2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册6.2矩形的判定与性质 寒假预习同步练习（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册6.2矩形的判定与性质 寒假预习同步练习（word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 226.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-20 16:49:14 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-2矩形的判定与性质》
寒假预习同步练习（附答案）
1．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接ED，若ED＝5，EC＝3，则长方形的面积为（ ）
A．15 B．16 C．22 D．28
2．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（2，5），则A，C两点间的距离是（ ）
A． B．3 C． D．5
3．如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，若CD＝3，DE＝5，则AD的长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
4．如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE大小是（ ）
A．55° B．40° C．35° D．20°
5．如图，四边形ABCD是矩形，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD＝4，AE＝10，则AB的长为（ ）
A．4.2 B．4.5 C．5.2 D．5.5
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（ ）
A．3 B． C．3 D．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，∠AOB＝60°，则BD的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（ ）
A．3 B．5 C．2.4 D．2.5
9．在 ABCD中，若添加一个条件： ，则四边形ABCD是矩形．
10．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快 s后，四边形ABPQ成为矩形．
11．如图1，在一张长方形纸片ABCD上画一条线段MN，将纸片沿线段MN折叠（如图2），当∠1＝70°时，∠KNC＝ （注：长方形纸片对边平行，即：CD∥AB，AD∥BC）．
12．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE．若矩形ABCD的周长为8cm，则△ABE的周长为 cm．
13．平行四边形的四个内角平分线相交，如能构成四边形，则这个四边形是 ．
14．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为 ．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝4cm，点P从A 开始沿折线A﹣B﹣A以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），当t＝ 时，四边形APQD也为矩形．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P、E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD是矩形，若△PCD是等腰三角形，则AP的长 ．
17．如图，在矩形ABCD中，P为矩形ABCD的边BC上任一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝5，BC＝12，PE+PF＝ ．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝13，BC＝17，点E是线段AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，AE的长为 ．
19．如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点B和点D重合，折痕为EF．若∠DFC＝70°，则∠DEF＝ °．
20．如图所示，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，且∠EDO等于15°，∠DOE＝ °．
21．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且EC平分∠BED，若AB＝1，BC＝，则∠ECD＝ °．
22．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AE平分∠BAD交于点E，且BO＝BE，则∠CAE＝ ．
23．在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AB＝BC；②AC⊥BD；③OA＝OB；④AB⊥BC，其中能判定 ABCD为矩形的是 ．
24．如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝10，AC、BD相交于点O，若CE∥BD，BE∥AC，连接OE，则OE的长是 ．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是 ．
26．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值为 cm．
27．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，E为边BC上一点，且EC＝AD，
连接AC．
（1）求证：四边形AECD是矩形；
（2）若AC平分∠DAB，AB＝5，EC＝2，求AE的长，
28．已知，如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB＝12，∠BCD＝120°，求四边形AODE的面积．
29．如图，在 ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，∠AEF的角平分线交AB于点M，∠EFC的角平分线交CD于点N，连接MF、NE．
（1）求证：四边形EMFN是平行四边形．
（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，他猜想：当AB＝AD时，四边形EMFN是矩形．请在下列框图中补全他的证明思路．
小明的证明思路
由（1）知四边形EMFN是平行四边形．要证 EMFN是矩形，只要证∠MFN＝90°．由已知条件知∠EFN＝∠CFN，故只要证∠EFM＝∠BFM．易证 ，故只要证∠BFM＝∠BMF，即证BM＝BF，故只要证 ．易证AE＝AM，AE＝BF，即可得证．
30．如图，在菱形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线EF与边AD、BC交于点E、F，∠CAE＝∠FEA，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE是矩形；
（2）若AB＝5，AC＝2，直接写出四边形AFCE的面积．
31．（1）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如图②，若四边形ABCD满足∠A＝∠C＞90°，AB＝CD，求证：四边形ABCD是平行四边形．
32．如图，已知△OAB中，OA＝OB，分别延长AO、BO到点C、D．使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD、DC、CB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）以OA、OB为一组邻边作 AOBE，连接CE，若CE⊥BD，求∠AOB的度数．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，AD＝BC，∠C＝90°，AD∥BC，
∵ED＝5，EC＝3，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：DC＝＝4，
∴AB＝DC＝4，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠EAB＝∠AEB，
∴BE＝AB＝4，
∵CE＝3，
∴AD＝BC＝BE+CE＝7，
∴矩形ABCD的面积是4×7＝28，
故选：D．
2．解：如图，连接AC，OB，
∵四边形AOCB是矩形，
∴AC＝OB，
∵点B的坐标是（2，5），点O（0，0），
∴OB＝＝，
∴A，C两点间的距离为，
故选：C．
3．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，
∵ED＝5，CD＝3，
∴EC2＝DE2﹣CD2＝25﹣9＝16，
∴CE＝4，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE；
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB＝CD＝3，
∴BC＝BE+EC＝7，
∴AD＝7，
故选：B．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠AOD＝110°，
∴∠DOE＝70°，∠ODC＝∠OCD＝（180°﹣70°）＝55°，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE＝90°﹣∠DOE＝20°，
∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝55°﹣20°＝35°；
故选：C．
5．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠1＝∠E．
又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠E．
∴BE＝BD．
∵AE＝10，
∴BD＝BE＝10﹣AB．
在直角△ABD中，AD＝4，BD＝10﹣AB，则由勾股定理知：AB＝＝．
∴AB＝4.2．
故选：A．
6．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵BE＝EO，AE⊥BD，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝1，
∴BD＝2，
∴AD＝＝＝，
故选：B．
7．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB＝AB＝2，
∴BD＝2OB＝4，
故选：A．
8．解：连接CE，如图：
在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，
∴∠CDE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝DC＝4，AO＝OC，
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE，
设DE＝x，则AE＝CE＝8﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE2+DC2＝CE2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3．
∴DE的长为3．
故选：A．
9．解：由题意可得，∠A＝90°或∠A＝∠B或AC＝BD（答案不唯一），
故答案为：∠A＝90°或∠A＝∠B或AC＝BD（答案不唯一）．
10．解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得
3x＝20﹣2x．
解得x＝4，
故答案为：4．
11．解：∵AB∥CD，
∴∠MNK＝∠1＝70°，
由折叠的性质可得：∠1＝∠NMK＝70°，
∵CN∥BM，
∴∠CNM+∠KMN＝180°，
∴∠CNM＝110°，
∴∠KNC＝40°，
故答案为：40°．
12．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，
∵矩形ABCD的周长为8cm，
∴AB+AD＝4cm，
∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的中垂线，
∴BE＝DE，
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+DE＝AB+AD＝4cm，
故答案为4．
13．解：如图；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB+∠ADC＝180°；
∵AH、DH平分∠DAB、∠ADC，
∴∠HAD+∠HDA＝90°，即∠EHG＝90°；
同理可证得：∠HEF＝∠EFG＝∠FGH＝90°；
故四边形EFGH是矩形．
故答案为：矩形．
14．解：如图，连接AP，
∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴∠EAF＝90°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，
∴EF，AP的交点就是M点．
∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．
∵AP BC＝AB AC，
∴AP BC＝AB AC，
∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴5AP＝3×4，
∴AP＝，
∴AM＝；
故答案为：．
15．解：根据题意得：CQ＝2t，AP＝4t，
则DQ＝12﹣2t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，CD∥AB，
∴当AP＝DQ时，四边形APQD是矩形，
即4t＝12﹣2t，
解得：t＝2，
∴当t＝2s时，四边形APQD是矩形；
故答案为：2s．
16．解：在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠ADC＝90°，
∴DC＝AB＝6，
∴AC＝＝＝10，
若△PCD是等腰三角形，
①当CP＝CD时，AP＝AC﹣CP＝10﹣6＝4；
②当PD＝PC时，∠PDC＝∠PCD，
∵∠PCD+∠PAD＝∠PDC+∠PDA＝90°，
∴∠PAD＝∠PDA，
∴PD＝PA，
∴PA＝PC，
∴AP＝AC＝5，
③当DP＝DC时，如图：
过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ＝CQ，
∵S△ADC＝AD DC＝AC DQ，
∴DQ＝＝＝，
∴CQ＝＝＝，
∴PC＝2CQ＝，
∴AP＝AC﹣PC＝10﹣＝．
故答案为：4或5或．
17．解：设对角线AC、BD相交于点O，连接PO，
∵矩形ABCD的边AB＝5，BC＝12，
∴S矩形ABCD＝AB BC＝5×12＝60，
OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
AC＝＝＝13，
∴S△BOC＝S矩形ABCD＝15，OB＝OC＝AC＝，
∴S△BOC＝S△BOP+S△POC＝OB PF+OC PE＝OB（PE+PF）＝××（PE+PF）＝15，
∴PE+PF＝，
故答案案为：．
18．解：由翻折的性质可得，A1B＝AB＝13，A1E＝AE，
∵CA1平分∠BCD，∠BCD＝90°，
∴∠DCA1＝∠BCA1＝45°，
过点A1作A1F⊥BC于点F，如图，
则△A1CF是等腰直角三角形，
∴A1F＝CF，
设CF＝m，则A1F＝m，
BF＝17﹣m，
在Rt△A1BF中，由勾股定理可得，
A1B2＝A1F2+BF2，即132＝m2+（17﹣m）2，
解得m＝5或m＝12，
当m＝12时，延长FA1交AD于点G，如图1；
此时A1F＝CF＝12，BF＝5，
∴A1G＝FG﹣A1F＝1，
设AE＝t，则A1E＝t，
∵∠A1GE＝∠A1FB＝90°，∠EA1B＝∠A＝90°，
∴∠EA1G+∠GEA1＝90°，∠BA1F+∠EA1G＝90°，
∴∠GEA1＝∠BA1F，
∴A1E：A1G＝BA1：BF，即t：1＝13：5，
∴t＝，即AE＝；
当m＝5时，延长FA1交AD于点G，如图2；
此时A1F＝CF＝5，BF＝12，
∴A1G＝FG﹣A1F＝8，
设AE＝a，则A1E＝a，
∵∠A1GE＝∠A1FB＝90°，∠EA1B＝∠A＝90°，
∴∠EA1G+∠GEA1＝90°，∠BA1F+∠EA1G＝90°，
∴∠GEA1＝∠BA1F，
∴△A1EG∽△BA1F，
∴A1E：A1G＝BA1：BF，即a：8＝13：12，
∴a＝，即AE＝；
故答案为：或．
19．解：如图，由折叠的性质知：∠EFB＝∠EFD．
∵∠DFC＝70°，∠EFB+∠EFD+∠DFC＝180°，
∴∠EFB＝＝55°．
又AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝55°．
故答案是：55．
20．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠BAD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴OA＝OD，
∵DE平分∠ADC
∴∠CDE＝∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝AE，
又∵∠EDO＝15°，
∴∠ADO＝60°；
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD＝∠OAD＝60°，
∴AD＝AO＝DO，
∴AO＝AE，
∴∠AOE＝∠AEO，
∵∠OAE＝90°﹣∠OAD＝30°，
∴∠AOE＝∠AEO＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠DOE＝60°+75°＝135°，
故答案为：135．
21．解：过点C作CM⊥BE交BE于M，如图，
∵EC平分∠BED，
∴∠CEM＝∠CED，
在△EMC和△EDC中
，
∴△EMC≌△EDC（AAS），
∴∠DCE＝∠MCE，MC＝DC＝1，
在Rt△BMC中，BM＝＝1＝MC，
∴△BMC为等腰直角三角形，
∴∠MCB＝45°，
∴∠MCD＝45°
∴∠ECD＝∠MCE＝22.5°．
故答案为：22.5．
22．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∠BAD＝90°，
∴OA＝OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∵BO＝BE，
∴AB＝BO＝OA，
∴△BAO是等边三角形，
∴∠OAB＝60°，
∴∠CAE＝∠OAB﹣∠BAE＝15°，
故答案为：15°．
23．解：①AB＝BC，能利用邻边相等的平行四边形为菱形判定菱形，但不能判定矩形；
②AC⊥BD，能利用对角线垂直的平行四边形是菱形判定菱形，但不能判定矩形；
③OA＝OB则能得到AC＝BD，能利用对角线相等的平行四边形为矩形判定矩形，正确；
④AB⊥BC，能利用有一个角为直角的平行四边形为矩形判定矩形，正确，
故答案为：③或④．
24．解：∵CE∥BD，BE∥AC，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OC＝OA＝AC＝12，OB＝OD＝BD＝5，AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴BC＝＝＝13，
∵四边形OBEC是平行四边形，
∴平行四边形OBEC是矩形，
∴OE＝BC＝13，
故答案为：13．
25．解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝＝13，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝BC AC＝AB CD，
即×12×5＝×13 CD，
解得：CD＝，
∴EF＝．
故答案为：．
26．解：∵AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形AEPF为矩形，
连接AP，如图，EF＝AP，当AP的值最小时，EF的值最小，
当AP⊥BC时，AP的值最小，
根据△ABC面积公式，×AB AC＝×AP BC，
∴AP＝＝＝，
∴EF的最小值为．
故答案为．
27．解：（1）证明：∵AD∥BC，EC＝AD，
∴四边形AECD是平行四边形．
又∵∠D＝90°，
∴四边形AECD是矩形．
（2）∵AC平分∠DAB．
∴∠BAC＝∠DAC．
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB．
∴∠BAC＝∠ACB．
∴BA＝BC＝5．
∵EC＝2，
∴BE＝3．
∴在Rt△ABE中，AE＝＝＝4．
28．（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴平行四边形AODE是矩形，
故四边形AODE是矩形；
（2）解：∵∠BCD＝120°，AB∥CD，
∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
∵AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴OA＝×12＝6，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD
∴由勾股定理OB＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB＝6，
∴四边形AODE的面积＝OA OD＝6×＝36
29．（1）证明：在 ABCD中，∠A＝∠C，AD∥BC，AD＝BC
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE＝AD，CF＝BC
又∵AD＝BC，
∴AE＝CF，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠CFE．
∵EM平分∠AEF，FN平分∠EFC．
∴∠AEM＝∠FEM＝∠AEF，∠CFN＝∠FEN＝∠CFE．
∵∠AEF＝∠CFE，∠AEM＝∠AEF，∠CFN＝∠CFE．
∴∠AEM＝∠CFN，
在△AME和△CNF中，
∴△AME≌△CNF（ASA）
∵∠FEM＝∠FEN，
∴EM∥FN，
∵△AME≌△CNF，
∴EM＝FN．
∵EM∥FN，EM＝FN，
∴四边形EMFN是平行四边形；
（2）解：∠EFM＝∠BMF，
AM＝BM（或：M是AB中点）．
故答案为：∠EFM＝∠BMF，AM＝BM．
30．（1）证明：∵∠OAE＝∠OEA，
∴OA＝OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠OCF＝∠OAE，∠OFC＝∠OEA，
∴∠OFC＝∠OCF，
∵OF＝OC，
∵O为AC的中点，
∴OA＝OC，
∴OA＝OC＝OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，AC＝EF，
∴四边形AFCE是矩形；
（2）解：设CF＝x，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝5，
∴BC＝AB＝5，
∴BF＝5﹣x，
∵四边形AFCE是矩形，
∴∠AFC＝90°＝∠AFB，
在Rt△AFB和Rt△AFC中，由勾股定理得：AF2＝AB2﹣BF2＝AC2﹣CF2，
即52﹣（5﹣x）2＝（2）2﹣x2，
解得：x＝2，
即CF＝2，
则AF＝＝＝4，
∴四边形AFCE的面积是AF×CF＝2×4＝8．
31．（1）证明：如图①，连接BD，
∵∠A＝∠C＝90°，
∵AB＝CD，BD＝DB，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
∴AD＝CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：如图②，分别过点B、D作BE⊥AD于点E，DF⊥BC于点F，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵∠AEB＝∠CFD＝90°，AB＝CD，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF，AE＝CF，
由（1）可得四边形EBFD是矩形，
∴ED＝BF，
∴AD＝BC，
∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
32．（1）证明：∵OC＝AO，OD＝BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC，BO＝BD，
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：连接OE，设EC与BD交于F，
∵EC⊥BD，
∴∠CFD＝90°，
∵四边形AEBO是平行四边形，
∴AE∥BO，
∴∠AEC＝∠CFD＝90°，
即△AEC是直角三角形，
∵EO是Rt△AEC中AC边上的中线，
∴EO＝AO，
∵四边形AEBO是平行四边形，
∴OB＝AE，
∵OA＝OB，
∴AE＝OA＝OE，
∴△AEO是等边三角形，
∴∠OAE＝60°，
∵∠OAE+∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝120°．
寒假预习同步练习（附答案）
1．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接ED，若ED＝5，EC＝3，则长方形的面积为（ ）
A．15 B．16 C．22 D．28
2．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（2，5），则A，C两点间的距离是（ ）
A． B．3 C． D．5
3．如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，若CD＝3，DE＝5，则AD的长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
4．如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE大小是（ ）
A．55° B．40° C．35° D．20°
5．如图，四边形ABCD是矩形，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD＝4，AE＝10，则AB的长为（ ）
A．4.2 B．4.5 C．5.2 D．5.5
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（ ）
A．3 B． C．3 D．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，∠AOB＝60°，则BD的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（ ）
A．3 B．5 C．2.4 D．2.5
9．在 ABCD中，若添加一个条件： ，则四边形ABCD是矩形．
10．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快 s后，四边形ABPQ成为矩形．
11．如图1，在一张长方形纸片ABCD上画一条线段MN，将纸片沿线段MN折叠（如图2），当∠1＝70°时，∠KNC＝ （注：长方形纸片对边平行，即：CD∥AB，AD∥BC）．
12．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE．若矩形ABCD的周长为8cm，则△ABE的周长为 cm．
13．平行四边形的四个内角平分线相交，如能构成四边形，则这个四边形是 ．
14．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为 ．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝4cm，点P从A 开始沿折线A﹣B﹣A以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），当t＝ 时，四边形APQD也为矩形．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P、E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD是矩形，若△PCD是等腰三角形，则AP的长 ．
17．如图，在矩形ABCD中，P为矩形ABCD的边BC上任一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝5，BC＝12，PE+PF＝ ．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝13，BC＝17，点E是线段AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，AE的长为 ．
19．如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点B和点D重合，折痕为EF．若∠DFC＝70°，则∠DEF＝ °．
20．如图所示，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，且∠EDO等于15°，∠DOE＝ °．
21．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且EC平分∠BED，若AB＝1，BC＝，则∠ECD＝ °．
22．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AE平分∠BAD交于点E，且BO＝BE，则∠CAE＝ ．
23．在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AB＝BC；②AC⊥BD；③OA＝OB；④AB⊥BC，其中能判定 ABCD为矩形的是 ．
24．如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝10，AC、BD相交于点O，若CE∥BD，BE∥AC，连接OE，则OE的长是 ．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是 ．
26．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值为 cm．
27．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，E为边BC上一点，且EC＝AD，
连接AC．
（1）求证：四边形AECD是矩形；
（2）若AC平分∠DAB，AB＝5，EC＝2，求AE的长，
28．已知，如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB＝12，∠BCD＝120°，求四边形AODE的面积．
29．如图，在 ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，∠AEF的角平分线交AB于点M，∠EFC的角平分线交CD于点N，连接MF、NE．
（1）求证：四边形EMFN是平行四边形．
（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，他猜想：当AB＝AD时，四边形EMFN是矩形．请在下列框图中补全他的证明思路．
小明的证明思路
由（1）知四边形EMFN是平行四边形．要证 EMFN是矩形，只要证∠MFN＝90°．由已知条件知∠EFN＝∠CFN，故只要证∠EFM＝∠BFM．易证 ，故只要证∠BFM＝∠BMF，即证BM＝BF，故只要证 ．易证AE＝AM，AE＝BF，即可得证．
30．如图，在菱形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线EF与边AD、BC交于点E、F，∠CAE＝∠FEA，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE是矩形；
（2）若AB＝5，AC＝2，直接写出四边形AFCE的面积．
31．（1）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如图②，若四边形ABCD满足∠A＝∠C＞90°，AB＝CD，求证：四边形ABCD是平行四边形．
32．如图，已知△OAB中，OA＝OB，分别延长AO、BO到点C、D．使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD、DC、CB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）以OA、OB为一组邻边作 AOBE，连接CE，若CE⊥BD，求∠AOB的度数．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，AD＝BC，∠C＝90°，AD∥BC，
∵ED＝5，EC＝3，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：DC＝＝4，
∴AB＝DC＝4，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠EAB＝∠AEB，
∴BE＝AB＝4，
∵CE＝3，
∴AD＝BC＝BE+CE＝7，
∴矩形ABCD的面积是4×7＝28，
故选：D．
2．解：如图，连接AC，OB，
∵四边形AOCB是矩形，
∴AC＝OB，
∵点B的坐标是（2，5），点O（0，0），
∴OB＝＝，
∴A，C两点间的距离为，
故选：C．
3．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，
∵ED＝5，CD＝3，
∴EC2＝DE2﹣CD2＝25﹣9＝16，
∴CE＝4，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE；
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB＝CD＝3，
∴BC＝BE+EC＝7，
∴AD＝7，
故选：B．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠AOD＝110°，
∴∠DOE＝70°，∠ODC＝∠OCD＝（180°﹣70°）＝55°，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE＝90°﹣∠DOE＝20°，
∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝55°﹣20°＝35°；
故选：C．
5．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠1＝∠E．
又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠E．
∴BE＝BD．
∵AE＝10，
∴BD＝BE＝10﹣AB．
在直角△ABD中，AD＝4，BD＝10﹣AB，则由勾股定理知：AB＝＝．
∴AB＝4.2．
故选：A．
6．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵BE＝EO，AE⊥BD，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝1，
∴BD＝2，
∴AD＝＝＝，
故选：B．
7．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB＝AB＝2，
∴BD＝2OB＝4，
故选：A．
8．解：连接CE，如图：
在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，
∴∠CDE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝DC＝4，AO＝OC，
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE，
设DE＝x，则AE＝CE＝8﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE2+DC2＝CE2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3．
∴DE的长为3．
故选：A．
9．解：由题意可得，∠A＝90°或∠A＝∠B或AC＝BD（答案不唯一），
故答案为：∠A＝90°或∠A＝∠B或AC＝BD（答案不唯一）．
10．解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得
3x＝20﹣2x．
解得x＝4，
故答案为：4．
11．解：∵AB∥CD，
∴∠MNK＝∠1＝70°，
由折叠的性质可得：∠1＝∠NMK＝70°，
∵CN∥BM，
∴∠CNM+∠KMN＝180°，
∴∠CNM＝110°，
∴∠KNC＝40°，
故答案为：40°．
12．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，
∵矩形ABCD的周长为8cm，
∴AB+AD＝4cm，
∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的中垂线，
∴BE＝DE，
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+DE＝AB+AD＝4cm，
故答案为4．
13．解：如图；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB+∠ADC＝180°；
∵AH、DH平分∠DAB、∠ADC，
∴∠HAD+∠HDA＝90°，即∠EHG＝90°；
同理可证得：∠HEF＝∠EFG＝∠FGH＝90°；
故四边形EFGH是矩形．
故答案为：矩形．
14．解：如图，连接AP，
∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴∠EAF＝90°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，
∴EF，AP的交点就是M点．
∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．
∵AP BC＝AB AC，
∴AP BC＝AB AC，
∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴5AP＝3×4，
∴AP＝，
∴AM＝；
故答案为：．
15．解：根据题意得：CQ＝2t，AP＝4t，
则DQ＝12﹣2t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，CD∥AB，
∴当AP＝DQ时，四边形APQD是矩形，
即4t＝12﹣2t，
解得：t＝2，
∴当t＝2s时，四边形APQD是矩形；
故答案为：2s．
16．解：在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠ADC＝90°，
∴DC＝AB＝6，
∴AC＝＝＝10，
若△PCD是等腰三角形，
①当CP＝CD时，AP＝AC﹣CP＝10﹣6＝4；
②当PD＝PC时，∠PDC＝∠PCD，
∵∠PCD+∠PAD＝∠PDC+∠PDA＝90°，
∴∠PAD＝∠PDA，
∴PD＝PA，
∴PA＝PC，
∴AP＝AC＝5，
③当DP＝DC时，如图：
过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ＝CQ，
∵S△ADC＝AD DC＝AC DQ，
∴DQ＝＝＝，
∴CQ＝＝＝，
∴PC＝2CQ＝，
∴AP＝AC﹣PC＝10﹣＝．
故答案为：4或5或．
17．解：设对角线AC、BD相交于点O，连接PO，
∵矩形ABCD的边AB＝5，BC＝12，
∴S矩形ABCD＝AB BC＝5×12＝60，
OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
AC＝＝＝13，
∴S△BOC＝S矩形ABCD＝15，OB＝OC＝AC＝，
∴S△BOC＝S△BOP+S△POC＝OB PF+OC PE＝OB（PE+PF）＝××（PE+PF）＝15，
∴PE+PF＝，
故答案案为：．
18．解：由翻折的性质可得，A1B＝AB＝13，A1E＝AE，
∵CA1平分∠BCD，∠BCD＝90°，
∴∠DCA1＝∠BCA1＝45°，
过点A1作A1F⊥BC于点F，如图，
则△A1CF是等腰直角三角形，
∴A1F＝CF，
设CF＝m，则A1F＝m，
BF＝17﹣m，
在Rt△A1BF中，由勾股定理可得，
A1B2＝A1F2+BF2，即132＝m2+（17﹣m）2，
解得m＝5或m＝12，
当m＝12时，延长FA1交AD于点G，如图1；
此时A1F＝CF＝12，BF＝5，
∴A1G＝FG﹣A1F＝1，
设AE＝t，则A1E＝t，
∵∠A1GE＝∠A1FB＝90°，∠EA1B＝∠A＝90°，
∴∠EA1G+∠GEA1＝90°，∠BA1F+∠EA1G＝90°，
∴∠GEA1＝∠BA1F，
∴A1E：A1G＝BA1：BF，即t：1＝13：5，
∴t＝，即AE＝；
当m＝5时，延长FA1交AD于点G，如图2；
此时A1F＝CF＝5，BF＝12，
∴A1G＝FG﹣A1F＝8，
设AE＝a，则A1E＝a，
∵∠A1GE＝∠A1FB＝90°，∠EA1B＝∠A＝90°，
∴∠EA1G+∠GEA1＝90°，∠BA1F+∠EA1G＝90°，
∴∠GEA1＝∠BA1F，
∴△A1EG∽△BA1F，
∴A1E：A1G＝BA1：BF，即a：8＝13：12，
∴a＝，即AE＝；
故答案为：或．
19．解：如图，由折叠的性质知：∠EFB＝∠EFD．
∵∠DFC＝70°，∠EFB+∠EFD+∠DFC＝180°，
∴∠EFB＝＝55°．
又AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝55°．
故答案是：55．
20．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠BAD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴OA＝OD，
∵DE平分∠ADC
∴∠CDE＝∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝AE，
又∵∠EDO＝15°，
∴∠ADO＝60°；
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD＝∠OAD＝60°，
∴AD＝AO＝DO，
∴AO＝AE，
∴∠AOE＝∠AEO，
∵∠OAE＝90°﹣∠OAD＝30°，
∴∠AOE＝∠AEO＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠DOE＝60°+75°＝135°，
故答案为：135．
21．解：过点C作CM⊥BE交BE于M，如图，
∵EC平分∠BED，
∴∠CEM＝∠CED，
在△EMC和△EDC中
，
∴△EMC≌△EDC（AAS），
∴∠DCE＝∠MCE，MC＝DC＝1，
在Rt△BMC中，BM＝＝1＝MC，
∴△BMC为等腰直角三角形，
∴∠MCB＝45°，
∴∠MCD＝45°
∴∠ECD＝∠MCE＝22.5°．
故答案为：22.5．
22．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∠BAD＝90°，
∴OA＝OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∵BO＝BE，
∴AB＝BO＝OA，
∴△BAO是等边三角形，
∴∠OAB＝60°，
∴∠CAE＝∠OAB﹣∠BAE＝15°，
故答案为：15°．
23．解：①AB＝BC，能利用邻边相等的平行四边形为菱形判定菱形，但不能判定矩形；
②AC⊥BD，能利用对角线垂直的平行四边形是菱形判定菱形，但不能判定矩形；
③OA＝OB则能得到AC＝BD，能利用对角线相等的平行四边形为矩形判定矩形，正确；
④AB⊥BC，能利用有一个角为直角的平行四边形为矩形判定矩形，正确，
故答案为：③或④．
24．解：∵CE∥BD，BE∥AC，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OC＝OA＝AC＝12，OB＝OD＝BD＝5，AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴BC＝＝＝13，
∵四边形OBEC是平行四边形，
∴平行四边形OBEC是矩形，
∴OE＝BC＝13，
故答案为：13．
25．解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝＝13，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝BC AC＝AB CD，
即×12×5＝×13 CD，
解得：CD＝，
∴EF＝．
故答案为：．
26．解：∵AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形AEPF为矩形，
连接AP，如图，EF＝AP，当AP的值最小时，EF的值最小，
当AP⊥BC时，AP的值最小，
根据△ABC面积公式，×AB AC＝×AP BC，
∴AP＝＝＝，
∴EF的最小值为．
故答案为．
27．解：（1）证明：∵AD∥BC，EC＝AD，
∴四边形AECD是平行四边形．
又∵∠D＝90°，
∴四边形AECD是矩形．
（2）∵AC平分∠DAB．
∴∠BAC＝∠DAC．
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB．
∴∠BAC＝∠ACB．
∴BA＝BC＝5．
∵EC＝2，
∴BE＝3．
∴在Rt△ABE中，AE＝＝＝4．
28．（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴平行四边形AODE是矩形，
故四边形AODE是矩形；
（2）解：∵∠BCD＝120°，AB∥CD，
∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
∵AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴OA＝×12＝6，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD
∴由勾股定理OB＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB＝6，
∴四边形AODE的面积＝OA OD＝6×＝36
29．（1）证明：在 ABCD中，∠A＝∠C，AD∥BC，AD＝BC
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE＝AD，CF＝BC
又∵AD＝BC，
∴AE＝CF，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠CFE．
∵EM平分∠AEF，FN平分∠EFC．
∴∠AEM＝∠FEM＝∠AEF，∠CFN＝∠FEN＝∠CFE．
∵∠AEF＝∠CFE，∠AEM＝∠AEF，∠CFN＝∠CFE．
∴∠AEM＝∠CFN，
在△AME和△CNF中，
∴△AME≌△CNF（ASA）
∵∠FEM＝∠FEN，
∴EM∥FN，
∵△AME≌△CNF，
∴EM＝FN．
∵EM∥FN，EM＝FN，
∴四边形EMFN是平行四边形；
（2）解：∠EFM＝∠BMF，
AM＝BM（或：M是AB中点）．
故答案为：∠EFM＝∠BMF，AM＝BM．
30．（1）证明：∵∠OAE＝∠OEA，
∴OA＝OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠OCF＝∠OAE，∠OFC＝∠OEA，
∴∠OFC＝∠OCF，
∵OF＝OC，
∵O为AC的中点，
∴OA＝OC，
∴OA＝OC＝OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，AC＝EF，
∴四边形AFCE是矩形；
（2）解：设CF＝x，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝5，
∴BC＝AB＝5，
∴BF＝5﹣x，
∵四边形AFCE是矩形，
∴∠AFC＝90°＝∠AFB，
在Rt△AFB和Rt△AFC中，由勾股定理得：AF2＝AB2﹣BF2＝AC2﹣CF2，
即52﹣（5﹣x）2＝（2）2﹣x2，
解得：x＝2，
即CF＝2，
则AF＝＝＝4，
∴四边形AFCE的面积是AF×CF＝2×4＝8．
31．（1）证明：如图①，连接BD，
∵∠A＝∠C＝90°，
∵AB＝CD，BD＝DB，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
∴AD＝CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：如图②，分别过点B、D作BE⊥AD于点E，DF⊥BC于点F，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵∠AEB＝∠CFD＝90°，AB＝CD，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF，AE＝CF，
由（1）可得四边形EBFD是矩形，
∴ED＝BF，
∴AD＝BC，
∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
32．（1）证明：∵OC＝AO，OD＝BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC，BO＝BD，
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：连接OE，设EC与BD交于F，
∵EC⊥BD，
∴∠CFD＝90°，
∵四边形AEBO是平行四边形，
∴AE∥BO，
∴∠AEC＝∠CFD＝90°，
即△AEC是直角三角形，
∵EO是Rt△AEC中AC边上的中线，
∴EO＝AO，
∵四边形AEBO是平行四边形，
∴OB＝AE，
∵OA＝OB，
∴AE＝OA＝OE，
∴△AEO是等边三角形，
∴∠OAE＝60°，
∵∠OAE+∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝120°．