(共28张PPT)
11.1 因式分解
冀教版 七年级下
第十一章 因式分解
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C
C
B
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B
C
C
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(x-2)(x-1)
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-1;-3
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见习题
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见习题
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见习题
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2 023
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见习题
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见习题
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见习题
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见习题
1.【2020·河北】对于①x-3xy=x(1-3y),②(x+3)(x-1)=x2+2x-3,从左到右的变形,表述正确的是( )
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是因式分解,②是乘法运算
D.①是乘法运算,②是因式分解
C
2.【易错:对因式分解概念理解错误而致错】【2020·河北唐山期末】下列各项:①x3+2xy+x=x(x2+2y);②-x2+y2=(x+y)(x-y);③x2+4x+4=(x+2)2;④x2+x+1=(x+1)2,其中因式分解正确的个数为( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
C
3.【2021·河北邯郸期末】对于等式12xy2=3xy·4y有下列两种说法:①从左向右是因式分解;②从右向左是整式乘法,关于这两种说法正确的是( )
A.①②均正确 B.①正确,②错误
C.①错误,②正确 D.①、②均错误
C
4.下列各式分解因式结果是(a-2)(b+3)的是( )
A.-6+2b-3a+ab
B.-6-2b+3a+ab
C.ab-3b+2a-6
D.ab-2a+3b-6
B
5.下列四个多项式中,可能是2x2+mx-3(m是整数)的因式的是( )
A.x-2 B.2x+3
C.x+4 D.2x2-1
B
6.【教材改编题】右边括号中的另一个因式是(x+2)的是( )
A.x2+3x-4=(x+4)( )
B.x2-3x+2=(x-1)( )
C.x4-16=(x2+4)(x-2)( )
D.2x2+3x+1=(2x+1)( )
C
7.若x-3和x+5是x2+px+q的因式,则p为( )
A.-15 B.-2
C.8 D.2
D
8.由(x-2)(x-1)=x2-3x+2,得把x2-3x+2分解因式为 .
(x-2)(x-1)
9.如果ax2+bx+c=(x-3)(x+4),则a= ,b= ,c= .
1
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-12
10.【2020·河北石家庄第二十八中学二模】小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题:x2+□x-6=(x+2)(x+☆)(其中□、☆代表两个被污染的数),则□= ,☆= .
-1
-3
11.【荣德原创】用不同方法计算几何图形的面积可得到代数恒等式.用从左到右是因式分解的形式,写出下图表示的代数恒等式.
解:2a2+2ab=2a(a+b).
12.若多项式x3-1可以因式分解成(x-1)(x2+ax+1),求a的值.
解:(x-1)(x2+ax+1)=x3+(a-1)x2+(1-a)x-1,
即x3-1=x3+(a-1)x2+(1-a)x-1,
∴a-1=1-a=0,解得a=1.
13.在分解因式x2+ax+b时,小明看错了b,分解结果为(x+2)(x+4);小张看错了a,分解结果为(x-1)(x-9),求a,b的值.
解:∵小明看错了b,∴a正确.
∵(x+2)(x+4)=x2+6x+8,∴a=6.
∵小张看错了a,∴b正确.
∵(x-1)(x-9)=x2-10x+9,∴b=9.
14.我们知道:a(b+c)=ab+ac,反过来则有ab+ac=a(b+c),前一个式子是整式乘法,后一个式子是多项式的因式分解.请你根据上述结论计算:2 0232-2 023×2 022= .
2 023
15.【2021·山东淄博期末】如果多项式6x2-kx-2因式分解后有一个因式为3x-2,则k= .
1
16.【荣德原创】写出下列左右两栏中相等的式子,并指出其中从左到右是因式分解的等式.
解:①8a2b=2a·4ab;
②-ab3-2ab2-ab=-ab(b2+2b)-ab;
其中④4my-2=2(2my-1)是因式分解.
17.若x-1,x+4均为多项式x3+mx2+nx+p的因式,求2m-2n-p+86的值.
解:∵x-1,x+4均为多项式x3+mx2+nx+p的因式,且三次项系数为1,
∴设第三个因式为x+k,
则x3+mx2+nx+p=(x-1)(x+4)(x+k),
整理得:x3+mx2+nx+p=x3+(3+k)x2+(3k-4)x-4k,
∴2m-2n-p+86=2(3+k)-2(3k-4)-(-4k)+86=6+2k-6k+8+4k+86=100.
18.阅读理解:我们知道因式分解与整式乘法是互逆关系,那么逆用乘法公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,即x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)是否可以因式分解呢?当然可以,而且也很简单.如:x2+4x+3=x2+(1+3)x+1×3=(x+1)(x+3);x2-4x-5=x2+(1-5)x+1×(-5)=(x+1)(x-5).
请你仿照上述方法分解因式:
(1)x2-7x-18;
(2)x2+12xy-13y2.
解:x2-7x-18=(x+2)(x-9).
解:x2+12xy-13y2=(x+13y)(x-y).
19.阅读下列材料:
对于多项式x2+x-2,如果我们把x=1代入此多项式,发现x2+x-2的值为0,这时可以确定此多项式有因式x-1,同理,可以确定此多项式有另一个因式x+2,于是我们可以得到x2+x-2=(x-1)(x+2).
又如:对于多项式2x2-3x-2,当x=2时,2x2-3x-2的值为0,则多项式2x2-3x-2有一个因式x-2,我们
可以设2x2-3x-2=(x-2)(mx+n),解得m=2,n=1,于是我们可以得到2x2-3x-2=(x-2)(2x+1).
以上这种因式分解的方法叫试根法,常用来分解一些比较复杂的多项式.请你尝试用试根法分解多项式:①2x2+5x+3;②x3-7x+6.
解:①当x=-1时,
多项式2x2+5x+3=0,
则多项式2x2+5x+3有一个因式x+1,
设(x+1)(mx+n)=mx2+(m+n)x+n=2x2+5x+3,
解得m=2,n=3,
∴2x2+5x+3=(x+1)(2x+3);
②当x=1或x=2时,
多项式x3-7x+6=0,
则多项式x3-7x+6有两个因式x-1,x-2,
设(x-1)(x-2)(ax+b)=ax3-(3a-b)x2+(2a-3b)x+2b=x3-7x+6,
解得a=1,b=3,
∴x3-7x+6=(x-1)(x-2)(x+3).(共26张PPT)
11.3 公式法
第1课时 用平方差公式分解因式
冀教版 七年级下
第十一章 因式分解
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B
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(a+2b)(a-2b)
A
x(y+2)(y-2)
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见习题
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D
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A
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A
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A
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见习题
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见习题
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见习题
1.【2020·河北唐山期中】下列多项式不能使用平方差公式分解因式的是( )
A.-m2-n2 B.-16x2+y2
C.b2-a2 D.4a2-49n2
A
2.【2020·浙江丽水】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A.a2+b2 B.2a-b2
C.a2-b2 D.-a2-b2
C
3.【2021·河北邢台期末】把(x-2)2-25分解因式,结果正确的是( )
A.(x-2)(x+5) B.(x+3)(x-7)
C.(x-3)(x+7) D.(x+7)(x+3)
B
4.【易错:因式分解不彻底导致错误】【教材改编题】x4-1分解因式的结果是( )
A.(x2-1)2 B.(x2-1)(x2+1)
C.(x-1)(x+1)(x2+1) D.(x-1)2(x+1)2
C
5.【2021·广西来宾】分解因式:a2-4b2= .
(a+2b)(a-2b)
6.【2020·湖南常德】分解因式:xy2-4x= .
x(y+2)(y-2)
7.分解因式:
(1)4x2-16;
解:原式=4(x2-4)=4(x+2)(x-2).
解:原式=
(3)(2x+y)2-x2;
(4)9a2(x-y)+4b2(y-x).
解:原式=[(2x+y)+x][(2x+y)-x]=(3x+y)(x+y).
解:原式=(x-y)(9a2-4b2)=(x-y)(3a-2b)(3a+2b).
8.【2021·河北邯郸第十一中学期末】当n为自然数时,(n+1)2-(n-3)2一定能( )
A.被5整除 B.被6整除 C.被7整除 D.被8整除
【点拨】因为(n+1)2-(n-3)2=(n+1+n-3)(n+1-n+3)=(2n-2)·4=(n-2)·8,所以(n+1)2-(n-3)2一定能被8整除.故选D.
D
9.若xn-1=(x+1)(x-1)(x2+1)(x4+1),则n等于( )
A.16 B.4 C.6 D.8
D
10.若n为任意正整数,(n+11)2-n2的值总可以被k整除,则k等于( )
A.11 B.22 C.11或22 D.11的倍数
A
11.若a,b,c是△ABC的三边长,则(a+b)2-c2的值为( )
A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数
A
12.【2019·河北邯郸锦玉中学月考】小明在抄分解因式的题目时,不小心漏抄了x的指数,他只知道该数为不大于10的正整数,并且该式子能利用平方差公式分解因式,他抄在作业本上的式子是x□-4y2(“□”表示漏抄的指数),则这个指数可能的结果共有( )
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
D
13.【2020·河北】若 =8×10×12,则k=( )
A.12 B.10 C.8 D.6
【点拨】因为 =8×10×12,所以
因为(92-1)(112-1)=(9+1)(9-1)(11+1)(11-1)=8×12×102,所以k=10.
B
14.对于任意整数n,多项式(n+7)2-(n-3)2的值都能( )
A.被20整除 B.被7整除
C.被21整除 D.被(n+4)整除
A
15.【2020·河北唐山第五十四中学月考】观察规律并填空.
【点拨】
【答案】
16.【教材改编题】分解因式:16(a-b-c)2-9(a+b-c)2.
解:原式=
=(4a-4b-4c+3a+3b-3c)(4a-4b-4c-3a-3b+3c)
=(7a-b-7c)(a-7b-c).
17.【2021·河北唐山一模】如图所示的长方体中,已知高为x,S1=16-x2,S2=4x-x2.
(1)用x表示图中的S3;
解:∵S2=4x-x2=x(4-x),长方体的高为x,
∴长方体的宽=4-x.
∵S1=16-x2=(4-x)(4+x),
∴长方体的长=4+x,
∴S3=x(4+x)=4x+x2.
(2)求长方体的表面积.
解:长方体的表面积=2(4x+x2)+2(16-x2)+2(4x-x2)
=8x+2x2+32-2x2+8x-2x2
=-2x2+16x+32.
18.【2020·河北唐山模拟】探究活动:
(1)如图①,可以求出阴影部分的面积是 .(写成两数平方差的形式)
(2)如图②,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个长方形,面积是 .(写成多项式乘法的形式)
(3)比较图①、图②阴影部分的面积,
可以得到等式: .
a2-b2
(a+b)(a-b)
a2-b2=(a+b)(a-b)
知识应用:
(1)计算:(a+b-2c)(a+b+2c);
(2)若4x2-9y2=15,4x+6y=10,求2x-3y的值.
解:(a+b-2c)(a+b+2c)
=(a+b)2-(2c)2
=a2+2ab+b2-4c2.
解:∵4x+6y=10,∴2x+3y=5.
∵4x2-9y2=15,∴(2x+3y)(2x-3y)=15,
即5(2x-3y)=15,∴2x-3y=3.(共23张PPT)
提分专项(八)
因式分解的常用方法
冀教版 七年级下
第十一章 因式分解
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见习题
1.分解因式:14x3y2-21xy2+49xy.
解:14x3y2-21xy2+49xy
=7xy·2x2y-7xy·3y+7xy·7
=7xy(2x2y-3y+7).
2.分解因式:
(1)(2a-b)(3a-2)+b(2-3a);
解:(2a-b)(3a-2)+b(2-3a)
=(2a-b)(3a-2)-b(3a-2)
=(3a-2)(2a-b-b)
=(3a-2)(2a-2b)
=2(3a-2)(a-b).
(2)(2a-3b)(x+3)-(3b-2a)(3x-1)-(2a-3b)(5x+7);
解:(2a-3b)(x+3)-(3b-2a)(3x-1)-(2a-3b)(5x+7)
=(2a-3b)(x+3)+(2a-3b)(3x-1)-(2a-3b)(5x+7)
=(2a-3b)[(x+3)+(3x-1)-(5x+7)]
=(2a-3b)(-x-5)
=(3b-2a)(x+5).
(3)4(2y-x)+25(x-2y)2.
解:4(2y-x)+25(x-2y)2
=4(2y-x)+25(2y-x)2
=(2y-x)[4+25(2y-x)]
=(2y-x)(4+50y-25x).
3.分解因式:
(2)【2021·河北张家口期末】:(m+n)2-4m(m+n)+4m2;
(3)9(m+n)2-(m-n)2.
解:(m+n)2-4m(m+n)+4m2
=[(m+n)-2m]2
=(n-m)2.
解:9(m+n)2-(m-n)2
=[3(m+n)]2-(m-n)2
=[3(m+n)-(m-n)][3(m+n)+(m-n)]
=4(2m+n)(m+2n).
4.分解因式:
(1)(x+1)(x+3)-3;
解:(x+1)(x+3)-3
=x2+4x+3-3
=x2+4x
=x(x+4).
(2)(2x+y)2-4x(x-y);
(3)(x2+x)(x2+x-8)+16.
解:(2x+y)2-4x(x-y)
=4x2+4xy+y2-(4x2-4xy)
=8xy+y2
=y(8x+y).
解:(x2+x)(x2+x-8)+16
=(x2+x)2-8(x2+x)+16
=(x2+x-4)2.
5.“整体思想”是数学解题的重要思想方法,它可以使一些复杂的问题变得简单.
例:分解因式(x2+2x-2)(x2+2x)-3.
解:(x2+2x-2)(x2+2x)-3
=(x2+2x)2-2(x2+2x)-3
=(x2+2x-3)(x2+2x+1)
=(x+3)(x-1)(x+1)2.
这里就是把x2+2x看成整体,当成一个量,那么把式子(x2+2x)2-2(x2+2x)-3看成一个关于x2+2x的二次三项式,就容易分解了.
(1)请模仿上面方法分解因式:x(x-4)(x-2)2-45;
解:x(x-4)(x-2)2-45
=(x2-4x)(x2-4x+4)-45
=(x2-4x)2+4(x2-4x)-45
=(x2-4x+9)(x2-4x-5)
=(x2-4x+9)(x-5)(x+1).
(2)在(1)中,若x2-4x-6=0,求上式的值.
解:当x2-4x-6=0,即x2-4x=6时,
原式=(x2-4x+9)(x2-4x-5)=(6+9)×(6-5)=15.
6.分解因式:
(1)【2021·河北张家口期末】a3b-ab;
解:a3b-ab
=ab(a2-1)
=ab(a+1)(a-1).
(2)3xy2-6xy+3x;
(3)-4ab-4a2-b2.
解:3xy2-6xy+3x
=3x(y2-2y+1)
=3x(y-1)2.
解:-4ab-4a2-b2
=-(4a2+4ab+b2)
=-(2a+b)2.
7.【荣德原创】我们在分解因式时,对于一些二次三项式,既没有公因式,也不能利用完全平方公式,经常采用配成完全平方式,再利用平方差公式分解的方法.
例:x2-4x+3
=x2-4x+4-4+3
=(x-2)2-1
=(x-2+1)(x-2-1)
=(x-1)(x-3).
请用上面的方法分解下列因式:
(1)x2-6x+5;
解:x2-6x+5
= x2-6x+9-4
=(x-3)2-4
=(x-3+2)(x-3-2)
=(x-1)(x-5).
(2)4x2-8xy-5y2.
解:4x2-8xy-5y2
=4x2-8xy+4y2-9y2
=4(x-y)2-9y2
=[2(x-y)-3y][ 2(x-y)+3y]
=(2x-5y)(2x+y).
8.阅读理解:下面是小明分解因式ax+ay+bx+by的方法,首先他将该多项式分为两组得到(ax+ay)+(bx+by).然后对各组进行因式分解,得到a(x+y)+b(x+y),结果发现有公因式(x+y),提出后得到(x+y)(a+b).
迁移运用:
(1)小颖也尝试对多项式m2+mn+5m+5n进行因式分解,则她最后提出的公因式是 ;
(2)对多项式a2-b2+2a+2b进行因式分解;
(3)若小强将多项式x4-3x3+x2-6x+k进行因式分解时发现有公因式(x-3),则k= .
m+n
解:a2-b2+2a+2b
=(a+b)(a-b)+2(a+b)
=(a+b)(a-b+2).
9
9.【2021·河北石家庄四区联考模拟】下面是某同学将多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程.
解:设x2-4x=y,
则原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2-4x+4)2.(第四步)
解答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是( )
A.提取公因式
B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式
D.两数差的完全平方公式
C
(2)该同学分解因式的结果是否彻底?若不彻底,请直接写出分解因式的最后结果;
(3)请你模仿以上方法尝试将多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解.
解:不彻底.(x-2)4.
解:设x2-2x=y,则原式=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=(x2-2x+1)2=[(x-1)2]2=(x-1)4.(共31张PPT)
第十一章
综合复习训练
冀教版 七年级下
第十章 一元一次不等式和一元一次不等式组
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C
B
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1.下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是( )
A.(x+3)(x-3)=x2-9
B.x2-3x+1=x(x-3)+1
C.x2-2xy=x(x-2y)
D.x(x-y)=x2-xy
C
2.【2020·广西贺州】多项式2a2b3+8a4b2因式分解为( )
A.a2b2(2b+8a2)
B.2ab2(ab+4a3)
C.2a2b2(b+4a2)
D.2a2b(b2+4a2b)
C
3.若将多项式-12x2y3+16x3y2+4x2y2分解因式,其中一个因式是-4x2y2,则另一个因式是( )
A.3y+4x-1 B.3y-4x-1
C.3y-4x+1 D.3y-4x
B
4.【2020·广西柳州】下列多项式中,能用平方差公式进行因式分解的是( )
A.a2-b2 B.-a2-b2
C.a2+b2 D.a2+2ab+b2
A
5.【2020·河北邯郸期末】下列各式中,能用完全平方公式分解因式的是( )
D
6.分解因式:
(1)9(a+3b)2-4(3a-2b)2;
解:9(a+3b)2-4(3a-2b)2
=[3(a+3b)+2(3a-2b)][3(a+3b)-2(3a-2b)]
=-(9a+5b)(3a-13b).
(2)4+12(x-y)+9(x-y)2.
解:4+12(x-y)+9(x-y)2
=[2+3(x-y)]2
=(2+3x-3y)2.
7.先阅读材料:
分解因式:(a+b)2+2(a+b)+1.
解:令a+b=M,则(a+b)2+2(a+b)+1=M2+2M+1=(M+1)2.所以(a+b)2+2(a+b)+1=(a+b+1)2.
材料中的解题过程用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法,请你运用这种思想方法解答下列问题:
(1)分解因式:1-2(x+y)+(x+y)2;
解:令x+y=A,
∴1-2(x+y)+(x+y)2
=1-2A+A2
=(A-1)2
=(x+y-1)2.
(2)分解因式:(m+n)(m+n-4)+4.
解:令m+n=B,
∴(m+n)(m+n-4)+4
=B(B-4)+4
=B2-4B+4
=(B-2)2
=(m+n-2)2.
8.【2021·山东菏泽模拟】分解因式:x2(x-3)-x+3= .
【点拨】x2(x-3)-x+3
=x2(x-3)-(x-3)
=(x-3)(x2-1)
=(x-3)(x+1)(x-1).
(x-3)(x+1)(x-1)
9.分解因式:
(1)-3a2+6ab-3b2;
(2)25a2(2x-y)+16b2(y-2x).
解:原式=-3(a2-2ab+b2)=-3(a-b)2.
解:原式=(2x-y)(5a+4b)(5a-4b).
10.【2019·河北唐山迁西期末】计算(-2)2 021+(-2)2 022的值是( )
A.-2 B.22 021 C.2 D.-22 021
B
11.计算:1002-992+982-972+…+42-32+22-1.
解:原式=(1002-992)+(982-972)+…+(42-32)+(22-1)
=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+…+(4+3)(4-3)+(2+1)(2-1)
=100+99+98+97+…+4+3+2+1
=5 050.
12.【河北石家庄桥西区一模】计算:972-32.
解:原式=(97+3)×(97-3)=100×94=9 400.
13.【河北唐山乐亭期末】下列说法:①(-2)101+(-2)100=-2100;②2 0202+2 020一定可以被2 021整除;③16.9× +15.1× 能被4整除;④两个连续奇数的平方差是8的倍数.其中说法正确的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【点拨】①(-2)101+(-2)100=(-2)100×(-2+1)=-2100,故①正确;
②2 0202+2 020=2 020×(2 020+1)=2 020×2 021,
故此式一定可以被2 021整除,故②正确;
③16.9× +15.1× = ×(16.9+15.1)=4,故此式能被4整除,故③正确;
④设两个连续奇数为2n-1,2n+1(n是正整数).
∵(2n+1)2-(2n-1)2=4n2+4n+1-4n2+4n-1=8n,
∴两个连续奇数的平方差是8的倍数,故④正确.
故选A.
【答案】A
14.【2020·河北邯郸丛台区二模】对于任何整数m,多项式(4m+5)2-9都能( )
A.被8整除 B.被m整除
C.被(m-1)整除 D.被(2m-1)整除
【点拨】(4m+5)2-9=(4m+5)2-32=(4m+8)(4m+2)=8(m+2)(2m+1),
∴该多项式一定能被8整除.故选A.
A
15.【河北石家庄桥西区一模】已知a=-13.6,b=3.6,求代数式a2+2ab+b2的值.
解:a2+2ab+b2=(a+b)2,当a=-13.6,b=3.6时,
原式=(-13.6+3.6)2=(-10)2=100.
16.已知a= ,b=25,求(a+2b)2-(a-2b)2的值.
解:(a+2b)2-(a-2b)2=(a+2b+a-2b)(a+2b-a+2b)=2a·4b=8ab,
当a= ,b=25时,原式=8× ×25=40.
17.我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释,例如:图A可以用来解释a2+2ab+b2=(a+b)2,实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解.
(1)图B可以解释的代数恒等式是 ;
(2)现有足够多的正方形和长方形卡片,如图C.
①若要拼出一个面积为(3a+b)(a+2b)的长方形,则需要1号卡片 张,2号卡片 张,3号卡片 张;
(2n)2=4n2
3
2
7
②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的长方形,使该长方形的面积为6a2+7ab+2b2,并利用你画的图形面积对6a2+7ab+2b2进行因式分解.
解:如图,该图形是一个两邻边长分别为(2a+b)和(3a+2b)的长方形,
∴6a2+7ab+2b2=(2a+b)(3a+2b).
18.计算(-2)2 025+3×(-2)2 024的值为( )
A.-22 024 B.22 024 C.(-2)2 025 D.5×22 024
B
19.若多项式x2+ax+b分解因式的结果为(x+1)(x-2),则a-b的值为 .
【点拨根据题意,得x2+ax+b=(x+1)(x-2)=x2-x-2,
∴a=-1,b=-2,
∴a-b=-1-(-2)=-1+2=1.
1
20.分解因式:
(1)a2-2a(b+c)+(b+c)2; (2)(x-y)2+6(y-x)+9;
解:a2-2a(b+c)+(b+c)2
=[a-(b+c)]2
=(a-b-c)2.
解:(x-y)2+6(y-x)+9
=(x-y)2-6(x-y)+9
=(x-y-3)2.
(4)(x2-1)2+6(1-x2)+9.
解:(x2-1)2+6(1-x2)+9
=(x2-1)2-6(x2-1)+9
=(x2-1-3)2
=(x2-4)2=(x-2)2(x+2)2.(共32张PPT)
11.3 公式法
第2课时 用完全平方公式分解因式
冀教版 七年级下
第十一章 因式分解
1
2
3
4
6
C
C
D
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5
C
C
4
7
m(a+b)2
8
见习题
9
见习题
10
C
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11
A
12
C
13
C
14
见习题
15
16
D
17
0
18
见习题
见习题
19
见习题
1.下列各式中不能用完全平方公式分解因式的是( )
C
2.下列各式中,能够运用完全平方公式分解因式的是( )
C
3.【2021·广西河池二模】因式分解4x2+4x+1的结果是( )
A.4x(x+1)+1
B.(4x+1)2
C.(2x+1)2
D.(2x-1)2
C
4.【2019·河北唐山滦州期末】若关于x的二次三项式x2-ax+36能用完全平方公式分解因式,则a的值是( )
A.-6 B.±6 C.12 D.±12
D
5.把(a2+1)2-4a2分解因式得( )
A.(a2+1-4a)2
B.(a2+1+2a)(a2+1-2a)
C.(a+1)2(a-1)2
D.(a2-1)2
C
6.【2021·河北邢台期末】若关于x的多项式x2+4x+k可以用完全平方公式进行因式分解,则常数k的值为 .
4
7.【2021·辽宁丹东】分解因式:ma2+2mab+mb2= .
m(a+b)2
8.因式分解:
(2)a2x-6ax+9x;
解:a2x-6ax+9x=x(a2-6a+9)=x(a-3)2.
(3)(m2+n2)2-4m2n2;
(4)(a2+6a)2+18(a2+6a)+81.
解:(m2+n2)2-4m2n2
=(m2+2mn+n2)(m2-2mn+n2)
=(m+n)2(m-n)2.
解:(a2+6a)2+18(a2+6a)+81
=(a2+6a+9)2
=(a+3)4.
9.【教材改编题】计算:11.22+17.6×11.2+8.82.
解:11.22+17.6×11.2+8.82
=(11.2+8.8)2
=202
=400.
10.【2021·河北邢台模拟】若952+190×5+52=k+992-1,则k的值是( )
A.100 B.199 C.200 D.299
C
【点拨】∵952+190×5+52=k+992-1,
∴ =k+992-1, ∴k=1002-992+1
= +1
=199+1=200. 故选C.
11.【易错:对完全平方公式理解错误而致错】若ax2+24x+b=(mx-3)2,则a,b,m的值分别为( )
A.16,9,-4
B.64,9,-8
C.-16,-9,-8
D.16,9,4
A
12.【荣德原创】如果一个三角形的三边长a,b,c满足a2+b2+c2+29=4a+8b+6c,那么这个三角形一定是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.不等边三角形 D.无法判断
C
【点拨】∵a2+b2+c2+29=4a+8b+6c,
∴(a-2)2+(b-4)2+(c-3)2=0,
∴a=2,b=4,c=3.
故这个三角形一定是不等边三角形.
13.对于任意有理数x,多项式2x-x2-1的值( )
A.一定是负数 B.一定是正数
C.不可能为正数 D.不可能为负数
C
14.某同学碰到这么一道题“分解因式x2+2x-3”,不会做,去问老师,老师说:“能否变成平方差的形式?让原式加上1,再减去1,这样原式化为(x2+2x+1)-4,…”,老师话没讲完,该同学就恍然大悟,他马上就做好了此题.请你仔细领会老师说的话,将a2-2ab-3b2分解因式.
解: a2-2ab-3b2
=a2-2ab+b2-4b2
=(a-b)2-4b2
=(a-b+2b)(a-b-2b)
=(a+b)(a-3b).
15.【2020·河北】有一电脑程序:每按一次按键,屏幕的A区就会自动加上a2,同时B区就会自动减去3a,且均显示化简后的结果.已知A,B两区初始的显示分别是25和-16,如图①.
如,第一次按键后,A,B两区分别显示的结果如图②:
(1)从初始状态按2次后,分别求A,B两区显示的结果;
解:A区显示的结果为25+a2+a2=25+2a2.
B区显示的结果为-16-3a-3a=-16-6a.
(2)从初始状态按4次后,计算A,B两区代数式的和,请判断这个和能为负数吗?说明理由.
解:从初始状态按4次后,A区显示的结果为25+a2+a2+a2+a2=25+4a2. B区显示的结果为-16-3a-3a-3a-3a=-16-12a. 根据题意,得25+4a2+(-16-12a)
=4a2-12a+9
=(2a-3)2.
∵(2a-3)2≥0恒成立,∴这个和不能为负数.
16.因式分解(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2的结果为( )
A.4(x-y)2 B.4x2
C.4(x+y)2 D.4y2
D
17.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,则(x-y-z)2 022= .
【点拨】因为x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,
所以(x2-2x+1)+(y2+4y+4)+(z2-6z+9)=0,
所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2=0,
所以(x-y-z)2 022=[1-(-2)-3]2 022=(3-3)2 022=0.
【答案】0
18.阅读下列两段材料:
例题一:分解因式:(a+b)2-2(a+b)+1.
解:将“a+b”看成整体,设M=a+b,则原式=M2-2M+1=(M-1)2,再将“M”还原,得原式=(a+b-1)2.上述解题用到的是“整体思想”;
例题二:分解因式:x2-4y2-2x+4y,我们细心观察就会发现,前两项可以分解,后两项也可以分解,分
别分解后会产生公因式,这样就可以完整地分解了.
过程为x2-4y2-2x+4y=(x2-4y2)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y-2).这种方法叫分组分解法.
利用上述数学思想方法解决下列问题:
(1)分解因式:(3a+2b)2-(2a+3b)2;
解:(3a+2b)2-(2a+3b)2
=(3a+2b-2a-3b)(3a+2b+2a+3b)
=5(a-b)(a+b).
(2)分解因式:xy2-2xy+2y-4;
解:xy2-2xy+2y-4
=xy(y-2)+2(y-2)
=(xy+2)(y-2).
(3)分解因式:(a+b)(a+b-4)-c2+4.
解:(a+b)(a+b-4)-c2+4
=(a+b)2-4(a+b)+4-c2
=(a+b-2)2-c2
=(a+b-2-c)(a+b-2+c).
19.我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式,如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值或最小值等.
例如:1.分解因式x2+2x-3.
原式=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1).
2.求代数式2x2+4x-6的最小值.
2x2+4x-6=2(x2+2x+1)-2-6=2(x+1)2-8.可知当x=-1时,2x2+4x-6有最小值,最小值是-8.
根据阅读材料用配方法解决下列问题:
(1)分解因式:x2+4x-5= ;
(2)当x为何值时,多项式2x2-8x+5有最小值,并求出这个最小值.
(x+5)(x-1)
解:∵2x2-8x+5
=2(x2-4x+4-4)+5
=2(x-2)2-8+5
=2(x-2)2-3,
∴当x=2时,多项式2x2-8x+5有最小值,最小值是-3.(共29张PPT)
11.2 提公因式法
冀教版 七年级下
第十一章 因式分解
1
2
3
4
6
A
D
D
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5
D
D
B
7
D
8
2x(3x-2y)
9
(y-x)(2y-3x)
10
(x-2)(x-1)
提示:点击 进入习题
答案显示
11
C
12
D
13
B
14
70
15
等腰
16
见习题
17
见习题
18
B
19
128
20
提示:点击 进入习题
答案显示
21
见习题
22
见习题
23
见习题
1.多项式-6xyz+3xy2-9x2y中各项的公因式是( )
A.-3x B.3xz C.3yz D.-3xy
D
2.下列多项式中,各项的公因式是5a2b的是( )
A.15a2b-20a2b2
B.30a2b3-15ab4-10a3b2
C.10a2b2-20a2b3+50a4b5
D.5a2b4-10a3b3+15a4b2
A
3.【2020·湖北鄂州期末】下列各组多项式中没有公因式的是( )
A.3x-2与6x2-4x
B.3(a-b)2与11(b-a)3
C.mx-my与ny-nx
D.ab-ac与ab-bc
D
4.【2020·广西来宾期末】8xmyn-1与-12x5myn的公因式是( )
A.xmyn B.xmyn-1 C.4xmyn D.4xmyn-1
D
5.用提公因式法分解因式,下列因式分解正确的是( )
A.2n2-mn+n=2n(n-m)
B.2n2-mn+n=n(2-m+1)
C.2n2-mn+n=n(2n-m)
D.2n2-mn+n=n(2n-m+1)
D
6.【2020·河北邢台期末】将多项式-2a2-2a分解因式,提取公因式后,另一个因式是( )
A.a B.a+1
C.a-1 D.-a+1
B
7.【2021·北京期末】将3a2m-6amn+3a分解因式,下面是四名同学分解的结果:①3am(a-2n+1);②3a(am+2mn-1);③3a(am-2mn);④3a(am-2mn+1).其中,正确的是( )
A.① B.②
C.③ D.④
D
8.【2021·湖南株洲】因式分解:6x2-4xy= .
2x(3x-2y)
9.【2021·河北邢台第三中学期末】因式分解:2(x-y)2-x(y-x)= .
【点拨】2(x-y)2-x(y-x)
=2(y-x)2-x(y-x)
=(y-x)[2(y-x)-x]
=(y-x)(2y-3x).
(y-x)(2y-3x)
10.【易错:提公因式时符号错误】【2020·山东聊城】因式分解:x(x-2)-x+2= .
(x-2)(x-1)
11.【2020·河北模拟】对于算式2 0242-2 024,下列说法不正确的是( )
A.能被2 023整除 B.能被2 024整除
C.能被2 025整除 D.不能被2 022整除
C
12.计算21×3.14+79×3.14=( )
A.282.6 B.289
C.354.4 D.314
D
13.计算(-2)100+(-2)99的结果为( )
A.-299 B.299 C.-2 D.2
【点拨】原式=(-2)99×(-2+1)
=(-2)99×(-1)
=299.
B
14.已知长为a,宽为b的长方形的周长为14,面积为10,则a2b+ab2的值为 .
【点拨】∵已知长为a,宽为b的长方形的周长为14,面积为10,
∴a+b=7,ab=10,
∴a2b+ab2=ab(a+b)=10×7=70.
70
15.已知三角形的三边长a,b,c满足(a-b)2+(a-b)c=0,则此三角形一定是 三角形.
等腰
16.【教材改编题】计算23.4×19.4+234×0.06-2.34×100.
解:原式=2.34×194+2.34×6-2.34×100
=2.34×(194+6-100)
=2.34×100
=234.
17.【教材改编题】已知x2+3x-4=0,求2x2 023+6x2 022-8x2 021的值.
解:∵x2+3x-4=0,
∴x2+3x=4,
∴2x2 023+6x2 022-8x2 021=2x2 021(x2+3x)-8x2 021=8x2 021-8x2 021=0.
18.下列多项式中可以用提公因式法分解因式的有( )
①13a2b2-7b2;②5a2(3m-2n)-10b2(2n-3m);③x3-x+1;④(2a+b)2-4(2a-b)2.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
B
19.如图,长方形的长、宽分别为a,b,且a比b大4,面积为32,则a2b-ab2的值为 .
128
20.已知(2x-10)(x-2)-(x-2)(x-13)可分解因式为(x+a)(x+b),则ab的值是 .
【点拨】因为(2x-10)(x-2)-(x-2)(x-13)
=(x-2)[(2x-10)-(x-13)]
=(x-2)(x+3)
=(x+a)(x+b),
所以a=-2,b=3或a=3,b=-2. 当a=-2,b=3时,ab=(-2)3=-8. 当a=3,b=-2时,ab=3-2= .
21.分解因式:
(1)x(x+y)-y(x+y);
解:原式=(x+y)(x-y).
(2)2m(m-n)2-8m2(n-m);
解:2m(m-n)2-8m2(n-m)
=2m(m-n)[(m-n)+4m]
=2m(m-n)(5m-n).
(3)(2x-y)(x+3y)-(x+y)(y-2x);
(4)10a4b3-15a4b2+20a3b4.
解:原式=(2x-y)(x+3y)+(x+y)(2x-y)
=(2x-y)(x+3y+x+y)
=(2x-y)(2x+4y)
=2(2x-y)(x+2y).
解:10a4b3-15a4b2+20a3b4
=5a3b2×2ab-5a3b2×3a+5a3b2×4b2
=5a3b2(2ab-3a+4b2).
22.先分解因式,再求值:
15a2(b+4)-30a(b+4),其中a=2,b=-2.
解:原式=15a(b+4)(a-2).
当a=2,b=-2时,原式=0.
23.阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:
1+x+x(1+x)+x(1+x)2
=(1+x)[1+x+x(1+x)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3.
(1)上述因式分解的方法是 法;
(2)分解因式:1+x+x(1+x)+x(1+x)2+…+x(1+x)2 022;
(3)猜想1+x+x(1+x)+x(1+x)2+…+x(1+x)n因式分解的结果.(n为正整数)
提公因式
原式=(1+x)2 023.
原式=(1+x)n+1.