2021-2022学年鲁教版八年级数学下册6.3正方形的判定与性质 寒假预习同步练习（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版八年级数学下册6.3正方形的判定与性质 寒假预习同步练习（word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 170.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-20 16:47:04 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-3正方形的判定与性质》
寒假预习同步练习（附答案）
1．下面哪个特征是矩形、菱形、正方形所共有的（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角
2．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF＝1，AF与BE相交于点G．则AG的长为（ ）
A．1.4 B．2.4 C．2.5 D．3
3．下列说法错误的是（ ）
A．正方形是特殊的菱形 B．菱形是特殊的平行四边形
C．正方形是特殊的矩形 D．矩形是特殊的菱形
4．下列性质中，矩形、正方形都具有，但是菱形却不具有的性质是（ ）
A．对角线长度相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．一组对角线平分一组对角
5．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
6．如图，四边形ABCD是正方形，它的四个顶点都在坐标轴上，且正方形边长为8，则点A的坐标为（ ）
A．（8，0） B．（4，0） C．（4，0） D．（8，0）
7．如图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，连接AE，则∠AED的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
8．下列说法中不正确的是（ ）
A．矩形的对角线互相垂直且相等 B．平行四边形的对角线互相平分
C．四条边相等的四边形是菱形 D．正方形的对角线相等
9．如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：
①∠ABE＝∠DCE；②AG⊥BE；
③S△BHE＝S△CHD；
④∠AHB＝∠EHD．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③④
10．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且有AE＝EF＝FA．有下列结论：①△ABE≌△ADF；②CE＝CF；③∠AEB＝75°；④BE+DF＝EF；⑤S△ABE+S△ADF＝S△CEF．
其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．如图，三个边长均为的正方形重叠在一起，M、N是其中两个正方形对角线的交点，则两个阴影部分面积之和是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
12．如图，在矩形ABCD中，有以下结论：
①AC＝BD；
②AC⊥BD；
③△AOB是等腰三角形；
④S△ABO＝S△ADO；
⑤∠ABD＝45°；
⑥AB＝AD能使矩形ABCD变成正方形．
正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
13．下列关于四边形的说法，正确的是（ ）
A．四个角相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．有两边相等的平行四边形是菱形
D．两条对角线相等的菱形是正方形
14．下列说法正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是菱形
C．三个角都是直角的四边形是矩形
D．一组邻边相等的平行四边形是正方形
15．下列判断正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．两组邻边相等的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
16．下列叙述，错误的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线相等的四边形是矩形
17．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是正方形
18．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB＝AD；②∠DAB＝90°；③AO＝CO，BO＝DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则下列推理不成立的是（ ）
A．①④ ⑥ B．①③ ⑤ C．①② ⑥ D．②③ ④
19．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别是AD、DC、BC的中点，AF与DG交于点O，连接OE、OB．下列结论：①AF⊥DG；②BC＝2OE；③AB＝BO；④∠AOB＝∠DGC；⑤∠OED＝∠ABO．其中正确的结论有 ．（请填写序号）
20．将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为 ．
21．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，若AE＝1，则EF的长为 ．
22．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△DCE，则∠AEC的度数是 ．
23．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF．
（1）求证：FH＝ED；
（2）若AB＝3，AD＝5，当AE＝1时，求∠FAD的度数．
24．已知：如图，平行四边形ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．
（1）求证：△AOD≌△EOC；
（2）连接AC、DE，当∠B＝∠AEB＝45°时，求证四边形ACED是正方形．
25．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF．
（1）求证：△AEH≌△CGF．
（2）若∠EFG＝90°．求证：四边形EFGH是正方形．
26．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝4，CE＝2，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．
27．已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC边一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连接BD．
（1）求证：四边形EFDC是正方形；
（2）若BE＝1，ED＝2，求BD的长．
参考答案
1．解：矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角．所以A、C、D选项不符合题意；B选项符合题意．
故选：B．
2．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，
∵DE＝CF，
∴AE＝DF，
在△BAE和△ADF中，
，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴∠EBA＝∠FAD，
∴∠GAE+∠AEG＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∵AB＝4，DE＝1，
∴AE＝3，
∴BE＝＝5，
在Rt△ABE中，AB×AE＝BE×AG，
∴AG＝＝2.4，
故选：B．
3．解：A、正方形是特殊的菱形，正确，不符合题意；
B、菱形是特殊的平行四边形，正确，不符合题意；
C、正方形是特殊的矩形，正确，不符合题意；
D、矩形是特殊的平行四边形，错误，符合题意．
故选：D．
4．解：∵菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线互相垂直；
矩形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线相等；
正方形具有菱形和矩形的性质，
∴菱形不具有的性质为：对角线长度相等，
故选：A．
5．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，
∴∠DON+∠CON＝90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠DON+∠DOM＝90°，
∴∠DOM＝∠CON，
在△DOM和△CON中，
，
∴△DOM≌△CON（ASA），
∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，
∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，
∴△DOC的面积是1，
∴正方形ABCD的面积是4，
∴AB2＝4，
∴AB＝2，
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD是正方形，边长为8，
∴∠AOB＝90°，OA＝OB，AB＝8，
设OA＝OB＝x，
Rt△AOB中，OA2+OB2＝AB2，
∴x2+x2＝82，解得x＝4，
∴OA＝4，即A（4，0），
故选：C．
7．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠ADC＝90°，
∵△CDE是等边三角形，
∴DC＝DE，∠CDE＝60°，
∴DA＝DE，∠ADE＝150°，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣150°）＝15°．
故选：B．
8．解：A、矩形的对角线互相平分且相等，故A错误．
B、平行四边形的对角线互相平分，故B正确．
C、四条边相等的四边形是菱形，故C正确．
D、正方形的对角线相等，故D正确．
故选：A．
9．解：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，
∴AE＝DE，AB＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，
∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴∠ABE＝∠DCE，
故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，DH＝DH，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴∠HAD＝∠HCD，
∵∠ABE＝∠DCE
∴∠ABE＝∠HAD，
∵∠BAD＝∠BAH+∠DAH＝90°，
∴∠ABE+∠BAH＝90°，
∴∠AGB＝180°﹣90°＝90°，
∴AG⊥BE，
故②正确；
∵AD∥BC，
∴S△BDE＝S△CDE，
∴S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，
即；S△BHE＝S△CHD，
故③正确；
∵△ADH≌△CDH，
∴∠AHD＝∠CHD，
∴∠AHB＝∠CHB，
∵∠BHC＝∠DHE，
∴∠AHB＝∠EHD，
故④正确；
故选：B．
10．解：∵AB＝AD，AE＝AF＝EF，
∴△ABE≌△ADF（HL），△AEF为等边三角形，
∴BE＝DF，又BC＝CD，
∴CE＝CF，
∴∠BAE＝（∠BAD﹣∠EAF）＝（90°﹣60°）＝15°，
∴∠AEB＝90°﹣∠BAE＝75°，
∴①②③正确，
在AD上取一点G，连接FG，使AG＝GF，
则∠DAF＝∠GFA＝15°，
∴∠DGF＝2∠DAF＝30°，
设DF＝1，则AG＝GF＝2，DG＝，
∴AD＝CD＝2+，CF＝CE＝CD﹣DF＝1+，
∴EF＝CF＝+，而BE+DF＝2，
∴④错误，
⑤∵S△ABE+S△ADF＝2×AD×DF＝2+，
S△CEF＝CE×CF＝2+
∴⑤正确．
∴正确的结论有：①②③⑤．
故选：C．
11．解：连接AN，DN，如图所示：
∵三个边长均为的正方形重叠在一起，M、N是其中两个正方形对角线的交点，
∴∠ANE+∠END＝90°，∠DNF+∠END＝90°，
∴∠ANE＝∠DNF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAN＝∠FDN＝45°，AN＝DN
在△ANE和△DNF中
∴△ANE≌△DNF（ASA），
∴两个正方形阴影部分ENFD的面积＝S正方形ABCD，
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是 S正方形ABCD，
∴S阴影部分＝S正方形＝××＝1．
故选：A．
12．解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AC＝BD，所以①符合题意；
AC不一定与BD垂直，所以②不符合题意；
∵AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OB，
∴△AOB为等腰三角形，所以③符合题意；
∵四边形ABCD为矩形，
∴OB＝OD，
∴S△ABO＝S△ADO，所以④符合题意；
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD不一定平分∠ABC，
∴∠ABD不一定为45°，所以⑤不符合题意；
∵四边形ABCD为矩形，
∴当AB＝AD时，四边形ABCD为正方形，所以⑥符合题意；
故选：C．
13．解：A、四个角相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
C、有两临边相等的平行四边形是菱形，说法错误，不符合题意；
D、两条对角线相等的菱形是正方形，说法正确，符合题意；
故选：D．
14．解：A、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，所以A选项错误，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误，不符合题意；
C、三个角都是直角的四边形是矩形，所以C选正确；符合题意；
D、一组邻边相等的平行四边形是正方形，所以D选项错误，不符合题意．
故选：C．
15．解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确；
B、两组邻边相等的四边形不一定是平行四边形，错误；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，错误；
D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，错误；
故选：A．
16．解：
A、根据对角线互相垂直的平行四边形可判定为菱形，再有对角线且相等可判定为正方形，故此选项正确，不符合题意；
B、根据菱形的判定方法可得对角线互相垂直平分的四边形是菱形正确，故此选项正确，不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形是判断平行四边形的重要方法之一，故此选项正确，不符合题意；
D、根据矩形的判定方法：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，因此只有对角线相等的四边形不能判定是矩形，故此选项错误，符合题意；
故选：D．
17．解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AB＝BC或AC⊥BD时，四边形ABCD为菱形，故A、B结论正确；
当∠ABC＝90°时，四边形ABCD为矩形，故C结论正确；
当AC＝BD时，四边形ABCD为矩形，故D结论不正确，
故选：D．
18．解：A、符合邻边相等的矩形是正方形；
B、可先由对角线互相平分，判断为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形；
D、可先由对角线互相平分，判断为平行四边形，再由一个角为直角得出是矩形；
故选：C．
19．解：连接BE交AF于点M，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC＝AB，∠ADC＝∠C＝90°，
∵点F、点G分别是CD、BC的中点，
∴DF＝CG，
在△ADF和△DCG中，
，
∴△ADF≌△DCG（SAS），
∴∠FAD＝∠CDG，
∵∠CDG+∠ADO＝90°，
∴∠FAD+∠AOD＝90°，
∴∠AOD＝90°，
即AF⊥DG，
∴结论①正确；
∵∠AOD＝90°，
∴△AOD为直角三角形，
∵点E是AD的中点，
∴OE＝AD，
∵AD＝BC，
∴BC＝2OE，
∴结论②正确；
∵AD＝BC，点E、G分别是AD、BC中点，
∴DE＝BG，
∵AD∥BC，
∴四边形BGDE是平行四边形，
∴DG∥BE，
∵DG⊥AF，
∴BE⊥AF，
∵AE＝EO，
∴BE垂直平分AO，
∴AB＝BO，
∴结论③正确；
∵△ADF≌△DCG，
∴∠AFD＝∠DGC，
∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠AFD，
∵AB＝BO，
∴∠AOB＝∠BAO，
∴∠BAO＝∠DGC，
∴结论④正确；
∵∠ADO＝∠AFD，∠AFD＝∠BAO，
∴∠ADO＝∠BAO，
∵EO＝ED，
∴∠EDO＝∠EOD，
∵∠BAO＝∠AOB，
∴∠ABO+∠AOB＝∠EOD+∠EDO，
∴180°﹣（∠ABO+∠AOB）＝180°﹣（∠EOD+∠EDO），
即∠OED＝∠ABO，
∴结论⑤正确．
故答案为：①②③④⑤．
20．解：把EO绕E点顺时针（或逆时针）旋转90°得到对应点为F（或F′），如图，
则F点的坐标为（5，1）（或F′的坐标为（﹣1，5）．
故答案为（5，1）或（﹣1，5）．
21．解：如图，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM．
∵△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，∠A＝∠DCM＝90°，
∴∠DCM+∠DCF＝180°，
∴点F，点C，点M三点共线，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝45°，
∴∠EDF＝∠FDM，
在△DEF和△DMF中，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF；
设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝1，AB＝BC＝3，
∴EB＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，BM＝BC+CM＝3+1＝4，
∴BF＝BM﹣MF＝4﹣x．
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即22+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
则EF的长为，
故答案为：．
22．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°．
∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝∠DEC＝60°．
∴∠ADE＝90°+60°＝150°，
∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）÷2＝15°，
∴∠AEC＝∠DEC﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°．
故答案为：45°．
23．（1）证明：∵四边形CEFG是正方形，
∴CE＝EF，
∵∠FEC＝∠FEH+∠CED＝90°，∠DCE+∠CED＝90°，
∴∠FEH＝∠DCE，
在△FEH和△ECD中，
∴△FEH≌△ECD（AAS），
∴FH＝ED；
（2）解：∵在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，
∴CD＝AB＝3，
∵AE＝1，
∴DE＝4，
∵△FEH≌△ECD，
∴FH＝DE＝4，EH＝CD＝3，
∴AH＝4，
∴AH＝FH，
∵∠FHE＝90°，
∴∠FAD＝45°．
24．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．
∴∠D＝∠OCE，∠DAO＝∠E．
∵O是CD的中点，
∴OC＝OD，
在△AOD和△EOC中，，
∴△AOD≌△EOC（AAS）；
（2）∵△AOD≌△EOC，
∴OA＝OE．
又∵OC＝OD，
∴四边形ACED是平行四边形．
∵∠B＝∠AEB＝45°，
∴AB＝AE，∠BAE＝90°
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
∴∠COE＝∠BAE＝90°．
∴ ACED是菱形．
∵AB＝AE，AB＝CD，
∴AE＝CD．
∴菱形ACED是正方形．
25．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C．
在△AEH与△CGF中，
，
∴△AEH≌△CGF（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D．
∵AE＝CG，AH＝CF，
∴EB＝DG，HD＝BF．
∴△BEF≌△DGH（SAS），
∴EF＝HG．
又∵△AEH≌△CGF，
∴EH＝GF．
∴四边形HEFG为平行四边形．
∴EH∥FG，
∴∠HEG＝∠FGE．
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG＝∠FEG，
∴∠FGE＝∠FEG，
∴EF＝GF，
又∵∠EFG＝90°，
∴平行四边形EFGH是正方形．
∴四边形EFGH是正方形．
26．（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在△EQF和△EPD中，
，
∴△EQF≌△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝4，
∵CE＝2，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，
∴四边形DECG是正方形，
∴CG＝CE＝2；
（3）①如图3，当DE与AD的夹角为40°时，
∠DEC＝45°+40°＝85°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝5°，
∵∠ECF＝45°，
∴∠EFC＝130°，
②如图4，当DE与DC的夹角为40°时，
∵∠DEF＝∠DCF＝90°，
∴∠EFC＝∠EDC＝40°，
综上所述，∠EFC＝130°或40°．
27．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝∠C＝90°，
∵EF∥DC，
∴四边形FEDC为平行四边形，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∴∠CDE＝∠DEC，
∴CD＝CE，
∴四边形FEDC是菱形，
又∵∠C＝90°，
∴平行四边形FEDC是正方形；
（2）∵四边形FEDC是正方形，
∴∠CDE＝45°，
∵，
∴CE＝CD＝2，
∴BC＝BE+EC＝1+2＝3，
∴BD2＝BC2+CD2＝32+22＝13，
∴BD＝．
寒假预习同步练习（附答案）
1．下面哪个特征是矩形、菱形、正方形所共有的（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角
2．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF＝1，AF与BE相交于点G．则AG的长为（ ）
A．1.4 B．2.4 C．2.5 D．3
3．下列说法错误的是（ ）
A．正方形是特殊的菱形 B．菱形是特殊的平行四边形
C．正方形是特殊的矩形 D．矩形是特殊的菱形
4．下列性质中，矩形、正方形都具有，但是菱形却不具有的性质是（ ）
A．对角线长度相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．一组对角线平分一组对角
5．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
6．如图，四边形ABCD是正方形，它的四个顶点都在坐标轴上，且正方形边长为8，则点A的坐标为（ ）
A．（8，0） B．（4，0） C．（4，0） D．（8，0）
7．如图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，连接AE，则∠AED的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
8．下列说法中不正确的是（ ）
A．矩形的对角线互相垂直且相等 B．平行四边形的对角线互相平分
C．四条边相等的四边形是菱形 D．正方形的对角线相等
9．如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：
①∠ABE＝∠DCE；②AG⊥BE；
③S△BHE＝S△CHD；
④∠AHB＝∠EHD．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③④
10．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且有AE＝EF＝FA．有下列结论：①△ABE≌△ADF；②CE＝CF；③∠AEB＝75°；④BE+DF＝EF；⑤S△ABE+S△ADF＝S△CEF．
其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．如图，三个边长均为的正方形重叠在一起，M、N是其中两个正方形对角线的交点，则两个阴影部分面积之和是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
12．如图，在矩形ABCD中，有以下结论：
①AC＝BD；
②AC⊥BD；
③△AOB是等腰三角形；
④S△ABO＝S△ADO；
⑤∠ABD＝45°；
⑥AB＝AD能使矩形ABCD变成正方形．
正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
13．下列关于四边形的说法，正确的是（ ）
A．四个角相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．有两边相等的平行四边形是菱形
D．两条对角线相等的菱形是正方形
14．下列说法正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是菱形
C．三个角都是直角的四边形是矩形
D．一组邻边相等的平行四边形是正方形
15．下列判断正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．两组邻边相等的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
16．下列叙述，错误的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线相等的四边形是矩形
17．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是正方形
18．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB＝AD；②∠DAB＝90°；③AO＝CO，BO＝DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则下列推理不成立的是（ ）
A．①④ ⑥ B．①③ ⑤ C．①② ⑥ D．②③ ④
19．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别是AD、DC、BC的中点，AF与DG交于点O，连接OE、OB．下列结论：①AF⊥DG；②BC＝2OE；③AB＝BO；④∠AOB＝∠DGC；⑤∠OED＝∠ABO．其中正确的结论有 ．（请填写序号）
20．将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为 ．
21．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，若AE＝1，则EF的长为 ．
22．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△DCE，则∠AEC的度数是 ．
23．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF．
（1）求证：FH＝ED；
（2）若AB＝3，AD＝5，当AE＝1时，求∠FAD的度数．
24．已知：如图，平行四边形ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．
（1）求证：△AOD≌△EOC；
（2）连接AC、DE，当∠B＝∠AEB＝45°时，求证四边形ACED是正方形．
25．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF．
（1）求证：△AEH≌△CGF．
（2）若∠EFG＝90°．求证：四边形EFGH是正方形．
26．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝4，CE＝2，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．
27．已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC边一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连接BD．
（1）求证：四边形EFDC是正方形；
（2）若BE＝1，ED＝2，求BD的长．
参考答案
1．解：矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角．所以A、C、D选项不符合题意；B选项符合题意．
故选：B．
2．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，
∵DE＝CF，
∴AE＝DF，
在△BAE和△ADF中，
，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴∠EBA＝∠FAD，
∴∠GAE+∠AEG＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∵AB＝4，DE＝1，
∴AE＝3，
∴BE＝＝5，
在Rt△ABE中，AB×AE＝BE×AG，
∴AG＝＝2.4，
故选：B．
3．解：A、正方形是特殊的菱形，正确，不符合题意；
B、菱形是特殊的平行四边形，正确，不符合题意；
C、正方形是特殊的矩形，正确，不符合题意；
D、矩形是特殊的平行四边形，错误，符合题意．
故选：D．
4．解：∵菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线互相垂直；
矩形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线相等；
正方形具有菱形和矩形的性质，
∴菱形不具有的性质为：对角线长度相等，
故选：A．
5．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，
∴∠DON+∠CON＝90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠DON+∠DOM＝90°，
∴∠DOM＝∠CON，
在△DOM和△CON中，
，
∴△DOM≌△CON（ASA），
∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，
∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，
∴△DOC的面积是1，
∴正方形ABCD的面积是4，
∴AB2＝4，
∴AB＝2，
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD是正方形，边长为8，
∴∠AOB＝90°，OA＝OB，AB＝8，
设OA＝OB＝x，
Rt△AOB中，OA2+OB2＝AB2，
∴x2+x2＝82，解得x＝4，
∴OA＝4，即A（4，0），
故选：C．
7．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠ADC＝90°，
∵△CDE是等边三角形，
∴DC＝DE，∠CDE＝60°，
∴DA＝DE，∠ADE＝150°，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣150°）＝15°．
故选：B．
8．解：A、矩形的对角线互相平分且相等，故A错误．
B、平行四边形的对角线互相平分，故B正确．
C、四条边相等的四边形是菱形，故C正确．
D、正方形的对角线相等，故D正确．
故选：A．
9．解：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，
∴AE＝DE，AB＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，
∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴∠ABE＝∠DCE，
故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，DH＝DH，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴∠HAD＝∠HCD，
∵∠ABE＝∠DCE
∴∠ABE＝∠HAD，
∵∠BAD＝∠BAH+∠DAH＝90°，
∴∠ABE+∠BAH＝90°，
∴∠AGB＝180°﹣90°＝90°，
∴AG⊥BE，
故②正确；
∵AD∥BC，
∴S△BDE＝S△CDE，
∴S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，
即；S△BHE＝S△CHD，
故③正确；
∵△ADH≌△CDH，
∴∠AHD＝∠CHD，
∴∠AHB＝∠CHB，
∵∠BHC＝∠DHE，
∴∠AHB＝∠EHD，
故④正确；
故选：B．
10．解：∵AB＝AD，AE＝AF＝EF，
∴△ABE≌△ADF（HL），△AEF为等边三角形，
∴BE＝DF，又BC＝CD，
∴CE＝CF，
∴∠BAE＝（∠BAD﹣∠EAF）＝（90°﹣60°）＝15°，
∴∠AEB＝90°﹣∠BAE＝75°，
∴①②③正确，
在AD上取一点G，连接FG，使AG＝GF，
则∠DAF＝∠GFA＝15°，
∴∠DGF＝2∠DAF＝30°，
设DF＝1，则AG＝GF＝2，DG＝，
∴AD＝CD＝2+，CF＝CE＝CD﹣DF＝1+，
∴EF＝CF＝+，而BE+DF＝2，
∴④错误，
⑤∵S△ABE+S△ADF＝2×AD×DF＝2+，
S△CEF＝CE×CF＝2+
∴⑤正确．
∴正确的结论有：①②③⑤．
故选：C．
11．解：连接AN，DN，如图所示：
∵三个边长均为的正方形重叠在一起，M、N是其中两个正方形对角线的交点，
∴∠ANE+∠END＝90°，∠DNF+∠END＝90°，
∴∠ANE＝∠DNF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAN＝∠FDN＝45°，AN＝DN
在△ANE和△DNF中
∴△ANE≌△DNF（ASA），
∴两个正方形阴影部分ENFD的面积＝S正方形ABCD，
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是 S正方形ABCD，
∴S阴影部分＝S正方形＝××＝1．
故选：A．
12．解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AC＝BD，所以①符合题意；
AC不一定与BD垂直，所以②不符合题意；
∵AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OB，
∴△AOB为等腰三角形，所以③符合题意；
∵四边形ABCD为矩形，
∴OB＝OD，
∴S△ABO＝S△ADO，所以④符合题意；
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD不一定平分∠ABC，
∴∠ABD不一定为45°，所以⑤不符合题意；
∵四边形ABCD为矩形，
∴当AB＝AD时，四边形ABCD为正方形，所以⑥符合题意；
故选：C．
13．解：A、四个角相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
C、有两临边相等的平行四边形是菱形，说法错误，不符合题意；
D、两条对角线相等的菱形是正方形，说法正确，符合题意；
故选：D．
14．解：A、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，所以A选项错误，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误，不符合题意；
C、三个角都是直角的四边形是矩形，所以C选正确；符合题意；
D、一组邻边相等的平行四边形是正方形，所以D选项错误，不符合题意．
故选：C．
15．解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确；
B、两组邻边相等的四边形不一定是平行四边形，错误；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，错误；
D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，错误；
故选：A．
16．解：
A、根据对角线互相垂直的平行四边形可判定为菱形，再有对角线且相等可判定为正方形，故此选项正确，不符合题意；
B、根据菱形的判定方法可得对角线互相垂直平分的四边形是菱形正确，故此选项正确，不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形是判断平行四边形的重要方法之一，故此选项正确，不符合题意；
D、根据矩形的判定方法：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，因此只有对角线相等的四边形不能判定是矩形，故此选项错误，符合题意；
故选：D．
17．解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AB＝BC或AC⊥BD时，四边形ABCD为菱形，故A、B结论正确；
当∠ABC＝90°时，四边形ABCD为矩形，故C结论正确；
当AC＝BD时，四边形ABCD为矩形，故D结论不正确，
故选：D．
18．解：A、符合邻边相等的矩形是正方形；
B、可先由对角线互相平分，判断为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形；
D、可先由对角线互相平分，判断为平行四边形，再由一个角为直角得出是矩形；
故选：C．
19．解：连接BE交AF于点M，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC＝AB，∠ADC＝∠C＝90°，
∵点F、点G分别是CD、BC的中点，
∴DF＝CG，
在△ADF和△DCG中，
，
∴△ADF≌△DCG（SAS），
∴∠FAD＝∠CDG，
∵∠CDG+∠ADO＝90°，
∴∠FAD+∠AOD＝90°，
∴∠AOD＝90°，
即AF⊥DG，
∴结论①正确；
∵∠AOD＝90°，
∴△AOD为直角三角形，
∵点E是AD的中点，
∴OE＝AD，
∵AD＝BC，
∴BC＝2OE，
∴结论②正确；
∵AD＝BC，点E、G分别是AD、BC中点，
∴DE＝BG，
∵AD∥BC，
∴四边形BGDE是平行四边形，
∴DG∥BE，
∵DG⊥AF，
∴BE⊥AF，
∵AE＝EO，
∴BE垂直平分AO，
∴AB＝BO，
∴结论③正确；
∵△ADF≌△DCG，
∴∠AFD＝∠DGC，
∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠AFD，
∵AB＝BO，
∴∠AOB＝∠BAO，
∴∠BAO＝∠DGC，
∴结论④正确；
∵∠ADO＝∠AFD，∠AFD＝∠BAO，
∴∠ADO＝∠BAO，
∵EO＝ED，
∴∠EDO＝∠EOD，
∵∠BAO＝∠AOB，
∴∠ABO+∠AOB＝∠EOD+∠EDO，
∴180°﹣（∠ABO+∠AOB）＝180°﹣（∠EOD+∠EDO），
即∠OED＝∠ABO，
∴结论⑤正确．
故答案为：①②③④⑤．
20．解：把EO绕E点顺时针（或逆时针）旋转90°得到对应点为F（或F′），如图，
则F点的坐标为（5，1）（或F′的坐标为（﹣1，5）．
故答案为（5，1）或（﹣1，5）．
21．解：如图，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM．
∵△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，∠A＝∠DCM＝90°，
∴∠DCM+∠DCF＝180°，
∴点F，点C，点M三点共线，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝45°，
∴∠EDF＝∠FDM，
在△DEF和△DMF中，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF；
设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝1，AB＝BC＝3，
∴EB＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，BM＝BC+CM＝3+1＝4，
∴BF＝BM﹣MF＝4﹣x．
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即22+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
则EF的长为，
故答案为：．
22．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°．
∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝∠DEC＝60°．
∴∠ADE＝90°+60°＝150°，
∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）÷2＝15°，
∴∠AEC＝∠DEC﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°．
故答案为：45°．
23．（1）证明：∵四边形CEFG是正方形，
∴CE＝EF，
∵∠FEC＝∠FEH+∠CED＝90°，∠DCE+∠CED＝90°，
∴∠FEH＝∠DCE，
在△FEH和△ECD中，
∴△FEH≌△ECD（AAS），
∴FH＝ED；
（2）解：∵在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，
∴CD＝AB＝3，
∵AE＝1，
∴DE＝4，
∵△FEH≌△ECD，
∴FH＝DE＝4，EH＝CD＝3，
∴AH＝4，
∴AH＝FH，
∵∠FHE＝90°，
∴∠FAD＝45°．
24．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．
∴∠D＝∠OCE，∠DAO＝∠E．
∵O是CD的中点，
∴OC＝OD，
在△AOD和△EOC中，，
∴△AOD≌△EOC（AAS）；
（2）∵△AOD≌△EOC，
∴OA＝OE．
又∵OC＝OD，
∴四边形ACED是平行四边形．
∵∠B＝∠AEB＝45°，
∴AB＝AE，∠BAE＝90°
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
∴∠COE＝∠BAE＝90°．
∴ ACED是菱形．
∵AB＝AE，AB＝CD，
∴AE＝CD．
∴菱形ACED是正方形．
25．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C．
在△AEH与△CGF中，
，
∴△AEH≌△CGF（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D．
∵AE＝CG，AH＝CF，
∴EB＝DG，HD＝BF．
∴△BEF≌△DGH（SAS），
∴EF＝HG．
又∵△AEH≌△CGF，
∴EH＝GF．
∴四边形HEFG为平行四边形．
∴EH∥FG，
∴∠HEG＝∠FGE．
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG＝∠FEG，
∴∠FGE＝∠FEG，
∴EF＝GF，
又∵∠EFG＝90°，
∴平行四边形EFGH是正方形．
∴四边形EFGH是正方形．
26．（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在△EQF和△EPD中，
，
∴△EQF≌△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝4，
∵CE＝2，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，
∴四边形DECG是正方形，
∴CG＝CE＝2；
（3）①如图3，当DE与AD的夹角为40°时，
∠DEC＝45°+40°＝85°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝5°，
∵∠ECF＝45°，
∴∠EFC＝130°，
②如图4，当DE与DC的夹角为40°时，
∵∠DEF＝∠DCF＝90°，
∴∠EFC＝∠EDC＝40°，
综上所述，∠EFC＝130°或40°．
27．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝∠C＝90°，
∵EF∥DC，
∴四边形FEDC为平行四边形，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∴∠CDE＝∠DEC，
∴CD＝CE，
∴四边形FEDC是菱形，
又∵∠C＝90°，
∴平行四边形FEDC是正方形；
（2）∵四边形FEDC是正方形，
∴∠CDE＝45°，
∵，
∴CE＝CD＝2，
∴BC＝BE+EC＝1+2＝3，
∴BD2＝BC2+CD2＝32+22＝13，
∴BD＝．