2021-2022学年北师大版八年级数学下册1.1等腰三角形 同步自主达标测评（word版含解析）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-1等腰三角形》同步自主达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．如图，在△ABC中，AC＝BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．7
2．已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）条．
A．3 B．4 C．5 D．6
3．等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1：2，则等腰三角形顶角的度数为（　　）
A．30° B．150° C．60°或120° D．30°或150°
4．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（　　）
A．20° B．35° C．40° D．70°
5．如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝65°，则∠2的度数是（　　）
A．50° B．60° C．65° D．70°
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（　　）
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
7．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC的度数是（　　）
A．15° B．20° C．40° D．50°
8．如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，点D在AC上，BC＝BD，DE∥BC交AB于点E，则图中等腰三角形共有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
9．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，下列叙述结论错误的是（　　）
A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BC
C．点D是线段AC的中点 D．AD＝BD＝BC
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠A＝36°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC的度数为（　　）
A．72° B．108° C．126° D．144°
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．直线上依次有A，B，C，D四个点，AD＝7，AB＝2，若AB，BC，CD可构成以BC为腰的等腰三角形，则BC的长为　 　．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连接BD．若∠A＝32°，则∠CDB的大小为　 　度．
13．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为　 　．
14．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝　 　cm．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE＝a，AE＝b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为　 　．
16．如果等腰三角形的两边长是12cm和6cm，那么它的周长是　 　cm．
17．如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C，D是BC上一点，E是AC上一点，连接AD、DE，若∠ADE＝∠AED，∠EDC＝15°，则∠BAD＝　 　．
18．一个三角形可被割成两个等腰三角形，原三角形的一个内角为36度，求原三角形最大内角的所有可能值．
三．解答题（共4小题，满分40分）
19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．当∠A为多少时，点D恰为AB的中点？写出一个你认为适当的角度，并利用此角的大小证明D为AB的中点．
20．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O
（1）求证：OB＝OC；
（2）若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．
21．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．
求证：△BDE是等腰三角形．
22．在△ABC中，AB＝AC，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）如图1，若D是BC边上的中点，∠A＝45°，DF＝3，求AC的长；
（2）如图2，D是线段BC上的任意一点，求证：BG＝DE+DF；
（3）在图3，D是线段BC延长线上的点，猜想DE、DF与BG的关系，并证明．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：如图所示，作AB的垂直平分线，①△ABC的外心P1为满足条件的一个点，
②以点C为圆心，以AC长为半径画圆，P2、P3为满足条件的点，
③分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，P4为满足条件的点，
④分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，P5、P6为满足条件的点，
综上所述，满足条件的所有点P的个数为6．
故选：C．
2．解：如图所示：
当AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）．
故选：B．
3．解：当高在三角形外部时，顶角是150°；
当高在三角形内部时，顶角是30°；
所以等腰三角形的顶角的度数为30°或150°；
故选：D．
4．解：∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝20°，
∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠CAB）＝70°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝35°．
故选：B．
5．解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ACD＝65°，
∵AD＝CD，
∴∠DCA＝∠CAD＝65°，
∴∠2的度数是：180°﹣65°﹣65°＝50°．
故选：A．
6．解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠ACE＝∠A+∠ABC，
即∠1+∠2＝∠3+∠4+∠A，
∴2∠1＝2∠3+∠A，
∵∠1＝∠3+∠D，
∴∠D＝∠A＝×30°＝15°．
故选：A．
7．解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，∠AED＝90°，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠ADE＝40°，
∴∠A＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝65°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°，
故选：A．
8．解：在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C＝＝72°，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠DBC＝36°，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝36°，
∴∠ABD＝∠EDB＝∠A，
∴AD＝BD，EB＝ED，
即△ABD和△EBD是等腰三角形，
∵∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
即△BCD是等腰三角形，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC，∠ADE＝∠C，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AE＝AD，
即△AED是等腰三角形．
∴图中共有5个等腰三角形．
故选：C．
9．解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝＝72°，
∵AB的垂直平分线是DE，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝72°﹣36°＝36°＝∠ABD，
∴BD平分∠ABC，故A正确；
∴△BCD的周长为：BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝BC+AB，故B正确；
∵∠DBC＝36°，∠C＝72°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC，故D正确；
∵BD＞CD，
∴AD＞CD，
∴点D不是线段AC的中点，故C错误．
故选：C．
10．解：∵∠ABC＝∠ACB，∠A＝36°，
∴∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，即∠1+∠3＝72°．
∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠3＝72°，
在△BPC中，∠BPC＝180°﹣（∠2+∠3）＝180°﹣72°＝108°．
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．解答：如图
∵AB＝2，AD＝7，
∴BD＝BC+CD＝5，
∵BC作为腰的等腰三角形，
∴BC＝AB或BC＝CD，
∴BC＝2或2.5．
故答案为：2或2.5
12．解：∵AB＝AC，∠A＝32°，
∴∠ABC＝∠ACB＝74°，
又∵BC＝DC，
∴∠CDB＝∠CBD＝∠ACB＝37°．
故答案为：37．
13．解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝40°，
∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，
∴当∠BAD＝90°时，则∠ADB＝50°，
∴∠ADC＝130°，
当∠ADB＝90°时，则
∠ADC＝90°，
故答案为：130°或90°．
14．解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△ADC，
∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB DE＝AB DE＝3AB，
∵S△ABC＝AC BF，
∴AC BF＝3AB，
∵AC＝AB，
∴BF＝3，
∴BF＝6．
故答案为6．
15．解：∵AB＝AC，
BE＝a，AE＝b，
∴AC＝AB＝a+b，
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴AE＝CE＝b，
∴∠ECA＝∠BAC＝36°，
∵∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ECA＝36°，
∴∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠ECB＝72°，
∴CE＝BC＝b，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝2a+3b
故答案为：2a+3b．
16．解：当腰为6cm时，6+6＝12，不能构成三角形，因此这种情况不成立．
当腰为12cm时，12﹣6＜12＜12+6，能构成三角形；
此时等腰三角形的周长为12+12+6＝30cm．
故答案为：30．
17．解：∵∠AED＝∠C+∠EDC＝∠C+15°，∠ADE＝∠AED，
∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝∠C+30°．
又∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝∠C，
∴∠BAD＝30°．
故答案为 30°．
18．解：①原三角形是锐角三角形，最大角是72°的情况如图所示：
∠ABC＝∠ACB＝72°，∠A＝36°，AD＝BD＝BC；
②原三角形是直角三角形，最大角是90°的情况如图所示：
∠ABC＝90°，∠A＝36°，AD＝CD＝BD；
③原三角形是钝角三角形，最大角是108°的情况如图所示：
④原三角形是钝角三角形，最大角是126°的情况如图所示：
∠ABC＝126°，∠C＝36°，AD＝BD＝BC；
⑤原三角形是钝角三角形，最大角是132°的情况如图所示：
∠C＝132°，∠ABC＝36°，AD＝BD，CD＝CB．
综上，原三角形最大内角的所有可能值为72°，90°，108°，132°，126°．
三．解答题（共4小题，满分40分）
19．解：当∠A＝30°时，点D恰为AB的中点．（2分）
证明：∵∠A＝30°，∠C＝90°，
∴∠CBA＝60°．
又△BEC≌△BED，
∴∠CBE＝∠DBE＝30°，且∠EDB＝∠C＝90°，∴∠EBA＝∠A，
∴BE＝AE，又∠EDB＝90°，即ED⊥AB．
∴D是AB的中点．（6分）
20．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD、CE是△ABC的两条高线，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°
∴△BEC≌△CDB
∴∠DBC＝∠ECB，
∴OB＝OC；
（2）∵∠ABC＝50°，AB＝AC，
∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°，
∵∠DOE+∠A＝180°
∴∠BOC＝∠DOE＝180°﹣80°＝100°．
21．证明：∵DE∥AC，
∴∠1＝∠3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∵AD⊥BD，
∴∠2+∠B＝90°，∠3+∠BDE＝90°，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∴△BDE是等腰三角形．
22．解：如图1，连接AD．
则△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积，即AB DE+AC DF＝AC BG，
∵AB＝AC，
∴DE+DF＝BG，
∵D是BC边上的中点，∴AD平分∠BAC，
∴DE＝DF＝3，
∴BG＝6，
∵∠A＝45°，
∴△AGB是等腰直角三角形，
∴AB＝BG＝6，
∴AC＝6；
（2）证明：如图2，连接AD．
则△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积，
即AB DE+AC DF＝AC BG，
∵AB＝AC，
∴DE+DF＝BG；
（3）DE﹣DF＝BG，
证明：如图3，连接AD，则△ABC的面积＝△ABD的面积﹣△ACD的面积，
即AB DE﹣AC DF＝AC BG，
∵AB＝AC，
∴DE﹣DF＝BG．