2021-2022学年北师大版八年级数学下册1.4角的平分线 同步自主达标测评（word版含解析）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-4角的平分线》同步自主达标测评（附答案）
一．选择题（共9小题，满分36分）
1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E．若AC＝10，DE＝4，则AD的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若S△ACD＝6，AC＝6，则点D到AB的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，∠AOB＝150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D，PC∥OB交OA于点C，若PD＝3，则OC的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．为了加快灾后重建的步伐，我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（　　）
A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于点D，过点C作CG⊥AB于点G，交AD于点E，过点D作DF⊥AB于点F．下列结论：
①∠B＝∠ACG；②CE＝DF；
③∠CED＝∠CDE；
④S△AEC：S△AEG＝AC：AG．
上述结论中正确的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OB，垂足为D，若PD＝3cm，则P到OA的距离d满足（　　）
A．d＜3cm B．d＝3cm C．d＞3cm D．无法确定
8．有下列四种说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④在△ABC中的∠BAC的平分线上任意一点到三角形三边的距离相等，其中正确的有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝9，AC＝6，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，则S△ABD：S△ACD＝（　　）
A．4：3 B．9：8 C．9：6 D．3：2
二．填空题（共10小题，满分40分）
10．如图，在△ABC中，O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∠BOC＝126°，则∠A的度数为 　 　．
11．如图所示，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，AB＝36cm，BC＝24cm，S△ABC＝144cm2，则DE的长是　 　．
12．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC交CD于点E，BC＝5，DE＝2，△BCE的面积等于 　 　．
13．如图，点O是△ABC的两外角平分线的交点，下列结论：①OB＝OC；②点O到AB、AC的距离相等；③点O到△ABC的三边的距离相等；④点O在∠A的平分线上；⑤∠O＝90°﹣∠A，其中结论正确的序号是 　 　．
14．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．若CE＝2，则AB＝　 　．
15．如图，△ABC外的一点P到三边所在直线的距离相等，若∠BAC＝80°，则∠CPB＝　 　°．
16．将两块完全相同的三角尺在∠AOB的内部如图摆放，两块三角尺较短的直角边分别与∠AOB的两边重合，且含30°角的顶点恰好也重合于点C，则射线OC即为∠AOB的平分线，理由是 　 　．
17．如图△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，CB＝6，I是三条角平分线的交点，ID⊥BC于D，则ID的长是 　 　．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 　 　．
19．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是 　 　．
三．解答题（共6小题，满分44分）
20．已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
（1）如图1，求∠BDC的度数；
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．
21．如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．
22．如图，点P为∠ABC和∠MAC的平分线的交点．求证：点P在∠ACN的平分线上．
23．如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．
24．已知：P为∠AOB内一个动点，M，N分别为OA，OB上的点，连接PM，PN，MN．
（1）如图1，若∠AOB＝90°，OP＝2，PM⊥OA，PN⊥OB，则MN的长为　 　．
（2）如图2，若∠AOB＝120°，OP＝2，若P在∠AOB的角平分线上，且满足PM＝PN（OM＜ON），求四边形OMPN的面积．
25．如图，EG、FG分别是∠MEF，∠NFE的平分线，交点是G，BP，CP分别是∠MBC和∠NCB的平分线，交点是P．
（1）证明：A，P，G三点共线；
（2）若∠G＝68°，求∠P的度数．
参考答案
一．选择题（共9小题，满分36分）
1．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB DE＝×10 DE＝15，
解得：DE＝3，
∴CD＝3．
故选：B．
2．解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE＝4，
∵AC＝10，
∴AD＝AC﹣CD＝10﹣4＝6．
故选：C．
3．解：如图所示，过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC＝DE，
∵S△ACD＝6，
∴×AC×CD＝6，即×6×CD＝6，
解得CD＝2，
∴DE＝2，
即点D到AB的距离为2，
故选：B．
4．解：∵∠AOB＝150°，PC∥OB交OA于点C，
∴∠PCO＝30°，
过P作PE⊥OA于E，
∵PD⊥OB，OP平分∠AOB
∴PE＝PD＝3，∴∠AOP＝∠POD＝75°，
∴∠CPD＝75°，
∴OC＝PC＝6，
故选：D．
5．解：满足条件的点有一个，
三角形内部：三个内角平分线交点一个．
三角形外部，外角的角平分线三个（不合题意）．
故选：A．
6．解：∵CG⊥AB，
∴∠CGA＝90°，
∴∠CAB+∠ACG＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠B＝∠ACG，故①正确；
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵∠C＝90°，∠CGA＝90°，
∴∠CDE＝90°﹣∠CAD，∠AEG＝90°﹣∠BAD，
∴∠AEG＝∠CDE，
∴∠CED＝∠CDE，故③正确；
∴CE＝CD，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，
∴CD＝DF，
∴CE＝DF，故②正确；
如图，过点E作EH⊥AC于点H，则EH＝EG，
∴S△AEC＝＝，
∵S△AEG＝，
∴S△AEC：S△AEG＝AC：AG，故④正确；
∴正确的个数是4个，
故选：A．
7．解：过点P作PE⊥OA于E，
∵OC平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴d＝PE＝PD＝3cm，
故选：B．
8．解：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等，是假命题；
②在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，原命题是假命题；
③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等，是真命题；
④在△ABC中的∠BAC的平分线上任意一点到三角形三边的距离相等，是假命题；
故选：A．
9．解：∵AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵AB＝8，BC＝9，AC＝6，
∴S△ABD：S△ACD＝＝AB：AC＝8：6＝4：3．
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分40分）
10．解：
∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣2（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣2×（180°﹣∠BOC）＝180°﹣2×（180°﹣126°）＝72°，
故答案为：72°．
11．解：如图，过D作DF⊥BC于F，
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，
∴DE＝DF，
而S△ABC＝S△ABD+S△CBD＝DE AB+DF BC，
∴144＝DE×36+DF×24，
∴144＝18DE+12DF，
而DE＝DF，
∴DE＝4.8cm．
故填：4.8cm．
12．解：作EF⊥BC交BC于点F，
∵CD是AB边上的高，
∴CD⊥BA，
∵BE平分∠ABC，
∴DE＝EF，
∵DE＝2，
∴EF＝2，
∵BC＝5，
∴S△BCE＝＝＝5，
故答案为：5．
13．解：如图，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥BC于F，作OG⊥AC于G，
∵点O是△ABC的两外角平分线的交点，
∴OE＝OG，OF＝OG，
∴OE＝OF＝OG，
∴点O在∠A的平分线上，故②③④正确，
只有点F是BC的中点时，BO＝CO，故①错误，
∵∠EBC＝∠A+∠ACB，∠GCB＝∠A+∠ABC，
∴∠EBC+∠GCB＝2∠A+∠ABC+∠ACB＝180°+∠A，
∵点O是△ABC的两外角平分线的交点，
∴∠CBO＝∠EBC，∠BCO＝∠BCG，
∴∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO＝90°﹣∠A，故⑤正确；
故答案为：②③④⑤．
14．解：∵BF∥AC，
∴∠C＝∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠CBF，
∴∠C＝∠ABC，
∴AB＝AC，
∵AD平分∠BAC，
∴DC＝BD，
在△CDE与△DBF中，
，
∴△CDE≌△DBF（ASA）
∴DE＝DF，CE＝BF＝2，
∵AE＝2BF，
∴AC＝3BF，
∴AB＝3BF＝6，
故答案为：6．
15．解：过P作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，
∵△ABC外的一点P到三边所在直线的距离相等，
∴PE＝PF＝PG，
∴BP平分∠ABC，PC平分∠ACD，
在△ABC中，∠ACD＝∠BAC+∠ABC，
在△PBC中，∠PCD＝∠BPC+∠PBC，
∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线，
∴∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC，
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝∠ACD﹣ABC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠BAC，
∵∠BAC＝80°，
∴∠BPC＝40°，
故答案为：40．
16．解：∵将两块完全相同的三角尺在∠AOB的内部如图摆放，
∴CE＝CF，∠CEO＝∠CFO＝90°，
即CE⊥OA，CF⊥OB，
∴射线OC为∠AOB的平分线（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
故答案为：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
17．解：过I作IE⊥AC于E，IF⊥AB于F，连接IA，IC，IB，
∵I是三条角平分线的交点，ID⊥BC，
∴IE＝ID＝IF，
设IE＝ID＝IF＝R，
∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，CB＝6，
∴△ABC的面积S＝×AC×BC＝＝24，
∴S△ACI+S△BCI+S△ABI＝24，
∴AC×IE++IF＝24，
∴+6×R+R＝24，
解得：R＝2，
即ID＝2，
故答案为：2．
18．解：如图，作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝3，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×10×3＝15，
故答案为：15．
19．解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上．
三．解答题（共6小题，满分44分）
20．解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣30°﹣20°
＝130°；
（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，
∴DH＝DE＝2，
∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，
∴DF＝DH＝2，
∴△ADC的面积＝DF AC＝×2×4＝4．
21．解：如图，点P为所作．
22．证明：
过P作PE⊥BM于E，PF⊥AC于F，PG⊥BN于G，
∵P为∠ABC和∠MAC的平分线的交点，
∴PE＝PF，PE＝PG，
∴PF＝PG，
∴点P在∠ACN的平分线上．
23．证明：连接AD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD，（SAS），
∴BD＝CD．
24．解：（1）∵PM⊥OA，PN⊥OB，
∴∠OMP＝∠MON＝∠PNO＝90°，
∴四边形PNOM是矩形，
∴MN＝OP＝2，
故答案为：2；
（2）过P作PG⊥OA，PH⊥OB，
∵P在∠AOB的角平分线上，
∴PG＝PH，
在Rt△PGM与Rt△PHN中，，
∴Rt△PGM≌Rt△PHN，
∵∠AOB＝120°，
∴∠POA＝∠POB＝60°，
∴OG＝OH＝1，PG＝PH＝，
∴四边形OMPN的面积＝四边形PGOH的面积＝2△OPG的面积＝2××＝．
25．解：（1）过G作GT⊥AN于T，GQ⊥AM于Q，PR⊥EF于R，
∵EG、FG分别是∠MEF，∠NFE的平分线，
∴GT＝GR＝GQ，
∴G在∠NAM的角平分线上，
同理点P在∠NAN的角平分线上，
∴A，P，G三点共线；
（2）∵EQ、FQ分别是∠MEF和∠NFE的平分线，
∴∠QFE＝∠NFE，∠QEF＝∠MEF，
∴∠Q＝180°﹣∠NFE﹣∠MEF
＝180°﹣（∠NFE+∠MEF）
＝180°﹣（360°﹣∠AFE﹣∠AEF）
＝180°﹣（180°+∠A）
＝90°﹣∠A＝68°，
同理，∠P＝90°﹣∠A＝68°．