2021-2022学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册1.4.1-1.4.2单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义和基本性质习题课课件（41张ppt）

(共41张PPT)
4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
（习题课）
北师大（2019）必修2
聚焦知识目标
1.了解单位圆与正弦、余弦函数的关系．
2．掌握任意角的正弦、余弦函数定义．
3．掌握正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号．
数学素养
1.通过正弦、余弦函数定义的学习，培养数学抽象素养．
2．通过正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号判断，培养逻辑推理素养.
思维导图
环节一
正弦函数和余弦函数的定义
正弦函数和余弦函数的定义
1.单位圆的定义：在直角坐标系中，以 为圆心，以 为半径的圆，称为单位圆．
如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴
重合，终边与单位圆O交于点P.
原点
单位长
正半轴
正弦函数和余弦函数的定义
2.定义:如图,在直角坐标系中,给定单位圆,对于任意角α,使角α的顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合,终边与单位圆交于点P(u,v),那么点P的纵坐标v是角α的正弦函数值,记作v=______;点P的横坐标u是角α的余弦函数值,记作u=______.
sinα
cosα
正弦函数和余弦函数的定义
3.正弦函数、余弦函数定义的拓展
任意角的正弦、余弦函数的定义,实际上,我们可以把定义进一步拓展,通过角的终边上任意一点的坐标来定义正弦、余弦函数.设α是一个任意角,α的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点的距离是r(r=>0),如图
那么, 比值 叫作α的正弦,记作sinα,即sinα= ;比值 叫作α的余弦,记作cosα,即cosα= .
正弦函数和余弦函数的定义
正弦函数和余弦函数的定义
1.已知角α的终边与单位圆交于点 则cosα=()

B根据余弦函数的定义，得
正弦函数和余弦函数的定义
2.已知角α的终边过点(-4a，3a)(a<0)，求2sinα+cosα的值.
解析因为角α的终边过点(-4a，3a)，

所以


又因为a<0，所以 所以2sin
正弦函数和余弦函数的定义
正弦函数和余弦函数的定义
1.如图，在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆的交点为P(a，b)，若 则角α的大小为＿＿＿
解析由三角函数的定义，可得
因为 所以
正弦函数和余弦函数的定义
正弦函数和余弦函数的定义
1.已知角θ的终边经过点P(4，m)，且 则m等于()

A.-3 B.3 D.±3
B 解得m=3
正弦函数和余弦函数的定义
2.已知角α的终边过点（-8m、-6sin30°)、且 则m的值为()


C由已知得 解得
正弦函数和余弦函数的定义
3.已知角α的终边过点M(x、-1)(x<0)，且 则sinα=()

C.-
D设
由三角函数的定义，可得

整理可得

所以

故选D.
正弦函数和余弦函数的定义
4.已知第二象限角θ的终边上有两点A(-1，a)，B(b，2)，且cosθ+3sinθ=0，则3a-b=()

A.-7 B.-5

C.5 D.7
D由已知可知
由cosθ+3sinθ=0，得得

解得 故选D.
环节二
正余弦值符号和特殊角的三角函数值
正余弦值符号
正弦函数、余弦函数在各象限的符号
正余弦值符号
1.若sinθ cosθ>0、sinθ+cosθ<0、则θ的终边在()

A.第一象限B.第二象限

C.韩三象限D.第四象限
sinθcosθ>0,
sinθ>0，cosθ>0或sinθ<0，cosθ<0.
又sinθ+cosθ<0，.∶sinθ<0，cosθ<0，
θ为第三象限角.故选C.
正余弦值符号
2.是“ ”的()

A、充分而不必要条件

必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件
A由α=可得
由 可得 k∈Z或α= +2kπ，k∈Z，不能推出 故选A.
正余弦值符号
3.大数学家高斯在19岁时、解决了困扰数学界达千年之久的圆内接正十七边形的尺规作图问题、这是他最得意的作品之一、设a是圆内接正十七边形的一个内角，则下列说法正确的是()
A. cos a>0 B. sin a<0
C. cos2α>0 D. sin2a>0
C正十七边形的内角和为(17-2)=

15α，故

因为 即α是第二象限角，所以cos a<0，sinα>0，故A，B错误；因为 即2α是第四象限角，所以sin2α<0，cos2α>0，故C正确，D错误.故选C.
正余弦值符号
4.下列各三角函数值为负的是()

A. sin(-100°) B. cos(-220°)

C. sin(-10) D. cos 0
AB因为-100°是第三象限角，所以sin(-100°) 因为-220°是第二象限角
所以cos(-220°)<0；因为 所以-10是第二
象限角，所以sin(-10)>0；
cos 0=1>0.故选AB.
正余弦值符号
5.已知点P(sinα，cosα)在第三象限，则角α的终边在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

C.点P(sinα，cosα)在第三象限， sinα<0，且cosα<0，由sinα<0，知角α的终边在第三、四象限或y轴的非正半轴上，由cosα<0，知角α的终边在第二、三象限或x轴的非正半轴上，
角α的终边在第三象限.
正余弦值符号
()
B如图，以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转，与单位圆交于点P.设点P(u，v)，则 所以 故选B.
正余弦值符号
7.已知角α的终边经过点(3a，a+5)，且cosa≤0，sin a>0，求实数a的取值范围.
解析. cosα≤0,sinα>0,角α的终边落在第二象限或y轴的非负半轴上，
环节三
基本性质
基本性质
性质 正弦函数y＝sin x 余弦函数y＝cos x
定义域 R 值域 ________ 最大值与 最小值 当x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝1； 当x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－1 当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；
当x＝π，k∈Z时，ymin＝－1
周期性 周期函数，T＝ 基本性质
正弦函数和余弦函数的基本性质
正弦函数和余弦函数的基本性质
1.在[0，2π]上满足 的α的取值范围是()



且v=sinα
在 上单调递增，在 上
单调递减,所以，在[0,2π]上满足 的
α的取值范围是

正弦函数和余弦函数的基本性质
2.函数 的定义域为＿＿＿＿＿
所以
所以x∈(0，3]，即函数的定义域为(0，3].
正弦函数和余弦函数的基本性质
3.已知点P(sin a-cosa， 在第一象限，在[0，2π)内，求α的取值范围.

解析：点 在第一象限， 即α的终边在第一象限或第三象限，且sinα>cosα，如图，由三角函数的定义知
正弦函数和余弦函数的基本性质
正弦函数和余弦函数的基本性质
1.函数 的最大值为＿＿
解析：-1≤cosx≤1，.·当cosx=1时，函数 取得最大值
正弦函数和余弦函数的基本性质
2.函数 的值域是＿

解析函数y=2sinx在 上单
调递增，在 上单调递减，
且
故
即1<2sinx≤2，因此值域是(1，2].
正弦函数和余弦函数的基本性质
3.若对于任意实数x，都有2-sin x>a，则实数a的取值范围是()
A.(-∞,1) B.(-∞,1]
C.(-1,1) D.[-1,1]
A因为 -1≤sinx≤1,所以1≤2-sinx≤3，又因为2-sinx>a恒成立，所以a<1.
正弦函数和余弦函数的基本性质
正弦函数和余弦函数的基本性质
1.函数y=2-3cosx的单调递减区间是__.
答案[2kπ-π，2kπ](k∈Z)解析函数y=2-3cosx的单调递减区间即函数y=-cosx的单调递减区间，也即函数y=cosx的单调递增区间，即[2kπ-π，2kπ](k∈Z).
正弦函数和余弦函数的基本性质
2.比较大小

解析(1)因为 且y=sin x在区间 上是增函数.
所以
(2)因为 且y=c 在 上单调递减，所以