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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练， ( http: / / www.21cnjy.com )分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。【出处：21教育名师】
专题01 几何方法之三线合一的求解与证明综合专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，一位同学拿了两块45°的三角 ( http: / / www.21cnjy.com )尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝a，猜想此时重叠部分四边形CEMF的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
利用等腰直角三角形的性质证得MC=MB，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )CM =∠B，∠CMF=∠BME，从而证明△CMF≌△BME，根据四边形CEMF的面积=S△CMF+S△CEM= S△BCM求出答案．
【详解详析】
解：连接MC，
∵△ACB是等腰直角三角形，M是AB的中点，
∴MC⊥AB，∠ACM=∠BCM=∠B=45°，
∴MC=MB，∠BMC=90°，
∵∠EMF=90°=∠BMC，
∴∠EMF-∠CME=∠BCM-∠CME，即∠CMF=∠BME，
∴△CMF≌△BME，
∴S△CMF=S△BME，
∴四边形CEMF的面积=S△CMF+S△CEM=S△BME+ S△CEM= S△BCM=S△ABC=，
故选：C．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
此题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
2．如图，等腰Rt△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM、MC．下列结论：①DF＝DN；②△ABE≌△MBN；③AD＝CD；④AE＝CN；，其中正确的结论个数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【标准答案】B
【思路指引】
①正确．证明△FBD≌△NAD（ASA）即可判断．
②错误，根据AB＞BM，对应边不相等，即可判断．
③正确．根据等腰三角形的性质得BD＝CD，由直角三角形斜边上的中线即可判断．
④正确，证明AF＝CN，AE＝AF即可判断．
【详解详析】
解：∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∠ADN＝∠ADB＝90°，AD＝BD＝CD，③正确；
∴∠BAD＝45°＝∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝22.5°，
∴∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，
∴AF＝AE，
∵M为EF的中点，
∴AM⊥BE，
∴∠AMF＝∠AME＝90°，
∴∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN，
在△FBD和△NAD中，
，
∴△FBD≌△NAD（ASA），
∴DF＝DN，故①正确；
∵AM⊥BE，
∴AB＞BM，
∴△ABE与△MBN显然不全等，故②错误，
∵AD⊥BC，AD＝CD，
∴∠CAD＝45°，
∵AF＝AE，
∴∠CAN＝22.5°，
∴∠ABF＝∠CAN，
在△AFB和△△CNA中，
，
∴△AFB≌△CAN（SAS），
∴AF＝CN，
∵AF＝AE，
∴AE＝CN，故④正确．
故选：B．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关性质定理是解本题的关键．
3．定义：若三角形的一条角平分线与被平分的 ( http: / / www.21cnjy.com )角的一边相等，则称这个三角形为“优美三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“优美线”．下列四个三角形中，BD平分∠ABC，其中BD是“优美线”的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】D
【思路指引】
根据角平分线的定义以及等角对等边，大角对大边，小角对小边进行判断即可得到答案．
【详解详析】
解：A.在直角三角形ABC中，
∴
又平分
∴
∴
∴
∴
又
∴
∴，即BD不是“优美线”
故选项A不符合题意；
B.在中，
∴是等边三角形，
∴，
∵BD平分∠ABC，
∴
∴
∴，，即BD不是“优美线”
故选项B不符合题意；
C.在中，
∴
又平分
∴
∴
∴，即BD不是“优美线”
故选项C不符合题意；
D. 在中，
∴
又平分
∴
∴
∴，即BD是“优美线”
故选项D符合题意；
故选D
【名师指路】
本题主要考查了“优美线”的定义，熟练掌握“优美线”的定义是解答本题的关键．
4．如图，在△4BC中，AB＝AC，∠ABC＝α，点D在BC的垂直平分线上，BE＝AB，BD平分∠ABE，则∠E的度数为（ ）21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．30° B． C．90°﹣α D．无法确定
【标准答案】C
【思路指引】
连接AD并延长交BC于F，证 ( http: / / www.21cnjy.com )明△ABD≌△EBD(SAS)，根据全等三角形的性质得∠BAD=∠E，根据等腰三角形的性质得点D在BC的垂直平分线上，则AD是BC的垂直平分线，∠AFB=90 ，即可得∠E=∠BAD=90-a．
【详解详析】
解：连接AD并延长交BC于F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵BD平分∠ABE，
∴∠ABD=∠EBD，
在△ABD和△EBD中，
∴△ABD≌△EBD(SAS)，
∴∠BAD=∠E，
∵点D在BC的垂直平分线上，AB=AC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴∠AFB=90° ，
∵∠ABC=a，
∴∠BAD=90-a，
∴∠E=∠BAD=90-a，
故选：C．
【名师指路】
本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，关键是证明△ABD≌△EBD(SAS)，得出∠BAD=∠E．21教育网
5．下列说法正确的有：①；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③等边三角形是等腰三角形；④顶角相等的两个等腰三角形全等；其中正确的共有（ ）www.21-cn-jy.com
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【标准答案】D
【思路指引】
根据零次幂的定义，等腰三角形的性质，等边三角形的定义，全等的判定定理逐项分析即可
【详解详析】
①（），故①不正确；
②等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，故②不正确
③等边三角形是等腰三角形，故③正确；
④顶角相等的两个等腰三角形不一定全等，至少要有一条对应边相等，故④不正确
故正确的是③，共1个
故选D
【名师指路】
本题考查了零次幂的定义，等腰三角形的性质，等边三角形的定义，全等的判定定理，掌握以上知识是解题的关键．2·1·c·n·j·y
6．如图，∠MON＝90°，已知 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为（ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．5 B．7 C．12 D．6
【标准答案】B
【思路指引】
过点C作CH⊥AB于点H，连接OC，OH，根据等腰三角形的性质，可得 ，再由勾股定理，可得CH=12，然后根据直角三角形的性质，可得OH=5，得到当C、O、H三点共线时，OC最小，即可求解．
【详解详析】
解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，连接OC，OH，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AC＝BC＝13，AB＝10，
∴ ，即H为AB的中点，
在 中，
，
在 中， ，
∵ ，
∴当C、O、H三点共线时，OC最小，最小值为7．
故选：B
【名师指路】
本题主要考查了等腰三角形和直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质是解题的关键．
7．如图，已知ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠EPF＝90°，且其顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①PFA≌PEB；②∠PFE＝45°；③EF＝AP；④图中阴影部分的面积是ABC的面积的一半．当∠EPF在ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】C
【思路指引】
由等腰直角三角形的性质、角的关系易得PFA≌PEB，再由全等三角形的性质可判断①②④的结论；当E、F分别是AB、AC的中点时，PE⊥AB，由勾股定理得，且，则有EF=AP，否则不相等，即可判断③．
【详解详析】
∵AB=AC，∠BAC＝90°，点P是BC中点
∴∠APB=90°，AP=CP=BP，∠B=∠C=∠CAP=45°
∵∠EPF＝∠APB=90°
∴∠FPA+∠APE=∠APE+∠EPB
∴∠FPA=∠EPB
在△PFA和△PEB中
∴PFA≌PEB
故①正确
∴PF=PE，△PFA的面积=△PEB的面积
∴
故②正确
∴阴影部分面积=
故④正确
当点E、F分别是AB、AC的中点时，PE⊥AB，则△PAE是等腰直角三角形，由勾股定理得
∵
∴EF=AP
当点E、F不是AB、AC的中点时，则PE与AB不垂直，从而
但
∴EF≠AP
故③错误
所以正确的结论有3个
故选：C
【名师指路】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，关键是证明三角形全等．
8．如图，在△ABC中，AB＝A ( http: / / www.21cnjy.com )C＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
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A．4.8 B．9.6 C．8 D．6
【标准答案】B
【思路指引】
根据题意可证AD是BC边上的高，设点Q关于直线AD对称的对称点为，可得，根据题意可证点在AB上，当且C、P、三点共线时，有最小值，根据等面积法计算求值即可．
【详解详析】
解：∵，是的平分线，
∴（等腰三角形三线合一），
设点Q关于直线AD对称的对称点为，连接，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵是的平分线，
∴点在AB上（根据轴对称性质和角平分线性质），
∴，
∴当且C、P、三点共线时，
有最小值，即，
∵,
，，，
∴，
解得，，
∴的最小值是9.6，
故选：B．
【名师指路】
本题考查了轴对称图形性质，根据等腰三角形三线合一求解，点到直线距离，运用等面积法求的值是解题关键．
9．如图，在△ABC中，AB ( http: / / www.21cnjy.com )＝AC，D是BC的中点，下列结论：①AD平分∠BAC；②AD⊥BC；③AD＝BD；④∠B＝∠CAD，其中一定正确的个数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】B
【思路指引】
结合题意，根据等腰三角形三线合一性质，得、AD⊥BC，根据直角三角形斜边上中线的性质，得AD＝BD不正确，从而完成求解．
【详解详析】
∵AB＝AC，D是BC的中点
∴，
∴AD平分∠BAC，即①正确；
又∵AB＝AC，D是BC的中点
∴AD⊥BC，即②正确；
当且仅当时，AD＝BD
∴③不正确；
∵AD⊥BC
∴
∵
∴，即④不正确；
故选：B．
【名师指路】
本题考查了直角三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边上中线、等腰三角形三线合一的性质，从而完成求解．
10．如图，O是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④四边形面积；⑤，其中正确的结论是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①③④⑤ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①②③④⑤
【标准答案】D
【思路指引】
根据正三角形性质，得，；根据旋转的性质，得，，根据等边三角形的性质，可判断②，通过证明，即可判断①；根据勾股定理逆定理，得，结合等边三角形 ，可判断③；根据等腰三角形三线合一和勾股定理的性质，可计算得，从而判断④；绕点A逆时针旋转得到，根据等腰三角形、勾股定理及其逆定理的性质计算，可判断⑤，即可得到答案．21cnjy.com
【详解详析】
连接，如下图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵正
∴，
∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，
∴，
∴为等边三角形
∴，即②正确；
∵，
∴
和中
∴
∴，可以由绕点B逆时针旋转得到，即①正确；
∵，
∴
∴
∵为等边三角形
∴
∴，即③正确；
∵
∴
过点B做，交于点N
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵为等边三角形
∴
∴
∴
∴
∴四边形面积，即④正确；
∵正
∴绕点A逆时针旋转得到，如下图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，，，
∴为等边三角形
∴
过点A做，交于点G，如下图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵为等边三角形
∴
∴
∴
∴
∵，，
∴
∴
∴
∴
∴，即⑤正确；
故选：D．
【名师指路】
本题考查了等边三角形、旋转 ( http: / / www.21cnjy.com )、全等三角形、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、等边三角形、等腰三角形三线合一、勾股定理及其逆定理的性质，从而完成求解．【版权所有：21教育】
二、填空题
11．等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在直线AC上，2CE＝AC，若AD＝6，BE＝5，则BC＝_______．
【标准答案】或
【思路指引】
分点E在AC上、点E在AC的延长线上两种情况，根据三角形的重心的概念、三角形相似的判定和性质，分别计算即可．
【详解详析】
解：如图1，
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∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∵AC＝2CE，
∴AE＝EC，
∴点F是三角形的重心，
∴DF＝AD＝2，BF＝BE＝，
∴BD＝＝＝，
∴BC＝2BD＝，
如图2，
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过点E作EH⊥BC于H，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴EH＝AD＝3，CD＝2CH，
在Rt△BHE中，（CD）2+32＝52，
解得：CD＝，
∴BC＝2CD＝．
综上所述：BC的长为或，
故答案为：或
【名师指路】
本题考查三角形重心的性质，勾股定理解三角形，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质等知识点，熟练掌握分类讨论思想是解题关键．21世纪教育网版权所有
12．如图，沿直线翻折后能与重合，沿直线翻折后能与重合，与相交于点，若，，，则__________．
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【标准答案】
【思路指引】
作如图的辅助线，根据折叠的性质以及等腰三角形三线合一的性质知BG⊥CD，DG=GC，设DG=x，AG=y，利用勾股定理得到方程组求解可得DG= AG=1，∠ADC=∠ACD=45°，∠DAC=90°，同理BH=AH=1，∠AFB=∠ABF=45°，∠BAF=90°，利用，求得AE的长，即可求解．
【详解详析】
解：连接CD、BF，延长BA交CD于G，延长CA交BF于H，
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∵△ABC沿直线AB翻折后能与△ABD重合，
∴BC=BD，∠CBA=∠DBA，AC=AD=，
根据等腰三角形三线合一的性质知BG⊥CD，DG=GC，
设DG=x，AG=y，
在Rt△ADG中，①,
在Rt△BDG中，②,
②-①得：，
则(负值已舍)，
∴DG= AG=1，∠ADC=∠ACD=45°，
∴∠DAC=90°，
同理，△ABC沿直线AC翻折后能与△AFC重合，
∴CH⊥BF，BH=HF，
设BH=m，AH=n，
在Rt△ABH中，③,
在Rt△CBH中，④,
由③④得：，
∴BH=AH=，∠AFB=∠ABF=45°，
∴∠BAF=90°，
∵∠EAC=∠FHC=90°，
∴四边形为梯形，
∵，
∴，
即，
∴AE=，
∴DE=AD-AE=．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
13．在△ABC中，点D为AB边上一点，连接CD，把△BCD沿着CD翻折，得到△B'CD，AC与B'D交于点E，若∠A＝∠ACD，AE＝CE，S△ACD＝S△B'CE，BC＝，则点A到BC的距离为_____．
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【标准答案】
【思路指引】
过点C作CM⊥AB，结合等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质以及勾股定理求得CM的长，然后利用三角形面积公式列方程求解．21*cnjy*com
【详解详析】
解：过点C作CM⊥AB，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠A＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∵AE＝CE，
∴DE⊥AC，
∴S△ACD＝2S△DCE，
又∵S△ACD＝S△B'CE，
∴2S△DCE＝S△B'CE，
∴，
设DE＝x，则B′E＝2x，
由折叠性质可得：DB′＝DB＝3x，BC＝B′C，∠B＝∠B′，
又∵CM⊥AB，DE⊥AC，
∴∠CMB＝∠CEB′，
∴△CMB≌△CEB′（AAS），
∴BM＝B′E＝2x，CM＝CE，
又∵CD＝CD，
∴Rt△CMD≌Rt△CED（HL），
∴DM＝DE=x，
∵S△ABC＝AB CM＝（AD+BD） CM＝CM·（AD+3x），
S△ABC＝S△ADC+S△BDC＝2S△CDE+S△BDC＝2×DE CE+BD CM＝ x·CM，2-1-c-n-j-y
∴CM·（AD+3x）＝ x·CM，
解得：AD＝2x，
∴AD＝CD＝2x，
在Rt△CMD中，CM＝，
在Rt△BCM中，（2x）2+（x）2＝（）2，
解得：x＝±（负值舍去），
∴CM＝，AB＝，
设△ABC中BC边上的高为h，
∴S△ABC＝BC h＝AB CM，
∴，
解得：h＝，
即点A到BC的距离为，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了等腰三角形的判定与性质、 ( http: / / www.21cnjy.com )全等三角形的判定与性质、折叠性质、三角形的面积公式、勾股定理、解一元二次方程、解一元一次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，会运用等面积法求解是解答的关键．
14．如图，已知A(8，0)，P是y轴上的一动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段的位置，连接AB、OB，则BO+BA的最小值为___．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
如图（见解析），设点的坐标为，过点作轴于点，先根据旋转的性质、三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，从而可得点的坐标为，由此可知点在直线上运动，设直线与轴交于点，与轴交于点，作点关于直线的对称点为，连接，然后根据轴对称的性质、两点之间线段最短可得的最小值为，最后求出点的坐标为，由此利用两点之间的距离公式求出的长即可得．
【详解详析】
解：由题意，设点的坐标为，
如图，过点作轴于点，
∵线段绕着点按逆时针方向旋转至线段的位置，
，
，
又轴，，
，
，
，
∴在和中，，
，
，
又，
，
∴点的坐标为，
∴点在直线上运动，
如图，设直线与轴交于点，与轴交于点，作点关于直线的对称点为，连接，则，
，
由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为，
对于直线，
当时，，解得，即，
当时，，即，
，
由轴对称的性质得：，
，
，即轴，
，
，
即的最小值为，
故答案为：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的三线合一、两点之间的距离公式等知识点，根据点的坐标得出其运动轨迹是解题关键．
15．如图，在ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在∠BAC内部作射线AM，作点C关于AM的对称点D，连接BD并延长交AM于E，连接AD，CD．若BD＝2DE，ABD的面积为7，则四边形BACD的面积为_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
过点A作AF⊥BD于点F， ( http: / / www.21cnjy.com )根据点C关于AM的对称点D，可以证明AB＝AD，根据等腰三角形的性质证明∠FAE＝45°，可得AF＝EF，DH＝HE，根据BD＝2DE，可以得到BF＝DF＝DE，设DE＝x，根据△ABD的面积为7，可以求出x的值，然后求出三角形ADC的面积，进而可得四边形BACD的面积．
【详解详析】
解：如图，过点A作AF⊥BD于点F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵点C关于AM的对称点D，
∴AE是DC的垂直平分线，
∴AD＝AC，∠DAE＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴AB＝AD，
∵AF⊥BD，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵∠BAC＝90°，
∴∠FAE＝45°，
∴∠AEF＝45°，
∴AF＝FE，
∵AF⊥BD，AB＝AD，
∴BF＝FD，
∴BD＝2BF＝2DF，
∵BD＝2DE，
∴BF＝DF＝DE，
∵CD⊥AE，
∴∠HDE＝45°，
∴EH＝DH＝CH，
设DE＝x，
∴EH＝DH＝CH＝x，
∴BD＝2DE＝2x，AF＝FE＝2x，
∵△ABD的面积为7，
∴×BD AF＝7，
∴×2x×2x＝7，解得x＝（负值舍去），
∴DC＝2DH＝x＝，
∵AF＝FE＝2x，
∴AE＝AF＝2x，
∴AH＝AE EH＝2x-＝x＝×＝，
∴S△ADC＝×DC AH＝××＝，
则四边形BACD的面积=S△ABD＋S△ADC＝7＋＝．
故答案是：．
【名师指路】
本题考查轴对称的性质，等腰三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．【来源：21cnj*y.co*m】
16．如图，已知等腰△ABC， ( http: / / www.21cnjy.com )AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面结论：①∠APO=∠ACO；②∠APO+∠PCB=90°；③PC=PO；④AO+AP=AC；其中正确的有________.(填上所有正确结论的序号)
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】①②③④
【思路指引】
连接，证明，利用等腰三角形的性质可判断结论①；由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出∠APO与∠DCO的和等于30°，再证明是等边三角形，可判断结论②，③；, 在线段AC上截取AE=AP，连接PE，证明△APO≌△EPC可判断结论④．
【详解详析】
解：如图，连接
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AD⊥BC，
是的中垂线，，
即结论①正确；
连接BO，如图1所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由
是等边三角形，
即结论②正确；
是等边三角形，
即结论③正确；
在线段AC上截取AE=AP，连接PE，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠BAC+∠CAP=180°，∠BAC=120°，
∴∠CAP=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴AP=EP，
又∵△OPC是等边三角形，
∴OP=CP，
又∵∠APE=∠APO+∠OPE=60°，
∠CPO=∠CPE+∠OPE=60°，
∴∠APO=∠EPC，
在△APO和△EPC中，
，
∴△APO≌△EPC（SAS），
∴AO=EC，
又∵AC=AE+EC，AE=AP，
∴AC=AO+AP， 即结论④正确；
综合所述，①，②，③，④都正确，
故答案为：①，②，③，④．
【名师指路】
本题综合考查了线段垂直平分线的性质定 ( http: / / www.21cnjy.com )理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角的和差，线段的和差，等量代换等相关知识点，重点掌握全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质，难点是作辅助线构建等腰三角形，等边三角形，全等三角形．
17．在平面直角坐标系中，点B在x ( http: / / www.21cnjy.com )轴的正半轴上，点A在第一象限，且AO＝AB＝2，点E在线段OB上运动，当△AOE和△ABE都为等腰三角形时，点E的坐标为_____．
【标准答案】(2，0)或或
【思路指引】
分情况讨论，利用等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质进行求解．
【详解详析】
（1）当AO=AE时：
∵AO=AB，
∴AE与AB重合，不存在△ABE，同理AB不能与AE相等；
（2）当OA=OE时：
①若BA=BE，则AO+AB=OE+EB=OB，不存在△AOB；
②若EA=EB，如图所示，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AO＝AB＝2，
∴OE=2，
∵AO=AB，EA=EB，
∴∠AOB=∠ABO=∠EAB，
又∵∠ABO=∠ABO，
∴△ABE∽△OBA，
∴，即，
∴，
∴此时△AOB存在，E(2，0)；
（3）当EA=EO时：
①若EA=EB，如图所示，
( http: / / www.21cnjy.com / )
此时∠AOB=∠ABO=∠OAE=∠BAE，
∴∠OAB=90°，E为OB中点，
∵AO=AB，
∴AE⊥OB，
∴，
∴，
∴；
②若BA=BE，如图所示，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AO=AB，EA=EO，
∴∠AOB=∠ABO=∠EAO，
又∵∠AOB=∠AOB，
∴△AOE∽△BOA，
∴，即，
∴，
∴，
综上所述，点E的坐标为(2，0)或或．
故答案为：(2，0)或或．
【名师指路】
本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定及勾股定理，根据题意分情况讨论并正确画出图形是解题的关键．
18．如图，已知在正方形网格中，点A、B、C、D在小正方形的顶点上，线段AB与线段CD相交于点O，那么tan∠AOC＝_____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】3
【思路指引】
如图，取格点E、F，连接AE ( http: / / www.21cnjy.com )、AF、BE，通过计算得到等腰三角形△ABE，利用等腰三角形的三线合一得出AF⊥BE，接着推出∠AOC＝∠ABF．在Rt△ABF中，由勾股定理求出两直角边的长，再依据正切值的意义可求解．
【详解详析】
解：如图，取格点E、F，连接AE、AF、BE，可知AF经过点C，BE经过点F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
设网格中的小正方形的边长为1，
则AE=AB＝，
∵F是BE的中点，
∴AF⊥BE．
由题意：∠DCB＝∠CBE＝45°．
∴CD∥BE，
∴∠AOC＝∠ABF．
∴tan∠AOC＝tan∠ABF．
∵BF＝，
AF＝，
∴tan∠ABF＝．
∴tan∠AOC＝3．
故答案为：3．
【名师指路】
本题考察了网格中的边和角的计算问题 ( http: / / www.21cnjy.com )，涉及到了等腰三角形的性质、勾股定理、三角函数等知识，要求学生能挖掘出图中的隐含条件，构造直角三角形，利用正切公式求出角的正切值，本题蕴含了数形结合的思想方法．
19．已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠B ( http: / / www.21cnjy.com )AC=120°，AD⊥BC于点D，点N是BA延长线上一点，点M是线段AD上一点，MN=MC，下列结论中正确的结论序号是_____________．
①∠ACM=∠ANM；②∠ANM+∠NCB=90°；③NC=NM；④AM+AN=AB．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】①②③④
【思路指引】
连接，证明可得，结合已知条件即可判断①正确，证明是等边三角形即可判断③正确，根据即可判断②正确，证明，进而可得即可判断④正确．
【详解详析】
如图，连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
AB=AC， AD⊥BC，∠BAC=120°，
,
垂直平分，
点M是线段AD上一点，
在与中
故①正确
，，
如图，设交于点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，点N是BA延长线上一点，
，，
，
是等边三角形
故②正确；
是等边三角形
故③正确；
在上截取，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
是等边三角形
，
又
即
又
即
故④正确；
故正确的有①②③④
故答案为：①②③④
【名师指路】
本题考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形全等的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
20．如图，在锐角△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，点D在线段CA的延长线上，BC边的垂直平分线分别交AB边于点E，交∠BAC的平分线于点M，交BAD的平分线于点N，过点C作AM的垂线分别交AM于点F，交MN于点O，过点O作OG⊥AB于点G，点G恰为AB边的中点，过点A作AI⊥BC于点I，交OC于点H，连接OA、OB，则下列结论中，（1）∠MAN=90°；（2）∠AOB=2∠ACB；（3）OH=2OG；（4）△AFO≌△AFH；（5）AE+AC=2AG．正确的是________．（填序号）
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）（2）（4）（5）
【思路指引】
（1）使用角平分线的性质即可；（2）根据AB和BC的垂直平分线OG和MN可以得到OA=OB=OC，进而得到三组相等的角，再进行等量代换即可；（4）在和中，易得和公共边AH，再通过角度的计算和等量代换可以得到，即可证明；（5）根据垂直平分线的性质和（4）中的全等三角形可得BO=AH，通过角度的计算和等量代换可以证明和，进而可通过证明得到BE=AC，再进行等量代换即可；（3）易得OH=2OF，根据分析无法证明OF=OG，故可判断该项不符合题意．
【详解详析】
解：（1）∵AM平分，AN平分，
∴，．
∴．
又∵根据图示可得，
∴．
故（1）符合题意．
（2）∵G为AB中点，且，MN垂直平分BC，
∴OA=OB=OC，．
∴，，，．
∴，．
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
故（2）符合题意．
（4）如图所示，延长CO交AB于点J．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵OB=OC，MN垂直平分BC，
∴，．
又∵，，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
又∵，，
∴．
∴．
∴．
∵AM平分，，
∴，．
又∵，，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
在和中，
∵
∴．
故（4）符合题意．
（5）∵，，
∴．
又∵，，
∴，．
∴，．
∴．
∵，
∴OA=HA．
又∵OA=OB，
∴BO=AH．
∵，，，
∴．
又∵，
∴．
∴．
在和中，
∵
∴．
∴BE=AC．
∴AE+AC=AE+BE=AB．
∵G为AB中点，
∴AB=2AG．
∴AE+AC=2AG．
故（5）符合题意．
（3）∵，
∴FO=FH．
∴OH=2OF．
∵，，
∴．
∵无法证明AF=AG和和，
∴无法证明．
∴OF和OG可能相等，也可能不相等．
∴OH与2OG不一定相等．
故（3）不符合题意．
故答案为：（1）（2）（4）（5）．
【名师指路】
本题考查角平分线的性质，垂直 ( http: / / www.21cnjy.com )平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和以及全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题关键，特别注意等量代换的使用．【来源：21·世纪·教育·网】
三、解答题
21．如图1，在等腰直角三角形中，．点，分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）证明：；
（2）如图2，连接，，交于点．
①证明：在点的运动过程中，总有；
②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？
【标准答案】（1）见详解；（2）①见详解；②当的长度为2或时，为等腰三角形
【思路指引】
（1）由旋转的性质得AH=AG，∠HAG=90°，从而得∠BAH=∠CAG，进而即可得到结论；
（2）①由，得AH=AG，再证明，进而即可得到结论；②为等腰三角形，分3种情况：（a）当∠QAG=∠QGA=45°时，（b）当∠GAQ=∠GQA=67.5°时，（c）当∠AQG=∠AGQ=45°时，分别画出图形求解，即可．21·世纪*教育网
【详解详析】
解：（1）∵线段绕点A逆时针方向旋转得到，
∴AH=AG，∠HAG=90°，
∵在等腰直角三角形中，，AB=AC，
∴∠BAH=90°-∠CAH=∠CAG，
∴；
（2）①∵在等腰直角三角形中，AB=AC，点，分别为，的中点，
∴AE=AF，是等腰直角三角形，
∵AH=AG，∠BAH =∠CAG，
∴，
∴∠AEH=∠AFG=45°，
∴∠HFG=∠AFG+∠AFE=45°+45°=90°，即：；
②∵，点，分别为，的中点，
∴AE=AF=2，
∵∠AGH=45°，为等腰三角形，分3种情况：
（a）当∠QAG=∠QGA=45°时，如图，则∠HAF=90°-45°=45°，
∴AH平分∠EAF，
∴点H是EF的中点，
∴EH=；
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（b）当∠GAQ=∠GQA=（180°-45°）÷2=67.5°时，如图，则∠EAH=∠GAQ=67.5°，21教育名师原创作品
∴∠EHA=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠EHA=∠EAH，
∴EH=EA=2；
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（c）当∠AQG=∠AGQ=45°时，点H与点F重合，不符合题意，舍去，
综上所述：当的长度为2或时，为等腰三角形．
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【名师指路】
本题主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理，根据题意画出图形，进行分类讨论，是解题的关键．
22．已知直线交x轴于点A（a，o），交y轴下点B（0，b），且a、b满足．
（1）求∠ABO的度数；
（2）如图1，若点在第一象限，且于点E，延长BE至点D，使得，连、、，试判断△COD的形状，并说明理由；
（3）如图2，若点C在OB上，点F在AB的延长线上，且AC=CF，△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形，CQ⊥AF于点Q，求的值．
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【标准答案】（1）∠ABO的度数为45；（2）△COD为等腰直角三角形，见解析；（3）
【思路指引】
（1）利用非负数的性质先求解的值，再证明 从而可得答案；
（2）先证明∠EBF=∠OAF，再证明：△AOC≌△BOD，可得OC=OD，∠AOC=∠BOD，从而可得：△COD为等腰直角三角形
（3）如图，过作 交的延长线于证明 可得 再证明 可得 再利用两平行线间距离处处相等可得 从而可得 于是可得答案.
【详解详析】
解：（1）
解得：
∠ABO的度数为45°
（2）是等腰直角三角形，理由如下：如图所示：
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∵，
∴∠EFB+∠EBF=∠OFA+∠OAF
又∵∠OFA=∠EFB
∴∠EBF=∠OAF
在△AOC与△BOD中
∴△AOC≌△BOD（SAS）
∴OC=OD，∠AOC=∠BOD
∴∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠DOC
∴∠DOC=∠AOB=90°
∴△COD为等腰直角三角形
（3）如图，过作 交的延长线于
( http: / / www.21cnjy.com / )
是等腰直角三角形，
，
利用两平行线间距离处处相等可得：
【名师指路】
本题考查的是非负数的性质，等腰三角形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练的运用以上知识解题是解题的关键.
23．如图所示，△ABC在平面直角坐标系中，且B（6，3），C（6，5），AB＝AC＝．
（1）点A的坐标为 ；
（2）点P是x轴正半轴上的一个动点，连接AP，过点A作AQ⊥AP交y轴于点Q，回答下列问题：
①线段AP与AQ的数量关系是 ；
②当PQ＝5时，点Q的坐标为 ；
③设射线AQ与x轴交于点M，当点M恰好为线段AQ中点时，线段PQ的长为 ；
④O为坐标原点，在点P运动的过程中，线段OP与OQ的数量关系是 ．
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【标准答案】（1） A（4，4）；（2）①AP=AQ；②Q（0，1）或（0，7）；③ ；④当x 4时，OP+OQ=8；当x＞ 4时，OP-OQ=8
【思路指引】
（1）作AH⊥BC，通过B点、C点坐标可求出A点纵坐标，再利用勾股定理求出AH长度，即可求出A点横坐标；
（2）①作AQ’⊥y轴， AP’⊥x轴，证明△Q’AQ≌△P’AP后即可推出AP=AQ．
②先求出AQ的长度，然后利用勾股定理求出Q’Q，从而求出Q点坐标；
③作AP’⊥x轴证明△Q3MO≌△AMP’然后利用勾股定理依次求出AQ3、PQ3；
④点P在运动时，始终满足△Q’AQ≌△P’AP，设OP为x，讨论点P在点P’左右两侧的情况，并用x表示出OQ，对比即可．
【详解详析】
（1）如图作AH⊥BC
∵B（6，3），C（6，5），
∴BC=2，
∵AB=AC，
∴CH=BH==1
∴H（6，4）
又AB＝．
∴AH= ，
又∵AH∥x轴， A点在H点的左侧
∴A点的横坐标为6-2=4，纵坐标和点H相同为4；
∴A（4，4）
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2） ①作AQ’⊥y轴， AP’⊥x轴
可知AQ’= AP’=4且∠Q’A P’=90°
∵AQ⊥AP
∴∠QA P=90°
∴∠Q’AQ+∠QAP’=∠QAP’+∠P’AP
∴∠Q’AQ=∠P’AP
∴△Q’AQ≌△P’AP
∴AP=AQ
②在△QAP中，∠QAP=90°，AQ=AP
当PQ= 时，AQ=AP=5
∵AQ’⊥y轴， A（4，4）
∴Q’ （0，4）
∴当点Q在点Q’上方时点Q的纵坐标为4+3=7，
当点Q在点Q’下方时点Q的纵坐标为4-3=1；
∴Q（0，1）或（0，7）
③∵M为AQ中点，如图Q为Q3位置所示
作AP’⊥x轴
∵∠Q3OM=∠AP’M=90°，∠OMQ3=∠AMP’，MQ3=AM
∴△Q3MO≌△AMP’
∴AP’=OQ3=4
∴OM=MP’=2
∴AQ3=2AM=
∴PQ3=
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④设OP=x
由①可知， △Q’AQ≌△P’AP
∴PP’=QQ’
当x 4时，即P处于O、P’之间，此时Q在Q’上方，
PP’=QQ’=OP’-OP=4-x
∴OQ= OQ’+ QQ’=4+（4-x）=8- x
∴OP+OQ=x+8-x=8
当x＞ 4时，即P处于P’右侧，此时Q在Q’下方，
PP’=QQ’=OP’-OP=x-4
∴OQ= QQ’-OQ’=x- 4-4=x-8
∴OP-OQ=x-（x-8）=8
综上所述：当x 4时，OP+OQ=8；当x＞ 4时，OP-OQ=8
【名师指路】
此题是几何变换综合体，主 ( http: / / www.21cnjy.com )要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、平面直角坐标系中的交点坐标以及分类思想，其中全等三角形的判定和性质是解题关键．21*cnjy*com
24．如图，△ABC中，AC ( http: / / www.21cnjy.com )＝12cm，BC＝5cm，AB＝13cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3cm，设运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分？
（2）当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时P经过的路程？
（3）当t为何值时，△BCP为等腰三角形？（结果保留分数）
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【标准答案】（1）；（2）（3）或或或
【思路指引】
（1）根据题意当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点在上，进而根据时间等于路程除以速度即可求得；
（2）根据题意当点运动到的中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，进而列出一元一次方程，解方程求解即可；
（3）先证明△ABC是直角三角形，分三种情况讨论，①当时，点在上时，和当点在上时；②当时，此时点在上，③当时，此时是的垂直平分线与的交点，如图，过点作于点，进而求得
【详解详析】
（1）△ABC的周长为,
当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点在上，
此时
即
解得
（2）根据题意，当点运动到的中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，
( http: / / www.21cnjy.com / )
此时
解得
（3） AC＝12cm，BC＝5cm，AB＝13cm，
△ABC是直角三角形
①当时，如图，当在的位置，即点在上时，，
( http: / / www.21cnjy.com / )
即
解得
当点在上时，如图，过点作，
则
在中，
，
则
解得
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②当时，此时点在上，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则
即
解得
③当时，此时是的垂直平分线与的交点，如图，过点作，于点
( http: / / www.21cnjy.com / )
,
是的中点，由（2）可知
综上所述，当或或或时，△BCP为等腰三角形
【名师指路】
本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，三角形中线的性质，分类讨论是解题的关键．
25．如图，一次函数y＝k2x＋b的图象与y轴交于点B（0，-5），与正比例函数y＝k1x的图象相交于点A（3，4），且OA＝OB．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）点P在x轴上，且△POA是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）∴一次函数解析式：y＝3x－5，正比例函数解析式：y＝x；（2）（6，0）或P（5，0）或（－5，0）或（，0）
【思路指引】
（1）根据一次函数和正比例函数的性质，分别通过列二元一次方程组、一元一次方程并求解，即可得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质，分、、三种情况分析；当时，根据等腰三角形三线合一的性质，得，根据直角坐标系的性质计算，即可得点P的坐标；当时，分点P在x轴正半轴和负半轴两种情况，根据勾股定理的性质，得，从而得点P的坐标；当时，根据勾股定理性质，得，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【详解详析】
（1）一次函数y＝k2x＋b的图象与y轴交于点B（0，-5），与正比例函数y＝k1x的图象相交于点A（3，4），
∴，
∴，
∴一次函数解析式：y＝3x－5，正比例函数解析式：y＝x；
（2）当时，连接AP，过点A作，交OP于点M，如下图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵A（3，4）
∴
∴
∵，即；
当时，分点P在x轴正半轴和负半轴两种情况：
当，且点P在x轴正半轴时，连接AP，如下图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵A（3，4）
∴
∴
∴；
当，且点P在x轴负半轴时，连接AP，如下图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵A（3，4）
∴
∴
∴
当时，连接AP，如下图
( http: / / www.21cnjy.com / )
设
∴，
∴
∴
∴
∴
∴．
【名师指路】
本题考查了一次函数、正比例函数、二元一次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )组、勾股定理、等腰三角形、坐标的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、正比例函数、等腰三角形、勾股定理的性质，从而完成求解．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三 ( http: / / www.21cnjy.com )种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。【来源：21cnj*y.co*m】
专题01 几何方法之三线合一的求解与证明综合专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，一位同学拿了两块45 ( http: / / www.21cnjy.com )°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝a，猜想此时重叠部分四边形CEMF的面积为（ ）
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A． B． C． D．
2．如图，等腰Rt△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM、MC．下列结论：①DF＝DN；②△ABE≌△MBN；③AD＝CD；④AE＝CN；，其中正确的结论个数是（ ）【出处：21教育名师】
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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．定义：若三角形的一条角平分线 ( http: / / www.21cnjy.com )与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“优美三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“优美线”．下列四个三角形中，BD平分∠ABC，其中BD是“优美线”的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．如图，在△4BC中，AB＝AC，∠ABC＝α，点D在BC的垂直平分线上，BE＝AB，BD平分∠ABE，则∠E的度数为（ ）【版权所有：21教育】
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A．30° B． C．90°﹣α D．无法确定
5．下列说法正确的有：①；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③等边三角形是等腰三角形；④顶角相等的两个等腰三角形全等；其中正确的共有（ ）21cnjy.com
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，∠MON＝90°，已知 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为（ ）21教育名师原创作品
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A．5 B．7 C．12 D．6
7．如图，已知ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠EPF＝90°，且其顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①PFA≌PEB；②∠PFE＝45°；③EF＝AP；④图中阴影部分的面积是ABC的面积的一半．当∠EPF在ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的有（ ）21世纪教育网版权所有
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在△ABC中，AB＝AC ( http: / / www.21cnjy.com )＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
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A．4.8 B．9.6 C．8 D．6
9．如图，在△ABC中，AB ( http: / / www.21cnjy.com )＝AC，D是BC的中点，下列结论：①AD平分∠BAC；②AD⊥BC；③AD＝BD；④∠B＝∠CAD，其中一定正确的个数是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，O是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④四边形面积；⑤，其中正确的结论是（ ）
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A．①③④⑤ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①②③④⑤
二、填空题
11．等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在直线AC上，2CE＝AC，若AD＝6，BE＝5，则BC＝_______．
12．如图，沿直线翻折后能与重合，沿直线翻折后能与重合，与相交于点，若，，，则__________．【来源：21·世纪·教育·网】
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13．在△ABC中，点D为AB边上一点，连接CD，把△BCD沿着CD翻折，得到△B'CD，AC与B'D交于点E，若∠A＝∠ACD，AE＝CE，S△ACD＝S△B'CE，BC＝，则点A到BC的距离为_____．
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14．如图，已知A(8，0)，P是y轴上的一动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段的位置，连接AB、OB，则BO+BA的最小值为___．21*cnjy*com
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15．如图，在ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在∠BAC内部作射线AM，作点C关于AM的对称点D，连接BD并延长交AM于E，连接AD，CD．若BD＝2DE，ABD的面积为7，则四边形BACD的面积为_______．www.21-cn-jy.com
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16．如图，已知等腰△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面结论：①∠APO=∠ACO；②∠APO+∠PCB=90°；③PC=PO；④AO+AP=AC；其中正确的有________.(填上所有正确结论的序号)21·cn·jy·com
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17．在平面直角坐标系中，点B在x ( http: / / www.21cnjy.com )轴的正半轴上，点A在第一象限，且AO＝AB＝2，点E在线段OB上运动，当△AOE和△ABE都为等腰三角形时，点E的坐标为_____．2-1-c-n-j-y
18．如图，已知在正方形网格中，点A、B、C、D在小正方形的顶点上，线段AB与线段CD相交于点O，那么tan∠AOC＝_____．21*cnjy*com
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19．已知如图等腰△ABC，AB=A ( http: / / www.21cnjy.com )C，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点N是BA延长线上一点，点M是线段AD上一点，MN=MC，下列结论中正确的结论序号是_____________．
①∠ACM=∠ANM；②∠ANM+∠NCB=90°；③NC=NM；④AM+AN=AB．
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20．如图，在锐角△ABC中，点D在线段CA ( http: / / www.21cnjy.com )的延长线上，BC边的垂直平分线分别交AB边于点E，交∠BAC的平分线于点M，交BAD的平分线于点N，过点C作AM的垂线分别交AM于点F，交MN于点O，过点O作OG⊥AB于点G，点G恰为AB边的中点，过点A作AI⊥BC于点I，交OC于点H，连接OA、OB，则下列结论中，（1）∠MAN=90°；（2）∠AOB=2∠ACB；（3）OH=2OG；（4）△AFO≌△AFH；（5）AE+AC=2AG．正确的是________．（填序号）
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三、解答题
21．如图1，在等腰直角三角形中，．点，分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，．
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（1）证明：；
（2）如图2，连接，，交于点．
①证明：在点的运动过程中，总有；
②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？
22．已知直线交x轴于点A（a，o），交y轴下点B（0，b），且a、b满足．
（1）求∠ABO的度数；
（2）如图1，若点在第一象限，且于点E，延长BE至点D，使得，连、、，试判断△COD的形状，并说明理由；21教育网
（3）如图2，若点C在OB上，点F在AB的延长线上，且AC=CF，△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形，CQ⊥AF于点Q，求的值．2·1·c·n·j·y
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23．如图所示，△ABC在平面直角坐标系中，且B（6，3），C（6，5），AB＝AC＝．
（1）点A的坐标为 ；
（2）点P是x轴正半轴上的一个动点，连接AP，过点A作AQ⊥AP交y轴于点Q，回答下列问题：
①线段AP与AQ的数量关系是 ；
②当PQ＝5时，点Q的坐标为 ；
③设射线AQ与x轴交于点M，当点M恰好为线段AQ中点时，线段PQ的长为 ；
④O为坐标原点，在点P运动的过程中，线段OP与OQ的数量关系是 ．
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24．如图，△ABC中，AC＝12cm， ( http: / / www.21cnjy.com )BC＝5cm，AB＝13cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3cm，设运动的时间为t秒．21·世纪*教育网
（1）当t为何值时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分？
（2）当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时P经过的路程？
（3）当t为何值时，△BCP为等腰三角形？（结果保留分数）
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25．如图，一次函数y＝k2x＋b的图象与y轴交于点B（0，-5），与正比例函数y＝k1x的图象相交于点A（3，4），且OA＝OB．www-2-1-cnjy-com
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）点P在x轴上，且△POA是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
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