定义根据数轴得到；（2）分为，和，结合互异性可得最后结果.
试题解析：（1）
（2）∵，∴①，得，经检验满足题意；②，得，此时，故舍去；③，得（舍去）当满足题意，综合①②③可知，实数a的值为1或0.
14．（1）；（2）或；（3）或4，时，，；时，，
【分析】
（1）根据等差数列的通项公式写出，进而求出，再根据周期性求解；（2）由集合的元素个数，分析数列的周期，进而可求得答案；（3）分别令，2，3，4，5进行验证，判断的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列的通项公式及集合
【详解】
（1）等差数列的公差，，数列满足，
集合．
当，
所以集合，0，．
（2），数列满足，集合恰好有两个元素，如图：
根据三角函数线，
①等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合恰好有两个元素，此时，
②终边落在上，要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于轴对称，如图，，此时，
综上，或者．
（3）①当时，，集合，，，符合题意．
与之相应的一个等差数列的通项公式为，此时.
②当时，，，，或者，
等差数列的公差，，故，，又，2
当时满足条件，此时，1，．
与之相应的一个等差数列的通项公式为，此时
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题．
15．，证明见解析.
【分析】
先判断得到，①对于集合，当时，得到，但；②化简集合，令，得到，即可得证.
【详解】
判断，
证明：①对于集合，当时，，即，
假设,则有，可得，这与矛盾，
所以，但；
②对于集合：集合，
由于，则，令，
可得，
综上所述：
16．（1），（2）
【分析】
（1）通过分析，，分别讨论可得到；
（2）通过分析A共有种不同情形，集合B共有种不同情形，集合C随集合B确定而唯一确定，于是可得通项公式.
【详解】
当时，集合，因为是集合P的3个非空子集，
根据题意，
所以当时，或;
当时，或;
当时，或.
所以.
（2）当A中的元素个数为时，集合A共有种不同情形，集合B共有种不同情形，集合C随集合B确定而唯一确定，所以
.
【点睛】
本题主要考查数列，集合，排列组合的综合运用，意在考查学生的划归能力，分析能力，逻辑推理能力，难度较大.
17．（1）集合不是集合A的偏序关系，，（2）证明见解析； （3）证明见解析.
【分析】
（1）根据条件显然，，但所以不满足条件④由此可判断，写出一个满足这四个条件的集合即可.
（2）依次证明集合满足题目中的四个条件即可.
（3）设为,则，则，，假设还存在一个，使得，则可以得到，，由条件③可得从而得证.
【详解】
（1）由
显然，，但
所以不满足条件④，若且，则
所以集合不是集合A的偏序关系.
集合满足条件①②③④,
所以集合是集合A的偏序关系.
（2）
所以，则满足①
又，所以，，则满足②
由于，则当，若，则，也满足③
由于，，
若则，若，则，所以
所以，所以满足④
所以是实数集R的一个偏序关系
（3）对A中的两个给定元素a，b，若存在，设为
所以，，，
假设还存在一个，使得
则，，，又对于有，，则
由，，，对于，有，，则
由条件③，若且，则可得
所以对A中的两个给定元素a，b，若存在，则一定唯一
【点睛】
关键点睛：本题考查集合中的新定义问题，解答本题的关键是弄清楚定义的意义，特别是③，若且，则，以及的意义，假设还存在一个，使得，则可以得到，，属于难题.
18．
（1）不属于集合A；属于集合A.理由见解析；
（2）.
【分析】
（1）根据函数解析式，判断是否符合给定的函数性质，即知及是否属于集合A.
（2）由题设且在上的最大值为5，根据二次函数的性质可得，即可求m，进而判断存在性.
（1）
对于，即的值域为，
当时，，则，且，有，
∴不属于集合A.
对于，即的值域为，
当时，任意有成立，
∴属于集合A.
（2）
由（1）知：，又，
∴开口向下且对称轴为，，，
∵在上的最大值为5，
∴，且，即，
∴，整理得，可得或，又，
∴存在，使在上的最大值为5.
【点睛】
关键点点睛：第二问，利用二次函数的性质研究在上的最大值为5的情况求参数值.
答案第1页，共2页
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