人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第五章5.6函数y=Asin（wxψ）word版含答案

人教A版（2019）必修第一册逆袭之路第五章5.6函数y=Asin（wx ψ）
一、单选题
1．已知函数f(x)＝sinx－cosx，则把函数f(x)的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的一条对称轴方程为
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
2．将函数的图象,先向右平移个单位长度，再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则函数的一个单调递减区间可以是
A． B．
C． D．
3．已知曲线：，：则下面选项正确的是（ ）
A．先把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
B．先把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C．先把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
D．先把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
4．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象．若，且，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数的部分图象如图所示.给出下列结论：
①，，；
②，；
③点为图象的一个对称中心；
④在上单调递减.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
6．函数其中的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点　　
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
7．将函数的图象向右平移个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得函数的图象，则图象的一个对称中心为
A． B． C． D．
8．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且的图像关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．下列不等式中，恒成立的个数是（ ）
①；
②；
③；
④．A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递减 D．函数在上有个零点
11．设函数，则下列结论正确的是
A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称
C．的一个零点是 D．在单调递增
12．已知函数，（，）的部分图象如图所示，其中点，分别是函数的图象的一个零点和一个最低点，且点的横坐标为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
13．定义在上的函数满足，，则实数的取值构成的集合是（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数，是奇函数，则
A．在上单调递减 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递增
15．设函数f（x）＝sin（ωx+φ）cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的图象与直线y＝2的两个相邻的交点之间的距离为π，且f（x）+f（﹣x）＝0，若g（x）＝sin（ωx+φ），则（　 　）
A．g（x）在（0，）上单调递增 B．g（x）在 （0，）上单调递减
C．g（x）在（，）上单调递增 D．g（x）在（，）上单调递减
16．已知函数，把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若存在，且，使得，则（ ）
A． B． C． D．
17．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
18．函数的图象如图所示，现将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
19．如图是某市夏季某一天从6时到14时的气温变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则该市这一天中午12时的气温大约是______（注：）．
20．是上的偶函数，其图像关于点对称，且在上是单调函数，则的值为______
21．已知函数图像上任意一点关于点的对称点在的图像上，且函数的图像关于对称，则的最小正整数值为________．
22．若在区间上单调递增，在区间上单调递减，则________.
23．已知函数的部分图像如图所示，则点的坐标为___.
24．将函数 的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则 的最小值为______．
25．在中，若，则的最大值为________.
26．据市场调查，某种商品一年内的销售量按月呈的模型波动（为月份），已知3月份达到最高量9000，然后逐步降低，9月份达到最低销售量5000，则7月份的销售量为_______．
27．函数（）的图像与其对称轴在轴右侧的交点从左到右依次记为，，，，，，在点列中存在三个不同的点、、，使得△是等腰直角三角形，将满足上述条件的值从小到大组成的数列记为，则________.
三、解答题
28．已知函数．
（1）用五点法画出函数在区间上的图象，长度为一个周期；
（2）说明的图象可由的图象经过怎样变换而得到．
29．已知函数.
（Ⅰ）求函数y＝f（x）图象的对称轴和对称中心；
（Ⅱ）若函数，的零点为x1，x2，求cos（x1﹣x2）的值．
30．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式，并求它的对称中心的坐标；
(2)将函数的图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，求函数，的最值及相应的值.
31．已知函数满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是：①，②周期，③过点，④．
（1）写出所满足的3个条件的序号（不需要说明理由），并求的解析式；
（2）求函数的图象与直线相邻两个交点间的最短距离．
32．已知函数，在同一周期内，当时，取得最大值：当时，取得最小值.
（1）求函数的解析式；
（2）若时，函数有两个零点，求实数的取值范围.
33． 已知函数
（1）将函数的图像作怎样的平移和伸缩变换可以得到；
（2）计算
34．已知函数.
（Ⅰ）试用“五点法”画出函数在区间的简图；
（Ⅱ）指出该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
35．用五点法作图：.
36．利用“五点法”作函数（）的图象．
37．；，是的什么条件？并说明理由．
38．已知.
（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
试卷第页，共页
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参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
先由辅助角公式化简，再利用函数的图象变换规律，求得的解析式，根据正弦函数的图象的对称性，可得出结论.
【详解】
把函数f(x)＝sinx－cosx＝sin的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，
可得y＝sin的图象，
再向右平移，得到函数g(x)＝sin＝sin的图象，
令＝kπ＋，求得x＝2kπ＋，k∈Z.
k＝0时，可得函数g(x)的一条对称轴方程为x＝.故选B.
【点睛】
本题主要考查函数的图象变换规律，以及正弦函数的图象的对称性，属于基础题.由可得函数的对称轴方程；由可得函数的对称中心横坐标.
2．C
【解析】
【详解】
易知 ,将的图象先向右平移个单位长度，再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则,由题意，得，
∴，故选C．
3．D
【解析】
【分析】
根据题意先进行横坐标的压缩变换，再进行横坐标的平移变换即可得答案.
【详解】
解：曲线：图象上的个点的横坐标缩短为原来的，坐标标不变得，再将图象上的点的向左平移个单位即可得到，即曲线.
故选：D.
【点睛】
本题考查三角函数的图象变化，是基础题.
4．C
【解析】
首先利用函数图象的平移变换的应用求出新函数的关系式，进一步利用函数的最值的应用求出结果．
【详解】
解：函数的图象向左平移个单位，得到的图象，再向上平移1个单位，得到的图象，
由于若，且，，
所以函数在和时，函数都取得最大值．
所以，解得，
由于且，，所以，同理，所以．
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题．
5．D
【解析】
【分析】
根据图象，先求函数的解析式，再根据解析式判断函数的性质.
【详解】
由图象可知，，，再由，得，故①不正确，②正确；由于为图象的一个对称中心，又的最小正周期为，故其全部的对称中心为，当时，对称中心为，故③错误；由于为的单调递减区间，的最小正周期为，故的单调递减区间为，当时即为，故④正确.
故选：D.
【点睛】
思路点睛：本题考查的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线或点是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求的范围，验证此区间是否是函数的增或减区间.
6．D
【解析】
【分析】
首先根据函数图象求出函数的周期，进一步利用函数经过的点的坐标求出函数的解析式，进一步利用函数的图象变换求出结果．
【详解】
根据函数的图象，
所以：，
，
当时，函数，
即：．
解得：，
所以：
要得到的图象只需将函数向右平移个单位，
即．
故选D．
【点睛】
已知函数的图象求解析式
(1).
(2)由函数的周期求
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.
7．D
【解析】
【详解】
将函数的图象向右平移个单位,可得的图象；
再把所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),可得的图象．
令,求得,令k=0,可得g(x)图象的一个对称中心为，
本题选择D选项.
8．A
【解析】
【分析】
根据平移的性质和函数图像关于y轴对称的性质解出，结合即可得出结果.
【详解】
将函数的图像向右平移个单位长度后得到
函数的图像对应的函数为，
因为的图像关于y轴对称，所以，
解得，又，
所以当时，取最小值，且为3.
故选：
9．C
【解析】
【分析】
①，②，④式可通过作差法判定；③式可通过举例子判定.
【详解】
①因为
，恒成立
所以恒成立.
②因为恒成立，所以恒成立.
③当时，有，此时.
④因为
恒成立，
所以恒成立.
故选：C.
10．C
【解析】
先根据题意求解析式，然后用整体代入的思想求出函数的所有对称轴、对称中心、单调递减区间及零点，逐一判断各选项，即可得出结论.
【详解】
最小正周期是，
它的图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，
为奇函数，则，
，，
，
由得，
则的图象不关于对称，故选项A错误；
由得，
则的图象不关于对称，故选项B错误；
由，得，
则的单调递减区间为
取，得区间，
由，知选项C正确；
函数的零点为，
则函数在上有和两个零点，故选项D错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查了三角函数的图象变换，单调性、奇偶性、对称中心、对称轴等性质，属于中档题.
11．B
【解析】
【分析】
根据周期公式计算可知，选项A错误；根据的余弦值可知，选项B正确且选项C错误；根据区间的长度大于半个周期可知，选项D错误.
【详解】
因为，所以选项A错误；
因为，所以选项B正确；
因为，所以选项C错误；
的最小正周期为，在内不可能是单调的，选项D错误.
故选：B.
【点睛】
本题考查了余弦函数的周期性，对称轴，零点和单调性，属于基础题.
12．D
【解析】
【分析】
利用条件可得，进而利用正弦函数的图象的性质可得，再利用正弦函数的性质即求.
【详解】
由题知，设，
则，
∴，∴，
∴，
将点代入，
解得，又，
∴.
故选：D.
13．D
【解析】
【分析】
根据，求导 ，得到在R上是增函数，再根据，利用单调性定义求解.
【详解】
因为，
所以 ，
所以在R上是增函数，
因为 ，
所以，
即
解得或 ，
故实数的取值构成的集合是.
故选：D
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性以及利用单调性解不等式，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
14．B
【解析】
【详解】
分析：因为是奇函数，所以，故，令，则的单调减区间为，从而可以知道在上单调递减.
详解：，因是奇函数，
故，也即是
，化简得
，
所以，故，从而，
又，故，因此.
令， ，故的单调减区间为，故在上单调递减.选B.
点睛：一般地，如果为奇函数，则，如果为偶函数，则.
15．C
【解析】
根据的奇偶性和周期性求得参数，再求的单调区间即可.
【详解】
函数f（x）＝sin（ωx+φ）cos（ωx+φ）＝2sin（ωx+φ）．
由于函数的图象与直线y＝2的两个相邻的交点之间的距离为π，所以T＝π，解得ω＝2．
由于f（x）+f（﹣x）＝0，所以函数为奇函数．所以φkπ（k∈Z），由于|φ|，
所以当k＝0时，φ．
所以g（x）＝sin（2x）．
令：（k∈Z），
解得：（k∈Z），
当k＝0时，g（x）在（，）上单调递增．
故选：C．
【点睛】
本题考查由三角函数的性质求解三角函数的解析式，以及正弦型三角函数的单调区间.
16．C
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简可得，且，，，根据图象平移变换求出的解析式，进而可得的对称轴，根据可得，代入结合诱导公式即可求解.
【详解】
，
其中，，可得，
则，
令，可得
当时，图象的对称轴方程为，
所以，可得，
故选：C.
17．A
【解析】
首先判断函数的奇偶性，排除掉错误选项，然后代入特殊值计算函数值可得.
【详解】
因为，所以可得函数在上是奇函数，所以排除C和D，又因为时，，故排除B，所以函数在区间的图象大致是A.
故选：A.
18．D
【解析】
【分析】
根据图像求出正弦型函数基本量，再由通过平移得解.
【详解】
由图可知，过点，解得，
将的图像向右平移个单位
得到.
故选:D.
19．27℃
【解析】
【分析】
根据所给函数图象求出正弦型函数的解析式，根据解析式计算时的函数值即可求解.
【详解】
由题图，可知，，
所以，．
设该函数的最小正周期为T，
因为，所以，于是，
所以．
因为该图象经过点，
所以，
所以，所以，
所以，
又，
所以，
所以．
当时，（℃）．
故答案为：27℃
20．
【解析】
【分析】
由是上的偶函数，可得，即，由函数图像关于点对称，可得，，再结合函数的单调性可得，综合条件即可得解.
【详解】
解：由是上的偶函数，则，
又，则，即，
令，则为此方程的解，则，，
由在上是单调函数，则，即，
则，
故答案为.
【点睛】
本题考查了三角函数的奇偶性、对称性及单调性，重点考查了三角函数性质的应用，属中档题.
21．
【解析】
【分析】
由对称的特点可得，再根据的图像关于对称可得，即可得出所求.
【详解】
设点的坐标为，其关于点的对称点为，
∵在的图像上，则，即，
又∵图像关于对称，∴是()的一个解，
即，即，，则的最小正整数值为．
故答案为：3.
22．1
【解析】
【分析】
函数过原点，在区间上单调递增，在区间上单调递减，可得，解得T，即得。
【详解】
由题得，函数过原点，可得函数的是，则有，，.
故答案为：1
【点睛】
本题考查根据正弦函数的周期求，是基础题。
23．
【解析】
先利用周期算出，再代入点即可》
【详解】
由题意，可得，即，所以，即，
由函数经过点且为单调递减区间的零点，所以，解得，又由，所以，
故答案为：.
【点晴】
此题考根据函数图像求解析式，属于简单题.
24．2
【解析】
【详解】
试题分析：由题意得：函数周期满足，即的最小值为2.
考点：三角函数周期
25．
【解析】
由求出角B，代入化简等式，利用两角和与差的三角函数公式即二倍角公式进一步化简等式可得，由角A的范围求出的最大值即可求得等式得最大值.
【详解】
因为，所以，
又，所以，，则，
，
由知，
当时，取得最大值1，
此时.
故答案为：
【点睛】
本题考查三角恒等变换化简式子，正弦型函数的单调性与最值，属于中档题.
26．6000
【解析】
【分析】
根据已知条件求得的解析式，由此求得的值.
【详解】
依题意，解得.
，
当时，，由于，所以，
则，
.
故答案为：
27．
【解析】
【分析】
首先求函数与对称轴的交点，，根据为等腰直角三角形，且，此等腰直角三角形斜边的高是2，底边长为4，根据交点坐标表示底边长，再根据数形结合可知，最后表示求值.
【详解】
函数的对称轴是
，
解得，
，
为等腰直角三角形，且，
此等腰直角三角形斜边的高是2，底边长为4，
即，即，
，
而，
，
.
故答案为
【点睛】
本题考查函数性质的综合运用，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，本题的一个关键点是根据数形结合分析出，从而求得的通项公式.
28．（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换公式化简函数解析式，然后列表、描点、连线可得函数在区间上的图象；
（2）根据三角函数的图象变换规律可得答案.
【详解】
（1）由
．
列表：
描点、连线可得函数在区间上的图象：
（2）把图象上所有点向右平移个单位，得到的图象，再把的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象，然后把的图象上所有点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到的图象，再将的图象上所有点向上平移1个单位，即得到的图象．
29．（Ⅰ）对称轴方程为x，k∈Z，对称中心为（，0），k∈Z；（Ⅱ）±．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先利用三角恒等变换化简目标函数，然后求解对称轴和对称中心；
（Ⅱ）先求出的零点，然后求解cos（x1﹣x2）的值．
【详解】
函数sin4xcos4x＝sin（4x），
（Ⅰ）由4x，k∈Z，可得f（x）的对称轴方程为x，k∈Z，
令4xkπ，k∈Z，则x，k∈Z，∴f（x）的对称中心为（，0），k∈Z；
（Ⅱ）根据函数，可得g（x）＝sin（4x），的零点为x1，x2，
∴sin（4x1）0，即sin（4x1），∴2sin（2x1）cos（2x1），
∴，∴．
由（Ⅰ）知，f（x）在内的对称轴为x，则x1+x2，∴x2x1，
∴cos（x1﹣x2）＝cos（x1﹣（x1）＝cos（2x1）＝sin（2x1）
＝sin（2x1）＝sin（2x1）
＝±．
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质及恒等变换，把目标函数化为标准型函数是求解的关键，零点的转化有一定的技巧，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.
30．(1)，对称中心坐标为；(2)，此时；，此时.
【解析】
【详解】
试题分析：⑴由图象求得振幅，周期，利用周期公式可求，将点代入解得，求得函数解析式，又，解得的值，可得函数的对称中心的坐标；
⑵由题意求出及函数的解析式，又因为，同时结合三角函数的图象进行分析，即可求得最值及相应的值
解析：(1)根据图象知，
，
∴，∴，
将点代入，解得，
∴，
又∵，解得，
∴的对称中心坐标为.
(2)，
∵为偶函数，
∴，
∴，
又∵，∴，
∴，
∴
.
∵，
∴，
∴，
∴，此时；，此时.
点睛：本题考查了依据三角函数图像求得三角函数解析式，计算其对称中心，在计算三角函数值域或者最值时的方法是由内到外，分布求得其范围，最终算得结果，注意这部分的计算，是经常考的内容．
31．（1）②③④；；（2）．
【解析】
（1）所满足的三个条件是：②③④，计算得到，，，解得，，得到解析式.
（2）根据题意，故，或，，得到答案.
【详解】
（1）所满足的三个条件是：②③④，
的周期，，，
又过点，且，，，
，，
，，又，，
又，，，．
（2）由，得，
，或，，
，或，，
所以函数的图象与直线相邻两个交点间的最短距离为．
【点睛】
本题考查了三角函数解析式，图像中的最短距离，意在考查学生的计算能力和应用能力.
32．（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）根据三角函数性质确定振幅、周期以及初相，即得解析式；
（2）先确定范围，再结合正弦函数图象确定实数满足的条件，解得结果.
【详解】
（1）解：由题意知，得周期
即得，则，则
当时，取得最大值，即，得
得，得
当时，，因此
（2），即
当时，则
当时，
要使有两个根，则，得
即实数的取值范围是
【点睛】
本题考查三角函数解析式以及利用正弦函数图象研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.
33．（1）见详解；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据平移伸缩知识进行变换即可.
（2）计算函数的周期，根据一个周期的数据之为4，进行计算即可.
【详解】
（1）将向左平移个单位可得，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的可得，最后横坐标不变，纵坐标向上平移1个单位可得
（2）由题可知：函数的周期为，
由，
所以
【点睛】
关键点点睛：第（2）问中关键掌握函数是周期函数，周期为4且.
34．（Ⅰ）图像见详解；（Ⅱ）具体过程见详解.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）严格遵循列表、描点、连线的操作步骤，画图即可；
（Ⅱ）根据三角函数图像的变换规则，写出步骤即可.
【详解】
（Ⅰ）先列表，再描点连线，可得简图.
0
0 1 0 -1 0
根据以上表格，描点后作图如下：
（Ⅱ）向左平移得到，
再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的变为，
最后再向上平移个单位得到.
【点睛】
本题考查用五点作图法绘制三角函数在一个周期内的图像，以及图像的变化.
35．详见解析
【解析】
【分析】
先列表，再描点连线，即可.
【详解】
【点睛】
本题考查五点作图法，考查基本分析作图能力，属基础题.
36．答案见解析
【解析】
【分析】
根据列表、描点、连线即可.
【详解】
解：列表，如下：
其图象如下：
37．必要不充分条件，理由见解析.
【解析】
【分析】
先判断必要性成立，再举特例说明充分性不成立.
【详解】
解：是的必要不充分条件，理由如下：
①必要性：若，，则，，所以必要性成立；
②不充分性：举例说明如，满足，但不满足，故充分性不成立．
综上，是的必要不充分条件.
【点睛】
本题考查充分条件、必要条件的判断，属于简单题，根据充分条件和必要条件的概念判断即可.
38．(1)最小正周期，单调递减区间为；(2)最小值为0；最大值为3.
【解析】
【详解】
试题分析：
（1）将函数化为，可得最小正周期为，将作为一个整体，代入正弦函数的递减区间可得结果．（2）由，得，结合正弦函数的图象可得所求最值．
试题解析：
（1）
∴函数的最小正周期．
由，，
得，，
∴函数的单调递减区间为．
（2）∵，
∴
∴，
∴当，即时，取得最小值为0；
当，即时，取得最大值为3.
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