人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第五章5.1任意角和弧度制5.1.1任意角word版含答案

人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第五章5.1任意角和弧度制5.1.1任意角
一、单选题
1．若α与β关于y轴对称，则(　　)
A．α＋β＝(k∈Z) B．α＋β＝2kπ＋(k∈Z)
C．α＋β＝2kπ(k∈Z) D．α＋β＝2kπ＋π(k∈Z)
2．下列说法中，
①与角的终边相同的角有有限个；
②圆的半径为6，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积为；正确的个数是
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．“是第二象限角”是“是钝角”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
4．若第二象限角,则在第几象限
A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限
5．设为全集，、为非空集合，下面四个命题：
（1）；（2）；（3）；（4）.
其中与命题等价的命题个数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
6．是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
7．下列命题中：①第一象限角一定不是负角，②小于90°的角是锐角，③和1711°均是第一象限角，④已知是第二象限的角，则是第一或第三象限角.正确的有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
8．与－460°角终边相同的角可以表示成（ ）
A．460°＋k·360°，k∈Z
B．100°＋k·360°，k∈Z
C．260°＋k·360°，k∈Z
D．－260°＋k·360°，k∈Z
9．已知角第二象限角，且，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
10．若角与角的终边相同,角与角的终边相同,则与之间的关系是
A． B．
C． D．
11．已知集合{第二象限的角}，{钝角}，{大于的角}，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．若，则角的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、双空题
13． 如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．
三、填空题
14．已知，的终边与的终边关于x轴对称，则_______．
15．给出下列命题：①；②；③；④；⑤；其中正确命题的序号是__________.
16．在与弧度数为2021角终边相同的角中，绝对值最小的角是___________．
17．在内，与角终边相同的角是_________.
18．与1991°终边相同的最小正角是______
四、解答题
19．设.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.
20．把下列角化成的形式，指出它是第几象限角并写出与终边相同的角的集合．
（1）；
（2）.
21．求经过下列时间，时钟的分针所转过的角度：（1）15分钟；（2）1小时20分钟.
22．在0°~360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
23．已知，求，并指出角终边的位置．
24．下列角中哪些角与30°角的终边相同：
（1）210°； （2）－330°； （3）390°； （4）750°．
25．设、、、、、、、为互不相等的正整数，满足下列三式：，，.证明：满足题设条件的方程有无穷多组正整数解.
26．如图:O方程为，点P在圆上，点D在x轴上，点M在DP延长线上，O交y轴于点N，.且
（I）求点M的轨迹C的方程；
（II）设，若过F1的直线交（I）中曲线C于A、B两点，求的取值范围．
27．已知角．
（1）把改写成的形式，并指出它是第几象限角；
（2）求，使与终边相同，且．
28．把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角.
（1）－1500°；
（2）；
（3）－4.
29．今天是星期一,那么从明天算起,第天是星期几 第100天是星期几
30．半径为1的圆的圆心位于坐标原点O，点P从点A（1，0）出发，按照逆时针方向沿圆周匀速旋转，已知点P在1秒内转过的角度为，经过2秒到达第三象限，经过14秒又回到出发点A处.求：
（1）的大小；
（2）线段OP每秒钟扫过的扇形的面积．
31．已知．
（1）把写成的形式；
（2）求，使与的终边相同，且．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据角α与角β的终边关于y轴对称，即可确定α与β的关系．
【详解】
∵π﹣α是与α关于y轴对称的一个角，
∴β与π﹣α的终边相同，
即β＝2kπ+（π﹣α）
∴α+β＝α+2kπ+（π﹣α）＝（2k+1）π，
故选D．
【点睛】
本题主要考查角的对称之间的关系，根据终边相同的关系是解决本题的关键，比较基础．
2．B
【详解】
错
，故正确
故选
3．B
【分析】
由α是钝角可得α是第二象限角，反之不成立，则答案可求．
【详解】
若α是钝角，则α是第二象限角；反之，若α是第二象限角，α不一定是钝角，如α＝﹣210°．
∴“α是第二象限角”是“α是钝角”的必要非充分条件．
故选B．
【点睛】
本题考查钝角、象限角的概念，考查了充分必要条件的判断方法，是基础题．
4．A
【分析】
先求出在第二象限时的表示,再求出的表示,最后讨论偶数和奇数的情况,即可得出结论.
【详解】
解:由题可知,第二象限角
所以,
所以,
当为偶数时,在第一象限；
当为奇数时,在第三象限.
故选:A
【点睛】
本题主要考查任意角所在的象限,是基础题.
5．D
【分析】
利用集合的运算性质、集合之间的关系即可判断出结论．
【详解】
解：为全集，、为非空集合，下面四个命题：
（1）；
（2）；
（3），则；
（4），则．
其中与命题等价的命题个数有4．
故选：D．
6．D
【分析】
将表示为的形式，由此判断出其所在象限.
【详解】
依题意，，所以是第四象限角.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.
7．B
【分析】
由象限角的概念可得①错误，由锐角的概念可得②错误，由终边相同的角的表示可得③错误，由终边相同的角的表示及象限角可得④正确.
【详解】
解：对于选项①，为第一象限角，即①错误；
对于选项② ，小于90°，但不是锐角，即②错误；
对于选项③，，因为为第一象限角，则为第一象限角，，因为不是第一象限角，即不是第一象限角，即③错误；
对于选项④，因为是第二象限的角，则，
则，即或，即是第一或第三象限角，即④正确，
综上可得正确的有1个，
故选：B.
【点睛】
本题考查了象限角及终边相同的角的表示，重点考查了角的概念，属基础题.
8．C
【分析】
利用终边相同的角的表示方法，写出结果即可.
【详解】
因为－460°＝260°＋(－2)×360°，故－460°可以表示成260°＋k·360°，k∈Z，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了找出终边相同的角，属于基础题.
9．C
【分析】
由是第二象限角，知在第一象限或在第三象限，再由，知，由此能判断出所在象限．
【详解】
因为角第二象限角,所以，
所以，
当是偶数时，设，则，
此时为第一象限角；
当是奇数时，设，则，
此时为第三象限角.；
综上所述：为第一象限角或第三象限角，
因为，所以，所以为第三象限角．
故选：C．
10．D
【分析】
由终边相同的角可写出，，相减，即可求解.
【详解】
由题意可知,,,
所以,
记,故.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了终边相同的角，属于容易题.
11．C
【分析】
根据集合中角所处的范围，判断集合的关系.
【详解】
由题知，，，
，
故对选项一一分析知，.
故选：C.
12．A
【分析】
变换得到，根据得到答案.
【详解】
解：，，故角的终边在第一象限.
故选：A.
13．－5 －60
【解析】
由题意结合任意角的定义可知，钟表拨快10分钟，
则时针所转成的角度是，
分针所转成的角度是.
点睛：角的概念中要注意角的正负，特别是表的指针所成的角要分清楚究竟是顺时针问题还是逆时针问题.
14．．
【分析】
找到角的一个终边相同的角，然后根据对称性可得结果.
【详解】
因为，所以的终边与的终边相同．
又因为的终边与的终边关于x轴对称，
所以的终边与的终边相同，所以．
故答案为：
【点睛】
本题考查终边相同的角的概念，属基础题.
15．①②④
【分析】
根据终边相同的角的表示方法，分别判断每个角的终边所在象限，即可得到其三角函数值的符号.
【详解】
因为156°是第二象限的角，所以，故①正确；
是第三象限的角，所以，故②正确；
2是第二象限的角，因此，故③错误；
是第四象限的角，所以，故④正确；
是第二象限的角，所以，故⑤错误.
故答案为：①②④
【点睛】
此题考查判断已知角的三角函数值的正负，关键在于准确判定角的终边所在象限.
16．
【分析】
根据终边相同的角的公式求解即可.
【详解】
解：与弧度数为2021角终边相同的角为
所以绝对值最小的角是
故答案为：
17．（或）
【解析】
【分析】
利用终边相同的角的集合概念即可得出．
【详解】
∵，
∴在0到2π范围内，与角终边相同的角是（或）．
故答案为：（或）．
【点睛】
本题考查了终边相同的角的集合的概念，属于基础题．
18．
【分析】
由直接得答案
【详解】
解：因为
所以与1991°终边相同的最小正角为
故答案为：
【点睛】
此题考查了终边相同角的定义和表示方法，属于基础题.
19．（Ⅰ）单调递增区间是；
单调递减区间是
（Ⅱ） 面积的最大值为
【详解】
试题分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简函数 的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；
（Ⅱ）首先由 结合（Ⅰ）的结果，确定角A的值，然后结合余弦定理求出三角形面积的最大值.
试题解析：
解：（Ⅰ）由题意知
由 可得
由 可得
所以函数 的单调递增区间是 ；
单调递减区间是
（Ⅱ）由 得
由题意知为锐角，所以
由余弦定理：
可得：
即： 当且仅当时等号成立.
因此
所以面积的最大值为
考点：1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.
20．
（1）见解析；
（2）见解析.
【分析】
（1），再由终边相同的角求解即可；
（2），再由终边相同的角求解即可；
（1）
，
它是第二象限角，
与终边相同的角的集合为.
（2）
，
它是第四象限角，
与其终边相同的角的集合为.
21．（1）；（2）.
【分析】
（1）计算即得解；
（2）计算即得解.
【详解】
（1）分针所转过的角度；
（2）分针所转过的角度.
22．
（1），第二象限角
（2），第一象限角
（3），第三象限角
（4），第四象限角
【分析】
（1）根据题意，结合与角终边相同的角为，即可求解；
（2）根据题意，结合与角终边相同的角为，即可求解；
（3）根据题意，结合与角终边相同的角为，即可求解；
（4）根据题意，结合与角终边相同的角为，即可求解.
（1）
因为，所以在范围内，与终边相同的角为，为第二象限角.
（2）
因为，所以在范围内，与终边相同的角为，为第一象限角.
（3）
因为，所以在范围内，与终边相同的角为，为第三象限角.
（4）
因为，所以在范围内，与终边相同的角为，为第四象限角.
23．，终边在第一、三象限
【分析】
直接运算求得，分k是奇数和偶数讨论终边位置.
【详解】
∵，∴，
当k是偶数时，角的终边在第一象限，当k是奇数时，角的终边在第三象限,
∴角终边在一、三象限.
24．－330°，390°，750°．
【分析】
根据终边相同角的表示方法判断．
【详解】
，，，，
因此－330°，390°，750°．与角终边相同．
25．见解析
【解析】
【详解】
设、、为互不相等的正整数，有如下恒等式：
，
，
.
当、、取不同止整数，可得无穷多组.
例如，当，，时，得；
当，，时，得；
当，，时，得.
26．（I）;（II）.
【分析】
（I）设出点P,M点的坐标，利用，找出两个点的坐标，再把点P代入圆的方程，即可求出M的轨迹方程；
（II）首先考虑直线AB斜率不存在的情况，当直线斜率存在时，设出直线AB的方程，再与椭圆联立方程组，运用韦达定理结合向量的数量积即可求出所求范围.
【详解】
（I）设，
,
代入得;
（II）①当直线AB的斜率不存在时，显然；
②当直线AB的斜率存在时，不妨设AB的方程为：
则
不妨设则：
,
,
综上所述的范围是.
【点睛】
本题主要考查求轨迹方程、向量的数量积，属于中档题.求轨迹方程的常见方法有:① 直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；② 定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③ 参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入,此类问题往往直线与椭圆联立方程组，转化为韦达定理，进而运用函数求出范围.
27．（1）；为第三象限角；（2）的值为
【分析】
（1）利用终边相同的角的表示方法，把角把改写成的形式，然后指出它是第几象限的角；
（2）利用终边相同的角的表示方法，通过的取值，求出，即可．
【详解】
解（1）由除以，得商为，余数为，
∴取，，，
又是第三象限角，
∴为第三象限角；
（2）与终边相同的角为，
令，
解得：
，
将的值代入中，
得角的值为．
28．（1），四；（2），四；（3），二.
【分析】
根据题意，进行适当改写，再根据改写后角度终边相同进行判断即可.
【详解】
（1），故其为第四象限角；
（2），故其为第四象限角；
（3），又为第二象限角，故为第二象限的角.
【点睛】
本题考查终边相同角度的改写，以及角度所处象限的判断，属简单题.
29．星期一，第100天是星期三
【分析】
根据周期的性质，可求出.
【详解】
每周7天,呈周期性变化.
今天是星期一,从明天算起,第天是经过了周期的整数倍,所以是星期一;
第100天是星期三(因为).
【点睛】
本题主要考查了周期的性质，属于容易题.
30．（1）.
（2）.
【分析】
（1）根据2秒到达第三象限，以及14秒又回到出发点A，分别求角对应的范围，然后分别考虑的取值；（2）根据面积计算公式：直接计算即可.
【详解】
（1）
又
∴①又.②
由①②可得
（2）由（1）知
又∵∴
即线段OP每秒钟扫过的扇形的面积是.
【点睛】
本题考查终边相同的角的计算，难度一般.已知终边所在位置以及的取值范围，可通过对中的进行赋值，得到的值.
31．（1）；（2）或.
【分析】
（1）利用终边相同的角的表示方法可将表示为的形式；
（2）由（1）可得，然后解不等式，求出整数的值，代入可求出的值.
【详解】
（1）.
（2）由（1）知，
因为，所以，即，
因为，所以或.
当时，；
当时，．
所以或.
【点睛】
本题考查终边相同角的表示方法，是基本知识的考查．
答案第1页，共2页
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