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本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解 ( http: / / www.21cnjy.com )答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21教育网
专题04 几何思想之直角三角形综合难题专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2=b2+c2 B．
C．∠A=∠C-∠B D．∠A：∠B：∠C=3：4：5
2．如图，在由 4 个正方形拼接的图形中，以这 10 个点中任意 3 个点为顶点共能组成等腰 直角三角形的个数为（ ） www.21-cn-jy.com
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A．8 B．18 C．16 D．32
3．下列数据中不能作为直角三角形的三边长是（ ）
A．6、8、10 B．5、12、13 C．、、 D．1、1、
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，以下结论：①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④AF＝FB．其中正确结论的个数有（ ）2·1·c·n·j·y
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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．如图．在竖直墙角AOB中，可伸长 ( http: / / www.21cnjy.com )的绳子CD的端点C固定在OA上，另一端点D在OB上滑动，在保持绳子拉直的情况下，∠BOE＝30°，∠BDC的平分线DF与OE交于点E．∠DCO＝α，当CE⊥DE时，则2∠OEC+α＝（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．120° B．135° C．150° D．152°
6．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝5：12：13 B．a：b：c＝3：4：5
C．∠C＝∠A﹣∠B D．b2＝a2﹣c2
7．已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD与CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是（）
A．45° B．45° 或135° C．45°或125° D．135°
8．如图，在中，，点D在边AC上，，且与关于直线BD对称．现有如下4个结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（ ）21·cn·jy·com
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A．4 B．3个 C．2个 D．1个
9．如图，在ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝4，顶点A，B分别在x正半轴和y轴正半轴上滑动，连接OC．当OC的长度最大时，点C的坐标为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．(2，2) B．(4，2) C．(2，) D．(4，)
10．如图，中，且，为外一点，连接，过作交于点，为上一点且，连接，．将线段绕点逆时针旋转到线段，连接分别交、于点、，连接、．下列结论：①；②；③；④；⑤若，，，则．其中正确的个数为（ ）2-1-c-n-j-y
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．边长为整数，且周长等于12的三角形的面积为______．
12．如图，AB=5，AC=3，BC边上的中线AD=2，则△ABC的面积为________
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13．如图，已知直线与轴交于点与直线交于点，点为轴上的一点，若为直角三角形，则点的坐标为__________．21*cnjy*com
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14．如图，等边△ABC，D为CA ( http: / / www.21cnjy.com )延长线上一点，E在BC边上，且AD＝CE，连接DE交AB于点F，连接BD，若∠BFE＝45°，△DBE的面积为2，则DB＝______________．【来源：21cnj*y.co*m】
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15．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°， ( http: / / www.21cnjy.com )AD，BE分别为DC，AC边上的高，连接DE，过点D作DF⊥DE交BE于点F，G为BE中点，连接AF，DG．则AF，DG关系是____．【出处：21教育名师】
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三、解答题
16．如图，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为BC边上一动点，连接AD，以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF．【版权所有：21教育】
（1）如图1，若AB=AC，∠BAC=90°，当点D在线段BC上时（不与点B重合），
证明：△ACF≌△ABD
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，猜想CF与BD的数量关系和位置关系是什么，并说明理由；21教育名师原创作品
（3）如图3，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA=45°，点D在线段BC上运动（不与点B重合），试探究CF与BD位置关系．
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17．己知:如图①，直线直线，垂足为，点在射线上，点在射线上(、不与点重合)，点在射线上且，过点作直线.点在点的左边且
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(1)直接写出的面积 ;
(2)如图②，若，作的平分线交于，交于，试说明;
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(3)如图③，若，点在射线上运动，的平分线交的延长线于点,在点运动过程中的值是否变化 若不变，求出其值;若变化，求出变化范围.21·世纪*教育网
18．如图，在△ABC中，A ( http: / / www.21cnjy.com )B＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．
(1)经过多少秒，△BMN为等边三角形；
(2)经过多少秒，△BMN为直角三角形．
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19．如图，地到，两地分别有笔直的道路，相连，地与地之间有一条河流通过，，，三地的距离如图所示．21*cnjy*com
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（1）如果地在地的正东方向，那么地在地的什么方向？请说明理由．
（2）现计划把河水从河道段的某个点引到地，求，两点间的最短距离，并在图中画出点的位置．
20．如图，在四边形ABCD中，，，，．求的度数．
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21．中，是上一点，，，，．
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（1）求证：；
（2）若，证明是；
（3）在（2）的条件下，若是线段上的一点，且是等腰三角形，求的长．
22．如图，在，，，是上一点，于，是上一点，于．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，在射线上有一点，连接，，求的度数；
（3）在（2）的条件下，如图3，连接，若，求的长．
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23．如图，已知△OMN为等腰直角三角形，∠MON＝90°，点B为NM延长线上一点，OC⊥OB，且OC＝OB，连接CN．
（1）如图1，求证：CN＝BM；
（2）如图2，作∠BOC的平分线交MN于点A，求证：AN2＋BM2＝AB2；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点A ( http: / / www.21cnjy.com )作AE⊥ON于点E，过点B作BF⊥OM于点F，EA，BF的延长线交于点P，请探究：以线段AE，BF，AP为长度的三边长的三角形是何种三角形？并说明理由．
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24．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，a）在y轴上，点B（b，0）在x轴上，连接AB，且a满足关系式：a2﹣14a+49＝0．21cnjy.com
（1）如图1，求△OAB的面积（用含b的式子表示）．
（2）如图2，在线段AB上取点C，连接OC，使∠AOC＝∠ABO，求证：BC＝BO．
（3）如图3，在（2）的条件下，在AB上取点D，过点D作DH⊥OC于点H，交AO于点E，当AC＝OE时，若CD＝1，求b的值．
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25．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
（1）如图1，∠BAD＝90° ( http: / / www.21cnjy.com )，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝ ，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；21世纪教育网版权所有
（2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，A ( http: / / www.21cnjy.com )B＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
（深入探究）
（3）如图，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，则有S1 S2（填“＞、＝、＜”）
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三 ( http: / / www.21cnjy.com )种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题04 几何思想之直角三角形综合难题专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2=b2+c2 B．
C．∠A=∠C-∠B D．∠A：∠B：∠C=3：4：5
【标准答案】D
【思路指引】
根据三角形内角和定理及勾股定理的逆定理依次判断即可．
【详解详析】
解：A、∵，∴△ABC是直角三角形；
B、∵，∴△ABC是直角三角形；
C、∵，∠A=∠C-∠B，∴，∴△ABC是直角三角形；
D、设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，
∴，
解得，
∴，
∴△ABC不是直角三角形；
故选：D．
【名师指路】
此题考查直角三角形的判定，正确掌握三角形内角和定理及勾股定理的逆定理是解题的关键．
2．如图，在由 4 个正方形拼接的图形中，以这 10 个点中任意 3 个点为顶点共能组成等腰 直角三角形的个数为（ ）
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A．8 B．18 C．16 D．32
【标准答案】D
【思路指引】
任意两点连线中可构成直角三角形的有四种情况，①直角边长为1的等腰直角三角形有18个，②直角边长为的等腰直角三角形一共有10个，③直角边长为2的等腰直角三角形一共有2个，④直角边长为的等腰直角三角形一共有2个，综合以上情况即可求得答案．
【详解详析】
任意两点连线中可构成直角三角形的有三种情况，
①直角边长为1的等腰直角三角形有18个，
②直角边长为的等腰直角三角形一共有10个，
③直角边长为2的等腰直角三角形一共有2个，
④直角边长为的等腰直角三角形一共有2个，
综上所述，一共有个．
故选D
【名师指路】
本题考查了格点与勾股定理，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
3．下列数据中不能作为直角三角形的三边长是（ ）
A．6、8、10 B．5、12、13 C．、、 D．1、1、
【标准答案】C
【思路指引】
根据勾股定理判断即可；
【详解详析】
，能构成直角三角形，故A不符合题意；
，能构成直角三角形，故B不符合题意；
，不能构成直角三角形，故C符合题意；
，能构成直角三角形，故D不符合题意；
故选C．
【名师指路】
本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，准确分析计算是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，以下结论：①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④AF＝FB．其中正确结论的个数有（ ）21世纪教育网版权所有
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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【标准答案】B
【思路指引】
①根据等底同高的两个三角形的面积相等可得S△ABE=S△BCE；
②由角平分线的定义可得∠ACF ( http: / / www.21cnjy.com )=∠BCF，由同角的余角相等可得∠ABC=∠CAD，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AFG=∠ABC+∠BCF，∠AGF=∠CAD+∠ACF，于是结论∠AFG=∠AGF可得证；2-1-c-n-j-y
③由同角的余角相等可得∠ACB=∠BAD，由角平分线的定义可得∠ACB=2∠ACF，代入即可得∠BAD=∠FAG=2∠ACF；
④根据已知条件不能推出AC=BC，即不能推出AF＝FB．
【详解详析】
解：∵BE是中线，
∴AE=CE，
∴△ABE的面积=△BCE的面积（等底同高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF=∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ACB+∠CAD=90°，
∴∠ABC=∠CAD，
∵∠AFG=∠ABC+∠BCF，∠AGF=∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG=∠AGF，故②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ABC+∠BAD=90°，
∴∠ACB=∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB=2∠ACF，
∴∠BAD=2∠ACF，
即∠FAG=2∠ACF，故③正确；
根据已知条件不能推出AC=BC，即不能推出AF＝FB，故④错误．
故选：B．
【名师指路】
此题考查了三角形外角的性质， ( http: / / www.21cnjy.com )三角形中线的性质，三角形面积以及三角形角平分线等知识，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质，三角形中线的性质，三角形面积以及三角形角平分线．
5．如图．在竖直墙角AO ( http: / / www.21cnjy.com )B中，可伸长的绳子CD的端点C固定在OA上，另一端点D在OB上滑动，在保持绳子拉直的情况下，∠BOE＝30°，∠BDC的平分线DF与OE交于点E．∠DCO＝α，当CE⊥DE时，则2∠OEC+α＝（ ）21教育名师原创作品
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A．120° B．135° C．150° D．152°
【标准答案】C
【思路指引】
根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的定义可得，进而根据三角形的外角性质求得，根据余角的定义求得，进而即可求得答案
【详解详析】
∠DCO＝α，
是∠BDC的角平分线，
故选C
【名师指路】
本题考查了直角三角形的两个锐角互余，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义，综合运用以上知识，理清角度的关系是解题的关键．
6．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝5：12：13 B．a：b：c＝3：4：5
C．∠C＝∠A﹣∠B D．b2＝a2﹣c2
【标准答案】A
【思路指引】
根据三角形的内角和定理和勾股定理逆定理对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解详析】
解：A、∵∠A：∠B：∠C＝5：12：13，
∴∠C＝180°×＝93.6°，不是直角三角形，故此选项正确；
B、∵32+42＝52，∴是直角三角形，故此选项不合题意；
C、∵∠A﹣∠B＝∠C，
∴∠A＝∠B+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴是直角三角形，故此选项不合题意；
D、∵b2＝a2﹣c2，
∴a2＝b2+c2，是直角三角形，故此选项不合题意；
故选：A．
【名师指路】
本题考查了直角三角形的性质，主要利用了三角形的内角和定理，勾股定理逆定理．
7．已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD与CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是（）
A．45° B．45° 或135° C．45°或125° D．135°
【标准答案】B
【思路指引】
①△ABC是锐角三角形时，先根据高 ( http: / / www.21cnjy.com )线的定义求出∠ADB=90°，∠BEC=90°，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；
②△ABC是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出∠BHC=∠A，从而得解．
【详解详析】
①如图1，
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△ABC是锐角三角形时，
∵BD、CE是△ABC的高线，
∴∠ADB=90°，∠BEC=90°，
在△ABD中，∵∠A=45°，
∴∠ABD=90°-45°=45°，
∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°；
②如图2，△ABC是钝角三角形时，
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∵BD、CE是△ABC的高线，
∴∠A+∠ACE=90°，∠BHC+∠HCD=90°，
∵∠ACE=∠HCD（对顶角相等），
∴∠BHC=∠A=45°．
综上所述，∠BHC的度数是135°或45°．
故选B.
【名师指路】
本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高线，难点在于要分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论，作出图形更形象直观．21cnjy.com
8．如图，在中，，点D在边AC上，，且与关于直线BD对称．现有如下4个结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（ ）
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A．4 B．3个 C．2个 D．1个
【标准答案】A
【思路指引】
根据等边对等角可得∠C=∠DBC，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等可判断①；
根据折叠前后对应角相等和角的和差分别表示∠CBE和∠CDE，即可判断③；
代入到②④等式的左边与右边比较可判断②和④；
【详解详析】
解：∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，∠ABD+∠DBC=90°，
∵BD=CD，
∴∠C=∠DBC，
∴∠ADB=∠DBC+∠C=2∠C，∠A=∠ABD，
∴AD=BD，即AC=AD+CD=2BD，①正确；
根据折叠的性质可知∠DBE=∠ABD，∠ADB=∠BDE，
∴∠DBE=∠ABD=∠A，∠ADB=∠BDE=2∠C，
∴∠CBE=2∠A-90°，∠CDE=180°-4∠C，
∴
，②正确；
∵，
∴，③正确；
∴，④正确；
综上所述，正确的有4个，
故选：A．
【名师指路】
本题考查三角形外角的性质，等边对等角，折叠问题，直角三角形两锐角互余等．解决此题的关键是熟练掌握定理，分别正确表示相应角．
9．如图，在ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝4，顶点A，B分别在x正半轴和y轴正半轴上滑动，连接OC．当OC的长度最大时，点C的坐标为（ ）
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A．(2，2) B．(4，2) C．(2，) D．(4，)
【标准答案】A
【思路指引】
首先取线段AB的中点，根据直角三角线斜边上的 ( http: / / www.21cnjy.com )中线和斜边的关系，三角形三边关系，可以得到OC最大时，OC＝AB，然后根据等边三角形的性质和直角三角形的判定，可以得到△OAC是直角三角形，再根据勾股定理，即可得到点C的坐标．
【详解详析】
解：取AB的中点M，连接MO，MC，如图1所示，
则OM+MC＞OC，
故当OM+MC＝OC时，OC取得最大值，如图2所示，
∵∠ACB＝∠AOB＝90°，点M为AB的中点，AB＝4，
∴CM＝BM＝AM＝OM＝2，
∵∠ABC＝60°，
∴△BMC是等边三角形，
∴∠BMC＝∠AMO＝60°，
∴△AMO是等边三角形，
∴OA＝AM＝2，∠OAM＝60°，
又∵AM＝MC，∠AMO＝∠MAC+∠MCA，
∴∠MAC＝30°，
∴∠OAC＝∠OAM+∠MAC＝60°+30°＝90°，
∵OC＝MO+MC＝2+2＝4，
∴AC＝＝＝＝，
∴点C的坐标为（2，），
即当OC的长度最大时，点C的坐标为（2，），
故选：A．
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【名师指路】
此题考查了直角三角线斜边上的中线和斜边的关系，三角形三边关系，等边三角形的判定与性质和勾股定理，有一定的综合性．
10．如图，中，且，为外一点，连接，过作交于点，为上一点且，连接，．将线段绕点逆时针旋转到线段，连接分别交、于点、，连接、．下列结论：①；②；③；④；⑤若，，，则．其中正确的个数为（ ）
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【标准答案】C
【思路指引】
先证明，得到对应边相等，对应角相等，依次得出①正确和③错误，由等腰直角三角形的性质和勾股定理，得出②正确，由三角形的三边关系，可以得出④正确，利用勾股定理逆定理和三角形面积公式即可判定⑤正确．
【详解详析】
解:∵，，
∴，
又∵且，
∴，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，故①正确；
∵，
∴，
∴，故②正确；
，即，故④正确；
∵，，，
∴，
∴，故③错误；
如图，连接，
若，，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，故⑤正确；
故选：C．
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【名师指路】
本题综合考查了全等三角形的判定与性 ( http: / / www.21cnjy.com )质、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形等内容，解决本题的关键是能正确分析图形中的相等关系，能在相等的边和角中进行转化，能构造直角三角形进行求解等．
二、填空题
11．边长为整数，且周长等于12的三角形的面积为______．
【标准答案】或6或
【思路指引】
根据三角形的周长公式、三角形的三边关系定理可得三边长可以为、、三种情况，再分别利用等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的面积公式求解即可得．【版权所有：21教育】
【详解详析】
边长为整数，且周长为12的三角形有以下三种情况：
①如图，，，
过点作于，
∵，
∴，
∴，
∴；
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②如图，，，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
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③如图，，
过点作于，
∵，
∴，
∴，
∴；
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综上，边长为整数，且周长等于12的三角形的面积为或6或，
故答案为：或6或．
【名师指路】
本题考查了等腰三角形的三线合一、勾股定理、三角形的三边关系定理等知识点，依据题意，正确分三种情况讨论是解题关键．
12．如图，AB=5，AC=3，BC边上的中线AD=2，则△ABC的面积为________
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【标准答案】6
【思路指引】
延长AD至E,使AD=DE,构建△ADC≌△EDB，利用勾股定理的逆定理证出BE和CA是△ABD和△ADC的高线，利用三角形面积公式求解.
【详解详析】
解：延长AD至E,使AD=DE=2，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC,
∵∠ADC=∠EDB,
∴△ADC≌△EDB,
∴BE=AC=3，∠CAE=∠E
∵AB=5，BE=3，AE=4，
∴△AEB是直角三角形，∠E=90°,
∴BE⊥AE,CA⊥AE,
∴S△ABC= S△ABD+ S△ACD= .
即△ABC的面积为6.
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故答案为：6.
【名师指路】
本题考查了勾股定理的逆定理，以及全等三角形的判定与性质，构建全等模型即辅助线的作法是解答此题的关键.
13．如图，已知直线与轴交于点与直线交于点，点为轴上的一点，若为直角三角形，则点的坐标为__________．
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【标准答案】(2，0)或（5，0）
【思路指引】
先求出A，再求出，解得，则点B（2，3），分类讨论直角顶点，当点C为直角顶点时，当点B为直角顶点时，根据△ABC为等腰直角三角形即可求出点C坐标．21教育网
【详解详析】
与轴交于点，
∴y=0，x=-1，
∴A(-1，0)，
直线与直线交于点，
，
解得，
∴B（2，3），
当点C为直角顶点时，
∴BC⊥AC，
∴BC∥y轴，
B、C横坐标相同，C（2，0），
当点B为直角顶点时，
∴BC⊥AB，
，k=1，
∴∠BAC=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=，
AC==6，
AO=1，
CO=AC-AO=5，
C（5，0），
C点坐标为（2，0）或（5，0）．
故答案为：（2，0）或（5，0）．
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【名师指路】
本题考查等腰直角三角形的性质，掌握直角三角形的顶点分两种情况讨论解决问题是关键．
14．如图，等边△ABC，D为CA延长线上 ( http: / / www.21cnjy.com )一点，E在BC边上，且AD＝CE，连接DE交AB于点F，连接BD，若∠BFE＝45°，△DBE的面积为2，则DB＝______________．
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【标准答案】2
【思路指引】
过点D作DG∥BC，与BA的延长线交于点G，过点E作EH⊥BD于点H，证明△ADG是等边三角形，再证明△BDG≌△DEC，得DB＝DE，进而证明∠BDE＝30°，得EH＝BD，再根据三角形的面积公式求得BD．
【详解详析】
解：过点D作DG∥BC，与BA的延长线交于点G，过点E作EH⊥BD于点H，如图，
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∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，
∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠C＝60°＝∠ABC＝∠AGD，
∵∠DAG＝∠BAC＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴AD＝AG＝DG，
∵AD＝CE，
∴AB+AG＝AC+AD，
∴BG＝CD，
在△BDG和△DEC中，
，
∴△BDG≌△DEC（SAS），
∴∠BDG＝∠DEC，BD＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∵∠BFE＝45°，∠EBF＝60°，
∴∠DEB＝∠DBE＝180°﹣∠EBF﹣∠BFE＝75°，
∴∠BDE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴EH＝DE，
∴EH＝BD，
∵△DBE的面积为2，
∴，即，
∴BD＝2 ．
故答案为2．
【名师指路】
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，三角形的面积公式，关键在于作平行线构造全等三角形．www.21-cn-jy.com
15．如图，在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠ABC＝45°，AD，BE分别为DC，AC边上的高，连接DE，过点D作DF⊥DE交BE于点F，G为BE中点，连接AF，DG．则AF，DG关系是____．
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【标准答案】，或，
【思路指引】
延长至，使，交于，连接，根据题意证明，推出，利用证明，得出，，再利用证明，得出，，证出，即可得出结论．
【详解详析】
解：，且；理由如下：
如图，延长至，使，交于，连接，
，分别为，边上的高，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
即，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
为中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，且．
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故答案为：，．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
三、解答题
16．如图，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为BC边上一动点，连接AD，以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF．
（1）如图1，若AB=AC，∠BAC=90°，当点D在线段BC上时（不与点B重合），
证明：△ACF≌△ABD
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，猜想CF与BD的数量关系和位置关系是什么，并说明理由；
（3）如图3，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA=45°，点D在线段BC上运动（不与点B重合），试探究CF与BD位置关系．
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【标准答案】见解析
【详解详析】
（1）根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△ABD全等，
（2）先求出∠CAF=∠BAD，然后与①的思路相同求解即可；
（3）过点A作AE⊥AC交B ( http: / / www.21cnjy.com )C于E，可得△ACE是等直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE，∠AED=45°，再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD，然后利用“边角边”证明△ACF和价AED全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED，然后求出∠BCF=90°，从而得到CF⊥BD.
解：（1）∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，
∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°，AD=AF
∴∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，
AB=AC，∠CAF=∠，AD=AF，
∴△ACF≌△ABD（SAS）
（2）CF⊥BD，
如图2，∵△ADF是等腰直角三角形，
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∴AD=AF，
∵∠CAB=∠DAF=90°，
∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，
AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD
（3）CF⊥BD
如图3，过点A作AE⊥AC交BC于E，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠BCA=45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AC=AE，∠AED=45°，
∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，
∴∠CAF=∠EAD，
在△ACF和△AED中，
AC=AE，∠CAF=∠EAD，AD=AF，
∴△ACF≌△AED（SAS），
∴∠ACF=∠AED=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD．
“点睛”此题是三角形综合题，主 ( http: / / www.21cnjy.com )要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键，此类题目的特点是各小题求解思路一般都相同.
17．己知:如图①，直线直线，垂足为，点在射线上，点在射线上(、不与点重合)，点在射线上且，过点作直线.点在点的左边且
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(1)直接写出的面积 ;
(2)如图②，若，作的平分线交于，交于，试说明;
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(3)如图③，若，点在射线上运动，的平分线交的延长线于点,在点运动过程中的值是否变化 若不变，求出其值;若变化，求出变化范围.21·cn·jy·com
【标准答案】(1)3; (2)见解析; (3)见解析
【详解详析】
分析：（1）因为△BCD的高为OC，所以S△BCD=CD OC，（2）利用∠CFE+∠CBF=90°，∠OBE+∠OEB=90°，求出∠CEF=∠CFE．【来源：21cnj*y.co*m】
（3）由∠ABC+∠ACB=2∠DAC，∠H+∠HCA=∠DAC，∠ACB=2∠HCA，求出∠ABC=2∠H，即可得答案．
详解：（1）S△BCD=CD OC=×3×2=3．
（2）如图②，∵AC⊥BC，∴∠BCF= ( http: / / www.21cnjy.com )90°，∴∠CFE+∠CBF=90°．∵直线MN⊥直线PQ，∴∠BOC=∠OBE+∠OEB=90°．∵BF是∠CBA的平分线，∴∠CBF=∠OBE．∵∠CEF=∠OBE，∴∠CFE+∠CBF=∠CEF+∠OBE，∴∠CEF=∠CFE．
（3）如图③，∵直线l∥PQ，∴∠ADC=∠PAD．∵∠ADC=∠DAC
∴∠CAP=2∠DAC．∵∠AB ( http: / / www.21cnjy.com )C+∠ACB=∠CAP，∴∠ABC+∠ACB=2∠DAC．∵∠H+∠HCA=∠DAC，∴∠ABC+∠ACB=2∠H+2∠HCA
∵CH是，∠ACB的平分线，∴∠ACB=2∠HCA，∴∠ABC=2∠H，∴=．
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点睛：本题主要考查垂线，角平分线和三角形面积，解题的关键是找准相等的角求解．
18．如图，在△ABC中，AB＝30 cm， ( http: / / www.21cnjy.com )BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．【来源：21·世纪·教育·网】
(1)经过多少秒，△BMN为等边三角形；
(2)经过多少秒，△BMN为直角三角形．
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【标准答案】(1) 出发10s后，△BMN为等边三角形；(2)出发6s或15s后，△BMN为直角三角形．
【思路指引】
（1）设时间为x，表示出AM=x、BN=2x、BM=30-x，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得；
（2）分两种情况：①∠BNM=90°时，即可知∠BMN=30°，依据BN=BM列方程求解可得；②∠BMN=90°时，知∠BNM=30°，依据BM=BN列方程求解可得．
【详解详析】
解 (1)设经过x秒，△BMN为等边三角形，
则AM＝x，BN＝2x，
∴BM＝AB－AM＝30－x，
根据题意得30－x＝2x，
解得x＝10，
答：经过10秒，△BMN为等边三角形；
(2)经过x秒，△BMN是直角三角形，
①当∠BNM＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BMN＝30°，
∴BN＝BM，即2x＝(30－x)，
解得x＝6；
②当∠BMN＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BNM＝30°，
∴BM＝BN，即30－x＝×2x，
解得x＝15，
答：经过6秒或15秒，△BMN是直角三角形．
【名师指路】
本题考查勾股定理的逆定理，等边三角形的判定.
19．如图，地到，两地分别有笔直的道路，相连，地与地之间有一条河流通过，，，三地的距离如图所示．
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（1）如果地在地的正东方向，那么地在地的什么方向？请说明理由．
（2）现计划把河水从河道段的某个点引到地，求，两点间的最短距离，并在图中画出点的位置．
【标准答案】（1）正北方向，理由见解析；（2），画图见解析
【思路指引】
（1）利用勾股定理的逆定理证得是直角三角形，且，即可得到答案；
（2）作于点，则的长是，两点间的最短距离，利用面积法求出CD.
【详解详析】
解：（1）∵，
∴是直角三角形，且，
∴地在地的正北方向；
（2）如图，作于点，则的长是，两点间的最短距离，
∵，
∴可得，
解得，
∴，两点间的最短距离为.
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【名师指路】
此题考查勾股定理的逆定理，点到直线的所有连线中垂线段最短，正确掌握勾股定理的逆定理判定三角形ABC是直角三角形是解题的关键.【出处：21教育名师】
20．如图，在四边形ABCD中，，，，．求的度数．
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【标准答案】
【思路指引】
连接AC，利用等腰三角形的性质及勾股定理求出AC，，根据勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，，再利用角度的和差计算出答案．
【详解详析】
连接AC，
在Rt△ABC中，，，
∴AC=，，
∵，，
∴，
∴△ACD是直角三角形，，
∴．
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【名师指路】
此题考查等腰三角形的等边对等角的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，熟记勾股定理的逆定理是解题的关键．21*cnjy*com
21．中，是上一点，，，，．
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（1）求证：；
（2）若，证明是；
（3）在（2）的条件下，若是线段上的一点，且是等腰三角形，求的长．
【标准答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或5或4
【思路指引】
（1）根据AD，CD和AC的长，结合勾股定理的逆定理证明即可；
（2）根据∠ADC=90°得到∠C+∠CAD=90°，结合∠BAD=∠C得到∠BAC=90°，即可证明；
（3）分BP=AB，BP=AP，AP=AB，三种情况分别求解即可．
【详解详析】
解：（1）∵AD=4，CD=8，AC=，
满足，即，
∴△ACD是直角三角形，即∠ADC=90°；
（2）∵∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠C+∠CAD=90°，
∵∠BAD=∠C，
∴∠CAD+∠BAD=90°，
即∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）分三种情况，
当BP=AB时，
∵AD⊥BC，
∴AB==，
∴BP=AB=；
当BP=AP时，∵AD⊥BC，
∴点P为BC中点，
∴BP=BC=（BD+CD）=5；
当AP=AB时，
∵AD⊥BC，
∴BP=2BD=4；
综上：BP的长为或5或4．
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【名师指路】
本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，余角的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质分类讨论求出BP的长．
22．如图，在，，，是上一点，于，是上一点，于．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，在射线上有一点，连接，，求的度数；
（3）在（2）的条件下，如图3，连接，若，求的长．
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【标准答案】（1）见解析；（2）135°；（3）1.5
【思路指引】
（1）由题意易得，然后可证与全等，进而根据全等三角形的性质可求解；
（2）由题意易得，则有，进而根据平行线的性质可求解；
（3）延长、交于，过点作于，由题意易证与全等，然后根据全等三角形的性质可求解．
【详解详析】
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴≌（AAS），
∴．
解：（2）由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（3）延长、交于，过点作于，如图所示：
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由（1）（2）可证，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴≌（ASA），
∴，
∵都为等腰直角三角形，且BC为它们的公共斜边，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴≌（AAS），
∴．
【名师指路】
本题主要考查全等三角形的性质与判 ( http: / / www.21cnjy.com )定、等腰直角三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键．
23．如图，已知△OMN为等腰直角三角形，∠MON＝90°，点B为NM延长线上一点，OC⊥OB，且OC＝OB，连接CN．2·1·c·n·j·y
（1）如图1，求证：CN＝BM；
（2）如图2，作∠BOC的平分线交MN于点A，求证：AN2＋BM2＝AB2；
（3）如图3，在（2）的条 ( http: / / www.21cnjy.com )件下，过点A作AE⊥ON于点E，过点B作BF⊥OM于点F，EA，BF的延长线交于点P，请探究：以线段AE，BF，AP为长度的三边长的三角形是何种三角形？并说明理由．
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【标准答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）以线段AE，BF，AP为长度的三边长的三角形是直角三角形，见解析．
【思路指引】
（1）由直角三角形的性质得出∠BOM=∠CON，证明△CON≌△BOM（SAS），由全等三角形的性质得出CN=BM；
（2）证明△BOA≌△COA（SAS），由全等三角形的性质得出AB=AC，证得∠ANC=90°，由勾股定理可得出结论；
（3）根据AE⊥ON，BF⊥OM，，得到，再由AN2＋BM2＝AB2得到AE2＋BF2＝AP2，得出结论．
【详解详析】
证明：∵OC⊥OB，
∴∠BOC＝90°，
∵∠MON＝90°，
∴∠BOC－∠COM＝∠MON－∠COM，
∴∠BOM＝∠CON，
在△CON和△BOM中，，
∴△CON≌△BOM（SAS），
∴CN＝BM；
（2）证明：连接AC，
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∵OA平分∠BOC，
∴∠BOA＝∠COA，
在△BOA和△COA中，，
∴△BOA≌△COA（SAS），
∴AB＝AC，
∵△OMN是等腰直角三角形，
∴∠ONM＝∠OMN＝45°，
∵△CON≌△BOM，
∴∠ONC＝∠OMB＝135°，
∴∠ANC＝∠ONC－∠ONM＝135°－45°＝90°，
∴AN2＋CN2＝AC2，
∴AN2＋BM2＝AB2．
(3) 以线段AE，BF，AP为长度的三边长的三角形是直角三角形，理由如下：
∵ ，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∵AN2＋BM2＝AB2，
∴，
∴，
∴以线段AE，BF，AP为长度的三边长的三角形是直角三角形．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
24．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，a）在y轴上，点B（b，0）在x轴上，连接AB，且a满足关系式：a2﹣14a+49＝0．
（1）如图1，求△OAB的面积（用含b的式子表示）．
（2）如图2，在线段AB上取点C，连接OC，使∠AOC＝∠ABO，求证：BC＝BO．
（3）如图3，在（2）的条件下，在AB上取点D，过点D作DH⊥OC于点H，交AO于点E，当AC＝OE时，若CD＝1，求b的值．
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【标准答案】（1）；（2）见解析；（3）4
【思路指引】
（1）先根据平方的非负性求得的值，进而求得的坐标，根据的坐标即可求得；
（2）设，根据余角的性质，求得，根据已知条件以及三角形内角和定理求得，进而根据等角对等边求得
（3）延长交轴于点，过点作的延长线于点，证明，可得，进而证明可得
根据（2）的结论，则，进而根据，即可求得，进而求得的值．
【详解详析】
（1）
点在y轴上，点B（b，0）在x轴上，在负半轴，则
（2）设，
∠AOC＝∠ABO，
（3）如图，延长交轴于点，过点作的延长线于点，
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，
，
在与中
在与中
由（2）可知
【名师指路】
本题考查了坐标与图形，三角形内角和定理，等角对等边，三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．21·世纪*教育网
25．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝A ( http: / / www.21cnjy.com )D，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝ ，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（2）如图2，∠BAD＝ ( http: / / www.21cnjy.com )∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
（深入探究）
（3）如图，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，则有S1 S2（填“＞、＝、＜”）
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【标准答案】（1）DE；（2）见解析；（3）=
【思路指引】
（1）根据全等三角形的性质可直接进行求解；
（2）分别过点D和点E作DH⊥FG于 ( http: / / www.21cnjy.com )点H，EQ⊥FG于点Q，进而可得∠BAF=∠ADH，然后可证△ABF≌△DAH，则有AF=DH，进而可得DH=EQ，通过证明△DHG≌△EQG可求解问题；
（3）过点D作DO⊥AF交AF ( http: / / www.21cnjy.com )于O，过点E作EN⊥OD交OD延长线于N，过点C作CM⊥OD交OD延长线于M，由题意易得∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE，然后可得∠ADO=∠DCM，则有△AOD≌△DMC，△FOD≌△DNE，进而可得OD=NE，通过证明△ENP≌△CMP及等积法可进行求解问题．
【详解详析】
解：（1）∵，∴；
（2）分别过点D和点E作DH⊥FG于点H，EQ⊥FG于点Q，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴△ABF≌△DAH，
∴AF=DH，
同理可知AF=EQ，
∴DH=EQ，
∵DH⊥FG，EQ⊥FG，
∴，
∵
∴△DHG≌△EQG，
∴DG=EG，即点G是DE的中点；
（3），理由如下：如图所示，过点D作DO⊥AF交AF于O，过点E作EN⊥OD交OD延长线于N，过点C作CM⊥OD交OD延长线于M21*cnjy*com
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∵四边形ABCD与四边形DEGF都是正方形
∴∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE
∵DO⊥AF，CM⊥OD，
∴∠AOD=∠CMD=90°，∠OAD+∠ODA=90°，∠CDM+∠DCM=90°，
又∵∠ODA+∠CDM=90°，
∴∠ADO=∠DCM，
∴△AOD≌△DMC，
∴，OD=MC，
同理可以证明△FOD≌△DNE，
∴，OD=NE，
∴MC =NE，
∵EN⊥OD，CM⊥OD，∠EPN=∠CMP，
∴△ENP≌△CMP，
∴，
∵，
∴,
∴即．
【名师指路】
本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
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