2021-2022学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册1.1椭圆及其标准方程（一）说课稿

椭圆及其标准方程（一）
一、课时内容与内容解析
本节课选自普通高中课程标准实验教科书北师大版选择性必修第一册第二章第一节第一课时，椭圆及其标准方程（一），主要内容是章引言以及椭圆的定义。
作为一节章起始课，章引言部分较好的交代了什么是圆锥曲线，为什么研究圆锥曲线， 以及如何研究圆锥曲线，为学生梳理了本章的研究内容及方法。而椭圆作为圆锥曲线之一， 是重要的数学模型，它和生活自然科学都有着密切的联系，应用广泛。椭圆也为其他圆锥曲线建立了学习与研究的范式，积累了有益的数学活动经验。
本节课承接了直线与圆，继续用数形结合的思想进行研究。在已有的知识经验基础之上， 类比圆的研究路径探究椭圆，从实际背景中抽象出椭圆，并通过作图的过程总结椭圆的定义以及对称性，一方面为下节课建立椭圆的方程提供对称基础，另一方面也为后续双曲线以及抛物线的学习提供研究思路和类比基础。因此本节课具有承上启下的作用，十分重要。
二、学情分析
（一）已有的知识储备
通过第一章的学习，学生已经掌握了直线与圆研究的路径，有了用动点轨迹定义曲线的经验，为本节课提供了一定的知识基础。此外，学生已经基本掌握了数形结合的思想，具备了一定动手操作的能力，并且有了用代数方法解决平面几何问题的意识。
（二）存在的问题
虽然前面学生学习了直线与圆，但它们都是学生熟悉的图形，是在旧知的基础之上进行再研究，而椭圆则是学生接触到的第一个系统研究的新曲线，所以在学习过程中还是会遇到一些困难。一是虽然学生对椭圆的形状十分熟悉，但是对于如何画出椭圆并没有经验；二是学生虽然有用动点轨迹定义圆的经验，但是如何找到椭圆上点的几何特征，以及从哪个角度去找几何特征，学生没有方向。加上班级学生会有少许的分化，部分基础不好的同学数学抽象素养还较为欠缺，在概念的归纳过程会产生一些困难。
（三）解决办法
为此，在教学中要建立在学生已有知识经验的基础之上，概念部分注重引导学生通过类比圆的画法动手操作，从实战中获得经验。给学生充足的作图和思考时间，让学生自主发现画出椭圆的关键条件，从而得出椭圆上动点的几何特征，再通过类比圆的定义，抽象出椭圆的定义。性质部分注重从几何直观出发，通过信息技术 Geogebra 辅助，在这个过程中增强
学生的自我效能感。三、教学目标
通过平面截圆锥以及圆锥曲线发展史和实际应用的微课展示，学生能了解圆锥曲
线的背景以及本章所研究的内容，感受其蕴含的数学文化以及在实际生活中的应用，意识到研究圆锥曲线的必要性。
通过对圆研究路径以及相关知识的回顾，学生能了解本章所研究的路径及方法， 并能类比圆构架出探究椭圆定义的思路。
通过动手作图，学生能关注到画椭圆的关键条件，从而总结出椭圆上的动点满足的几何特征，能类比圆的定义自主总结出椭圆的定义，提升数学抽象、直观想象的核心素养。
通过对椭圆形状的直观感知，学生能发现椭圆的对称性并能给出严格证明，体会数形结合的思想，提升逻辑推理、直观想象的核心素养。
四、教学重点与难点
重点：椭圆的定义
难点：椭圆定义的抽象
五、方法与策略
教学方法上，本节课采用探究式的教学方法，采用“提出问题--动手操作--定义生成-- 性质探究--定义应用”层层递进的方式来突破本节课的重难点。学法上，由一系列问题为主线，由浅入深，通过类比得出定义。在教学手段上，采用自制教具以及 Geogebra，便于学生动手操作，直观感知，提高课堂教学效率，激发学生学习兴趣。
六、资源与工具
自制教具，Geogebra 软件
七、教学内容与过程
（一）了解背景 整体把握
引言：第一章已经学习了直线与圆，研究了它们的方程以及性质，除了直线与圆，生活中还有许多用处广泛且优美的曲线。
师生活动 1：教师操作演示用平面截圆锥，学生观看演示过程，感受不同的截线情况， 了解圆锥曲线的由来。教师指出本章将对椭圆，抛物线，双曲线这三类圆锥曲线进行系统的学习。
师生活动 2：展示微课，简单介绍圆锥曲线的发展历程以及从古至今在生产生活中的应用。
【设计意图】利用 geogebra 展示圆锥曲线的由来，让学生了解圆锥曲线的背景，并引
出本章学习内容。通过微课，将数学史融入课堂，让学生了解数学相关的历史文化以及对人类发展做出的贡献，感受圆锥曲线在实际生活中的应用，意识到学习圆锥曲线的必要性，激
发起学生学习圆锥曲线的兴趣。
回顾：我们是用什么方法研究直线与圆的？研究圆的路径是什么？ 背景感知---轨迹定义---方程建立---性质探究---实际应用
教师指出，本章将仍然采用坐标法，按照同样的路径对圆锥曲线进行探究。
【设计意图】让学生了解本章的研究方法以及研究路径，同时为本节课的探究提供类比基础，引出本节课的研究课题。
（二）联系实际 感知形状
问题 1：大家对“椭圆的形状”并不陌生，你能举出实际生活中椭圆形状的例子吗？ 师生活动：学生举例，教师补充，启发学生用数学的眼光观察世界，并指出，以上只是
对椭圆“形状”的直观感知，进而抛出问题，满足什么特点的曲线才是椭圆。引出椭圆定义的探究。
【设计意图】感知椭圆的实际背景，能从实际问题中抽象出椭圆，树立学生用数学的眼光观察世界的意识，并引出接下来的探究内容--椭圆的定义。
问题 2：我们是如何对圆进行定义的？
追问：如何得出圆的定义的？
师生活动：学生回答，教师根据回答情况适当补充。并追问如何画圆，操作演示将绳子的两端点分开一段距离，笔尖拉紧绳子运动会得到什么图形，过渡到画椭圆。
【设计意图】通过圆的定义以及得出过程的回顾，给学生提供研究椭圆定义的思路，并通过画圆类比引出画椭圆。
（三）动手操作 定义探究
问题 3：尝试利用手中的工具作图，将绳子的两端固定在画板上的F1和F2两点，用笔尖拉紧绳子移动，观察笔尖所形成的轨迹是什么图形？
师生活动：学生两人一组，利用自制教具画出图形，小组代表展示，讨论交流画出椭圆需要满足的条件，其他同学进行补充。然后将所画的椭圆进行对比，启发学生发现绳长一样而两组画出的图形圆扁不同的原因，进一步思考如果定点间的距离固定，绳长伸长或者缩短， 是否会对椭圆的形状产生影响，让学生课下继续尝试。
问题 4:把笔尖看做一个动点，通过画椭圆的过程，思考动点在运动中满足什么样的几何
特征？由此能否类比圆的定义总结出椭圆的定义？
师生活动：学生总结，教师补充并板书
【设计意图】本环节为本节课中的重点环节，注重学生从实战中获得经验。首先让学生类比画圆动手画椭圆，以画椭圆作为感性体验，给学生留充足的思考和探索空间，自主发现画出椭圆的关键条件；其次通过小组代表发言，找出关键条件后，再通过不同小组对比，渗透绳长和定点距离对椭圆形状的影响，目的是为后续研究离心率做铺垫；最后，在以上发现的前提下，再次让学生思考画图过程中动点满足的数量关系，从中抽象概括出椭圆的本质特征，并类比圆的定义自主总结出椭圆的定义，突破难点。
定义：平面内，到两定点F1,F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的集合（或轨迹） 叫做椭圆，F1,F2叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距。
师生活动：教师指出，圆的定义中的定长指的半径，一般记为r，这里的常数记为2a（a > 0
），意义下节课具体介绍。
思考：有了常数2a的引入,你能用符号语言表示出椭圆上点的几何特征吗？
预设：|PF1| + |PF2| = 2a（大于|F1F2|）
追问：按照之前学过的逻辑用语，数学中的定义是作为什么条件存在的？由此你可以得到哪些结论？
预设：充要条件，椭圆上的点p都满足|PF1| + |PF2| = 2a（大于|F1F2|），反之，只要满足这样特征的点p，一定在椭圆上。
【设计意图】此环节为对椭圆定义的进一步理解，一方面想培养学生将椭圆作为一个基本图形的意识，另一方面为接下来证明对称点在椭圆上提供思路。
（四）性质探究 定义应用
问题 5：研究一个图形时少不了要探究图形的性质，根据刚才的画图过程以及画出的椭圆，你认为椭圆具有什么性质？
师生活动：学生自主发现对称性，在画板上画出对称轴和对称中心并展示，用文字语言具体描述对称性。
追问：如何证明椭圆关于直线或者点对称？
师生活动：师生共同指出曲线是由点构成的，证明椭圆关于直线或者点对称，只需要证明椭圆上的任意一点关于直线或者点的对称点仍然在椭圆上。
例 1 设椭圆上任意一点p,证明：p点关于直线F1F2的对称点P1仍然在椭圆上。
师生活动：学生自主证明并发言，教师板书，并利用 Geogebra 动态演示，另外两种对称的证明学生课后完成。同时教师指出后面学习中还会从代数角度再次给出证明。
结论：椭圆是轴对称图形，直线F1F2和线段F1F2的垂直平分线都是它的对称轴，椭圆也
是中心对称图形，线段F1F2的中点是它的对称中心。
【设计意图】从定义出发，初步感知椭圆的对称性，尽管解析几何是用坐标法研究曲线， 但不等同于完全放弃几何直观的分析与推理，学生通过动手操作画椭圆能感知到椭圆的形状特点，从几何直观上提出猜想，进一步利用定义进行证明，一方面是对椭圆定义的巩固与应
用，另一方面也为下一节课b的引入以及椭圆的标准方程的建系方式提供基础。而将证明对
称作为一道例题呈现的目的也是把它看做椭圆定义的应用，加深学生对定义的理解。
（五）例题讲解 目标检测
例 2 已知ΔABC 的周长为 10，且 BC 的长度为 4，则顶点 A 的轨迹是什么？并说明理由。
练习：下列命题是真命题的是 .
（1）平面内，已知定点F1( 1,0)和F2(1,0)，则满足|PF1| + |PF2| = 2的点的轨迹是椭
圆
（2）平面内，已知定点F1( 2,0)和F2(2,0)，则满足|PF1| + |PF2| = 4 的点的轨迹是线
段F1F2
（3）平面内，已知|F1F2|=6，到定点F1和F2的距离相等的点的轨迹是椭圆
【设计意图】强化椭圆是基本图形的理念，巩固椭圆定义的理解及认识
（六）课堂小结 总结提升
回顾本节课的学习，你收获了哪些知识？
师生活动：学生自主发言，教师适当追问，在这个过程中启发学生关注到研究方法和思想。
（七）作业布置 拓展延伸
必做题：给出椭圆另外两种对称性的严格证明，并完成课后练习题第 1.2 题
选做题：数学家旦德林利用双球模型证明了椭圆截线定义和轨迹定义的统一。收集有关旦德林双球模型资料，完成学案上的相关问题，体会古人思想。
课后思考:梳理圆的标准方程推导步骤，类比思考如何求出椭圆的方程？
（附学案上选做题：如图所示，在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切.两个球分别与截面相切于点E、F，在截线上任取一点A，
过点A作圆锥的母线，分别与两个球相切于点C、B；思考：
球外一点向球引出的切线长有什么数量关系？
线段AB、AF 和 AE、AC与两个球有什么样的位置关系？
线段AB和AF,AE和AC之间有什么样的数量关系？
点A在运动过程中，BC长度是否会发生变化？为什么？由此你能得出什么结论？）
【设计意图】必做题是为了巩固本节课重点内容椭圆定义的理解和应用，选做题一方面为了体现本节内容的整体性以及数学的严谨性，另一方面旦德林双球模型作为截线定义和轨迹定义的统一实际上是非常重要的，但是由于对学生的空间想象能力和抽象能力要求过高， 因此将其放在了选做题的位置，使得感兴趣以及有能力的同学进一步探究，体会数学文化， 让不同的学生在数学上得到不同的发展。课后思考则是为下节课椭圆的标准方程建立基础。
（八）板书设计
(
圆锥曲线
椭圆
1.
定义
2.对称性
)
《椭圆及其标准方程（一）》学案
（一）了解背景 整体把握
回顾：研究圆的路径是什么？
（二）联系实际 感知形状
问题 1：你能举出实际生活中椭圆形状的例子吗？
问题 2：圆是如何定义的？
追问：如何得出圆的定义的？
（三）动手操作 定义探究
问题 3：尝试利用手中的工具作图，将绳子的两端固定在画板上的F1和F2两点，用笔尖拉紧绳子移动， 观察笔尖所形成的轨迹是什么图形？
问题 4:把笔尖看做一个动点，通过画椭圆的过程，思考动点在运动中满足什么样的几何特征？由此能否类比圆的定义总结出椭圆的定义？
思考：记绳长为2a(a>0),你能用符号语言表示出椭圆上点的几何特征吗？
追问：利用之前学过的逻辑用语，数学中的定义是作为什么条件存在的？由此你可以得到哪些结论？
（四）性质探究 定义应用
问题 5：研究一个图形时少不了要探究图形的性质，根据刚才的画图过程以及画出的椭圆，你认为椭圆有什么性质？
追问：如何证明椭圆关于某条直线或者点对称？
例 1 设椭圆上任意一点p,请同学们利用椭圆的定义证明：p点关于直线的对称点P1仍然在椭圆上。
（五）例题讲解 目标检测
例 2 已知ΔABC 的周长为 10，且 BC 的长度为 4，则顶点 A 的轨迹是什么？并说明理由。
练习：下列命题是真命题的是 .
（1）平面内，已知定点F1( 1,0)和F2(1,0)，则满足|PF1| + |PF2| = 2的点的轨迹是椭圆
（2）平面内，已知定点F1( 2,0)和F2(2,0)，则满足|PF1| + |PF2| = 4 的点的轨迹是线段F1F2
（3）平面内，已知|F1F2|=6，到定点F1和F2的距离相等的点的轨迹是椭圆
（六）课堂小结 总结提升
回顾本节课的学习，你收获了哪些知识？
（七）作业布置 拓展延伸
必做题：给出椭圆另外两种对称性的严格证明，并完成课后练习题第 2 题
选做题：收集有关旦德林双球模型的资料，完成以下问题：
如图所示，在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切.两个球分别与截面相切于点E、F，在截线上任取一点A，过点A作圆锥的母线，分别与两个球相切于点C、B；思考并回答：
球外一点向球引出的切线长有什么数量关系？
线段AB、AF 和 AE、AC与两个球有什么样的位置关系？
线段AB和AF,AE和AC之间有什么样的数量关系？
点A在运动过程中，BC长度是否会发生变化？为什么？由此你能得出什么结论？
课后思考:梳理圆的标准方程推导步骤，类比思考如何求出椭圆的方程？