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人教A版（2019）必修第一册新高考名师导学第三章3.1函数的概念及其表示
一、解答题
1．已知函数f（x）．
（1）画出函数f（x）的图象，根据图象直接写出f（x）的值域；
（2）根据图象直接写出满足f（x）≥2的所有x的集合；
（3）若f（x）的递减区间为（﹣∞，a），递增区间为（b，+∞），直接写出a的最大值，b的最小值．
2．设全集，已知函数的定义域为集合，函数的值域为集合．
（1）求 ；
（2）若且,求实数的取值范围．
3．把函数y＝f（x）在x＝a和x＝b之间的一段图像近似地看做直线，且设a＜c＜b，试用f（a），f（b）估计f（c）．
4．已知函数，且．
求定义域；
若函数的反函数是其本身，求a的值；
求函数的值域．
5．已知函数，且，，求，的值.
6．2016年11月2日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）北京的温度走势如图所示.
（1）求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域；
（2）根据图象，求这一天12时所对应的温度.
7．给定数集，方程，①
（1）任给，对应关系f使方程①的解v与u对应，判断是否为函数；
（2）任给，对应关系g使方程①的解u与v对应，判断是否为函数.
8．已知函数，
（1）求函数的定义域，并证明其奇偶性；
（2）若函数，求的取值范围.
9．已知函数
（1）若求的定义域；
（2）若函数定义域为,求实数的取值范围.
10．已知函数对任意实数均有，且在区间上的表达式为．
（1）求、；
（2）写出在区间上的表达式．
11．已知函数.
（1）求，的值；
（2）求证是定值；
（3）求：的值.
12．设函数.若.
（1）求的解析式，并画出函数的图象；
（2）根据（1）中所画的函数图象，求不等式的解集.
13．衡水中学实行寄宿制，为了方便同学们的日常生活，设立了洗衣服务处，专为同学们提供洗床单、被罩等大件衣物的服务，规定洗一次床单、被罩(不超过2件)付费2元，若每洗5次，则给予一次免费的机会.
(1)试填写下表：
(2)洗衣次数和洗衣费用谁是谁的函数？说说你的看法.
14．根据如图所示的函数的图象，（），
（1）写出f(x)的解析式.
（2）写出f(x)的值域。
15．已知求的值
16．判断下列各组函数是否为同一个函数：
（1）；
（2），；
（3）．
17．判断下列各组函数是否是同一个函数，并说明理由：
（1），； （2），，；
（3），； （4），.
18．已知是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求当时，的解析式；
（2）作出函数的图象(不用写作图过程)，并求不等式的解集．
19．2010年上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为200 m2的十字型地域，计划在正方形上建一座“观景花坛”，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角(如等)上铺草坪，造价为80元/m2．设AD长为x m，DQ长为y m．
（1）试找出与满足的等量关系式；
（2）设总造价为元，试建立与的函数关系；
（3）若总造价不超过138 000元，求长的取值范围．
20．已知，．
（1）写出的解析式与定义域；
（2）画出函数的图像；
（3）试讨论方程的根的个数．
21．判断下列对应是否为从A到B的函数.
（1），，对任意的，；
（2），，对任意的，；
（3），对任意的，；
（4）A为正实数集，，对任意的，的算术平方根.
22．某跨国公司决定将某种智能产品在中国市场投放，已知该产品年固定研发成本30万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，．
（1）写出年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式（利润=销售收入－成本）；
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润．
23．若函数为偶函数，当时，．
（1）求函数的表达式，画出函数的图象；
（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．
24．某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式；
（2）花店记录了天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量
频数
以天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
①若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列、数学期望；
②若花店计划一天购进枝或枝玫瑰花，你认为应购进枝还是枝？请说明理由.
25．绿化可以改变小环境气候.某市有甲、乙两个气温观测点，观测点甲的绿化优于观测点乙，如图是这两个观测点某一天的气温曲线图.为了方便比较，将两条曲线画在了同一直角坐标系中.
问题:分析每一条曲线是否表示了一个函数关系.
26．如图，是某高速公路加油站的图片，加油站在地下常用圆柱体储油罐储存汽油等燃料.储油罐的长度、截面半径是常量，油面高度、油面宽度、储油量是变量.它们之间有没有依赖关系？
27．判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：
（1），，，；
（2），，对应关系如图；
（3），，；
（4），，n为奇数时，，n为偶数时，.
28．给定函数，，且，用表示，的较大者，记为．
（1）作出函数的图象，并写出函数的解析式；
（2）求不等式的解集．
29．考虑到高速公路行车安全需要，一般要求高速公路的车速（公里/小时）控制在范围内.已知汽车以公里/小时的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升，其中为常数，不同型号汽车值不同，且满足.
（1）若某型号汽车以120公里/小时的速度行驶时，每小时的油耗为升，欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过9升，求车速的取值范围；
（2）求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．（1）图见解析，值域为：[0，+∞）；（2）（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）；（3）a的最大值为0，b的最小值为0．
【分析】
（1）根据分段函数解析式，画出函数图象，并根据图象求得函数的值域.
（2）根据图象，求得不等式的解集.
（3）根据图象，由图求得函数的单调区间，进而求得的最大值和的最小值.
【详解】
（1）因为函数f（x）．
所以：函数f（x）的图象如图：；由图可知其值域为：[0，+∞）；
（2）满足f（x）≥2的所有x的集合是：（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）；
（3）因为函数的递减区间为：（﹣∞，0]；递增区间为：[0，+∞）；
f（x）的递减区间为（﹣∞，a），递增区间为（b，+∞）
∴a的最大值为0，b的最小值为0．
【点睛】
本小题主要考查分段函数的图象与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
2．（1）；（2）．
【详解】
试题分析：（1）根据题意可得从而可得集合．由指数函数的单调性可得集合．从而可求．（2）由（1）知．当时, 或画数轴可得关于的不等式,从而可得的范围．
试题解析：解：（1）∴ ，∴；
（2）若则，∴；
若则，∴ ， 综上，．
考点：1定义域,值域；2集合的运算．
3．
【分析】
由题意可结合斜率的定义由kAC＝kBC，得，化简即可求解
【详解】
设线段AB上点C（c，yc），则函数y＝f（x）的图像上相应点为（c，f（c）），由kAC＝kBC，知，
解得yC＝，依题意f（c）≈yc，
即f（c）的近似值是．
【点睛】
本题考查由近似值和斜率的定义求解具体函数值，属于中档题
4．(1)； (2) ；(3) 当时，函数的值域是；当时，函数的值域是．
【分析】
（1）由函数解析式的特征得到关于的不等式，解不等式可得所求结果；（2）求出函数的反函数，利用条件中给出的相等关系式求出的值；（3）先求出函数的定义域，然后通过分类讨论得到函数的值域即可．
【详解】
（1）由，得，
解得；
所以函数的定义域为．
（2）由，且，解得，
互换，得，
所以函数的反函数为．
由于函数的反函数是其本身，
所以．
（3）由题意得
，
由，得，
∴函数的定义域为．
∵，当且仅当时等号成立，
∴，
故的取值范围是．
①当时，，
∴函数的值域是．
②当时，，
∴函数的值域是．
综上可得，当时，函数的值域是；当时，函数的值域是．
【点睛】
本题考查对数函数运算问题的应用，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．另外，当对数的底数为参数时，在解题中要注意分类讨论思想方法的运用．
5．；
【分析】
由，解得，再根据可求出结果.
【详解】
由已知可得，解得，
所以，
所以，.
6．（1）定义域为，值域为；（2）.
【分析】
（1）由图可知，定义域为时间，值域为温度；
（2）根据图象，12时位于11时至14时对应的直线段上，由此计算12时所对应的温度.
【详解】
（1）由图可知，设从今日8点起24小时内，经过时间t的温度为，
则定义域为，值域为.
（2）由图知，11时的温度为，14时的温度为，
12时的温度约为.
【点睛】
本题考查函数图象与性质，通过函数图象确定函数定义域、值域、特殊点函数值，属于基础题.
7．（1）是；（2）不是
【分析】
根据函数的定义进行判断即可.
【详解】
解：（1），对于任意，有唯一的与之对应，所以是函数.
（2）取，则，即对于，A中有两个数与v对应，所以不是函数.
【点睛】
本题考查了函数的定义，属于基础题.
8．（1）定义域为；函数是奇函数；（2）.
【分析】
（1）先由题意求出函数定义域，再由函数奇偶性的概念，即可判断出结果；
（2）根据对数的单调性，将化为，求解，即可得出结果.
【详解】
（1）由题意可得：，所以；即定义域为，关于原点对称；
又，
所以函数是奇函数；
（2）由得，即，即，解得或，
由（1）知：定义域为，所以，
即的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的判定，以及由对数函数单调性解不等式，熟记函数奇偶性的概念，以及对数函数单调性即可，属于常考题型.
9．(1)(2)
【分析】
（1）当，计算得到答案.
（2）讨论和两种情况，分别计算得到答案.
【详解】
（1）当
即 故定义域为
（2）函数定义域为
当时，，满足
当时，定义域为，即恒成立
综上所述：
【点睛】
本题考查了函数的定义域，忽略掉的情况是容易犯的错误.
10．（1），；（2）.
【分析】
（1）根据题中已知条件可求得、的值；
（2）设，可得，根据可求得在上的解析式，再由已知条件可得出函数在区间上的表达式．
【详解】
（1）由题意知，
；
（2）当时，，
因为对任意的，都有，
所以当时，，，
所以，.
11．（1）1；1；（2）1；（3）.
【分析】
（1）由，将代入计算求解.
（2）由，将代入计算求解.
（3）根据（2）的结论，由原式的规律和的个数计算求解.
【详解】
（1）因为，
所以，；
（2）；
（3）由，
所以，
，
【点睛】
关键点点睛：本题关键是论证的值.
12．（1），图象见解析；（2）.
【分析】
（1）由列方程组可求出的值，分别在作二次函数和对数函数的图像即可
（2）时，令，求出，而时，，再结合图像可得答案
【详解】
（1），得，
解得，，
所以.
如图，作出其图像.
（2）时，令，得，
解得或（舍去），
由图象，可知的解集为.
13．（1）2，6，10，12，16；（2）见解析.
【解析】
试题分析：(1)根据题意，计算出洗衣次数时相应的函数值，即可得出相应的费用；
(2)根据函数的定义，得出洗衣费用是洗衣次数的函数.
试题解析：
(1)费用一行依次填：2，6，10，12，16.
(2)洗衣费用是洗衣次数的函数.因为对于次数集合中的每一个元素，在费用集合中都有唯一的元素和它对应，但对于费用集合中的每一个元素，在次数集合中并不都是只有唯一的一个元素和它对应，如10元就对应两个次数：5次和6次.
点睛：本题考查了函数的表示及函数的定义问题，其中解答中正确理解题意，根据函数与映射的定义，根据函数的定义可判定构成洗衣费用关于洗衣次数的函数，正确理解函数的定义是解答此类问题的关键，试题比较基础，属于基础题.
14．（1） （2）值域为
【分析】
（1）当时，设即可得解析式，当，时，由图象可直接得解析式；
（2）结合函数图象即可得到函数的值域.
【详解】
（1）当，设，
由的图象经过，即，解得
故；
当时，；
当时，，
综上：.
（2）结合函数的图象知，当时，；
当时，；
综上：的值域为.
【点睛】
本题考查待定系数法求解析式，属于基础题.
15．0
【分析】
将代入得到的值，将代入，得到得到的值，从而得到答案.
【详解】
将代入
得到，
将代入，
得到
,
【点睛】
本题考查求函数的值，属于简单题.
16．（1）不是；（2）是；（3）不是
【分析】
当一组函数定义域与对应关系均相同时即为同一函数,以此为依据进行判断即可
【详解】
（1）因为的定义城为,而的定义城为R,所以与不是同一个函数；
（2）因为与的定义域均为R,所以定义域相同,
又,所以与是同一个函数；
（3）因为与的定义城均为R,所以定义域相同,
又,所以与不是同一个函数
【点睛】
本题考查同一函数问题,属于基础题
17．答案见解析.
【分析】
根据函数的三要素：定义域，对应关系，值域是否相同来判断即可.
【详解】
（1）函数的定义域为R，的定义域为，
所以两者不是同一个函数.
（2）函数的定义域为R，，的定义域为，定义域不同，所以两者不是同一个函数.
（3）定义域，对应关系，值域均相同，所以两者是同一个函数.
（4）定义域，对应关系，值域均相同，所以两者是同一个函数.
18．（1）；（2）作图见解析；不等式的解集为．
【分析】
（1）利用函数是定义在上的奇函数，求出当时，的解析式；
（2）画出函数图象，利用函数图象求解不等式即可．
【详解】
（1）设，则
是定义在上的奇函数，
所以．
（2）如图所示
，即或
结合图象可得，不等式的解集为．
19．
（1）；
（2）；
（3）﹒
【分析】
(1)由已知，十字形区域面积为矩形面积的四倍与正方形面积之和，得出；
(2)由(1)得，，即可建立与的函数关系．
(3)利用总造价不超过138 000元，建立不等式，即可求长的取值范围．
（1）
由已知，十字形区域面积为矩形面积的四倍与正方形面积之和，
得出与满足的等量关系式为：；
（2）
由(1)得
；
（3）
由，得，
，即，
∴长的取值范围是，．
20．(1)定义域 （2）见解析（3）时，方程有一解；时，方程有两解；时，方程无解．
【解析】
试题分析：（1）根据表达式，得出函数f（x）的定义域是（﹣2，+∞），将H（x）化成分段函数的形式．
（2）得到函数y=H（x﹣1）+2的分段表达式，进而可以作出它的图象；
（3）根据图象可以得到，当m=2或m≥10时，直线y=m与函数y=H（x﹣1）+2图象有且仅有一个公共点；当2＜m＜10时，直线y=m与函数y=H（x﹣1）+2图象有两个公共点；当m＜2时，直线y=m与函数y=H（x﹣1）+2图象没有公共点．由此则不难得出方程根的个数了．
试题解析：
（1）的定义域为，
（2）=，
（3）在同一坐标系里作出直线y=m，观察它与函数y=H（x）图象的交点的个数，可得
①当m=2或m≥10时，直线y=m与函数y=H（x﹣1）+2图象有且仅有一个公共点；②当2＜m＜10时，直线y=m与函数y=H（x﹣1）+2图象有两个公共点；③当m＜2时，直线y=m与函数y=H（x﹣1）+2图象没有一个公共点
由此可得：当m∈{2}∪[10，+∞）时，方程H（x﹣1）+2=m有且仅有一个实数根；
时，方程有一解；
时，方程有两解；时，方程无解．
21．（2）（4）.
【分析】
直接根据函数的定义判断即可.
【详解】
（1）集合A中的数5所对应的数为10，但集合B中没有10，所以不是A到B的函数；
（2）集合，集合A中的数1，2，3，4对应的数为3，5，7，9，都属于集合B，所以是A到B的函数；
（3）集合A中的数取1时，对应的数应为0，不属于，所以不是A到B的函数；
（4）任何正实数的算术平方根都是实数，所以是A到B的函数.
综上，是A到B的函数的是（2），（4）.
22．
（1）；
（2）当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元.
【分析】
（1）根据利润销售收入成本，即可得解；
（2）分和两种情况，分别根据二次函数的性质和基本不等式，求出对应的的最大值，再比较大小，即可得解．
（1）
当时，年利润，
当时，，
∴年利润；
（2）
当时，，
所以S在上单调递增，所以；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，此时，
因为，所以，
故当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元.
23．（1）；作图见解析；（2）．
【分析】
（1）根据题意，利用函数的奇偶性求出函数的解析式，作出函数的图象即可，
（2）结合函数的图象可得关于的不等式，解可得的取值范围，即可得答案．
【详解】
解：（1）当时，，．
由是偶函数，得．
所以．
函数的图象，如图．
（2）由图象可知，函数的单调递减区间是和．
要使在上单调递减，
则，解得，
所以实数a的取值范围是．
24．
（1）；
（2）①分布列见解析，；②都有道理，理由见解析.
【分析】
（1）分、两种情况讨论，结合题中信息可得出关于的函数关系式；
（2）①分析可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得、的值；
②若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元）,计算出随机变量的数学期望值，比较与的大小关系，可得出结论.
（1）
解：当日需求量时，利润；
当日需求量时，利润.
所以关于的函数解析式为.
（2）
解：①可能的取值为、、，
当时，，，
当时，，，
当时，，.
的分布列为：
的数学期望为.
的方差为.
②花店一天应购进枝玫瑰花.理由如下：
若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，.
那么的分布列为
的数学期望为.
由以上的计算结果可以看出，，
即购进枝玫瑰花时的平均利润大于购进枝时的平均利润.
故花店一天应购进枝玫瑰花.
25．每一条曲线都表示了一个函数关系
【分析】
凡是要确定两个变量具有函数关系，就要判断“对于变量x的每一个值， 变量y都有唯一确定的值和它对应”. 根据概念即可确定.
【详解】
每一条曲线都表示了一个函数关系，反映的都是对于“时间”的每一个值，都有唯一确定的“气温”值和它对应，都符合函数关系.
【点睛】
本题主要考查函数的概念，属基础题，函数概念中注意关键词“每一个” “唯一”“对应”.
26．答案见解析
【分析】
根据函数的定义中自变量与因变量之间的对应关系可得出结论.
【详解】
储油量与油面高度存在着依赖关系，也与油面宽度存在着依赖关系.
对于油面高度的每一个取值，都有唯一的储油量和它对应.
但是，每一个油面宽度的值，却对应着两个储油量.
【点睛】
本题考查函数定义的理解，属于基础题.
27．（1）是从集合A到集合B的函数；（2）不是集合A到集合B的函数；（3）不是集合A到集合B的函数；（4）是从集合A到集合B的函数.
【分析】
有两个集合A和B，如果对于A中的每一个元素，在B中都有唯一一个元素与之对应，则这种A到B的对应关系就称为映射，当集合A、B是数集时，这个对应关系叫做A到B的函数；首先分析，A中的每一个元素，通过法则f，在B中是否都有唯一确定的元素与之对应，从而判断该对应关系是否为A到B的函数，同理逐一判断其他小题.
【详解】
（1）（4）对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此（1）（4）中的对应关系是从集合A到集合B的函数；
（2）集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素（5和6）与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数；
（3）集合A中的元素0在集合B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数.
【点睛】
本题考查映射,函数的概念与函数的表示方法，熟记函数及映射的概念是解题的关键，因此需要对概念特别熟练的掌握，属于基础题.
28．
（1）作图见解析；
（2）
【分析】
（1）根据函数的定义，结合，图象写出解析式，进而画出的图象.
（2）由（1）所得图象列不等式组，求解集即可.
（1）
-1 0 1 2 3
3 0 -1 0 3
-1 0 1 2 3
∴函数，的大致图象如下图示：
根据的定义，结合图像可知：，其图象如下图示：
（2）
由（1）图知：或，解得或，
∴的解集为.
29．
（1）；
（2）当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升；
当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升.
【分析】
（1）根据题意，可知当时，求出的值，结合条件得出，再结合，即可得出车速的取值范围；
（2）设该汽车行驶100千米的油耗为升，得出关于与的函数关系式，通过换元令，则，得出与的二次函数，再根据二次函数的图象和性质求出的最小值，即可得出不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.
（1）
解：由题意可知，当时，，解得：，
由，即，解得：，
因为要求高速公路的车速（公里/小时）控制在范围内，
即，所以，
故汽车每小时的油耗不超过9升，求车速的取值范围.
（2）
解：设该汽车行驶100千米的油耗为升，
则，
令，则，
所以，，
可得对称轴为，由，可得，
当时，即时，
则当时，；
当，即时，
则当时，；
综上所述，当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升；
当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页