(共30张PPT)
9.1 三角形的边
冀教版 七年级下
第九章 三角形
1
2
3
4
6
C
见习题
C
提示：点击 进入习题
答案显示
5
B
C
5(答案不唯一)
7
28
D
9
D
10
C
提示：点击 进入习题
答案显示
11
见习题
12
见习题
13
D
14
C
15
见习题
16
见习题
17
见习题
18
见习题
1.【2019·河北衡水武邑月考】如图所示的图形中，三角形共有( )
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
C
2.【2021·河北保定高阳县期末】如图所示，以BC为边的三角形共有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
3.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD上一点.
(1)写出以AC为边的三角形：________________________；
(2)∠BCE是△ 和△ 的内角；
(3)在△ACE中，∠CAE的对边是 .
△ACE，△ACD，△ACB
BCE
DCE
CE
4.【2019·河北邯郸邱县期末】有长为2 cm，3 cm，4 cm，5 cm的四根木棒，选其中的三根作为三角形的边，可以围成的三角形的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
5.【2020·浙江绍兴】长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【点拨】①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边长为5；②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；综上所述，得到的三角形的最长边长为5.故选B.
【答案】B
6.【易错：没有验证是否满足三角形的三边关系致错】【2020·广西柳州】若长度分别为3，4，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是 .(写出一个即可)
5(答案不唯一)
7.【2020·河北承德高新区冯营子中学月考】边长为3，x，5的三条线段首尾顺次相接组成三角形，则x的取值范围是 ；若x为整数，则组成三角形的周长的最大值是 .
215
8.【2021·河北辛集期末】在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的3个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类，其中搭配错误的是( )
A.①——不等边三角形 B.②③——等腰三角形
C.③——等边三角形 D.②③——等边三角形
D
9.下列说法正确的是( )
①等腰三角形是等边三角形；
②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；
③等腰三角形至少有两条边相等.
A.①②③ B.②③ C.①③ D.③
D
10.如图，长度为10 m的木条，从两边各截取长度为x m的木条，若得到的三根木条能组成三角形，则x可以取的值为( )
C
11.已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设三角形的周长是x.
(1)直接写出c及x的取值范围；
解：c的取值范围为2(2)若x是小于18的偶数.
①求c的值；
解：因为x是小于18的偶数，
所以x＝16或x＝14.
当x＝16时，c＝6；
当x＝14时，c＝4.
②判断△ABC的形状.
解：当c＝6时，b＝c，△ABC为等腰三角形；
当c＝4时，a＝c，△ABC为等腰三角形．
综上，△ABC是等腰三角形．
12.已知△ABC的三边长分别为a，b，c.
(1)若a，b，c满足(a－b)2＋(b－c)2＝0，试判断△ABC的形状；
解：∵(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0，b－c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
(2)若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值.
解：∵a＝5，b＝2，∴5－2又∵c为整数，∴c＝4，5，6，
∴当c＝4时，△ABC的周长最小，最小值＝5＋2＋4＝11；
当c＝6时，△ABC的周长最大，最大值＝5＋2＋6＝13.
13.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且M＝(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b－c)，那么( )
A.M>0 B.M≥0 C.M＝0 D.M<0
【点拨】根据三角形的三边关系得a＋b－c>0，a－b－c<0，又易知a＋b＋c>0，∴M<0.故选D.
D
14.【教材改编题】等腰三角形的两边长分别为3和2，周长是( )
A.8 B.7 C.7或8 D.无法判断
C
15.【2020·河北承德高新区冯营子中学月考】已知a，b，c是三角形的三边长.
(1)化简：|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|；
解：∵a，b，c是三角形的三边长，
∴a－b－c＜0，b－c－a＜0，c－a－b＜0，
∴原式＝－a＋b＋c－b＋c＋a－c＋a＋b
＝a＋b＋c.
(2)在(1)的条件下，若a＝5，b＝4，c＝3，求这个式子的值.
解：当a＝5，b＝4，c＝3时，
原式＝5＋4＋3＝12.
16.【2020·河南许昌第二中学期中】已知，a，b，c为△ABC的三边长，b，c满足(b－2)2＋|c－3|＝0，且a为方程|a－4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状.
解：解：∵(b－2)2＋|c－3|＝0，
∴b－2＝0，c－3＝0，
解得b＝2，c＝3.
∵a为方程|a－4|＝2的解，
∴a－4＝±2，
解得a＝6或a＝2，
∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a＝6不合题意，舍去， ∴a＝2，
∴△ABC三边长分别为2，2，3，
∴△ABC的周长为2＋2＋3＝7，△ABC是等腰三角形．
17.如图，在△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形……
(1)完成下表：
连接点的个数 1 2 3 4 5 6
出现三角形个数
3
6
10
15
21
28
(2)若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？
解：共连接了8个点．
18.“五一”黄金周，小梦一家计划从家B点出发，到景点C旅游，由于BC之间是条湖，无法通过，如图所示，只有B－A－C和B－P－C两条路线，哪一条比较近？为什么？(提示：延长BP交AC于点D)
解：B P C路线近．延长BP交AC于点D.∵在△ABD中，AB＋AD>BD＝BP＋PD，在△CDP中，PD＋CD>CP，∴AB＋AD＋PD＋CD>BP＋PD＋CP，即AB＋AD＋CD>BP＋CP.∴AB＋AC>BP＋CP.∴B－P－C路线较近．(共28张PPT)
第九章
综合复习训练
冀教版 七年级下
第九章 三角形
1
2
3
4
6
7
见习题
见习题
A
C
提示：点击 进入习题
答案显示
5
C
4
8
见习题
9
B
10
减少；10
C
11
12
1；1 ∶1
见习题
提示：点击 进入习题
13
见习题
14
B
答案显示
15
C
16
A
17
见习题
18
见习题
1.【2020·河北保定期末】三角形两边的长分别是2，4，第三边的长为偶数，则第三边的长为 .
4
2.如图，点P是△ABC内任意一点，试说明：2(PA＋PB＋PC)>AB＋BC＋AC.
解：∵PA＋PB>AB，PB＋PC>BC，PC＋PA>AC，
∴2(PA＋PB＋PC)>AB＋BC＋AC.
3.已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a＋b|.
解：∵a，b，c是三角形的三边长，∴b＋c>a，a＋c>b，
∴a－b－c＜0，b－c－a＜0，c－a＋b＞0，∴原式＝－(a－b－c)－(b－c－a)＋(c－a＋b)＝－a＋b＋c－b＋c＋a＋c－a＋b＝3c－a＋b.
4.【2020·河北南宫中学期中】具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( )
A.∠A＝∠B＝3∠C
B.∠A－∠B＝∠C
C.∠A＋∠B＝∠C
D.∠A ∶∠B ∶∠C＝1 ∶2 ∶3
A
5.若△ABC的三边长分别为a，b，c，且(a＋b－c)(a－c)＝0，则△ABC一定是( )
A.等腰直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.直角三角形
C
6.在探究说明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能说明“三角形的内角和是180°”的是( )
C
7.【2020·山东淄博】如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于( )
A.30° B.35° C.40° D.45°
C
8.在△ABC中，∠B＝20°＋∠A，∠C＝∠B－10°.求∠A的度数.
解：∵∠B＝20°＋∠A，
∴∠C＝∠B－10°＝20°＋∠A－10°＝10°＋∠A，
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＋20°＋∠A＋10°＋∠A＝3∠A＋30°＝180°.∴∠A＝50°.
9.如图，AB∥CD，∠A＝25°，∠C＝85°，则∠E＝( )
A.55° B.60° C.65° D.70°
【点拨】∵AB∥CD，∴∠AFC＝∠C＝85°.
∵∠AFC＝∠A＋∠E，
∴∠E＝∠AFC－∠A＝85°－25°＝60°.
【答案】B
10.【2021·河北】如图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE与BD的交点为C，且∠CAB，∠CBA，∠E保持不变.为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 (填“增加”或“减少”) °.
减少
10
11.在△ABC中，AB＝2 023，AC＝2 022，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ACD的周长之差是 ，面积之比是 .
1
1 ∶1
12.【2020·河北秦皇岛期末】如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数.
解：∵∠A＝30°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝80°.
∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝ ∠ACB＝40°.
∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠ACD＝180°－∠A－∠CDA＝60°. ∴∠ECD＝∠ACD－∠ACE＝60°－40°＝20°. ∵DF⊥CE，∴∠CFD＝90°，
∴∠CDF＝180°－∠CFD－∠ECD＝180°－90°－20°＝70°.
13.如图，在等边三角形ABC中，BD为AC边上的高，G为△ABC内任意一点，GF⊥AB，GE⊥AC，GH⊥BC，垂足分别为F，E，H.试说明：GF＋GE＋GH＝BD.
解：连接GA，GB，GC. ∵BD是AC边上的高，
∴S△ABC＝ AC·BD.
∵GF⊥AB，GE⊥AC，GH⊥BC，
∴S△ABC＝S△ABG＋S△BCG＋S△ACG＝ AB·GF＋BC·GH＋ AC·GE. 又∵AB＝BC＝AC，
∴S△ABC＝ AC·(GF＋GE＋GH)＝ AC·BD.
∴GF＋GE＋GH＝BD.
14.如果一个三角形的三条高的交点在其外部，那么这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.无法确定
B
15.如图，△ABC的中线AD，BE相交于点F，△ABF与四边形CEFD的面积相比较，则( )
A.△ABF的面积大
B.四边形CEFD的面积大
C.一样大
D.无法确定
【点拨】∵AD，BE是△ABC的中线，
∴S△ABC＝2S△ABE＝2S△ACD，
∴S△ABE＝S△ACD.
∵S△ABF＝S△ABE－S△AEF，S四边形CEFD＝S△ACD－S△AEF，
∴S△ABF＝S四边形CEFD.
【答案】C
16.如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N，将纸片沿着BN折叠，使得点A落在A′处，再将纸片沿着BA′折叠，使得点C落在BN上的C′处，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，则原三角形中
∠C的度数为( )
A.87° B.84° C.75° D.72°
【点拨】如图．
由折叠知∠1＝∠2，∠2＝∠3，
∠C′MB＝∠CMB＝68°，
∴∠1＝∠2＝∠3.
∴∠ABC＝3∠3. ∵∠3＋∠C＋∠CMB＝180°，
∴∠3＋∠C＝180°－∠CMB＝180°－68°＝112°.
∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
∴18°＋2∠3＋(∠3＋∠C)＝180°.
∴18°＋2∠3＋112°＝180°.
∴∠3＝25°.
∴∠C＝112°－∠3＝112°－25°＝87°.
【答案】A
17.【中考·四川资阳】等腰三角形的两边长a，b满足|a－4|＋(b－9)2＝0，求这个等腰三角形的周长.
解：∵|a－4|＋(b－9)2＝0，
∴|a－4|＝0，(b－9)2＝0.
∴a＝4，b＝9.
若腰长为4，则4＋4＜9，不能构成三角形；
若腰长为9，则9＋4＞9，能构成三角形．
故这个等腰三角形的周长为9＋9＋4＝22.
18.已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数.
【点拨】由于题目没有给出图形，这就要求我们先根据题意画出图形，而三角形的高有可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，故需要分情况讨论．
解：当AD在△ABC的内部时，如图①所示．∵∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝70°＋20°＝90°. 当AD在△ABC的外部时，如图②所示．
∵∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，∴∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝70°－20°＝50°. 综上可知，∠BAC的度数为90°或50°.(共28张PPT)
9.3 三角形的角平分线、中线和高
冀教版 七年级下
第九章 三角形
1
2
3
4
6
C
C
B
提示：点击 进入习题
答案显示
5
D
A
B
7
D
8
A
9
B
10
C
提示：点击 进入习题
答案显示
11
=
12
B
13
B
14
见习题
15
见习题
16
见习题
17
见习题
18
见习题
1.【2020·河北邯郸育华中学月考】如图，∠ACB＝60°，∠ABC＝50°，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BOC的度数为( )
A.125° B.120°
C.115° D.100°
A
2.【2020·辽宁锦州】如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是( )
A.80° B.90° C.100° D.110°
C
3.【2021·江苏镇江期中】如图，△ABC的角平分线AD与中线BE相交于点O，有下列两个结论：①AO是△ABE的角平分线；②DE是△ADC的中线.其中( )
A.只有①正确
B.只有②正确
C.①和②都正确
D.①和②都不正确
C
4.【2020·河北张家口期中】三角形一边上的中线把原三角形分成两个( )
A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形
C.直角三角形 D.周长相等的三角形
B
5.如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，下列结论中不正确的是( )
A.DE是△BCD的中线
B.BD是△ABC的中线
C.AD＝DC，BE＝EC
D.AD＝EC，DC＝BE
D
·
·
·
6.【易错：三角形的中线等分面积应用错误】【2021·河北廊坊期末】如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4 cm2，则S阴影等于( )
【点拨】∵点D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝ S△ABC＝2 cm2. ∵点E是AD的中点，
∴S△BED＝ S△ABD＝1 cm2，S△CED＝ S△ACD＝1 cm2，
∴S△BEC＝S△BED＋S△CED＝2 cm2，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF＝ S△BEC＝1 cm2，即S阴影＝1 cm2. 故选B.
【答案】B
7.【2021·河北沧州期末】如图，在△ABC中，AD交边BC于点D.设△ABC的重心为M，若点M在线段AD上，则下列结论中正确的是( )
A.∠BAD＝∠CAD
B.AM＝DM
C.△ABD的周长等于△ACD的周长
D.△ABD的面积等于△ACD的面积
D
8.【2021·河北唐山一模】用三角尺作△ABC的边BC上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是( )
A
9.【2021·河北邯郸第十一中学期末】如图，△ABC的BC边上的高是( )
A.BE
B.AF
C.CD
D.CF
B
10.【河北廊坊月考】若一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上都不对
C
11.【2020·北京】如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为S△ABC S△ABD(填“>”“<”或“＝” ).
=
12.【荣德原创】如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，以线段AE为角平分线的三角形有( )
A.3个 B.2个
C.1个 D.0个
B
13.如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，若∠BAE＝36°，则∠BED为( )
A.136° B.126° C.124° D.114°
【点拨】∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝∠BAE＝36°. ∵ED∥AC， ∴∠CAE＋∠DEA＝180°.
∴∠DEA＝180°－36°＝144°. ∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝90°.
∵∠AED＋∠AEB＋∠BED＝360°，
∴∠BED＝360°－144°－90°＝126°. 故选B.
【答案】B
14.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分.求这个等腰三角形的腰长和底边长.
解：设BD为中线，则AD＝CD＝ AC＝ AB.
当AB＞BC时，有AB＋AD＝15，CD＋BC＝6，
∴AB＋ AB＝15， AB＋BC＝6，
∴AC＝AB＝10，BC＝1.
当AB＜BC时，有AB＋AD＝6，BC＋CD＝15，
∴AB＋ AB＝6，BC＋ AB＝15，
∴AC＝AB＝4，BC＝13，
∵4＋4<13，不符合三角形三边关系，
∴此种情况不存在．
∴这个等腰三角形的腰长为10，底边长为1.
15.【荣德原创】如图，在△ABC中，H是高BD，CE的交点.
(1)若∠A＝55°，求∠BHC的度数.
解：∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°.
又∵∠A＝55°，
∴∠ABD＝180°－∠ADB－∠A＝35°.
∵CE⊥AB，∴∠BEH＝90°.
∴∠BHC＝∠BEH＋∠ABD＝90°＋35°＝125°.
(2)若AC＝6，BD＝4，AB＝5，求CE的长.
解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴S△ABC＝ AC·BD＝ AB·CE.
∴ ×6×4＝ ×5×CE，
∴CE＝4.8.
16.【2019·河北唐山滦州期末】如图，把△ABC的三边BA，CB和AC分别向外延长一倍，将得到的点A′，B′，C′顺次连接得△A′B′C′，若△ABC的面积是5，求△A′B′C′的面积.
解：连接AB′，BC′，CA′，由题意得AB＝AA′，BC＝BB′，AC＝CC′，
∴△AA′B′的面积＝△ABB′的面积＝△ABC的面积＝△BCC′的面积＝△AA′C的面积＝△BB′C′的面积＝△A′C′C的面积＝5，∴△A′B′C′的面积＝5×7＝35.
17.如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，∠1＝∠2，则DF与AB有什么位置关系？请说明理由.
解：DF∥AB.理由如下：
∵DE∥AC，∴∠1＝∠4.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠3＝∠4. ∴∠1＝∠3.
又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3.
∴DF∥AB.
18.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，AB＝10 cm.若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为3 cm/s，设运动的时间为t s.
(1)当t＝ 时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分.
(2)当t＝ 时，CP把△ABC分
成面积相等的两部分.
4
(3)当t为何值时，△BCP的面积为18 cm2？
解：如图①，当点P在AC上时，由题意知PC＝3t cm，∠C＝90°，∴S△BCP＝ BC·PC＝18 cm2.又∵BC＝6 cm，∴ ×6×3t＝18，解得t＝2.如图②，当点P在AB上时，过点
C作CD⊥AB于点D，由题意知BP＝(18－3t)cm.∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，即 ×8×6＝ ×10×CD，∴CD＝ cm.∵S△BCP＝ BP·CD＝18 cm2，∴ ×(18－3t)× ＝18，解得t＝ .综上所述，当t＝2或t＝ 时，△BCP的面积为18 cm2.(共37张PPT)
提分专项（六）
三角形中线段长、角度的求法
冀教版 七年级下
第九章 三角形
1
2
3
4
6
7
B
B
A
50
见习题
提示：点击 进入习题
答案显示
5
80°
见习题
8
见习题
9
见习题
10
见习题
提示：点击 进入习题
答案显示
11
见习题
1.【2021·江苏苏州第十六中学月考】(1)如图①所示的图形我们把它称为“8字”图形，试说明：∠A＋∠B＝∠C＋∠D.
解：∵∠A＋∠B＋∠AOB＝180°，
∠C＋∠D＋∠COD＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠AOB＝∠C＋∠D＋∠COD.
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A＋∠B＝∠C＋∠D.
(2)如图②，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数.
解：∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠BAP＝∠PAD，∠BCP＝∠PCD，
由(1)的结论知∠BAP＋∠ABC＝∠BCP＋∠P，∠PAD＋∠P＝∠PCD＋∠ADC，∴∠ABC－∠P＝∠P－∠ADC，
∴∠P＝ (∠ABC＋∠ADC)＝ ×(36°＋16°)＝26°.
(3)如图③，直线AP平分△BAD的外角∠FAD，CP平分△BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝α，∠ADC＝β，则∠P＝ (用含α，β的代数式表示).
【点拨】∵直线AP平分△BAD的外角∠FAD，CP平分△BCD的外角∠BCE，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠PAD＝180°－∠2＝180°－∠1，∠PCD＝180°－∠3，
由(1)的结论知∠P＋∠PAD＝∠ADC＋∠PCD，∠P＋∠PAB＝∠ABC＋∠4，
∴∠P＋(180°－∠1)＝∠ADC＋(180°－∠3)，
∵∠PAB＝∠1，∴∠P＋∠1＝∠ABC＋∠3，
∴2∠P＝∠ABC＋∠ADC，
∵∠ABC＝α，∠ADC＝β，
∴∠P＝ (∠ABC＋∠ADC)＝ (α＋β)．
2.如图，若∠A＝50°，∠B＝20°，∠D＝30°，那么∠BCD的度数为( )
A.80° B.100° C.120° D.140°
【点拨】延长BC交AD于点E，
∵∠A＝50°，∠B＝20°，
∴∠CED＝∠A＋∠B＝50°＋20°＝70°，
∴∠BCD＝∠CED＋∠D＝70°＋30°＝100°.
故选B.
【答案】B
3.【2021·安徽合肥二模】一副三角尺如图放置，则∠1＋∠2的度数为( )
A.22.5° B.30° C.45° D.60°
【点拨】如图，∵∠AFE＝∠FCG＋∠FGC，
∴∠2＋45°＝30°＋∠FGC.①
∵∠DBG＝∠ABC－∠ABD，
∴∠DBG＝90°－∠1.
∵∠DBG＝∠DEF＋∠BGE，
∴∠DBG＝45°＋∠BGE.
∴90°－∠1＝45°＋∠BGE，
∵∠BGE＝∠FGC，
∴90°－∠1＝45°＋∠FGC，②
由①②得(∠2＋45°)－(90°－∠1)＝(30°＋∠FGC)－(45°＋∠FGC)，
∴∠1＋∠2＝30°.
故选B.
【答案】B
4.【2021·江苏苏州月考】如图，∠A＝60°，∠B＝70°，将△ABC的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠2＝80°，则∠1的度数为( )
A.20° B.30° C.40° D.无法确定
【点拨】如图，∵∠A＝60°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°－60°－70°＝50°，
∴∠3＋∠4＝180°－∠C＝130°，
∴∠1＝360°－(∠A＋∠B)－(∠3＋∠4)－∠2＝360°－130°－130°－80°＝20°. 故选A.
【答案】A
5.【2021·江苏常熟实验中学月考】如图，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，且BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠BA′C＝110°，则∠1＋∠2＝ .
【点拨】如图，连接AA′，
∵∠BA′C＝110°，
∴∠A′BC＋∠A′CB＝70°，
∵BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠A′BC，∠ACB＝2∠A′CB.
∴∠ABC＋∠ACB＝140°，
∴∠BAC＝180°－140°＝40°.
∵∠1＝∠DAA′＋∠DA′A，∠2＝∠EAA′＋∠EA′A，
∴∠1＋∠2＝∠DAA′＋∠DA′A＋∠EAA′＋∠EA′A＝∠BAC＋∠DA′E.
由折叠知∠DA′E＝∠BAC，∴∠1＋∠2＝2∠BAC＝80°.
【答案】 80°
6.如图，把△ABC沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部.已知∠A＝25°，∠1＝100°，则∠2的度数是 °.
【点拨】设A′D与CA相交于点F. ∵∠1＝100°，∴∠ADF＝80°， 由折叠知∠A′＝∠A＝25°.
∵∠A′FE是△ADF的外角，
∴∠A′FE＝∠A＋∠ADF＝25°＋80°＝105°.
∵∠A′FE＋∠2＋∠A′＝180°，
∴105°＋∠2＋25°＝180°， ∴∠2＝50°.
【答案】 50
7.如图，BP平分∠ABC，CP是△ABC的外角∠ACM的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，判断∠A与∠P的数量关系，并说明理由.
解：∠A＋∠P＝90°.理由： ∵BP平分∠ABC，CP是△ABC的外角∠ACM的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°， ∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠PBC＝∠ABP＝20°，∠ACM＝2∠ACP＝100°， ∴∠A＝∠ACM－∠ABC＝60°，∠ACB＝180°－∠ACM＝80°，∴∠BCP＝∠ACB＋∠ACP＝130°. ∴∠P＝180°－∠PBC－∠BCP＝30°，∴∠A＋∠P＝90°.
8.(1) 如图①，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，试说明：∠D＝90°＋ ∠A.
解：∵BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠DBC＝ ∠ABC，∠DCB＝ ∠ACB.
∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A.
∵∠DBC＋∠DCB＋∠D＝180°，
∴∠D＝180°－(∠DBC＋∠DCB)
＝180°－ (∠ABC＋∠ACB)
＝180°－ (180°－∠A)
＝180°－90°＋ ∠A
＝90°＋ ∠A.
(2)如图②，BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC和∠FCB的平分线，试探究∠A与∠D之间的数量关系，并说明理由.
解：∠A＝180°－2∠D，理由如下：
∵BD，CD分别是∠EBC和∠FCB的平分线，
∴∠EBC＝2∠DBC，∠FCB＝2∠DCB.
∴∠ABC＝180°－∠EBC＝180°－2∠DBC，
∠ACB＝180°－∠FCB＝180°－2∠DCB，
∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
∴∠A＋180°－2∠DBC＋180°－2∠DCB＝180°，
∴∠A－2(∠DBC＋∠DCB)＝－180°.
∵∠DBC＋∠DCB＋∠D＝180°，
∴∠DBC＋∠DCB＝180°－∠D，
∴∠A－2(180°－∠D)＝－180°，
即∠A－360°＋2∠D＝－180°，
∴∠A＝180°－2∠D.
(3)如图③，BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，试探究∠A与∠D之间的数量关系，并说明理由.
解：∠A＝2∠D，理由如下：∵∠DCE是△BDC的外角，∴∠DCE＝∠DBC＋∠D. ∵BD，CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴2∠DBC＝∠ABC，2∠DCE＝∠ACE. ∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠A＋∠ABC＝∠ACE，
∴∠A＋2∠DBC＝2∠DCE，
∴∠A＋2∠DBC＝2∠DBC＋2∠D，∴∠A＝2∠D.
9.如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，试作出BC边上的高AE，并求AE的长.
解：如图，过点A作AE⊥BC，交CB的延长线于点E，AE即为所求．
∵S△ABC＝ BC·AE＝ AC·BD，AC＝8，BC＝4，BD＝3，
∴ ×4×AE＝ ×8×3，∴AE＝6.
10.如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝40°，∠ACB＝80°.点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G.
(1)求∠AGF的度数；
解：∵∠B＝40°，∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠ACB＝180°－40°－80°＝60°.
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝ ∠BAC＝30°.
∵FG⊥AE，∴∠AHG＝90°.
∴∠AGF＝180°－∠AHG－∠BAE＝180°－90°－30°＝60°.
(2)求∠EAD的度数.
解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°.又∵∠ACB＝80°，
∴∠CAD＝180°－∠ADC－∠ACB＝180°－90°－80°＝10°，
易知∠BAE＝∠CAE＝30°，
∴∠EAD＝∠CAE－∠CAD＝30°－10°＝20°.
11.在△ABC中，AB ∶AC＝3 ∶2，BC＝AC＋1，若△ABC的中线BD把△ABC的周长分成两部分，两部分的比是8 ∶7，求AB，AC的长.
解：设AB＝3x，AC＝2x，则BC＝2x＋1，
∵BD为△ABC的中线，∴AD＝DC＝x.
当AB>BC时，易得3x＋x＝(3x＋2x＋2x＋1)× ，解得x＝2，∴AB＝6，AC＝4；
当AB综上，AB的长为6，AC的长为4或AB的长为 ，AC的长为 .(共30张PPT)
9.2 三角形的内角和外角
第1课时 三角形的内角和
冀教版 七年级下
第九章 三角形
1
2
3
4
6
见习题
C
A
提示：点击 进入习题
答案显示
5
D
见习题
A
7
D
8
B
9
C
10
75
提示：点击 进入习题
答案显示
11
40°
12
见习题
13
A
14
D
15
C
16
30°
17
见习题
18
见习题
19
见习题
1.在对“三角形的内角和等于180°”说理时，作了一条与三角形某一边 的辅助线，作这条线的目的是 .
平行
把角从一个位置转移到另一个位置
2.【教材改编题】利用下面的方法可以说明三角形的内角和等于180°，请完成说理过程.
已知：△ABC.
说明：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
解：如图，在BC上任取一点D，过点D分别作DF∥AC交AB于点F，DE∥AB交AC于点E.
则有∠2＝∠ ，∠3＝∠ ，∠4＝∠ _____________(两直线平行，同位角相等)，
∠4＝∠ (两直线平行，内错角相等)，
∴∠1＝∠ (等量代换).
又∵ ＝180°(平角的定义)，
∴∠A＋∠B＋∠C＝180°.
B
C
A
1
A
∠1＋∠2＋∠3
3.【2019·河北石家庄二中期中】一个缺角的三角形ABC残片如图所示，量得∠A＝60°，∠B＝75°，则这个三角形残缺前的∠C的度数为( )
A.75° B.60° C.45° D.40°
C
4.【2021·广西梧州】在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于( )
A.32° B.36° C.40° D.128°
A
【点拨】∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，且∠A＝20°，∠B＝4∠C，∴20°＋4∠C＋∠C＝180°.∴∠C＝32°.
5.【2020·河北石家庄月考】在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，则∠C是( )
A.锐角 B.直角
C.钝角 D.以上都有可能
D
6.如图，将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，若∠DOF＝142°，则∠C的度数为( )
A.38° B.39°
C.42° D.48°
A
7.【2020·辽宁大连】如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数是( )
A.50° B.60°
C.70° D.80°
D
8.【2020·辽宁沈阳】如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为( )
A.65° B.55° C.45° D.35°
【点拨】∵AC⊥CB，∴∠ACB＝90°.又∵∠BAC＝35°，
∴∠ABC＝180°－90°－35°＝55°.
∵AB∥CD，
∴∠BCD＝∠ABC＝55°.
【答案】B
9.【中考·湖南邵阳】如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是( )
A.45° B.54° C.40° D.50°
C
10.【2019·河北唐山滦南期末】如果将一副三角尺按如图方式叠放，那么∠1的大小为 °.
75
11.【2021·河北唐山遵化期末】已知三角形的一个内角α是另一个内角β的2倍，当α＝80°时，这个三角形的最小内角是 Ｗ.
40°
12.在△ABC中，∠A的度数是∠B的2倍，∠A比∠C小20°，求∠A的度数.
13.【2020·四川广安】如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠1＋∠2的度数为( )
A.210° B.110° C.150° D.100°
【点拨】∵∠A＝30°，∴∠AMN＋∠ANM＝180°－∠A＝150°. ∵∠1＋∠AMN＝180°，∠2＋∠ANM＝180°，∴∠1＋∠2＝180°＋180°－(∠AMN＋∠ANM)＝210°. 故选A.
A
14.【2020·河北沧州期中】如图，AF∥CD，CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠CBE＋∠D＝90°；④∠DEB＝2∠ABC.其中正确的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
【点拨】∵AF∥CD，
∴∠ABC＝∠ECB，∠D＝∠DBF，∠DEB＝∠EBA.
∵CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，
∴∠ECB＝∠BCA，∠EBD＝∠DBF，∴∠D＝∠EBD.
∵BC⊥BD，∴∠DBC＝90°.
∴∠D＋∠ECB＝180°－90°＝90°，∠DBE＋∠EBC＝90°，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴∠ECB＝∠EBC＝∠ABC＝∠BCA，
∴BC平分∠ABE，AC∥BE，∠CBE＋∠D＝90°，∠DEB＝∠EBA＝2∠ABC，故①②③④正确．
故选D.
【答案】D
15.【2020·河北石家庄模拟】如图，直线a∥b，∠1＝70°，∠3＝50°，则∠2＝( )
A.80° B.70° C.60° D.50°
C
16.如图，已知AE∥BC，∠BAC＝100°，∠DAE＝50°，则∠C＝ .
【点拨】∵AE∥BC，
∴∠B＝∠DAE＝50°.
又∵∠BAC＝100°，
∴∠C＝180°－∠B－∠BAC＝30°.
【答案】30°
17.如图，在△ABC中，已知∠B＝46°，∠ACB＝80°，延长BC至D，使∠CAD＝∠D.求∠BAD的度数.
解：∵∠ACB＝80°，∴∠ACD＝180°－∠ACB＝180°－80°＝100°. 又∵∠CAD＝∠D，
∠ACD＋∠CAD＋∠D＝180°，
∴∠D＝40°.
∴∠BAD＝180°－∠B－∠D＝180°－46°－40°＝94°.
18.如图是A，B，C三个岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，B岛在A岛的北偏东65°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.
(1)不添加辅助线，求∠ACB的度数；
解：由题意知AD∥BE，∠DAB＝65°，
∴∠EBA＝180°－∠DAB＝115°.
∵∠EBC＝40°，
∴∠CBA＝∠EBA－∠EBC＝75°.
∵∠DAC＝35°，
∴∠CAB＝∠DAB－∠DAC＝30°.
∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝75°.
(2)聪明的刘凯同学发现解决第(1)问，可以不用“B岛在A岛的北偏东65°方向”这个条件，你知道他是怎样求的吗？
解：如图，过点C作CF∥AD，
∴∠1＝∠DAC＝35°. ∵AD∥BE，
∴CF∥BE.
∴∠2＝∠EBC＝40°.
∴∠ACB＝∠1＋∠2＝75°.
19.如图，在△ABC中，∠B＞∠C，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC.
(1)若∠B＝50°，∠C＝30°，则∠DAE＝ ；
(2)若∠B＝60°，∠C＝20°，则∠DAE＝ ；
10°
20°
(3)由(1)(2)猜想∠DAE与∠B，∠C之间的数量关系为 ，请说明理由.
∠DAE＝ (∠B－∠C)
解：理由：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝ ∠BAC.∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝90°.∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝ ∠BAC－∠BAD＝ (180°－∠B－∠C)－(180°－90°－∠B)＝90°－ ∠B－ ∠C－90°＋∠B＝ (∠B－∠C)．(共31张PPT)
9.2 三角形的内角和外角
第2课时 三角形的外角
冀教版 七年级下
第九章 三角形
1
2
3
4
6
A
C
D
提示：点击 进入习题
答案显示
5
B
D
D
7
B
8
B
9
见习题
10
A
提示：点击 进入习题
答案显示
11
D
12
钝角
13
A
14
A
15
见习题
16
见习题
17
见习题
1.【易错：对三角形的外角的概念理解错误】下列各图中，∠1是△ABC的外角的是( )
D
2.关于三角形的外角，下列说法错误的是( )
A.一个三角形只有三个外角
B.三角形的每个顶点处都有两个外角
C.三角形的每个外角都是与它相邻内角的邻补角
D.一个三角形共有六个外角
·
·
A
3.【2021·河北石家庄期末】如图，下列说法错误的是( )
A.∠1不是三角形ABC的外角
B.∠ACD是三角形ABC的外角
C.∠ACD>∠A＋∠B
D.∠B<∠1＋∠2
C
4.【2020·湖南湘潭】如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠B＝50°，则∠A＝( )
A.40° B.50° C.55° D.60°
D
5.如图，∠A、∠1、∠2的大小关系是( )
A.∠A>∠1>∠2 B.∠2>∠1>∠A
C.∠A>∠2>∠1 D.∠2>∠A>∠1
B
6.【2020·黑龙江哈尔滨南岗区月考】如图，若∠A＝60°，∠B＝48°，∠C＝32°，则∠BDC＝( )
A.102° B.160° C.150° D.140°
【答案】D
【点拨】如图，连接AD并延长．∵∠1＝∠B＋∠BAD，∠2＝∠C＋∠CAD，∠BAC＝60°，∠B＝48°，∠C＝32°，∴∠BDC＝∠1＋∠2＝∠B＋∠BAD＋∠C＋∠CAD＝∠B＋∠C＋∠BAC＝48°＋32°＋60°＝140°.故选D.
7.【2020·贵州毕节】将一副直角三角尺(∠A＝∠FDE＝90°，∠F＝45°，∠C＝60°，点D在边AB上)按如图所示的方式摆放，两条斜边为EF，BC，且EF∥BC，则∠ADF等于( )
A.70° B.75°
C.80° D.85°
【答案】B
【点拨】如图，∵EF∥BC，
∴∠1＝∠F＝45°. ∵∠C＝60°，∠A＝90°，
∴∠B＝30°，∴∠ADF＝∠1＋∠B＝45°＋30°＝75°.
故选B.
8.【2021·河北邢台期末】将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠AOB的大小为( )
A.175° B.165° C.155° D.145°
【点拨】根据题意得∠A＝45°，∠BDC＝60°，
∵∠BDC＝∠A＋∠AOD，∴∠AOD＝∠BDC－∠A＝60°－45°＝15°. ∵∠AOD＋∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝180°－∠AOD＝180°－15°＝165°.
故选B.
【答案】B
9.如图，已知D是△ABC的边BC延长线上一点，DF交AC于点E，∠A＝35°，∠ACD＝83°.
(1)求∠B的度数.
解：∵∠ACD＝∠A＋∠B，∠A＝35°，∠ACD＝83°，∴∠B＝∠ACD－∠A＝48°.
(2)若∠D＝42°，求∠AFE的度数.
解：∵∠AFE＝∠B＋∠D，∠B＝48°，∠D＝42°，∴∠AFE＝48°＋42°＝90°.
10.【2019·河北邢台沙河期末】下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能确定三角形类型的是( )
A
11.【2020·河北涿州实验中学期中】下列说法中错误的是( )
A.在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶2∶4，则△ABC为直角三角形
B.在△ABC中，若∠A＝∠B－∠C，则△ABC为直角三角形
C.在△ABC中，若∠A＝ ∠B＝ ∠C，则△ABC为直角三角形
D.在△ABC中，若∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC为直角三角形
【答案】D
12.在△ABC中，如果∠A∶∠B∶∠C＝4∶5∶11，那么△ABC是 三角形.(按角分类)
【点拨】
∴△ABC是钝角三角形．
钝角
13.将一副三角尺按如图的方式放置，则∠1的度数是( )
A.15° B.20°
C.25° D.30°
A
14.将一张三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能( )
A.都是锐角三角形
B.都是直角三角形
C.都是钝角三角形
D.是一个锐角三角形和一个钝角三角形
【点拨】如图①，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形．
如图②，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形．
如图③，锐角三角形或钝角三角形沿虚线剪开即可得到一个锐角三角形和一个钝角三角形．
综上所述，将一张三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能都是锐角三角形．
故选A.
【答案】A
15.如图，把△ABC沿DE折叠，使点A落在A′处，若∠A＝29°，∠BDA′＝90°，求∠A′EC的度数.
解：∵∠BDA′＝90°，∴∠ADA′＝90°，
由折叠知∠ADE＝∠A′DE，
∠AED＝∠A′ED，
∴∠ADE＝45°. ∴∠CED＝∠A＋∠ADE＝29°＋45°＝74°，∴∠AED＝106°，∴∠A′ED＝106°，
∴∠A′EC＝∠A′ED－∠CED＝106°－74°＝32°.
16.【2019·河北唐山古冶区期末】一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于100°，检验工人量得∠AMD＝32°，∠AND＝22°，∠MDN＝154°，判断这个零件是否合格，并说明理由.
解：这个零件合格．
如图，延长MD交AN于C，
∵∠MDN＝∠AND＋∠DCN，
∴∠DCN＝∠MDN－∠AND＝154°－22°＝132°.
∵∠DCN＝∠AMD＋∠A，
∴∠A＝∠DCN－∠AMD＝132°－32°＝100°，故这个零件合格．
17.【荣德原创】
【问题情景】
如图①，若点P为△ABC的边
AB或AC上一点，易知∠BPC>∠A.
【方法拓展】
如图②，若点P为△ABC内部一点，判断∠BPC与∠A的大小关系，并说明理由.
【方法拓展】
∠BPC>∠A，理由：如图①，延长BP交AC于点M，
根据【问题情景】中的结论可知∠BPC>∠PMC，∠PMC>∠A，
∴∠BPC>∠A.
【方法迁移】
如图③，若点P为△ABC外部一点，【方法拓展】中的∠BPC与∠A的大小关系还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，在不添加辅助线的前提下，请添加一个条件使【方法拓展】中的结论成立.
【方法迁移】
不成立，添加条件∠PBA<∠ACP.如图②.
∵∠BOC＝∠BPC＋∠PBA＝∠A＋∠ACP，∠PBA<∠ACP，
∴∠BPC>∠A.
