人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第五章5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式word版含答案

人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第五章5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、单选题
1．下列关于函数的说法错误的是（ ）
A．最小正周期为 B．最大值为1，最小值为
C．函数图象关于直线对称 D．函数图象关于点对称
2．函数的最小正周期和振幅分别是
A． B． C． D．
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．设是方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
5．已知，，则　　
A． B． C． D．
6．在中，角的对边分别为，已知，且，点满足，，则的面积为
A． B． C． D．
7．已知点在角的终边上，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知角在第三象限，且，则
A． B． C． D．
9．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．已知（），将图象上的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变时），得到的图象．的部分图象如图所示（、分别为函数的最高点和最低点）：其中，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知则以下不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为（ ）
A． B．
C． D．
二、双空题
13．已知，则______，_______．
三、填空题
14．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，则的取值范围是________．
15．已知函数，若集合，则实数的取值范围为___________.
16．已知sin（x）+cos（x），且x∈（π，2π），则_____.
17．若，，且是第二象限角，则________．
18．已知，，则______.
19．如图，图像是由（且）个完全相同的正方形构成的平面几何图形，若，则________.
20．已知且，则____.
21．记直线的倾斜角为，则的值为________.
22．已知，，则_______．
23．已知，则____________.
24．已知是第四象限角，且，则________
25．方程的解集为________.
四、解答题
26．（1）化简：， ，求cos；
（2）已知求的值.
27．在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）的值；
（2）边上的高．
条件①：，；
条件②：，．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
28．已知数列的前n项和为构成数列，数列的前n项和构成数列.
若，则
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式.
29．在中，角，，的对边分别为，，，已知．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）设，，求的值．
30．已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，角的对边分别为，若，，．求．
31．（1）已知，求的值
（2）已知，，且 .求的值；
32．已知，，
（1）求的值；
（2）求的值.
33．在中，，为锐角，角，，所对应的边分别为，，，且，．
（1）求的值；
（2）若，求，，的值．
34．设分别是三个内角的对边．
（1）若，求的值；
（2）若，试判断的形状，并说明理由．
35．已知函数
（1）求的定义域与单调区间
（2）比较与的大小
36．已知，为锐角，，，求的大小；
37．已知，其中
（1）求的值
（2）求的值
38．的内角，，所对的边分别为，，，.
（1）求；
（2）若是的外接圆的劣弧上一点，且，，，求.
39．已知且.
（1）求的值；
（2）若，，求的值.
40．已知函数，．
（1）求的值；
（2）设，，，求的值．
41．设的内角的对边长分别为，且
（1）求证：；
（2）若，求角的大小.
42．在中，角A，，所对的边分别为，，，且．
（1）若，求的面积S；
（2）若是的中点，且，，求的最短边的边长．
43．在中，．
(1)求角；
(2)若，求的值．
44．已知向量，，其中.
（1）向量，能平行吗？请说明理由；
（2）若，求和的值；
（3）在（2）的条件下，若，，求的值.
45．已知函数．
（1）求的最大值及取最大值时x的集合；
（2）求的单调递增区间．
46．中，内角的对边分别为，已知成等比数列，且．
（1）求的值；
（2）设，求的值．
47．某校100名学生期中考试化学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是，，，，.
(1)求图中的值；
(2)请根据频率分布直方图，估计这100名学生化学成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代替）及中位数.
48．已知，求的值.
49．分别计算当时，和的值．
50．如图，在，边上的中线为3，且，．
（1）求的值；
（2）求边的长
51．在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边与单位圆的交点为.
（1）求，的值；
（2）若，求函数的最小正周期和单调递增区间.
52．记.
（1）化简 ;
（2）若为第二象限角，且，求的值.
53．已知函数，.
（1）若，求函数的单调递减区间；
（2）若把向右平移个单位，图像上各点的横坐标缩短为原来的一半，得到函数，求在区间上的最值.
54．若，求的值．
55．试由余弦定理推导出正弦定理．
56．在①acosB+bcosA=cosC；②2asinAcosB+bsin2A=a；③△ABC的面积为S，且4S=(a2+b2-c2)，这三个条件中任意选择一个，填入下面的问题中，并求解，在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数=2sinωxcosωx+2cos2ωx的最小正周期为π，c为在[0，]上的最大值，求a-b的取值范围.注:如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.
57．在中，分别为三个内角的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若求和的值.
58．已知为第二象限角，且.
（1）求，的值；
（2）求的值.
试卷第页，共页
试卷第页，共页
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
将三角函数化简变形为标准形式，即可求出对应的周期，最值，对称轴，对称中心等
【详解】
函数，函数的最小正周期，A正确．
最大值为1，最小值为，B正确．
由，得函数图象关于直线对称，C不正确．
由，得函数图象关于点对称，D正确．
故选：C
2．B
【解析】
【详解】
分析：
应用诱导公式有，从而函数易化为一个三角函数的形式：，然后利用物理意义得出结论．
详解：
，∴，振幅为2，
故选B.
点睛：
函数的物理意义：表示振幅，为周期，为频率，为相位，为初相．
3．A
【解析】
【分析】
根据二倍角公式展开将分母看成1，把1改写成，分子分母同时除以化成关于的关系式，将代入即可求出的值.
【详解】
又
故选：A
4．A
【解析】
【分析】
由一元二次方程根与系数的关系，得到，再结合两角和的正切公式，即可求解.
【详解】
由题意，是方程的两个根，
可得
又由.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了两角和的正切的化简、求值，以及一元二次方程根与系数的关系，其中解答中熟记两角和的正切公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
5．A
【解析】
【分析】
由题意利用诱导公式得到，再根据角的范围、同角三角函数的基本关系，求出的值即可．
【详解】
解：，，，
则，
故选A．
【点睛】
本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．
6．D
【解析】
【分析】
运用正弦定理和余弦定理将角统一成边，再利用向量的数量积运算和三角形的面积公式结合求解.
【详解】
由，
可得，即.又，所以．
因为，所以点为的重心，
所以，所以，
两边平方得．
因为，所以，
于是，所以，
的面积为.
因为的面积是面积的倍.故的面积为．
【点睛】
本题关键在于运用向量的平方可以转化到向量的夹角的关系，再与三角形的面积公式相结合求解，属于难度题.
7．A
【解析】
【详解】
由题意可得，可得，解得或（舍去），可得，可得，故选.
8．C
【解析】
【详解】
角在第三象限，且，
所以.
所以.
故选C.
9．A
【解析】
【分析】
根据两角和的正弦公式、两角差的余弦公式先化简，然后根据同角三角比的关系可求解出的值.
【详解】
解法1：因为，所以，所以，
，
因为，所以，所以原式，
故选：A.
解法2：由诱导公式可知，，
因为，所以，所以原式，
故选：A.
10．C
【解析】
【分析】
先求出的解析式，再利用得到，进而求出，所以，
【详解】
由，
∴，因为、分别为函数的最高点和最低点，所以，由，即
∴，∴为正三角形，又的高为，
∴
∴，
∴即，
∴，
故选：．
11．D
【解析】
【分析】
根据函数图象的单调性与对称性，以及1,2,3与对称轴的距离，即可判断函数值的大小.
【详解】
，
在上是增函数，在上是减函数；
且的图象关于对称，
又，
.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的图象与性质，解题时单调性与对称性的应用是关键，属于中档题.
12．B
【解析】
【分析】
先根据韦达定理列条件，再根据同角三角函数关系列方程，解得结果.
【详解】
因为是方程的两根，
所以，
因为，
所以，
因为 ，所以，
故选：B．
【点睛】
本题考查韦达定理以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属于基础题.
13．
【解析】
利用倍角可求的值，因为，故可利用两角差的正弦求得的值.
【详解】
，
因为，故，而，
故，故，
因为，故，所以，
故，
所以
.
故答案为：，.
【点睛】
思路点睛：三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法．
14．
【解析】
由已知求得的取值范围是，由正弦定理把表示为的三角函数，由三角函数恒等变换结合正弦函数性质可得取值范围．
【详解】
由正弦定理得：所以
因为三角形为锐角三角形，所以，从而得，所以，所以．
故答案为：．
【点睛】
本题考查正弦定理，考查二倍角公式、两角差的正弦公式，正弦函数性质．三角形中与边长有关的范围问题常常利用正弦定理或余弦定理转化为三角形内角的函数，然后由三角函数知识求得结论．
15．
【解析】
【分析】
设，，，利用同角的三角函数的基本关系式化简可得，利用线段差的几何意义可得实数的取值范围.
【详解】
，
设，，，
则，
如图，
，当且仅当三点共线且在之间时等号成立，
又，故的最大值为.
因为集合，故，故.
故答案为：.
【点睛】
本题考虑无理函数的最值，对于无理函数的最值问题，首选方法是利用导数求其单调性，其次可利用几何意义来求最值，本题属于难题.
16．7
【解析】
【分析】
结合已知和差角公式可求，然后结合同角基本关系即可求解.
【详解】
，∴，
，
，，
则.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了两角和与差的三角公式及同角三角函数基本关系的简单应用，属于中档试题.
17．
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系求出、的值，然后利用两角差的正切公式可求得的值.
【详解】
是第二象限角，所以，，则，
又，因此，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用两角差的正切公式求值，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于基础题.
18．
【解析】
【分析】
把两个条件平方相加，再利用两角差的余弦公式求得的值．
【详解】
，，将两式平方可得：
①，
②，
将①和②相加可得：，
即，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查同角三角函数间的基本关系和两角差的余弦公式的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
19．
【解析】
【分析】
本题可设正方形的边长为，然后根据题意得出、，最后根据两角和的正切公式即可得出结果.
【详解】
设正方形的边长为，
则，，
因为，
所以，解得或（舍去），，
故答案为：.
20．
【解析】
【分析】
由且，可求出，进而可求出，从而可求出，结合，可求出答案.
【详解】
由，可得，
所以，即，
又，所以，
即，解得，，
所以，则.
故答案为：.
【点睛】
本题考查两角和与差的正切公式的应用，考查同角三角函数关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
21．
【解析】
【详解】
∵直线的斜率为2，
∴，
∴，
，
∴．
答案：
22．.
【解析】
利用角变换结合正切的差角公式可求解.
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题考查角变换和正切的差角公式的应用，属于基础题.
23．
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系求得sin（α﹣β）和cos（α+β）的值，再利用两角和的余弦公式求得cos 2α＝cos[（α+β）+（α﹣β）]的值，再利用二倍角公式求得
【详解】
∵已知β＜α，cos（α﹣β），sin（α+β），
∴π＜α+β，0＜α﹣β．
∴sin（α﹣β），cos（α+β），
则cos 2α＝cos[（α+β）+（α﹣β）]＝cos（α+β）cos（α﹣β）-sin（α+β）sin（α﹣β）
,
【点评】
本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，准确变形cos 2α＝sin[（α+β）+（α﹣β）]是关键，属于中档题．
24．
【解析】
【详解】
∵θ是第四象限角，
∴ +2kπ<θ<2kπ,则 +2kπ<θ+<+2kπ，k∈Z，
又sin(θ+)=，
∴cos(θ+)==.
∴cos( θ)=sin(θ+)=,sin( θ)=cos(θ+)=.
则tan(θ )= tan( θ)=.
故答案为.
25．
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值运算可得．
【详解】
解：
或
即
故答案为
【点睛】
本题考查特殊角的三角函数值，属于基础题．
26．（1）；（2）.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）由和即可得解；
（2）由及，结合角的范围，即可得和.
试题解析：
（1） 解： ①
②
①+②得：
代入①得：
（2）∵ ∴
又，∴，
而 ∴，
∴
∴.
27．答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】
选择条件①：
（1）根据余弦定理及题干条件，即可求得b值.
（2）设边上的高为，则可求得的面积，又，利用等面积法即可求得答案.
选择条件②：
（1）根据条件，可求得、，根据正弦定理，可得，即可求得b值.
（2）根据（1）可求得，设边上的高为，则可求得的面积，又，利用等面积法即可求得答案.
【详解】
选择条件①：
（1）因为，，
由余弦定理，及得，
得，即，
解得．
（2）设边上的高为，则，
又因为，
所以，
所以．
选择条件②：
（1）因为，，
所以，且．
因为，，
所以，且．
由正弦定理，得，即，
又因为，所以，．
（2），
设边上的高为，则，
又因为，
所以，
所以．
28．（1）；（2）
【解析】
【详解】
试题分析：（1）数列的项与前项和的关系是：，检验时是否满足上式，如果满足合写成一个，如果不满足，分段来写，此题已知数列的前项和，所以可直接求通项公式；
（2）求数列前项和时，首先观察通项公式的形式，选择合适的求和方法，常见的求和方法有：①裂项相消法（把通项公式裂成两项的差，在求和过程相互抵消）；②错位相减法（通项公式是等差乘以等比的形式）；③分组求和法（一般就是根据加法结合律，把求和问题转化为等差求和以及等比求和）;④奇偶并项求和法（一般像这种乘以等差数列，可以分析相邻项的特点），观察的通项公式，可利用错位相减法和分组求和法求解．
试题解析：（1）当时， 2分
当 4分
=
综上所述： 6分
（2）
7分
相减得：
= 10分
所以 12分
因此 14分
考点：1、前n项和与通项公式的关系；2、数列求和．
29．（Ⅰ）；（Ⅱ）或
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用正弦定理化简边角关系式，利用两角和差正弦公式整理后可求得，从而得到；（Ⅱ）根据正弦定理求得，利用同角三角函数关系求得，根据二倍角公式得到，；代入两角和差正弦公式求得结果.
【详解】
（Ⅰ）由正弦定理可得：
即
，又
（Ⅱ）由正弦定理得：
，
当时，
当时，
或
【点睛】
本题考查正弦定理化简边角关系式、正弦定理解三角形、两角和差正弦公式的应用、二倍角公式、同角三角函数关系的应用问题，属于常规题型.
30．(1)单调递增区间为，
(2)
【解析】
【分析】
（1）由三角恒等变换整理得，再整体代换求解即可；
（2）由题解得，再结合余弦定理求解即可.
(1)
解：函数数
令，得，
的单调递增区间为，；
(2)
解：由，即，
∵，∴，得
由余弦定理，得，解得．
31．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用齐次式的知切求弦即可得解；
（2）利用同角三角函数的公式求得sinα以及cos（α﹣β），再利用凑配法cos（2α﹣β）=cos[（α﹣β）+α]，代入即可得解.
【详解】
（1）分子 分母同除以，得
.
（2）∵，∴α﹣β∈（，），
又∵，，
∴sinα，cos（α﹣β），
∴cos（2α﹣β）=cos[（α﹣β）+α]=cos（α﹣β）cosα﹣sin（α﹣β）sinα
.
32．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角和两角和差公式构造出关于正余弦的齐次式，配凑出即可求得结果；
（2）利用诱导公式化简已知等式得到关于正余弦的齐次式，配凑出即可求得结果.
【详解】
（1）；
（2），，
.
33．（1）；（2），，．
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角公式由，可求出，再求得，由求出的值，从而由两角和的余弦公式可求出，从而可求出的值；
（2）由正弦定理可得，再结合可求出的值，再由余弦定理可求出
【详解】
解：（1）∵，∴，
∵锐角，∴．
∴．
∵，锐角，∴．
∴．
∵，为锐角，所以
∴．
（2）．
∴．
∴解得：，．
由（1），∴．
∴．
∴．
34．（1）；（2）直角三角形.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）由，根据同角三角函数之间的关系求出的正弦值，再根据诱导公式以及两角和的正弦公式可得结果；（2）由，化简可得＋)＝，从而可得＋＝，进而知,即可得结论.
试题解析：(1)∵cos B＞0，cos C＞0，∴0＜B＜，0＜C＜，
∴sin B＝＝，
sin C＝＝＝.
∴sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C
＝×＋×＝.
(2)sin＋sin＝sin＋sin(－)＝sin＋cos＝sin(＋)＝，
∴sin(＋)＝1. 又0＜A＜π，
∴＋＝，即A＝，故△ABC是直角三角形.
35．（1）的定义域为，单调递增区间为;（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据正切型函数定义域和单调区间的求法，求得的定义域和单调区间.
（2）利用诱导公式、两角和的正切公式化简求得与的值，由此比较出两者的大小.
【详解】
（1）由解得，故的定义域为，单调递增区间为.
（2），，所以.
【点睛】
本小题主要考查正切型函数的定义域、单调区间的求法，考查诱导公式、两角和的正切公式，属于基础题.
36．
【解析】
【分析】
由，，求出的值，而，给两边取余弦，化简求出的值，从而可得的值
【详解】
解：因为，为锐角，所以，
因为，，
所以，
，
所以
，
因为为锐角，所以
【点睛】
此题考查同角三角函数的关系的应用，考查两角差的余弦公式的应用，属于基础题
37．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由，可得，两边平方后可得所求．（2）根据题意求出，然后根据求解即可．
【详解】
（1）因为，
所以，
所以，
所以．
（2）因为，，
其中，，
，
所以
．
【点睛】
在解决三角中的给值求值问题时，解题的关键往往是要进行角的变换，将已知条件作为整体进行求解；同时在运用平方关系求三角函数值时，要注意所得结果的符号．
38．（1）；（2）3.
【解析】
【分析】
(1)利用正弦定理边化角，再用差角的余弦公式展开化成正切即可得解；
(2)利用余弦定理求出边b，借助圆内接四边形性质求得，最后又由余弦定理建立方程得解.
【详解】
（1）中，由正弦定理有，
从而，化简得，，
因为，即，所以，又，故.
（2）在中，由余弦定理知，
，即.
又由于，，，四点共圆，从而，
在中，设，由余弦定理得，，
即得，化简得，，解得或（舍去），
故.
【点睛】
思路点睛：已知两边及一边的对角求第三边的三角形问题，可用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解.
39．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将已知条件两边平方，求得的值，进而求得的值.
（2）先求得的值，然后利用，结合两角差的余弦公式，求得的值.
【详解】
（1）因为，两边同时平方，得，
，.
又，所以.
（2）因为，，
所以，故.
又，得，
所以
.
【点睛】
本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查三角恒等变换，属于中档题.
40．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）直接代入计算可求得答案；
（2）由的范围计算出、、、，代入利用余弦两角和公式可得答案.
【详解】
（1）．
（2）∵，
∴．又，
∴，，
故．
41．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由余弦定理结合，利用基本不等式求解.
（2）由，利用两角和与差的余弦公式得到，再由 ，利用正弦定理求解.
【详解】
（1）由余弦定理得，
所以，当且仅当 a=c时等号成立.
（2）因为，
所以，
，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以，
由（1）知为锐角，
所以.
【点睛】
方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
42．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理，结合诱导公式，可得，代入面积公式，即可得答案.
（2）根据题意，可得，由正弦定理边化角，结合诱导公式、两角和的正弦公式，整理可得，在中，由余弦定理、正弦定理，可求得a值，进而可得b，c值，即可得答案.
【详解】
解：（1）由正弦定理可知：，
则，
，
，
则，
的面积．
（2）由，可得，
，
∴由正弦定理得，
，
，
则，
，得，
在中，由余弦定理得，
，
，且，
∴由正弦定理得，，
， ∴ 解得，
．
的最短边的边长为．
43．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）、先利用降幂公式，再用两角和的余弦公式逆用，化简即可得到角的值；
（2）、先求出，再根据利用两角差的正弦公式求值即可.
(1)
，
，
，，，．
(2)
由（1）可知，，
,,
,
.
44．（1）不能平行，说明见解析；（2）；（3）；
【解析】
【分析】
（1）假设，能平行，利用向量共线的坐标表示可得，即可知，不能平行；（2）由向量垂直的坐标表示，结合同角三角函数正余弦的平方关系即可求和的值；（3）由题意有，应用两角和余弦公式有，求值即可知的值.
【详解】
（1）若向量，能平行，则，即，显然不成立，所以向量，不能平行；
（2）由，有，而且，
∴；
（3）由，知：，
结合（2），又，，
∴.
【点睛】
本题考查了向量共线、垂直的坐标表示，结合同角正余弦三角函数关系以及两角和余弦公式的应用，属于基础题.
45．（1）最大值为7，取最大值时x的集合为 （2）
【解析】
利用二倍角公式和辅助角公式将函数化为
（1）令，求得即为取最大值时的集合，同时代入可得最大值；
（2）令求得的范围即为所求的单调递增区间.
【详解】
（1）令，即，解得：
即当时，取最大值
最大值为，取最大值的集合为
（2）令得：
的单调递增区间为
【点睛】
本题考查正弦型函数最值和单调区间的求解问题，关键是能够利用二倍角和辅助角公式将函数化为正弦型函数的形式，利用整体对应的方式求得最值和单调区间.
46．（1）；（2）3
【解析】
【分析】
（1）先算出的值，再对进行化简，然后得到相应的值；（2）对进行边化角，由得到，再由余弦定理，得到，从而得到
【详解】
（１）由，且，
则，
（2）由成等比数列，可得
由正弦定理，
可得
，
得
所以，即
由余弦定理得：
所以得
.
【点睛】
本题考查同角三角函数关系，正余弦定理解三角形，属于简单题.
47．(1)
(2)平均数73，中位数
【解析】
【分析】
（1）由频率和为1求解即可；
（2）以各区间中点值代表各组的取值,进而求得平均数；求出从左边开始小矩形的面积的和为0.5对应的横轴的值即为中位数
(1)
由频率分布直方图知,
解得
(2)
估计这100名学生化学成绩的平均分为:
设中位数为,则
解得,故估计中位数为：.
48．
【解析】
【分析】
根据诱导公式和余弦的二倍角公式求解即可。
【详解】
解：因为，
所以
49．，.
【解析】
【分析】
利用正反函数以及同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解.
【详解】
设，由反函数的性质得：，
，即，
，即.
50．（1） （2）
【解析】
（1）由同角的三角函数的关系和两角差的正弦公式即可求出；
（2）由正弦定理和余弦定理即可求出．
【详解】
解：（1）因为，所以．
又，所以，
所以
．
即
（2）在中，由得，
解得．
故，从而在中，由
，
得．
【点睛】
本题考查差角的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题．
51．（1），；（2）最小正周期，递增区间
【解析】
（1）由三角函数的定义结合诱导公式直接求解；
（2）结合（1）可知，整理得，可求得函数周期与单调增区间.
【详解】
（1）角的终边与单位圆的交点为，
，
（2），且，可知
，，即最小正周期为
由，得
所以函数的单调递增区间为
【点睛】
方法点睛：函数的性质：
(1) .
(2)周期
(3)由 求对称轴
(4)由求增区间；由求减区间.
52．（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）直接利用诱导公式化简即可；
（2）由求出，代入即可求解.
【详解】
（1）
（2）因为为第二象限角，且，
所以，
所以.
53．（1）；（2）最小值为，最大值为.
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角公式、两角和的正弦公式进行化简函数解析式，然后根据正弦型函数的单调性进行求解即可；
（2）根据函数平移求出函数的解析式，然后根据正弦型函数的单调性求出在区间上的最值.
【详解】
（1），
令，，
得，，
又，
可得函数的单调减区间为.
（2）由（1）知，
把向右平移个单位，图像上各点的横坐标缩短为原来的一半，
得到，因为
，所以
故的最小值为，最大值为.
【点睛】
本题考查了正弦型函数的单调性及最值，考查了两角和正弦公式、二倍角公式，考查了数学运算能力.
54．.
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简已知和结论，转化为给值求值的三角函数问题解决.
【详解】
原式=
==
=-，
因为，
所以，所以为第一象限角或第四象限角．
(1)当为第一象限角时，=，
所以=，所以原式=-.
(2)当为第四象限角时，=-，
所以=-，所以原式=.
综上，原式=.
55．证明见解析
【解析】
【分析】
结合同角的平方关系以及余弦定理，化简整理即可证出结论.
【详解】
在中，角所对应的边为，
，
同理可证，
,
故.
56．三种情况，a-b的取值范围都是
【解析】
【分析】
对于①，利用正弦定理结合条件得到角C的大小，再用正弦定理用角A表示边a，b，从而得到三角函数式，进而用三角恒等变换和三角函数有界性得到结果；对于②，利用正弦定理，结合条件得到角C的大小，同①得到结果；对于③，利用余弦定理，结合条件得到角C的大小，同①得到结果.
【详解】
函数=2sinωxcosωx+2cos2ωx
，
函数的最小正周期为π，则，，
当[0，]，，
，故c=3,
若选①，acosB+bcosA=cosC,
由正弦定理得
可得，
,
又C为三角形内角，则，
由正弦定理得，
∴，，
则
,
因为
故.
若选②，2asinAcosB+bsin2A=a，
由正弦定理得，
，
，
又C为三角形内角，则，（舍去），
由正弦定理得，
∴，，
则
,
因为
故.
若选③，△ABC的面积为S，且4S=(a2+b2-c2)，
可得,
,
,
又C为三角形内角，则，
由正弦定理得，
∴，，
则
,
因为
故.
【点睛】
本题主要考查解三角形、三角恒等变换等知识，考查考生的转化与化归能力、运算求解能力，属于中等题.
57．（1）； （2）.
【解析】
【分析】
（1）化为，由余弦定理可得，从而可得结果；（2）由余弦定理求得，再由正弦定理求得，根据二倍角的正弦、余弦公式，结合两角差的正弦公式可得结果.
【详解】
（1）由已知，得：，
由余弦定理，得：，，
即，又,所以.
（2）
，
又 ，
，
,，
.
【点睛】
本题主要考查正弦定理余弦定理的应用以及二倍角公式的应用，属于中档题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
58．（1）,；（2）4.
【解析】
【分析】
（1）根据，解出，，求出，根据正切的二倍角公式求出；
（2）化简得到，从而求出答案.
【详解】
（1）因为且，
解方程组得到，（舍去）或，
所以
；
（2）=4.
【点睛】
主要是考查了三角函数的化简与求值的运用，属于基础题。
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