6.2.2 反比例函数的图象与性质2(共36张PPT)

(共36张PPT)
6.2.2 反比例函数的图象与性质2
第六章
反比例函数
2021-2022学年九年级数学上册同步（北师版）
学习目标
会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图象和性质.
2. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题.
3. 理解反比例函数的系数k的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中.
4. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题.
　
导入新课
反比例函数的图象是什么？
反比例函数的性质是什么？能类比前面学习的一次函数得到吗？
反比例函数的图象是双曲线
问题1
问题2
　
导入新课
反比例函数 的图象上有两点的坐标分别为（3,a）和(2,b)，a和b为了比较大小争论不休，都说自己比对方大，你能给他们评评理，到底谁比较大吗？
讲授新课
反比例函数的性质
例1 画反比例函数 与 的图象.
提示：画函数的图象步骤一般分为：列表→描点→连线. 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0.
讲授新课
解：列表如下：
x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 …
… …
… …
－1
－1.2
－1.5
－2
－3
－6
6
3
2
1.5
1.2
1
－2
－2.4
－3
－4
－6
6
4
3
2.4
2
12
-12
讲授新课
O
－2
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．
5
6
x
y
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
－3
－4
－1
－5
－6
－1
－2
－3
－4
－5
－6
连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可
得 　的图象．
讲授新课
观察这两个函数图象，回答问题：
思考：
(2)在第一象限内,随着x值的增大,y值是怎样变化的
随着x值的增大,y值减小
(1)三个函数解析式的k值有什么特点
k>0
(3)在第三象限内,随着x值的增大,y值是怎样变化的
随着x值的增大,y值减小
(4)当x取值-2,-4,-6时,不同的函数对应的y值是怎样变化的 x取值2,4,6时呢？
对于同一个x值，k越大，对应的|y|值越大，函数图像离坐标轴越远。
讲授新课
3.对于同一个x值，不同的k值，对应的y值不同. k越大，对应的|y|值越大．函数图像离坐标轴越远。
反比例函数 的图象，当k>0时,函数图象位于第一、三象限内,在每一个象限内,y的值随x值的增大而减小，k越大，对应的|y|值越大．函数图像离坐标轴越远。
1.k>0.
共同特征：
2.图象都是双曲线，都分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小.
结论：
讲授新课
当 k =－2，－4，－6时，反比例函数 的图象，有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数 (k＞0) 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数
(k＜0)的图象和性质吗？
y
x
O
y
x
O
y
x
O
讲授新课
共同特征：
2.图象都是双曲线，都分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.
结论：
反比例函数 的图象，当k<0时,函数图象位于第二、四象限内,在每一个象限内,y的值随x值的增大而减小.|k|越大，对应的|y|值越大．函数图像离坐标轴越远。
1.k<0.
3.对于同一个x值，不同的k值，对应的y值不同. |k|越大，对应的|y|值越大．函数图像离坐标轴越远。
讲授新课
思考：为什么要强调在“每一个象限内”？
同一个函数图象在不同的象限的点的函数值的大小不能用增减性进行判断：
对于反比例函数 ，第一象限内点的函数值始终大于第三象限内的点的函数值；
对于反比例函数 ，第二象限内点的函数值始终大于第四象限内的点的函数值.
讲授新课
归纳慨括：反比例函数 的性质是什么？ 小组讨论，列表归纳：
图像
增减性
图象与k值关系 在每一个象限内,y的值随x值的增大而减小.
在每一个象限内,y的值随x值的增大而增大.
对于同一个x值，|k|越大，对应的|y|值大，即|k|越大，图象位置相对于坐标原点越远.
讲授新课
思考：对于情境引入中a和b的大小比较，你的判断对吗？
当k>0时，ab.
反比例函数 的图象上有两点的坐标分别为（3,a）和(2,b)，a和b为了比较大小争论不休，都说自己比对方大，你能给他们评评理，到底谁比较大吗？
思考：反比例函数 的图象上有三点的坐标分别为（3，a），(2,b)和(﹣5,c)，a，b，c的大小顺序是怎样的呢？
讲授新课
例.（1）已知反比例函数 的图象为于第一、三象限，求m的值.
（2）已知反比例函数 的图象在每个象限内都有y随x的增大而增大，求m的值.
解析：
（1）根据题意，得
解得m=3.
（2）根据题意，得
解得m=-2.
讲授新课
反比例函数解析式中k的几何意义
在一个反比例函数图像上任取两点P、Q，过点P分别做x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分别做x轴、y轴的垂线，与坐标轴围城的矩形面积为S2，S1与S2有什么关系呢？
P
S1
Q
S2
讲授新课
以反比例函数 的图象为例子填写下列表格：
P (2，2) Q (-1，-4)
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想 S1，S2 与 k的关系
4
4
S1=S2
S1=S2=k
讲授新课
5
1
2
3
4
－1
5
x
y
O
P
－5
－4
－3
－2
1
4
3
2
－3
－2
－4
－5
－1
Q
S1
S2
讲授新课
S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与 k 的关系
P (－1，4) Q (－2，2)
2. 若在反比例函数 中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：
4
4
S1=S2
S1=S2=－k
S1
y
x
O
P
Q
S2
讲授新课
猜想：
若点P是 图象上的任意一点，作PA垂直于 x 轴，作PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.
讲授新课
证明以上猜想：
设点 P 的坐标为 (a，b)
∵点 P (a，b) 在函数 的图象上
∴ ，即 ab=k.
若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k
若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (－b)=－ab=－k
综上，S矩形 AOBP=|k|.
y
x
O
P
A
B
P
A
B
讲授新课
对于反比例函数
点 Q 是其图象上的任意一点
作 QA 垂直于 y 轴，作 QB 垂直于x 轴
矩形AOBQ的面积与 k 的关系是
S矩形AOBQ=
A
B
y
x
O
归纳：
因为k有正负，多以表达面积的时，要加上绝对值符号
Q
推理：△QAO与△QBO的面积和 k 的关系是S△QAO=S△QBO=
讲授新课
讲授新课
例.如图，在函数 的图像上有三点A、B 、 C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ，SB，SC，则（ ）
y
x
O
A.SA >SB>SC B.SAC.SA =SB=SC D.SAA
B
C
C
讲授新课
例：如图,过反比例函数 图象上的一点P,作PA⊥x轴于A.若△POA的面积为6,则k= .
y
x
O
P
A
﹣12
当堂检测
1. 已知反比例函数 的图象在第一、三象
限内，则m的取值范围是________.
2. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论：
(1) 经过点 (－1，12) 和点 (10，－1.2)；
(2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；
(3) 双曲线位于二、四象限.
其中正确的是 (填序号).
(1)(3)
m ＞ 2
当堂检测
A. 4 B. 2
C. －2 D.不确定
3. 如图所示， P 是反比例函数 的图象上一点，
过点 P 作 PB ⊥x 轴于点 B，点 A 在 y 轴上，
△ABP 的面积为 2，则 k 的值为 ( )
O
B
A
P
x
y
A
当堂检测
如图，P，C是函数 (x>0) 图像上的任意两点，过点 P 作 x 轴的垂线 PA，垂足为 A，过点 C 作 x 轴的
垂线 CD，垂足为 D，连接 OC
交 PA 于点 E. 设 △POA 的面积
为 S1，则 S1= ；梯形CEAD
的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小
关系是 S1 S2；△POE 的面
积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3.
2
S1
S2
＞
＝
S3
当堂检测
如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是AB 上的点，△ AOC 的面积 S1、△ BOD 的面积 S2、 △ POE 的面积 S3 的大小关系为 .
S1 = S2 < S3
解析：由反比例函数面积的不变
性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一
支交于点 F，连接 OF，易知，
S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE，
所以 S1，S2，S3的大小关系为
S1 = S2 < S3
F
S1
S2
S3
当堂检测
4. 已知反比例函数 y = mxm －5，它的两个分支分别在
第一、第三象限，求 m 的值.
解：因为反比例函数 y = mxm －5 的两个分支分别在第 一、第三象限，
所以有
m2－5=－1，
m＞0，
解得 m=2.
当堂检测
如图，已知点 A，B 在双曲线 上，AC⊥x 轴于点C，BD⊥y 轴于点 D，AC 与 BD 交于点 P，P 是 AC的中点，若△ABP 的面积为6，则 k = .
24
E
F
S△ABP= S四边形BFCP，
= (S四边形BDOF－S四边形OCPD)
= (k－ k)= k = 6.
∴k =24.
当堂检测
6. 如图，反比例函数 与一次函数 y =－x + 2 的图象交于 A，B 两点.
(1) 求 A，B 两点的坐标；
A
y
O
B
x
解：
y=－x + 2 ，
解得
x = 4，
y =－2
所以A(－2，4)，B(4，－2).
或
x = －2，
y = 4.
当堂检测
作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
则AC=4，BD=2.
(2) 求△AOB的面积.
解：一次函数与x轴的交点为M (2，0)，
∴OM=2.
O
A
y
B
x
M
C
D
∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2，
∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4，
∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6.
课堂小结
反比例函数的性质
性质
反比例函数图象中比例系数k的几何意义
当k＞0时，在每一象限内，y的值随x
的增大而减小.
当k<0时，在每一象限内，y的值随x
的增大而增大.
谢谢
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