人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第四章4.5函数的应用（二）4.5.2用二分法求方程的近似解word版含答案

人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第四章4.5函数的应用（二）4.5.2用二分法求方程的近似解
一、单选题
1．某同学用二分法求方程在内近似解的过程中，设，且计算，则该同学在下次应计算的函数值为（ ）
A． B． C． D．
2．设是上的周期为2的函数，且对任意的实数，恒有，当时，，若关于的方程(且)恰有五个不相同的实数根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
3．某方程在区间(2，4)内有一个实数根，若用二分法求此解的精确度为0.1的近似值，则应将此区间二等分的次数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知函数，，若存在两个零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
5．函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（　　）
A． B． C． D．
6．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是
A． B．
C． D．
7．已知函数的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如下表所示：
则方程的近似解可取为（精确度）
A． B． C． D．
8．下列关于二分法的叙述，正确的是（ ）
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D．只有求函数零点时才用二分法
9．若函数（且）有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．用二分法求方程在区间内的实根，下一个有根区间是（ ）
A． B． C． D．
11．若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
二、多选题
12．若函数的图象是连续的，且函数的唯一零点同在，，，内，则与符号不同的是（ ）
A． B． C． D． E.
三、填空题
13．下列是连续函数在区间上一些点的函数值．
x 1 1.25 1.375 1.4065 1.438 1.5 1.61 1.875 2
f（x） –2 –0.984 0.260 –0.052 0.165 0.625 –0.315 4.35 6
由此可判断：方程的一个近似解为____________．
14．若函数（）在区间只有一个极值点，则曲线在点处切线的方程为__________．
15．函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为_________．
16．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0，0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0，0.1)等分的次数至少为______．
四、解答题
17．已知函数，.
（1）当时，解关于的方程；
（2）当时，函数在有零点，求实数的取值范围.
18．2015年5月12日15：05尼泊尔发生了7.5级地震地震发生后，停水断电，交通受阻.已知A地到B地的电话线路发生故障（假设线路只有一处发生故障），这是一条长的线路，每隔有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？
19．以下是二分法求方程在区间内的一个近似解（精确到0.01）的算法的程序框图.
解：记，，，在区间内至少存在一个根.
对于方程，写出一个区间，使方程在区间内有解，并设计出用二分法求近似解（精确到0.01）的程序框图.
20．已知函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋b.
(1)若b＝－1，函数y＝f(x)在x∈[2,3]上有一个零点，求a的取值范围；
(2)若a＝b，且对于任意a∈[2,3]都有f(x)＜0，求x的取值范围．
21．
函数．
（1）求证函数在区间上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应的近似值（误差不超过）；（参考数据）
（2）当时，若关于的不等式恒成立，试求实数的取值范围.
22．借助信息技术,用二分法求方程在区间(2,3)内的近似解(精确度为0.1).
23．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为10 km，大约有200根电线杆的线路，设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅最多检测几次就能找出故障地点所在区域(精确到100 m范围内)
24．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1).
25．用二分法证明方程在区间（1，2）内有唯一的实数解，并求出这个实数解的一个近似值（精确度为0.1）.
参考数据：
x 1.125 1.1875 1.25 1.375 1.5
2.18 2.28 2.38 2.59 2.83
26．用二分法求函数在区间内的零点的近似值（误差不超过0.1）．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．C
【分析】
根据二分法分析即可求解.
【详解】
，
零点在内，
下次应计算的函数值
故选：C
2．D
【详解】
由，知是偶函数，当时，，且是上的周期为2的函数，
作出函数和的函数图象，关于的方程(且)恰有五个不相同的实数根，即为函数和的图象有5个交点，
所以，解得.
故选D.
点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
3．D
【分析】
根据精确度，结合等分区间的过程，即可容易判断.
【详解】
等分1次，区间长度为1；
等分2次，区间长度变为0.5；
…；
等分4次，区间长度变为0.125；
等分5次，区间长度为0.062 5<0.1，符合题意，
故选：D.
【点睛】
本题考查二分法中由精确度确定等分次数，属基础题.
4．D
【分析】
将存在两个零点,等价于有两个不同的实根，函数的图象与直线有两个交点即可.
【详解】
由已知存在两个零点,等价于有两个不同的实根，即函数的图象与直线有两个交点，作图可得
直线y=-x+2a,斜率固定，只需要上下平移即可，在y轴上的截距小于等于2即可，
.
选D.
【点睛】
这个题目考查了函数的零点问题，函数零点问题和图像的交点问题和方程的根是同一个问题，可以互相转化，解决分段函数的一个有效的方法就是画出图像，通过图像得到性质和结论.
5．B
【分析】
根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间．
【详解】
解：函数在其定义域上单调递增，
（2），（1），
（2）（1）．
根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间是，
故选．
【点睛】
本题考查求函数的值及函数零点的判定定理，属于基础题．
6．C
【分析】
根据二分法求零点的条件，直接判断，即可得出结果.
【详解】
能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，由图象可得，只有A、B、D能满足此条件，C不满足．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二分法求零点的条件，属于基础题型.
7．B
【解析】由表知函数零点在区间 ,所以近似解可取为,选B.
8．B
【分析】
根据二分法的概念对进行判断,可以排除,从而选B.
【详解】
根据二分法的概念可知，只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右两侧函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；
用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位，故B正确；
二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错；
求方程的近似解也可以用二分法，故D错.
故选：B.
9．B
【分析】
将函数（且）有两个零点转化为函数和函数图象有两个交点问题，然后分类讨论和进行判断即可得出答案.
【详解】
当函数（且）有两个零点，则若， 有两个根，则得函数和函数图象有两个交点，①当时，因为函数的图象恒过点(1,0)，而直线的图象恒过点，由于，则点一定在点(1,0)的右侧，如图所示：
由图象可知，当时，函数与的图象有两个交点，即时函数有两个零点；
②当时，函数与的图象仅有一个交点，如图所示：
此时函数有且仅有一个零点；
综上可得满足题意.
故选：B.
【点睛】
本题考查了分类讨论思想和数形结合思想的应用，考查了函数零点个数的问题，属于中档题.
10．A
【分析】
设，其中，及，求得，即可求解．
【详解】
由题意，设，
其中，
又由，则，
可得方程根在区间．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了二分法的应用，其中解答中熟记二分法的概念，以及合理应用零点的存在定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
11．C
【分析】
根据二分法，结合表中数据，由于，方程的一个近似根所在区间为内，进而得到结果.
【详解】
根据二分法，结合表中数据，
由于
所以方程的一个近似根所在区间为
所以符合条件的解为1.4
故选:C.
12．ABD
【分析】
假设,根据零点所在区间的两个端点的函数值异号,逐步分析可得.
【详解】
由二分法的步骤可知
①零点在内，则有，不妨设，，取中点2；
②零点在内，则有，则，，取中点1；
③零点在内，则有，则，，取中点；
④零点在内，则有，则，，则取中点；
⑤零点在内，则有，则，，
所以与符号不同的是，，，
故选ABD.
【点睛】
本题考查了二分法求零点的步骤,属于基础题.
13．1.423（答案不唯一）
【分析】
根据零点的存在定理，结合题中数据，可直接得出结果.
【详解】
由零点的存在定理，根据表格中的数据可得，
，所以的根可以在区间内，
所以该区间内任一数字均可，如1.423.
【点睛】
本题主要考查二分法求方程的近似解，零点存在定理，属于常考题型.
14．
【详解】
由题意可得，所以即在有唯一奇次根．根据根的存在性定理，即
，又因为，所以.,
,所以切线方程为．答案为：x-y+6=0.
【点睛】
利用方程根的存在性定理求解三步曲是：①先移项使方程右边为零，再令方程左边为函数；②求区间两端点的函数值；③若函数在该区间上连续且，则方程在该区间内必有根.
15．
【解析】
【分析】
先判断函数的单调性，由，，根据零点存在定理可得结果.
【详解】
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
又因为，，
所以在上有唯一零点，
即零点所在的区间为，故答案为.
【点睛】
本题主要考查对数函数的单调性、零点存在定理，意在考查对基本定理的理解与应用，属于简单题.
16．4
【详解】
设等分的最少次数为n，则由<0.01，
得2n＞10，所以n的最小值为4.
答案：4
17．（1）；（2）
【分析】
（1）方程变成，令，化简解关于的一元二次方程，从而求出的值.
（2）将零点转化为方程有实根，即时有解，令，，得：，从而得出的取值范围.
【详解】
（1），令，则，
解得，
所以
（2），
时，
设，，
，对称轴为，
时，，
.
18．见解析.
【分析】
先画出线路图,从中点开始排查,可排除一半,利用二分法的思想,再找这一半的中点,以此类推,即可快速排查故障所在
【详解】
如图,
可首先从中点C开始检查,若段正常，则故障在段；再从段中点D检查,若段正常,则故障在段；再从段中点E检查,……如此这般,每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半,经过7次查找,将故障范图缩小到之间,即可迅速找到故障所在
【点睛】
本题考查二分法在实际中的应用
19．详见解析
【分析】
根据题目给出的例题，设函数，根据和的函数值的正负，得到在至少有一根，
【详解】
.记，区间，
，，
在区间至少有一根.
算法程序框图如下：
【点睛】
本题考查根据二分法求方程求方程的解的要求写程序框图，属于简单题.
20．（1）（2）1＜x＜2．
【分析】
（1）b＝﹣1时，f（x）＝x2﹣（a+1）x﹣1，由f（0）＝﹣1，f（x）在[2，3]有一个零点，则，解出即可得出．
（2）令g（a）＝（1﹣x）a+x2﹣x，a∈[2，3]，看做一次函数，利用单调性即可得出．
【详解】
解：（1）b＝﹣1时，f（x）＝x2﹣（a+1）x﹣1，
∵f（0）＝﹣1，若f（x）在[2，3]有一个零点，则，得出．
∴a的取值范围是．
（2）令g（a）＝（1﹣x）a+x2﹣x，a∈[2，3]，
∵g（a）＜0，∴，
得出：1＜x＜2．
【点睛】
本题考查了二次函数与一次函数的性质、不等式的性质，考查了转化能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
21．(1)见详解；(2) .
【解析】
【分析】
（1）先求函数的导数，导数在区间上存在唯一的变号零点，则函数存在唯一的极值点.变号零点可由二分法求得.
（2）利用分离参数法把分离出来，构造函数，求函数的导数，判断函数的单调性和最值，进而可求的取值范围.
【详解】
（1）,
易得在区间上单调递增.
∵，，
∴．
∴在区间上存在唯一的变号零点.
∴在区间上存在唯一的极小值点.
取区间作为起始区间，用二分法逐次计算如下：
①，而，
∴，
∴极值点所在区间是；
②，
∴，
∴极值点所在区间是；
③∵，
∴区间内任意一点即为所求．
∴取得极值时相应的.
(2)由，得,
则.
∵，∴.
令，则.
令，则.
∵，∴.
∴在上单调递增.
∴.
∴，故在上单调递增.
∴.
∴的取值范围是.
【点睛】
本题考查导数的综合运用，考查利用导数研究函数的单调性和极值，利用导数解决不等式恒成立问题，二分法求零点.含参不等式恒成立问题可以利用分离参数法求函数最值来求解.
22．2.5625.
【分析】
原方程即,令，再用二分法依次计算，直到求出想要的精度为止.
【详解】
解:原方程即,令,
函数图象如图所示：
用计算器可算得
,,于是,
又因为函数在内单调递增,所以这个方程在区间内有一个解.
下面用二分法求方程在区间的近似解.
取区间的中点,用计算可算得.
因为,所以.
再取区间的中点,用计算器可算得
因为,所以.
同理可得,.
由于.
所以原方程的近似解可取为.
【点睛】
本题考查二分法求方程的近似解，关键是信息技术的应用，属于基础题.
23．至多只要检测7次.
【分析】
结合二分法即可得到≤100，解不等式即可求出结果.
【详解】
解：如图，工人师傅首先从中点C检测，用随身带的话机向两端测试，发现AC段正常，可见故障在BC段；再从线段BC的中点D检测，发现BD段正常，可见故障在CD段；再从CD段的中点E检测；……；由此类推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出经过n次检测，所剩线路的长度为m，则有≤100，即2n≥100，又26＝64，27＝128，故至多只要检测7次就能找到故障地点所在区域．
24．证明见解析；函数f(x)＝2x＋3x－6精确度为0.1的零点可取为1.2
【分析】
根据函数的单调性以及零点存在性定理即可证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一零点，再根据二分法求函数零点的步骤即可求出这个零点．
【详解】
由于f（1）＝－1<0，f（2）＝4>0，又函数f(x)是连续的增函数，所以函数在区间(1，2)内有唯一零点．不妨设零点为x0，则x0∈(1，2).
下面用二分法求解：
区间 中点的值 中点函数近似值
(1，2) 1.5 1.328
(1，1.5) 1.25 0.128
(1，1.25) 1.125 －0.444
(1.125，1.25) 1.1875 －0.160
因为f(1.1875)·f(1.25)＜0，且|1.1875－1.25|＝0.0625<0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6精确度为0.1的零点可取为1.2.
【点睛】
本题主要考查利用函数的单调性以及零点存在性定理判断函数的零点个数，以及利用二分法求函数的零点，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．
25．证明见解析，近似值为1.2
【分析】
设函数，则由零点存在性定理可得函数在区间（1，2）内有唯一的零点，即方程在区间（1，2）内有唯一的实数解，再根据二分法结合表中的数据可求得其解的近似值
【详解】
设函数.
∵，，函数f（x）在其定义域内是增函数，
∴函数在区间（1，2）内有唯一的零点，
即方程在区间（1，2）内有唯一的实数解.
设方程的实数解为，则，
∵，∴，∴.
∵，∴，∴.
∵，∴，
∴.
∵，
∴，∴.
∵，∴可取，
∴方程的实数解的一个近似值为1.2.
26．
【分析】
根据函数零点的二分法，结合零点的存在定理，即可求解.
【详解】
由题意，函数在上单调递增，则函数在上有唯一零点，列表如下：
次数 ， ， 的近似值 区间长
1 0 1 0.5 0.125 1
2 0 0.5 0.25 0.5
3 0.25 0.5 0.375 0.25
4 0.375 0.5 0.4375 0.125
可得函数在上的零点的近似值为，误差不超过0.1．
答案第1页，共2页
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