2021-2022学年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明同步自主达标测评(Word版,附答案解析)

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》
同步自主达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（　　）
A．20° B．35° C．40° D．70°
2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（　　）
A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC
3．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝（　　）
A．30° B．35° C．45° D．60°
4．若实数m、n满足等式|m﹣2|+＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
5．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（　　）
A．50° B．70° C．75° D．80°
6．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为（　　）
A．4 B．6 C． D．8
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为（　　）
A．2a B．2a C．3a D．
8．已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）条．
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为（　　）
A．40° B．36° C．30° D．25°
10．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，D是AB的中点，则CD＝　 　．
12．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝　 　度．
13．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝　 　cm．
14．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为　 　度．
15．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD＝BC，则△ABC的顶角的度数为　 　．
16．如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB＝6，AC＝9，则△ABD的周长是　 　．
17．如图，已知Rt△ABE中∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是　 　．
18．如图，∠AOB＝45°，点M，N在边OA上，OM＝x，ON＝x+4，点P是边OB上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是　 　．
三．解答题（共6小题，满分40分）
19．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD，交于点F．
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
20．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．
求证：△BDE是等腰三角形．
21．已知如图，△ABC中，EF∥BC，交AB、AC于E、F，∠B的平分线交EF于O点．
（1）求证：EO＝BE；
（2）若EF＝BE+CF，求证：OC平分∠ACB．
22．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）
23．如图，AD是∠BAC平分线，点E在AB上，且AE＝AC，EF∥BC交AC于点F，AD与CE交于点G，与EF交于点H．
（1）证明：AD垂直平分CE；
（2）若∠BCE＝40°，求∠EHD的度数．
24．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°
①求证：AD＝BE；
②求∠AEB的度数．
（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE＝2CM+BN．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝20°，
∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠CAB）＝70°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝35°．
故选：B．
2．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，
∴∠BCD＝∠A．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE．
又∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE．
故选：C．
3．解：作MN⊥AD于N，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝70°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN＝MC，
∵M是BC的中点，
∴MC＝MB，
∴MN＝MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB＝∠DAB＝35°，
故选：B．
4．解：∵|m﹣2|+＝0，
∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，
解得m＝2，n＝4，
当m＝2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；
当n＝4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4＝10．
故选：B．
5．解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝25°，
∵∠B＝60°，∠C＝25°，
∴∠BAC＝95°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°，
故选：B．
6．解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，
∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∠NCM＝∠BCM＝∠NMC，
∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC，
∴∠B＝30°，
∵AN＝1，
∴MN＝2，
∴AC＝AN+NC＝3，
∴BC＝6，
故选：B．
7．解：∵CD⊥AB，CD＝DE＝a，
∴CE＝a，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，点E是AB的中点，
∴AB＝2CE＝2a，
故选：B．
8．解：如图所示：
当AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）．
故选：B．
9．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CD＝DA，
∴∠C＝∠DAC，
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，
设∠B＝α，
则∠BDA＝∠BAD＝2α，
又∵∠B+∠BAD+∠BDA＝180°，
∴α+2α+2α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠B＝36°，
故选：B．
10．解：过点D作DE⊥BC于E，则DE即为DP的最小值，
∵∠BAD＝∠BDC＝90°，∠ADB＝∠C，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ABD＝∠CBD，DA⊥AB，DE⊥BC，
∴DE＝AD＝2，
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝AB＝×6＝3．
故答案为：3．
12．解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∴∠FAC＝∠EAC+19°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB＝∠EAC+19°，
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴70°+2（∠C+19°）+∠C＝180°，
解得，∠C＝24°，故答案为：24．
13．解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△ADC，
∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB DE＝AB DE＝3AB，
∵S△ABC＝AC BF，
∴AC BF＝3AB，
∵AC＝AB，
∴BF＝3，
∴BF＝6．故答案为6．
14．解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，
∵∠BAD＝58°，
∴∠DEB＝116°，
∵DE＝BE＝AC，
∴∠EBD＝∠EDB＝32°，
故答案为：32．
15．解：①BC为腰，
∵AD⊥BC于点D，AD＝BC，
∴∠ACD＝30°，
如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C＝30°，
如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB＝180°﹣30°＝150°，
②BC为底，如图3，
∵AD⊥BC于点D，AD＝BC，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，
∴∠BAD+∠CAD＝×180°＝90°，
∴顶角∠BAC＝90°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．
故答案为：30°或150°或90°．
16．解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝15，
故答案为：15．
17．解：当点D与点E重合时，CD＝0，此时∠CDE＝30°不成立，
当点D与点A重合时，
∵∠A＝90°，∠B＝60°，
∴∠E＝30°，
∴∠CDE＝∠E，∠CDB＝∠B，
∴CE＝CD，CD＝CB，
∴CD＝BE＝5，
∴0＜CD≤5，
故答案为：0＜CD≤5．
18．解：分三种情况：
①如图1，当M与O重合时，即x＝0时，点P恰好有三个；
②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，
∴MC⊥OB，
∵∠AOB＝45°，
∴△MCO是等腰直角三角形，
∴MC＝OC＝4，
∴OM＝4，
当M与D重合时，即x＝OM﹣DM＝4﹣4时，同理可知：点P恰好有三个；
③如图3，取OM＝4，以M为圆心，以OM为半径画圆，
则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x＝4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；
点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；
∴当4＜x＜4时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个；
综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x＝0或x＝4﹣4或4．
故答案为：x＝0或x＝4﹣4或4．
三．解答题（共6小题，满分40分）
19．解：（1）∠ABE＝∠ACD；
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABE＝∠ACD；
（2）连接AF．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
由（1）可知∠ABE＝∠ACD，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴FB＝FC，
∵AB＝AC，
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，
即直线AF垂直平分线段BC．
20．证明：∵DE∥AC，
∴∠1＝∠3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∵AD⊥BD，
∴∠2+∠B＝90°，∠3+∠BDE＝90°，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∴△BDE是等腰三角形．
21．证明：（1）∵EF∥BC，交AB、AC于E、F．
∴∠BOE＝∠CBO，∠COF＝∠BCO，
∵∠B的平分线交EF于O点，
∴∠EBO＝∠CBO，
∴∠EBO＝∠BOE，
∴EO＝BE．
（2）∵EF＝BE+CF，且EF＝OE+OF，
∴OE+OF＝BE+CF，
∵EO＝BE，
∴OF＝CF，
∴∠COF＝∠FCO，
∵∠COF＝∠BCO，
∴∠BCO＝∠FCO，
∴OC平分∠ACB．
22．证明：过点D作DG∥AC交BC于点G，如图所示．
∵DG∥AC，
∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB．
在△GDF和△CEF中，，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴GD＝CE．
∵BD＝CE，
∴BD＝GD，
∴∠B＝∠DGB＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
23．（1）证明：∵AE＝AC，AD是∠BAC平分线，
∴AD垂直平分CE；
（2）解：由（1）可知点D为CE垂直平分线上的点，
∴CD＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC．
∵EF∥BC，
∴∠DCE＝∠CEF＝∠DEC，
∴EG平分∠DEF．
∵EG⊥AD，
∴△DEH是等腰三角形，且ED＝EH，
∴∠EDH＝∠EHD，
∵∠BCE＝40°，
∴∠DEH＝2∠BCE＝80°，
∴∠EHD＝（180°﹣80°）＝50°．
24．（1）①证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，
∴∠ACB＝∠DCE＝180°﹣2×50°＝80°．
∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB，∠DCE＝∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD＝∠BCE．
∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC．
在△ACD和△BCE中，有，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE．
②解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC．
∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝130°，
∴∠BEC＝130°．
∵∠BEC＝∠CED+∠AEB，且∠CED＝50°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝130°﹣50°＝80°．
（2）证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°，
∴∠CDM＝∠CEM＝×（180°﹣120°）＝30°．
∵CM⊥DE，
∴∠CMD＝90°，DM＝EM．
在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，∠CDM＝30°，
∴DE＝2DM＝2CM．
∵∠BEC＝∠ADC＝180°﹣30°＝150°，∠BEC＝∠CEM+∠AEB，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CEM＝150°﹣30°＝120°，
∴∠BEN＝180°﹣120°＝60°．
在Rt△BNE中，∠BNE＝90°，∠BEN＝60°，
∴BE＝BN．
∵AD＝BE，AE＝AD+DE，
∴AE＝BE+DE＝BN+2CM．