人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第三章3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大（小）word版含答案

人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第三章3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大（小）
一、单选题
1．若函数是偶函数，则的单调递增区间是．
A． B． C． D．
2．已知函数，若对任意，都有，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象如下图所示，则函数的图象大致是
A． B． C． D．
4．下列函数为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的零点个数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
6．已知是定义在上的函数，根据下列条件，可以断定是增函数的是
　　
A．对任意，都有
B．对任意，都有
C．对任意，且，都有
D．对任意，且，都有
7．定义运算，若函数＝在(－∞，m)上单调递减，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－2，＋∞) B．[－2，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]
8．已知函数，若恰有5个不同的根，则这5个根的和的取值范围为
A． B． C． D．
9．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
10．函数．若存在，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．下列函数中，既是奇函数，在定义域内又是增函数的是
A． B． C． D．
二、填空题
12．定义：若函数图像上的点到定点的最短距离小于3，则称函数是点的近点函数，已知函数在上是增函数，且是点的近点函数，则实数的取值范围是________.
13．设函数的零点为，若则整数 ___________.
14．函数的减区间是_______________.
15．已知函数（）的图象如图所示．根据图象写成的单调递减区间为_____________．
16．设直线与曲线有三个不同的交点，且，则直线的方程为 ________.
17．函数的单调递增区间是_____．
18．若不等式对满足的一切实数都成立，则的取值范围是___________
19．设函数，区间，集合，则使得的实数对有____________对
20．定义在R上的函数f（x）满足：f（2）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（log2x）＞ 的解集为 ．
21．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程恰好有个不同的实数根，那么的值为___________.
22．若函数的定义域为，且为增函数，，则a的取值范围是________.
23．已知函数（），则的最大值为__________．
24．设函数=，若函数f(x)-a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_______．
三、解答题
25．已知函数对任意实数均有，其中常数为负数，且在区间上有表达式.
(1)写出在上的表达式，并写出函数在上的单调区间(不用过程，直接写出即可)；
(2)求出在上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.
26．设是实数，函数．
（1）求证：函数不是奇函数；
（2）当时，解关于的不等式；
（3）求函数的值域（用表示）．
27．已知，函数．
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）求函数的零点个数．
28．某公司将进一批单价为8元的商品，若按10元/个销售，每天可卖出100个；假设销售价每上涨1元/个，每天的销售量就减少10个.
（1）设商品的销售价上涨x元/个（，），每天的利润为y元，试用列表法表示函数；
（2）求销售价为13元/个时每天的销售利润；
（3）如果销售利润为360元，那么销售价上涨了多少元？
29．已知是定义在上的单调函数,且满足,且.
(1)求的值并判断的单调性和奇偶性；
(2)若恒成立,求的取值范围.
30．已知函数,.
（1）求的定义域;
（2）当时,求的值域.
31．近年来，人们对能源危机、气候危机有了更加清醒的认识，各国对新型节能环保产品的需求急剧扩大，同时，对新型节能环保产品的研发投入也大量增加．长沙某企业为响应国家号召，研发出一款新型节能环保产品，计划生产投入市场．已知该产品的固定研发成本为180万元，此外，每生产一台该产品需另投入450元．设该企业一年内生产该产品万台且能全部售完，根据市场调研，该产品投入市场的数量越多，每台产品的售价将适当降低，已知每万台产品的销售收入为万元，满足：
(1)写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：万台）的函数关系式；（利润=销售收入-固定研发成本-产品生产成本）
(2)当年产量为多少万台时，该企业的获利最大？此时的最大利润为多少？
32．已知函数f(x)＝＋3(x∈[2，4])，求函数f(x)的最大值和最小值．
33．设函数，，其中．
（1）若是关于的不等式的解，求的取值范围；
（2）求函数在上的最小值；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；
（4）当时，令，试研究函数的单调性，求在该区间上的最小值．
34．已知定义域是R上的奇函数．
（1）求a；
（2）判断在R上的单调性，并用定义法证明；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围；
（4）设关于x方程有零点，求实数b的取值范围．
35．函数r=f（p）的图象如图所示
（1）函数r=f（p）的定义域和值域分别是什么？
（2）r取何值时，只有唯一的p值与之对应？
36．已知函数.
（1）设，求的值；
（2）若函数为偶函数，求的值.
37．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝x2+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象如图所示，
（1）画出函数f（x），x∈R剩余部分的图象，并根据图象写出函数f（x），x∈R的单调区间；（只写答案）
（2）求函数f（x），x∈R的解析式．
38．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．
（1）补充完整图像，写出函数的解析式和其单调区间；
（2）若函数，求函数的最小值．
39．已知函数的定义域为，
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）解不等式：.
40．已知函数.
(1)当时，求该函数的值域；
(2)求不等式的解集；
(3)若于恒成立，求的取值范围．
41．已知函数是偶函数.
(1)求的值；
(2)当时,判断函数的单调性,并证明你的结论.
42．已知，.
（1）当时求的最小值及相应的x值；
（2）若在区间上是增函数，求a的取值范围.
43．设函数.
（1）确定函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）证明函数在其定义域上是单调增函数；．
44．设f（x）的定义域为（0，+∞），且在（0， +∞）是递增的，
（1）求证：f（1）=0，f（xy）=f（x）+ f（x）
（2）设f（2）=1，解不等式
45．（1）画出的图像；
（要求：注明函数解析式，两坐标轴单位长度一致，坐标轴名称，可能的渐近线用虚线表示）
（2）讨论的图像与直线的交点个数.（不用分析论证，直接写出结果即可）
46．已知函数．
（1）请在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象；
（2）根据函数的图象回答下列问题：①求函数的单调区间；
②求函数的值域；③求关于的方程在区间上解的个数．（回答上述3个小题都只需直接写出结果，不需给出演算步骤）
47．如果函数在定义域的某个区间上的值域恰为，则称函数为上的等域函数，称为函数的一个等域区间．
Ⅰ已知函数，其中且，，．
当时，若函数是上的等域函数，求的解析式；
证明：当，时，函数不存在等域区间；
Ⅱ判断函数是否存在等域区间？若存在，写出该函数的一个等域区间；若不存在，请说明理由．
48．已知函数，且．
（1）求m；
（2）判断并证明的奇偶性；
（3）判断函数在，上是单调递增还是单调递减？并证明．
49．设函数（且）是定义域为的奇函数．
（1）若，试求不等式的解集；
（2）若，且，求在上的最小值及取得最小值时的的值．
50．已知，函数.
（1）当时，函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）当时，对任意的，都有恒成立，求的最大值.
51．求函数y＝ (－4≤x≤－2)的最大值和最小值.
52．设函数f（x）＝x2+bln（x+1）．
（1）若b＝﹣4，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求b的取值范围；
（3）若b＝﹣1，证明对任意n∈N+，不等式都成立.
53．设函数，求
54．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有．
(1)求函数的解析式；
(2)判断的单调性，并利用定义证明；
(3)若，求的取值范围．
试卷第页，共页
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
结合偶函数的性质，计算参数m，得到函数解析式，结合单调性判定，判定单调递增区间，即可，难度中等．
【详解】
是偶函数，得，，其单调递增区间是，故选D.
【点睛】
本道题考查了偶函数的性质，考查了单调区间的判定，难度中等．
2．B
【解析】
【分析】
将已知函数整理得，令，由二次函数的性质求得，将不等式等价于，求解即可.
【详解】
解：由已知得，
令，因为，所以，所以，
所以，当时，，当时，，即，
所以对任意，，
所以对任意，都有，等价于，
即，解得或，所以实数m的取值范围是，
故选：B.
3．C
【解析】
【详解】
因为是减函数，
而在上是减函数，在是增函数，
由复合函数的单调性（同增异减）可知，
函数在上是增函数，在是减函数，故选C.
4．D
【解析】
【分析】
根据奇函数的定义即可判断出选项.
【详解】
对于A，定义域为，，，
所以，故A不正确；
对于B，定义域为，，，
所以，函数为偶函数，故B不正确；
对于C，定义域为，，，
所以，故C不正确；
对于D，定义域为，，，
所以，即函数为奇函数.
故选：D
【点睛】
本题主要考查奇函数的定义，判断函数的奇偶性首先要判断定义域是否关于原点对称，然后再利用定义判断，属于基础题
5．D
【解析】
【分析】
令，，分别画出函数的图象，即可求出零点个数.
【详解】
解：令 ，因为恒成立，则的定义域为，
由，所以为偶函数，
当时，，在上单调递增，令，
分别画出与的函数图象，由图可知，与有六个交点，
即函数有六个零点.
故选: D.
【点睛】
本题考查了函数零点个数的求解，考查了函数图象的画法，属于基础题.本题的关键是画出两个函数的图象.
6．D
【解析】
【分析】
根据题意，结合函数单调性的定义，依次分析选项，若要证明命题不成立需举出反例，综合即可得答案．
【详解】
对于，定义分段函数，当时，，当时，；此时，对任意，都有，但函数在上不是增函数，不符合题意；
对于，对任意，都有，不满足函数单调性定义中的任意性，不符合题意；
对于，当为常数函数时，对任意，都有，不是增函数，不符合题意；
对于，对任意，设，若，必有，则函数在上为增函数，符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查函数单调性的定义以及判断，关键是掌握函数单调性的定义及用不等式符号语言表述单调性的定义．
7．D
【解析】
【分析】
由题意求得函数的解析式，再根据二次函数的对称轴与区间端点的大小关系求得的范围．
【详解】
∵
∴函数的对称轴为.
∵函数在上单调递减
∴，故实数m的取值范围是.
故选D.
【点睛】
本题是考查函数的新定义的问题，新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事 ”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
8．A
【解析】
【详解】
分析：
恰有个不同的根，这个根的和的取值范围为转化为与交点横坐标之和的取值范围，由对数函数的性质，结合图象可得，从而可得结果.
详解：不妨设的个根从小到大为，
即为与交点横坐标从小到大为，
由正弦定理函数的对称性可得，，
于是
由，得，
由，得，
，
，
即个根的和的取值范围为，故选A.
点睛：函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数有零点函数在轴有交点方程有根函数与有交点.
9．B
【解析】
【分析】
利用真数大于零求出该函数的定义域，然后利用复合函数同增异减法得出该函数的增区间.
【详解】
由题意可得，解得或，
函数的定义域为.
内层函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
外层函数为增函数，因此，函数的单调递增区间是.
故选B.
【点睛】
本题考查对数型复合函数单调区间的求解，首先要求出函数的定义域，然后利用复合函数同增异减的原则可得出所求单调区间，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
10．D
【解析】
【分析】
通过分类讨论和，将转化成具体的不等式，再转化为最值问题，根据单调性求出最值，可得的取值范围.
【详解】
当时，，，可化为，
即存在，使得成立，
的对称轴为，
在区间单调递增，
只要，即，解得：，
又，，
当时，可化为，此时不等式恒成立，
综上所述，．
故选：
【点睛】
本题考查了不等式有解问题，通过分类讨论转化成最值问题，使问题得到了解决，分类讨论是高中数学经常用到的解题方法，属于中档题.
11．D
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性的概念，排除ABC，再由幂函数的单调性，即可得出结果.
【详解】
A选项，函数的定义域为，不关于原点对称，因此函数是非奇非偶函数，排除A；
B选项，函数的定义域为，但，因此函数是非奇非偶函数，排除B；
C选项，函数的定义为，关于原点对称，又，所以函数是偶函数，排除C；
D选项，函数的定义域为，又，所以函数是奇函数，又，根据幂函数的性质，得到单调递增，满足题意；D正确；
故选：D
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性与单调性的应用，熟记函数奇偶性的概念，以及幂函数的单调性即可，属于常考题型.
12．
【解析】
【分析】
由函数在上是增函数，可知；由函数是点的近点函数，可得，从而得到结果.
【详解】
由题意可得：又函数在上是增函数，
∴
求出函数的导函数，
设函数图像上离A最近的点
则，
令，即，
解得： （舍）或
∴=，即
∵函数是点的近点函数，
∴
，即，
∴
∴
综上可得：
故答案为
【点睛】
本题考查函数的单调性与最值，考查了转化能力与运算能力，属于难题.
13．
【解析】
【详解】
当时，
当时，
当时，
则
故
14．和
【解析】
【分析】
根据反比例函数的性质，结合图形平移即可得答案.
【详解】
解：因为的图象可以通过函数向右平移一个单位得到，
函数的单调递减区间为和，
所以函数的单调递减区间为和.
故答案为：和.
【点睛】
本题考查函数的单调区间的求解，是基础题.
15．．
【解析】
【分析】
由图象以及单调性的定义即可写出答案.
【详解】
由题图可知在上的单调递增区间为和，
单调递减区间为．
故答案为：
16．
【解析】
【分析】
先求对称中心，即为B点坐标，再设，与联立，结合弦长公式求，即得结果.
【详解】
为奇函数，关于原点对称，所以关于对称，
因为，所以根据对称性可得,
因为不满足题意，所以可设，代入得或
，
故答案为：
【点睛】
本题考查三次函数对称性、弦长问题，考查综合分析求解能力，属中档题.
17．
【解析】
求出函数的定义域，利用复合函数与二次函数单调性求解即可.
【详解】
因为函数有意义，
则满足或
而二次函数开口向上，对称轴为，
那么根据复合函数的单调性可知当时，函数是递增的，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查复合函数的单调性以及二次函数的图象与性质，属于中档题.
18．或
【解析】
【分析】
令，依题意可得时恒成立，则，即可得到关于的一元二次不等式组，解得即可；
【详解】
解：因为，所以
令，即在恒成立，即时恒成立，所以，即，解得或；解得或，所以原不等式组的解集为
故答案为：
19．3
【解析】
【分析】
由，根据单调性，求出函数值域，再由，得到，求解即可求出结果.
【详解】
因为，
当时，显然单调递增；
当时，显然单调递增；
因此函数在上单调递增，
所以当时，其值域为，
由可得，由可得或，所以或；
同理或；
因为时，所以或或，即满足条件的实数对有个.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：
求解本题的关键，在于由题中条件，得到函数的定义域和值域相等，再根据函数单调性，确定值域，即可列出方程，求解出结果.
20．{x丨0＜x＜4}
【解析】
【详解】
构造函数，，所以F(x)在R上单调递减，
F(2)=f(2)-1=0,所以f（log2x）＞ 的解为，填{x丨0＜x＜4}．
21．
【解析】
【分析】
先依题意画函数图象，令，判断方程有两个不同t根，分别与图象有3和4个交点，即得、，再利用韦达定理去求参数即得的值.
【详解】
根据已知部分的函数解析式和偶函数对称性，画图象如图，令，则原方程可化为，
根据图象可知，要使原方程恰好有个不同的实数根，
只需有两个不等的实数根、，
由韦达定理可知，，，解得，，
故.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根或已知根的个数)求参数值(或取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
22．
【解析】
函数的定义域为，且为增函数，，等价转化为，解不等式，即可求解.
【详解】
的定义域为，且为增函数，
又，，即，
的取值范围是.
故答案为:
【点睛】
本题利用函数的单调性解不等式，属于基础题.
23．
【解析】
【详解】
，由于分子分母都是正数，且分母在处取得最小值，分子在处取的最大值，故在处取得最大值为.
24．[0, 2)
【解析】
【分析】
先将方程 变形为,根据数形结合思想,y=a与f(x)必须有两个交点,即可求出a的范围.
【详解】
函数有两个不同的零点,即有两个不同的交点,
所以函数与函数y=a有两个交点,如图所示:
所以a的范围是[0, 2)
【点睛】
本题考查了数形结合和化归转化的数学思想，将函数的零点、方程的根、函数的交点的转化，再利用数形结合确定参数a的范围，属于中档题目；解题中关键是将方程的根转化为两个函数交点的问题.
25．(1)， 和为增区间，为减区间.
(2)，.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据函数关系，可求得，根据函数的定义域可分四段得到函数的解析式；根据分段函数的图像可求得函数的单调区间；（2）根据（1）函数的单调区间可知函数的最大值出自，最小值出自，再根据的范围讨论最后的最大值和最小值.
试题解析：解：∵，∴，
∴.
(1)当时，，
，
当时，，
，
当时，，
，
综上：在上的表达式为，
由于，由在上的图象，可得和为增区间，为减区间.
(2)由(1)得的最小值出自，，
的最大值出自，.
A.当时，，，此时，最大值为，最小值为；
B.当时，，，此时最大值为1，最小值为；
C.当时，，；
此时：，.
26．(1) 证明见解析(2)时，不等式解集为；时，不等式解集为 (3)时，函数值域为；时，函数值域为；时，函数值域为
【解析】
【分析】
（1）可以用反证法进行证明，假设是奇函数，应有，而，所以函数不是奇函数；
（2）因为，所以当时，不等式可以化为即
，因为，所以，即，对和的情况进行分类讨论，解不等式；
（3）令，则且，对和的情况进行分类讨论，去绝对值符号，得到两种情况下的函数解析式，再分别计算函数值域
【详解】
解：（1）假设是奇函数，那么对于一切恒成立，可得，而，所以函数不是奇函数
（2）因为，所以当时，不等式可以化为即
，因为，所以，即
①当，即时，不等式恒成立，故的取值范围是．
②当，即时，不等式得，故的取值范围是
（3）令，则且．
①若，则是增函数，其取值范围为；
②若，则
对于，有．当时，是减函数，取值范围是；当时，的最小值是，取值范围是（时）或者取值范围是（时）
对于，有是增函数，其取值范围为
综上所述，当时，值域为；当时，值域为；当时，值域为．
【点睛】
求解二次函数最值问题的顺序：
1.确定对称轴与抛物线的开口方向，作简图；
2.在图象上标出定义域的位置；
3.观察单调性写出最值
27．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)先根据绝对值定义化为分段函数形式，再分别根据二次函数性质确定单调递增区间，(2)作函数图象，根据图象分类讨论零点个数.
【详解】
（1）当时，
当时，，的对称轴为
所以，的单调递增区间为
当时，，的对称轴为
所以，的单调递增区间为
（2）令，即，,
求函数的零点个数，即求与的交点个数；
当时，，的对称轴为
当时，，的对称轴为
①当时，，
故由图像可得，与只存在一个交点.
②当时，，且，
故由图像可得，
当时，，
与只存在两个交点；
当时，，与只存在一个交点；
当时，，与只存在三个交点.
③当时， ，
故由图像可得，与只存在一个交点.
综上所述：当时，存在三个零点；
当时，存在两个零点；
当时，存在一个零点.
【点睛】
利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合的思想求解.
28．（1）表格见解析；（2）元；（3）元
【解析】
【分析】
（1）根据利润的求法求得每天的利润，由此列出表格.
（2）由求得正确结论.
（3）由求得正确结论.
【详解】
（1）依题意（，）.
列表如下：
（2）元.
（3）（，），
解得元.
29．(1) 函数是奇函数,是单调递增函数；(2) .
【解析】
【分析】
(1)令可以求出的值,令可以判断出奇偶性,根据和的值结合已知可以判断出函数的单调性；
(2)利用函数的单调性可以得到不等式,常变量分离,利用基本不等式,可以求出的取值范围.
【详解】
(1) 令,可得令,所以有
,因此函数是奇函数.
由已知可知：是定义在上的单调函数,且,因此函数是上的单调递增函数；
(2)因为函数是奇函数,所以由可得
,可得：,
因为(当且仅当取等号),所以要想
恒成立,只需.
【点睛】
本题考查了抽象函数的单调性和奇偶性的判断,考查了用基本不等式判断不等式恒成立问题.
30．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知可得,求解即可;
（2）由,可设,,则可化为,,利用二次函数的性质求值域即可.
【详解】
（1）由已知可得,则且,
即的定义域为;
(2)由,设,则,
则可化为,,
因为在上单调递减,在上单调递增,
,,,
故的最小值为,最大值为.
故的值域为,即的值域为.
【点睛】
本题考查了函数的定义域与值域的求法,考查了二次函数的性质,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.
31．(1)
(2)30万台，最大利润为2270万元
【解析】
【分析】
（1）由已知条件，根据利润=销售收入-固定研发成本-产品生产成本即可建立年利润（单位：万元）关于年产量（单位：万台）的函数关系式；
（2）根据（1）所得分段函数，分别求出各段的最大值，比较大小即可得答案.
(1)
解：当时，，
当时，，
所以，
(2)
解：当时，，
则函数在上单调递增，故当时，取得最大值，且最大值为2220；
当时，
，
当且仅当，即（负值舍去）时等号成立，此时取得最大值，且最大值为2270，
因为，
所以，当年产量为30万台时，该企业的获利最大，且此时的最大利润为2270万元.
32．，
【解析】
【分析】
利用函数单调性的定义证明出函数在区间上为增函数，由此可求得函数在区间上的最大值和最小值.
【详解】
设、，且，即，
则，
，，，，
，即，所以，函数在区间上为增函数，
所以，，.
因此，函数在区间上的最大值为，最小值为.
33．（1）；（2） ；（3） ；（4）在单调递减，在单调递增；最小值为，
【解析】
【分析】
（1）在不等式中令，则可以得到关于的不等式，其解即为的取值范围.
（2）就是、分类讨论函数的单调性后可求在上的最小值.
（3）由可得实数的取值范围.
（4）设任意，考虑的符号后可得的单调性，从而可求的最小值.
【详解】
（1）由题设有，故，故.
（2）若，
设任意的，则，
因为，故，，
所以即，所以为上的减函数，
故的最小值为.
若，则
设任意的，则，
因为，故，，
所以即，所以为上的减函数，
同理可证：为上的增函数.
所以的最小值为，
故.
（3）因为对任意的，不等式恒成立，
故.
由（2）可知：当时，由，当时，由，
所以或即（无解）或，
故.
（4）若，则，
设任意的，则，
因为，故，，
所以即，所以为上的减函数，
同理可证为上的增函数，
所以在上的最小值为．
【点睛】
函数常称为“双勾函数”，它在，上是减函数，在，上是增函数，注意不是双勾函数，该函数在上是增函数，在上是减函数．注意在高中数学的初始阶段，函数的单调性的证明只能依据定义.
34．（1）；
（2）在R上单调递增，证明见解析；
（3）；
（4）；
【解析】
【分析】
（1）根据奇函数的性质，，求；（2）根据（1）的结论，，变形为，利用单调性的的定义域证明；（3）函数是奇函数，不等式变形为，根据（2）可知，函数单调递增，所以恒成立，利用参变分离得恒成立，求的取值范围；（4）因为函数是奇函数，所以，所以，即：有零点，设，，转化为求函数的值域.
【详解】
（1）因为是R上的奇函数，所以，即：，∴，经检验，满足，所以．
（2）
∴在R上单调递增，以下证明：
对，且
由的单调递增性知
又，，
∴
∴在R上单调递增．
（3）由题意，对，
又
∴
又由（2）知：在R上单调递增
∴
令，易知其最小值是-4．
∴，即
（4）由题意知：有零点
即：
在R上单调
∴
即：有零点
令：
有零点
即：函数与函数有交点
易知：有最小值
∴时，有零点．
【点睛】
本题考查指数型函数性质的判断，抽象不等式恒成立以及根据零点求参数取值范围，不管是恒成立求参数，或者根据零点求参数，都可以采用参变分离的方法，转化为求函数最值，或者求值域的问题.
35．（1）定义域是[–5，0]∪[2，6），值域为[0，+∞）；（2）．
【解析】
【分析】
(1)根据函数的图像得到函数由两部分图像组成，两部分的定义域并集，两部分值域并集就是函数的定义域和值域；（2）由图象可知，只有唯一的p与之对应，即y=r与y= f（p）两个图像有唯一的交点即可.
【详解】
（1）由图象知，函数y=f（x）的图象包括两部分，
一部分是以[–5，0]为定义域且以[2，5]为值域的一段增函数，
一部分是以[2，6）为定义域且以[0，+∞）为值域的增函数，
故其定义域是[–5，0]∪[2，6），值域为[0，+∞）；
（2）由图象可知，只有唯一的p与之对应，即y=r与y= f（p）两个图像有唯一的交点即可.
则r的取值范围是．
【点睛】
本题考查了函数的图像的应用，以及函数与方程的初步应用，较为基础；目前高一学到的判断函数的单调性，方法有：定义法和图像法.
36．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用对数运算化简的表达式，由此求得的值.
（2）根据为偶函数列方程，由此求得的值.
【详解】
（1）依题意，所以.
（2）依题意.由于是偶函数，所以，即，所以.
【点睛】
本小题主要考查函数值的求法，考查根据函数的奇偶性求参数，属于基础题.
37．（1）图象见解析；递减区间为（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）；增区间为（﹣1，1）；
（2）f（x）．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，由奇函数的性质结合函数f（x）在y轴左侧的图象，即可补充函数图象，据此写出函数的单调区间即可得答案；
（2）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝0，设x＞0时，则﹣x＜0，由函数的解析式可得f（﹣x），结合奇函数的性质可得f（x）的解析式，综合即可得答案．
【详解】
（1）根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则其图象如图：
其递减区间为（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）；
增区间为（﹣1，1）；
（2）根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，满足f（x）＝x2+2x；
当x＞0时，则﹣x＜0，则f（﹣x）＝（﹣x）2+2（﹣x）＝x2﹣2x，
又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2+2x，
综上：f（x）．
【点睛】
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，关键是补充函数的图象，属于基础题．
38．（1）作图见解析；；递减区间为、，递增区间为、；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由，可得，运用已知函数解析式和偶函数的定义可得解析式，作出函数的图象，由此分析单调性可得答案；
（2）根据题意，求得的解析式，以及对称轴，讨论区间与对称轴的关系，结合单调性可得最小值．
【详解】
解：（1）根据题意，当时，，可得，
函数是定义在R上的偶函数，可得，
则；函数图象如图：
其递减区间为、，递增区间为、；
（2）当时，，
对称轴为，
当，即时，在递增，可得为最小值，且为；
当，即时，在递减，可得为最小值，且为；
当，即时，的最小值为，且为，
故．
39．（1）在区间上单调递增；证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）用定义法证明函数的单调性
（2）考察函数单调性和奇偶性的结合，根据奇偶性将不等式变形为，再根据（1）中函数的单调性，以及定义域，列出关于的三个不等式，最终取交集即可
【详解】
（1）设，
则
，，
则函数在区间上单调递增.
（2），且定义域关于原点对称
则函数为奇函数
所以
因为在区间单调递增
所以 ，解得：
则原不等式解集为.
40．(1)
(2)或
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用换元法，结合二次函数的性质求得函数在区间上的值域.
（2）结合一元二次不等式、对数不等式的解法来求得不等式的解集.
（3）利用换元法并分离常数，结合函数的单调性求得的取值范围.
(1)
令，，则，
函数转化为，，
则二次函数，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取到最小值为，当时，取到最大值为5，
故当时，函数的值域为.
(2)
由题得，令，则，即，解得或，
当时，即，解得；当时，即，解得，故不等式的解集为或．
(3)
由于对于上恒成立，
令，，则即在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为函数在上单调递增，也在上单调递增，
所以函数在上单调递增，它的最大值为，
故时，对于恒成立．
41．(1)1；(2)单调递增,证明见解析.
【解析】
（1）根据偶函数关系结合求解；
（2）根据定义法讨论单调性任取,讨论的符号.
【详解】
(1)因为是偶函数,
所以,即,
化简得,
所以；
(2)结论:在(0,+∞)单调递增.证明如下：
任取,则
因为,所以,所以
所以,即
所以在(0,+∞)单调递增.
【点睛】
此题考查根据函数的奇偶性求参数的值，根据定义法讨论函数的单调性，对计算能力要求比较高.
42．（1）时，取得最小值（2）
【解析】
（1）根据二次函数的性质解答即可；
（2）根据复合函数的单调性求出参数的取值范围.
【详解】
解（1）时，，
当即时，取得最小值.
（2），
当时，是增函数，且，
又的单调增区间为，
，.
【点睛】
本题考查二次型复合函数的性质及指数函数的性质，属于基础题.
43．（1）定义域为R.（2）是奇函数（3）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）真数大于，偶次根式的被开方数大于等于，得到不等式组，解得函数的定义域；
（2）利用奇偶函数的定义可作出判断；
（2）用定义证明函数单调性的五个步骤，本题是对真数作差比较大小，利用分子有理化进行变形在判断真数的大小，在转化到比较函数值得大小．
【详解】
解：（1）由解得，定义域为.
（2）为定义域内的奇函数，证明如下：
，
为奇函数．
（3）设任意的，且，
则.
令，
则.
==
=
∵，，，，
∴，∴，∴，
，即，
∴函数在上是单调增函数.
【点睛】
本题考查定义域的求解、奇偶性单调性的判断证明，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法，要熟练掌握．
44．（1）详见解析（2）{x|3【解析】
【详解】
试题分析：（1）令x=y=1得f（1）=0，则有；（2）由，然后可求f（4）=2，转化为不等式求解
试题解析：（1）证明：，令x=y=1，则有：f（1）=f（1）-f（1）=0，…2分
．…………4分
（2）解：∵
∵2=2×1=2f（2）=f（2）+f（2）=f（4），
∴等价于：①， ………………………………8分
且x>0，x-3>0[由f（x）定义域为（0，+∞）可得]…………………………………10分
∵，4>0，又f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴①．又x>3，∴原不等式解集为：{x|3考点：抽象函数及其应用；其他不等式的解法
45．(1)答案见解析；(2)答案见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：
(1)利用函数图形的平移变换和翻折变换绘制函数图象即可；
(2)结合(1)中的结论分类讨论可知：
当时，的图像与直线无交点；
当当时，的图像与直线有且只有一个交点；
当时，的图像与直线有且只有两个交点.
试题解析：
（1）如图所示：
（2）当时，的图像与直线无交点；
当当时，的图像与直线有且只有一个交点；
当时，的图像与直线有且只有两个交点.
46．（1）见解析；（2）①函数的单调递增区间为；函数的单调递减区间为；②函数的值域为；③方程在区间上解的个数为1个.
【解析】
【分析】
（1）可先去绝对值变成分段函数后再画图，也可直接用画图的三步“列表，描点，连线”直接画图；（2）①图象向上去的部分对应的是增区间，向下来的部分对应的是减区间；②观察图象找出最低点和最高点即为函数的最小和最大值；③数形结合画图观察交点个数即可.
【详解】
（1）作图要规范：每条线上必须标明至少两个点的坐标，不在坐标轴上的点要用虚线标明对应的坐标值（教科书第28页例题的要求）（有一条直线没有标明点的坐标扣1分，两条都没标扣2分） ,
（2）①函数的单调递增区间为；
函数的单调递减区间为；
②函数的值域为；
③方程在区间上解的个数为1个 .
考点：画函数图象，函数的单调性和图象法求函数值域.
47．(Ⅰ)； 见证明；(Ⅱ)见解析
【解析】
【分析】
Ⅰ当时，若函数是上的等域函数，根据函数的单调性，建立方程关系，进行求解即可；
当，时，根据等域区间的定义建立方程关系，进行判断；
Ⅱ结合函数的单调性，建立方程关系进行判断即可．
【详解】
Ⅰ已知函数，其中且，，．
当时，
若函数是上的等域函数，
当时，为增函数，
则，得，此时
当时，为减函数，
则，得，不满足条件．
即；
证明：当，时，，即，
则为减函数，
假设函数存在等域区间，
则，两式作差得，
即，
，，
，，，
则，
等式不成立，即函数不存在等域区间；
Ⅱ函数不存在等域区间，
证明假设函数存在等域区间，
则，
即，
两式作差得，
即，
即函数过，的割线斜率等于4，
为减函数，
任意两点的割线斜率为负数，
故不成立，即不存在等域区间．
【点睛】
本题主要考查函数值域的应用，结合等域区间的定义建立方程组关系，结合函数单调性的性质是解决本题的关键．
48．（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）单调递增函数，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，将代入函数解析式，求解即可；
（2）利用奇函数的定义判断并证明即可；
（3）利用函数单调性的定义判断并证明即可．
【详解】
（1）根据题意，函数，且，
则，解得；
（2）由（1）可知，其定义域为，关于原点对称，
又由，
所以是奇函数；
（3）在上是单调递增函数．
证明如下：
设，则，
因为，
所以，，则，即，
所以在上是单调递增函数．
49．(1) (2) 时，取最小值-2．
【解析】
【分析】
（1）根据函数是奇函数，求出的值，若，求出的取值范围，结合函数单调性即可求不等式的解集；
（2）利用换元法，结合二次函数的性质进行求解即可．
【详解】
解：（1）由得，则，
若，则，所以在上是增函数，
不等式可化为，
所以有，即，
所以或，
所以不等式的解集为.
（2）若，则，
所以 ，
令，则，
所以当即时，取最小值-2．
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数单调性的应用，利用换元法将函数转化为一元二次方程是解决本题的关键．
50．(1) (2)
【解析】
【详解】
分析：（1）把函数转化为分段函数形式，利用二次函数的对称性明确分段的单调性即可;（2）对任意的，都有恒成立等价于 ，转求最值即可.
详解：（1）当时， .
由函数在上单调递增，得，化简得.
∴实数的取值范围.
（2）当且时，，
，
由得，，
化简得： ，
∴，解得.
∴实数的最大值是.
点睛：研究分段函数的单调性注意两点：（1）分析各段的单调性；（2）注意端点处取值的大小；恒成立问题处理手段首选变量分离，然后转最值即可.
51．ymax＝2，ymin＝.
【解析】
【详解】
试题分析： 分离得y＝，再根据函数单调性确定最值
试题解析：方法一：设－4≤x1∵f(x1)－f(x2)＝，
∵x1＋1<0，x2＋1<0，x1－x2<0，
∴<0，∴f(x1)∴f(x)＝在[－4，－2]上单调递增.
∴ymax＝f(－2)＝2，ymin＝f(－4)＝.
方法二：y＝＝1－.画图可得最值.
52．（1）减区间是（-1，1），增区间是（1，+）；（2）；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）求导函数，结合函数的定义域，利用导数的正负，即可求得函数f（x）的单调区间；
（2）求导函数，利用函数f（x）在定义域是单调函数，可得f′（x）≥0，或f′（x）≤0在（﹣1，+∞）上恒成立，再利用分离参数法，即可求得b的取值范围；
（3）构建函数h（x）＝f（x）﹣x3＝x2﹣ln（x+1）﹣x3，证明函数h（x）在[0，+∞）上单调递减，得到f（x）＜x3，由此可知结论成立．
【详解】
（1）若b＝﹣4，得函数f（x）＝x2-4ln（x+1），求导得，定义域{x|x＞﹣1}
∴当﹣1＜x＜1时，＜0；当x＞1时，＞0．
故函数f（x）的减区间是（﹣1，1），增区间是（1，+∞）．
（2）∵，又函数f（x）在定义域是单调函数，
∴≥0，或≤0在（﹣1，+∞）上恒成立．
若≥0，∵x+1＞0，∴2x2+2x+b≥0在（﹣1，+∞）上恒成立，
即恒成立，由此得；
若≤0，∵x+1＞0，∴2x2+2x+b≤0，即b≤﹣（2x2+2x）恒成立，
因﹣（2x2+2x）在（﹣1，+∞）没有最小值，∴不存在实数b使f′（x）≤0恒成立．
综上所知，实数b的取值范围是．
（3）证明：当b＝﹣1时，函数f（x）＝x2﹣ln（x+1），令函数h（x）＝f（x）﹣x3＝x2﹣ln（x+1）﹣x3，
则，
∴当x∈[0，+∞）时，＜0，∴函数h（x）在[0，+∞）上单调递减，又h（0）＝0，
∴当x∈（0，+∞）时，h（x）＜h（0）＝0，即x2﹣ln（x+1）＜x3恒成立．故f（x）＜x3．
∵k∈N*，∴，取，
∴，故结论成立．
【点睛】
本题考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查构造法证明不等式，解题的关键是构建函数，运用导数法求解，属于中档题．
53．
【解析】
【分析】
首先比较两个函数的定义域，分三个区间段，求函数的解析式.
【详解】
比较两个分段函数的定义域，可将函数区间分为三个区间段求，
当时，，，所以，
当时，，，所以，
当时，，，所以，
综上可知：
54．(1)，
(2)函数在上为递增函数，证明见解析；
(3)
【解析】
【分析】
(1)根据求出b的值，根据求出的值即可；
(2)根据函数单调性的定义证明即可;
(3)由题知，再解不等式组即可得答案.
(1)
函数是定义域为上的奇函数，
所以，有，
又，即，解得，
经检验，符合题意，所以，
所以当时，.
令，则，所以，
即当时，，
综上所述，函数是在上的解析式为；
(2)
函数在上为递增函数.证明如下：
，令，则
，
因为，所以，所以，
即，所以在上为递增函数.
(3)
解：由（2）知函数在上为递增函数，
所以，解得
所以的取值范围是.
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