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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、 ( http: / / www.21cnjy.com )解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21cnjy.com
专题02 几何思想之等腰三角形的性质与判断综合专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，E是AC中点，连接BE，CD⊥BE于点F，CD＝BE．若AD＝，则BD的长为（ ）21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2 B．2 C．2 D．3
【标准答案】B
【思路指引】
过点C作CN⊥AB于点N，连接ED，EN，利 ( http: / / www.21cnjy.com )用SAS证明△DCE≌△BEN，可得ED＝NB，∠CED＝∠ENB＝135°，得△ADE是等腰直角三角形，可得AD＝DN＝BN，进而可得结果．www-2-1-cnjy-com
【详解详析】
解：如图，过点C作CN⊥AB于点N，连接EN，
∴∠CNA＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠NCA＝∠A＝45°，
∴AN＝CN，
∵点E是AC的中点，
∴∠ANE＝∠CNE＝45°，∠CEN＝∠AEN＝90°，
∴∠CEF+∠FEN＝90°，
∵CD⊥BE，
∴∠CFE＝90°，
∴∠CEF+∠FCE＝90°，
∴∠DCE＝∠BEN，
在△DCE和△BEN中，
，
∴△DCE≌△BEN（SAS），
∴ED＝NB，∠CED＝∠ENB＝135°，
∴∠AED＝45°＝∠A＝∠ACN，
∴AD＝DE，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AE＝CE，
∴AE=EN，
∴AD＝DN，
∴AD＝DN＝BN，
∴BD＝2AD＝2．
故选B．
【名师指路】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造全等三角形求解．21*cnjy*com
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
【标准答案】D
【思路指引】
根据三角形的面积公式进行 ( http: / / www.21cnjy.com )判断①，根据三角形的内角和定理求出∠FAG＝∠ACB，再判断②即可，根据三角形的内角和定理求出∠AFG＝∠AGF，再根据等腰三角形的判定判断③即可，根据等腰三角形的判定判断④即可．
【详解详析】
解：∵BE是AC边的中线，
∴AE＝CE，
∵△ABE的面积＝，△BCE的面积＝AB，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，
∴∠FAG＝∠ACB，
∵CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，
∴∠FAG＝2∠FCB，故②错误；
∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，
∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG，故③正确；
根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；
即正确的为①③，
故选：D．
【名师指路】
本题考查了角平分线的定义，三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
3．如图，在等腰直角三角形中，是斜边的中点，点分别在直角边上，且交于点P，有下列结论：①图形中全等的三角形只有两对；②的面积等于四边形的面积的2倍；③；④．其中正确的结论有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】C
【思路指引】
结论①错误．因为图中全等的三角形有3 ( http: / / www.21cnjy.com )对；结论②正确．由全等三角形的性质可以判断；结论③正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断．结论④正确．利用全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理进行判断．
【详解详析】
解：结论①错误．理由如下：
图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．
由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．
∵OC⊥AB，OD⊥OE，
∴∠AOD=∠COE．
在△AOD与△COE中，
，
∴△AOD≌△COE（ASA）．
同理可证：△COD≌△BOE．
结论②正确．理由如下：
∵△AOD≌△COE，
∴S△AOD=S△COE，
∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC，
即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．
结论③正确，理由如下：
∵△AOD≌△COE，
∴CE=AD，
∴CD+CE=CD+AD=AC=OA．
结论④正确，理由如下：
∵△AOD≌△COE，
∴AD=CE；
∵△COD≌△BOE，
∴BE=CD．
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，
∴AD2+BE2=DE2．
∵△AOD≌△COE，
∴OD=OE，
又∵OD⊥OE，
∴△DOE为等腰直角三角形，
∴OD2+OE2=2OE2=DE2，
∴AD2+BE2=2OE2．
故选C．
【名师指路】
本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形和勾股定理等重要几何知识点，综合利用知识，灵活解决问题．
4．在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边，交于E，F两点，下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的是（ ）
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A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①②③④
【标准答案】D
【思路指引】
连接根据等腰直角三角形的性质就可以得出，就可以得出，进而得出，就有，由勾股定理就即可求出结论．
【详解详析】
解：连接，，点为中点，，
．，．
，
，
．
在和中，
，
，
，，．
，
，
．
，
．
，
，
．
，，
始终为等腰直角三角形．
，
．
，
．
正确的有①②③④．
故选D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明是关键．
5．如图，在中，是边上的高，，，．连接，交的延长线于点，连接，．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
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A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【标准答案】D
【思路指引】
证得△CAF≌△GAB（SAS ( http: / / www.21cnjy.com )），从而推得①正确；利用△CAF≌△GAB及三角形内角和与对顶角，可判断②正确；证明△AFM≌△BAD（AAS），得出FM=AD，∠FAM=∠ABD，同理△ANG≌△CDA，得出NG=AD，则FM=NG，证明△FME≌△GNE（AAS）．可得出结论④，③正确．
【详解详析】
解：∵∠BAF=∠CAG=90°，
∴∠BAF+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAF=∠GAB，
又∵AB=AF，AC=AG，
∴△CAF≌△GAB（SAS），
∴BG=CF，故①正确；
∵△FAC≌△BAG，
∴∠FCA=∠BGA，
又∵BG与AC所交的对顶角相等，
∴BG与FC所交角等于∠GAC，即等于90°，
∴BG⊥CF，故②正确；
过点F作FM⊥AE于点M，过点G作GN⊥AE交AE的延长线于点N，
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∵∠FMA=∠FAB=∠ADB=90°，
∴∠FAM+∠BAD=90°，∠FAM+∠AFM=90°，
∴∠BAD=∠AFM，
又∵AF=AB，
∴△AFM≌△BAD（AAS），
∴FM=AD，∠FAM=∠ABD，
同理△ANG≌△CDA，
∴NG=AD，
∴FM=NG，
∵FM⊥AE，NG⊥AE，
∴∠FME=∠ENG=90°，
∵∠AEF=∠NEG，
∴△FME≌△GNE（AAS）．
∴ EF=EG．故④正确．
故③正确
故选：D．
【名师指路】
本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的三线合一性质与互余、对顶角，三角形内角和等几何基础知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．21教育网
6．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1.5 B．3 C．4.5 D．6
【标准答案】C
【思路指引】
首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．
【详解详析】
解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．
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∵AD⊥BH，
∴∠ADB＝∠ADH ( http: / / www.21cnjy.com )＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°，
∵∠BAD＝∠HAD，
∴∠ABD＝∠H，
∴AB＝AH，
∵AD⊥BH，
∴BD＝DH，
∵DC＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD，
∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，
∴∠CDH＝∠H，
∴CD＝CH＝AC，
∵AE＝EC，
∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，
∵S△OBD S△AOE＝S△ADB S△ABE＝S△ADH S△CDH＝S△ACD，
∵AC＝CD＝3，
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝4.5．
故选：C．
【名师指路】
本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
7．如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边DCE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①ACD≌BCE；②CP=CQ；③PQAE；④BO=OE；⑤∠DOE=60°，恒成立的结论有（ ）
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A．①②③⑤ B．①③④⑤ C．①②③④ D．①③⑤
【标准答案】A
【思路指引】
①由于和是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60，从而证出；
②由△ACD≌△BCE得∠CEB=∠CDA，加之∠ACB=∠DCE=60，可得∠PCD=60，DC=EC，得到CDP≌CEQ（ASA），根据全等的性质得CP=CQ；
③依据PC=QC，再根据∠PCQ=60推出PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，即可证明；
④没有条件证出BO=OE，得出④错误；
⑤利用等边三角形的性质，BCDE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60，∠AOB=∠DOE，即可知正确．
【详解详析】
解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∴（SAS），
∴①正确，
∵，
∴∠CEB=∠CDA，
又∵∠ACB=∠DCE=60，
∴∠BCD=60°，即∠PCD=∠QCE，
在CDP和CEQ中，
∴CDP≌CEQ，
∴CP=CQ，②正确；
又∵∠PCQ=60°可知PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60，
∴③正确，
∵等边△DCE，∠EDC=60=∠BCD，
∴BCDE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60，
∴∠AOB=∠DOE=60
∴⑤正确
没有条件证出BO=OE，④错误；
综上所述，可得正确的结论有4个：①②③⑤．
故选A．
【名师指路】
此题是三角形综合题目，考查了全 ( http: / / www.21cnjy.com )等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
8．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝∠ACB，BE⊥DE，DE与AB相交于点F，若BE＝4，则DF＝（ ）
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A．6 B．8 C．10 D．12
【标准答案】B
【思路指引】
过点D作AC的平行线交BE的延长线 ( http: / / www.21cnjy.com )于H，交AB于G，则可得DB=DH，从而BH=2BE，又可证明△HGB≌△FGD， 则DF=BH，从而可求得DF的长．
【详解详析】
过点D作AC的平行线交BE的延长线于H，交AB于G，如图所示
∵DH∥AC
∴∠BDH=∠ACB
∵∠EDB＝∠ACB
∴∠EDB＝∠BDH
∴∠EDB=∠EDH
∵BE⊥DE
∴∠DEB=∠DEH
∴∠DBE=∠DHE
∴DB=DH
即△DBH是等腰三角形
∴BH=2BE=2×4=8
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠ACB=∠ABC=45°
∴∠EDB=∠EDH=∠ACB=22.5°
∵BE⊥DE
∴∠EBD=90°-∠EDB=67.5°
∴∠HBG=∠EBD-∠ABC=22.5°
∴∠HBG=∠EDH
∵∠BDH=∠ACB=∠ABC=45°
∴GB=GD，∠BGD=90°
在Rt△HGB和Rt△FGD中
∴△HGB≌△FGD
∴DF=BH=8
故选：B．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，构造辅助线得到全等三角形是问题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
9．如图，和均为等腰直角三角形，且，点、、在同一条线上，平分，连接．以下结论：①；②；③；④；⑤．正确的有（ ）
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A．个 B．个 C．个 D．个
【标准答案】C
【思路指引】
由“SAS”可证△ACD≌△B ( http: / / www.21cnjy.com )CE，可得AD=BE，∠ADC=∠BEC，可判断①；由等腰直角三角形的性质可得∠CDE=∠CED=45°，CM⊥AE，可判断②；由全等三角形的性质可求∠AEB=∠CME=90°，可判断⑤；由等底同高的两个三角形面积相等以及面积差可判断④；由线段和差关系可判断③，即可求解．
【详解详析】
解：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，故①错误；
∵△DCE为等腰直角三角形，CM平分∠DCE，
∴∠CDE=∠CED=45°，CM⊥AE，故②正确；
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=135°，
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°，
∴∠AEB=∠CME=90°，
∴CM∥BE，故⑤正确；
∵CM∥BE，
∴，
∴，
∴，故④错误；
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME，
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM，
∴AE=AD+DE=BE+2CM．故③正确，
综上，正确的有②③⑤，共3个，
故选：C．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明△ACD≌△BCE是本题的关键．
10．如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角的平分线，下列结论中：①CP⊥CD；②∠P∠A；③BC＝CD；④∠D＝90°∠A；⑤PD∥AC．其中正确的结论是（ ）
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A．①②③④⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②④⑤
【标准答案】D
【思路指引】
根据邻补角互补以及角平分线的定义可判断①；根据三角形外角与角平分线定义列出等式2∠PBG=∠A+2∠PCB，∠PBG=∠P+∠PCB，可判断②，根据外角性质与角平分线定义，结合三角形内角和∠BCD+∠CBD=+=可判断④，利用等腰三角形性质与外角性质，可得∠DBC=∠A，可得∠D=90°，得出2∠D+∠DBC=180°，当∠A=60°时，∠D=∠DBC=60°成立，可判断③，根据∠DBC=∠A=∠ACB，利用平行线判定定理可判断⑤．21·世纪*教育网
【详解详析】
解：∵∠BCA+∠BCF=180°，CP平分∠ACB，CD平分∠FCB，
∴∠PCB=，∠DCB=，
∴∠PCD=∠PCB+∠DCB =+，
∴CP⊥CD；
故①正确；
延长CB到G，
∵BD平分∠CBE，
∴∠EBD=∠DBC，
∵∠EBD=∠PBA，∠CBD=∠PBG，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠PBA =∠PBG，
∴∠ABG=2∠GBP，
∵∠ABG=∠A+∠ACB，即2∠PBG=∠A+2∠PCB，∠PBG=∠P+∠PCB，
∴∠PBG=∠A+∠PCB，
∴∠P=∠A，
故②正确；
∵CD平分∠BCF，BD平分∠CBE，
∴∠BCD=，∠DBC=，
∴∠BCD+∠CBD=+，
=，
=，
=，
∴∠D=180°-（∠BCD+∠CBD）=，
故④正确；
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∵∠BAC=∠ACB，
∴2∠DBC=∠EBC=∠A+∠ACB=2∠A，
∴∠DBC=∠A，
∴∠D=90°，
∴2∠D+∠DBC=180°，
只有当∠A=60°时，∠D=∠DBC=60°，
∴BC=CD，
故③不正确，
∵∠DBC=∠A=∠ACB，
∴PD∥AC，
故⑤正确；
故选D．
【名师指路】
本题考查三角形内角与外角平分线，等腰三角形性 ( http: / / www.21cnjy.com )质与判定，三角形外角性质，三角形内角和，平行线判定，掌握三角形内角与外角平分线定义，三角形外角性质，三角形内角和，平行线判定是解题关键．
二、填空题
11．如图，△ABC中，∠BAC＝7 ( http: / / www.21cnjy.com )5°，∠ACB＝60°，AC＝4，则△ABC的面积为_；点D，点E，点F分别为BC，AB，AC上的动点，连接DE，EF，FD，则△DEF的周长最小值为_．2·1·c·n·j·y
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【标准答案】6+2
【思路指引】
（1）过点A作AH⊥BC于H，根据∠BAC＝75°，∠C＝60°，即可得到
（2）过点B作BJ⊥AC于J，作 ( http: / / www.21cnjy.com )点F关于AB的对称点M，点F关于BC的对称点N，连接BM，BN，BJ，MN，MN交AB于E′，交BC于D′，此时△FE′D′的周长＝MN的长，然后证明△BMN是等腰直角三角形，BM的值最小时，MN的值最小，再根据垂线段最短可知，当BF与BJ重合时，BM的值最小，由此求解即可.
【详解详析】
解：①如图，过点A作AH⊥BC于H．
∴∠AHB=∠AHC=90°，
∵∠BAC＝75°，∠C＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝45°，∠HAC=30°
∴BH=AH，
∴
∴AH＝BH＝2，
∴BC＝BH+CH＝2+2，
∴S△ABC＝ BC AH＝ （2+2）＝6+2．
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②如图，过点B作BJ⊥AC于J， ( http: / / www.21cnjy.com )作点F关于AB的对称点M，点F关于BC的对称点N，连接BM，BN，BJ，MN，MN交AB于E′，交BC于D′，此时△FE′D′的周长＝MN的长．
∵BF＝BM＝BM，∠ABM＝∠ABJ，∠CBJ＝∠CBN，
∴∠MBN＝2∠ABC＝90°，
∴△BMN是等腰直角三角形，
∴BM的值最小时，MN的值最小，
根据垂线段最短可知，当BF与BJ重合时，BM的值最小，
∵,
∴MN的最小值为BJ＝，
∴△DEF的周长的最小值为．
故答案为：6+2，．
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【名师指路】
本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，垂线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
12．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使点A、B、D在同一直线上，且EF//AD，∠CAB=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，如果DE=2，则BD=______．
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【标准答案】
【思路指引】
在FD上取点G使得FG=BG，过点B作BH⊥FD于H，先利用含30度角的直角三角形的性质求出FE=2DE=，然后得到BD=BG=GF=2BH，GH=DH，设BH=x，则BD=BG=GF=2x，GH=DH=，然后利用勾股定理求解即可.
【详解详析】
解：如图所示，在FD上取点G使得FG=BG，过点B作BH⊥FD于H，
∵∠CAB=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°
∴∠CBA=45°，∠EFD=30°，
∴FE=2DE=，
∴
∵EF∥AD，∠E=60°，∠CBA=45°，∠ADE=90°
∴∠BDF=30°，∠BFG=∠GBF=15°，
∴∠BGD=30°，
∴∠BGD=∠BDF，BG=2BH，
∴BD=BG=GF=2BH，
∴GH=DH
设BH=x，则BD=BG=GF=2x，GH=DH=，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴.
故答案为：.
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【名师指路】
本题主要考查了勾股定理，含30度角 ( http: / / www.21cnjy.com )的直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.21教育名师原创作品
13．如图，在等边中，点在边延长线上，连接，点在线段上，连接，交线段于点，，，，则线段的长度为___________．
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【标准答案】
【思路指引】
连接，过点作，交于，连接，如图所示：利用全等三角形的性质证明，，推出，设，，设，，构建方程组求解即可．
【详解详析】
解：连接，过点作，交于，连接，如图所示：
是等边三角形，，
，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
即，
，
可以假设，，设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题考查全等三角形的判定和性质， ( http: / / www.21cnjy.com )等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
14．已知如图等腰△ABC，AB= ( http: / / www.21cnjy.com )AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②∠APO=∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB=AO+AP．其中正确的是_______．【来源：21·世纪·教育·网】
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【标准答案】①③④
【思路指引】
①根据等边对等角，可得∠APO=∠ABO ( http: / / www.21cnjy.com )、∠DCO=∠DBO、则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，据此即可求解；③证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形；
④先证明△OPA≌△CPE，则AO=CE，AB=AC=AE+CE=AO+AP．
【详解详析】
解：①如图1，连接OB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，，
∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°，故①正确；
②由①知：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形；故③正确；
④如图2，在AC上截取AE=PA，连接PE，
∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠0PE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
在△OPA和△CPE中，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO=CE，
∴AB=AC=AE+CE=AO+AP；故④正确；
∴正确的结论有：①③④．
故填：①③④．
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【名师指路】
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键．www.21-cn-jy.com
15．如图，点D是△ABC三条角平分线的交点，∠ABC＝68°，若AB+BD＝AC，则∠ACB的度数为 ___．
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【标准答案】
【思路指引】
在AC上截取AE=AB，连接DE．由题意可证明．又根据“”易证，即得出，．即证明，得出．最后由三角形外角性质即可求出，从而求出结果．21世纪教育网版权所有
【详解详析】
如图，在AC上截取AE=AB，连接DE．
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∵，
∴．
根据题意角平分线的性质可知：，
∴在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
故答案为．
【名师指路】
本题考查角平分线的定义，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性强，较难．正确的作出辅助线是解答本题的关键．
16．如图，在等腰中，，，D、E为边AB上两个动点，且，则周长的最小值是________．
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【标准答案】16
【思路指引】
作CH∥AB，点E关于直线C ( http: / / www.21cnjy.com )H对称点为F，连接CF，作CG⊥AB于G，当F、C、D在同一直线上时，周长最小，此时可证CD=CE，根据勾股定理可求CD长，即可求出周长最小值．
【详解详析】
解：作CH∥AB，点E关于直线CH对称点为F，连接CF，作CG⊥AB于G，
由对称可知，CD+CE＝CD+CF，当F、C、D在同一直线上时，它们的和最小，即周长的最小．
∵CH∥AB，CG⊥AB，
∴∠HCG＝90°，
∠ECG+∠HCE＝90°，∠FCH+∠DCG＝90°，
由对称可知，∠HCF＝∠HCE，
∴∠DCG＝∠GCE，
∵CG＝GC，∠EGC＝∠DGC＝90°，
∴△EGC≌△DGC，
∴CD=CE，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
周长的最小值为5+5+6=16．
故答案为：16．
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【名师指路】
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理和最短路径问题，解题关键是恰当作轴对称，确定周长最小时，三角形为等腰三角形．
17．如图，在四边形ABDE中， ( http: / / www.21cnjy.com )点C边BD上一点．∠ABD＝∠BDE＝∠ACE＝90°，AC＝CE，点M为AE中点．连BM．DM，分别交AC，CE于G．H两点下列结论：①AB＋DE＝BD；②△BDM为等腰直角三角形：③△BDM≌△AEC；④GH∥BD．其中正确的结论是____．
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【标准答案】①②④
【思路指引】
由“AAS”可证△ACB≌△CED，可得AB=CD，BC=DE，可证AB+DE=BC+CD=BD，故①正确；由“SAS”可证△ABM≌△CDM，可得∠AMB=∠CMD，BM=DM，可证△BMD是等腰直角三角形，故②正确；由AE≠BD，可得△ACE与△BMD不全等，故③错误；由“ASA”可证△AMG≌△CMH，可得MG=MH，可求∠MGH=45°=∠MBD，可证，故④正确；即可求解．
【详解详析】
解：∵∠ABD=∠BDE=∠ACE=90°，
∴∠BCA+∠ECD=90°=∠BCA+∠BAC，
∴∠BAC=∠ECD，
又∵AC=CE， ∴△ACB≌△CED（AAS），
∴AB=CD，BC=DE，
∴AB+DE=BC+CD=BD，故①正确；
如图，连接MC，
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∵AC=CE，∠ACE=90°，点M是AE的中点，
∴ AM=CM=ME，∠CAE=∠ACM=∠ECM=45°，
∴∠BAM=∠MCD，
又∵AB=CD， ∴△ABM≌△CDM（SAS），
∴∠AMB=∠CMD，BM=DM，
∴∠AMB+∠BMC=∠BMC+∠DMC=90°，
∴∠BMD=90°，
∴△BMD是等腰直角三角形，故②正确；
∵点C不是BD的中点，
∴BD≠2MC， ∴AE≠BD，
∴△ACE与△BMD不全等，故③错误；
∵△BMD是等腰直角三角形，
∴∠MBD=∠MDB=45°，
∵∠AMC=∠GMH=90°，
∴∠AMG=∠CMH，
又∵AM=CM，∠MAG=∠MCH，
∴△AMG≌△CMH（ASA），
∴MG=MH，
∴∠MGH=45°=∠MBD，
∴，故④正确；
故答案为：①②④．
【名师指路】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
18．如图，在和中，，，，点A在边DE上，若，，则______．
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【标准答案】
【思路指引】
连接，根据题意可以证明是直角三角形，然后根据三角形全等和勾股定理即可证明，即可求的值．
【详解详析】
解：如图所示，连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵在和中，∠ACB=∠DCE=90°，，，
，，，
，
又∵，
，
，，
，
是直角三角形，
，
在中，，，
，
∵，，
∴
故答案为：．
【名师指路】
本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是找到．
三、解答题
19．如图，已知△ABC中，AB＝A ( http: / / www.21cnjy.com )C＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．设P点的运动时间为t．
（1）CP＝ cm．（用含t的式子表示）；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）；（2）全等；（3）当点的运动速度为时，能够使与全等．
【思路指引】
（1）根据题意可得出答案；
（2）由“”可证；
（3）根据全等三角形的性质得出，，则可得出答案．
【详解详析】
解：（1）由题意可得，，
故答案为：．
（2）全等，理由：
，点的运动速度与点的运动速度相等，
，
，点为的中点，
．
又，，
，
，
又，
，
在和中，
，
；
（3）点的运动速度与点的运动速度不相等，
与不是对应边，
即，
若，且，
则，，
点，点运动的时间，
点的运动速度；
答：当点的运动速度为时，能够使与全等．
【名师指路】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用等知识，解题的关键是熟练运用这些性质解题．
20．如图，直线MN与x轴 ( http: / / www.21cnjy.com )，y轴正半轴分别交于A，C两点，分别过A、C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，直线y=x与直线MN交于点P，已知AC=10，OA=8．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求P点坐标；
（2）作的平分线OQ交直线MN与点Q，点E、F分别为射线OQ、OA上的动点，连结AE与EF，试探索AE＋EF是否存在最小值？若存在，请直接写出这个最小值；若不存在请说明理由；
（3）在直线MN上存在点G，使以点G，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出G点的坐标．
【标准答案】（1）的坐标为（，）；（2）最小值为4；（3）G1（4，3），G2（ ，），G3（，），G4（， ）
【思路指引】
（1）由AC与OA的长，利用勾股定理求 ( http: / / www.21cnjy.com )出OC的长，确定出C坐标，利用待定系数法求出直线MN解析式，与y＝x联立求出交点P坐标即可；
（2）作出相应的图形，如图1所示，作出A关于射线OQ的对称点A′，可得OA′＝OA＝8，过A′作A′F⊥OA，交射线OQ于点E，角射线OA于点F，此时A′E＋EF＝AE＋EF存在最小值，求出即可；
（3）在直线MN上存在点G，使以点G，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况考虑：①GC＝GB，此时G为线段BC垂直平分线与直线MN的交点；②GC＝BC＝8；③GB＝BC＝8，分别求出G坐标即可．
【详解详析】
解：（1）∵AC＝10，OA＝8，
∴OC＝，
∴C（0，6）；
设直线MN的解析式是y＝kx＋b（k≠0），
∵点A、C都在直线MN上，
∴，
解得：，
∴直线MN的解析式为y＝ x＋6，
∵P为y＝ x＋6与直线y＝x的交点．
∴ x＋6＝x，
解得：x＝，
∴的坐标为（，）；
（2）如图1所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
作出A关于射线OQ的对称点A′，可得OA′＝OA＝8，过A′作A′F⊥OA，交射线OQ于点E，交射线OA于点F，
此时A′E＋EF＝AE＋EF存在最小值，在Rt△A′OF中，∠A′OF＝45°，
设A′F＝OF＝x，根据勾股定理得：x2＋x2＝82，
解得：x＝4，
则最小值为4；
（3）如图2所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵A（8，0），C（0，6），
∴根据题意得：B（8，6），
∵G在直线MN：y＝ x＋6上，
∴设G（a， a＋6），
在直线MN上存在点G，使以点G，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，
分三种情况考虑：
①当GC＝GB时，G点为BC垂直平分线与MN交点，此时G1（4，3）；
②当GC＝BC＝8时，根据两点间的距离公式得：a2＋（ a＋6 6）2＝64，
解得：a＝±，
此时G2（ ，），G3（，）；
③当GB＝BC＝8时，根据两点间的距离公式得：（a 8）2＋（ a＋6 6）2＝64，
解得：a＝，可得 a＋6＝ ，此时G4（， ），
则符合条件的点G有：G1（4，3），G2（ ，），G3（，），G4（， ）．
【名师指路】
此题属于一次函数综合题，涉及的知 ( http: / / www.21cnjy.com )识有：坐标与图形性质，两点间的距离公式，待定系数法确定一次函数解析式，等腰三角形的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在边AB上，DE⊥CD，且DE＝CD，CE交边AB于点F，连接BE．
（1）若AC＝6，CD＝7，求线段AD的长；
（2）如图2，求证：△CBE是直角三角形；
（3）如图3，若CD≠CF，直接写出线段AC，CD，BE之间的数量关系．
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【标准答案】（1）；（2）见解析；（3）AC2+BE2＝2CD2，理由见解析
【思路指引】
（1）根据题意过点C作CM⊥AB于M，由等腰直角三角形的性质得CM⊥AB， AM＝BM，CM＝AB＝AM＝BM＝6，再由勾股定理得DM＝，即可求解；
（2）根据题意过点C作CM⊥AB于M，过E作EN⊥AB于N，证△CDM≌△DEN（AAS），得CM＝DN，DM＝EN，则DM+MN＝CM，由（1）得∠ABC＝45°，CM＝AB＝AM＝BM，证出DM＝BN＝EN，得△BNE是等腰直角三角形，即可解决问题；
（3）根据题意过点C作CM⊥AB于M，过E作EN⊥AB于N，由（2）可知：EN＝BN＝DM，BE2＝EN2+BN2＝2EN2＝2DM2，则DM2＝BE2，再由AC2＝CM2+AM2，CD2＝CM2+DM2，即可得出结论．
【详解详析】
解；（1）过点C作CM⊥AB于M，如图1所示：
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∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AC＝6，
∴AB＝AC＝12，
∵CM⊥AB，
∴AM＝BM，CM＝AB＝AM＝BM＝6，
∴DM＝＝＝，
∴AD＝AM﹣DM＝6﹣；
（2）证明：过点C作CM⊥AB于M，过E作EN⊥AB于N，如图2所示：
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则∠CMD＝∠DNE＝90°，
∴∠MCD+∠MDC＝90°，
∵DE⊥CD，
∴∠MDC+∠NDE＝90°，
∴∠MCD＝∠NDE，
又∵CD＝DE，
∴△CDM≌△DEN（AAS），
∴CM＝DN，DM＝EN，
∴DM+MN＝CM，
由（1）得：∠ABC＝45°，CM＝AB＝AM＝BM，
∴BM＝MN+BN＝CM＝DM+MN，
∴DM＝BN＝EN，
∴△BNE是等腰直角三角形，
∴∠ABE＝45°，
∴∠CBE＝∠ABC+∠ABE＝90°，
∴△CBE是直角三角形；
（3）AC2+BE2＝2CD2，理由如下：
过点C作CM⊥AB于M，过E作EN⊥AB于N，如图3所示：
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由（2）可知：EN＝BN＝DM，BE2＝EN2+BN2＝2EN2＝2DM2，
∴DM2＝BE2，
在Rt△ACM中，CM＝AM，AC2＝CM2+AM2，
在Rt△CDM中，CM＝AM，CD2＝CM2+DM2，
∴CD2＝AC2+ BE2，
∴AC2+BE2＝2CD2．
【名师指路】
本题属于三角形综合题目，主要考查全等三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．Rt中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E为△ABC外一点，且∠CEA＝45°．求证：AE⊥BE．
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【标准答案】见解析
【思路指引】
首先过点作交的延长线于，易证得，即可得，继而证得．
【详解详析】
证明：过点作交的延长线于，
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，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
即．
【名师指路】
此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线构造旋转全等模型．
23．（1）模型建立，如图1，等腰 ( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；
（2）模型应用：
①已知直线y＝x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；
②如图3，矩形ABCO，O为坐标原 ( http: / / www.21cnjy.com )点，B的坐标为(8，6)，A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣5上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．
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【标准答案】（1）见解析；（2）；（3）或或
【思路指引】
（1）由条件可求得，利用可证明；
（2）由直线解析式可求得、的坐标，利用模型结论可得，，从而可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式；
（3）分两种情况考虑：如图2所示，当时，，设D点坐标为，利用三角形全等得到，易得D点坐标；如图3所示，当时，，设点P的坐标为，表示出D点坐标为，列出关于m的方程，求出m的值，即可确定出D点坐标；如图4所示，当时，时，同理求出D的坐标．
【详解详析】
解：（1）由题意可得，，
∴，
∴，
在和中
，
∴；
（2）过点作轴于点，如图2，
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在中，令可求得，令可求得，
∴，
同（1）可证得，
∴，，
∴，
∴且，
设直线AC解析式为，把C点坐标代入可得，解得，
∴直线AC解析式为；
（3）如图2，
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当时，，
过点作于E，过点D作于F，
同理可得：
设D点坐标为，则，
∵，即，解得，
可得D点坐标；
如图3，当时，，
过点P作于E，过点D作于，
设点P的坐标为，同理可得：，
∴，，
∴D点坐标为，
∴，得，
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∴D点坐标；
如图4，当时，时，同理可得，
设，则，，
则，
∵
∴，解得，
∴点坐标，
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综上可知满足条件的点D的坐标分别为或或．
【名师指路】
本题为一次函数的综合应用，涉及全等三角形的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、分类讨论及数形结合的思想，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质进行求解．
24．已知：△ABC是等腰直角三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决以下问题：
（1）如图1，若点P在线段AB上，且AC=4，PA=，则①线段PB= ，PC= ．②猜想：三者之间的数量关系为 ．
（2）如图2，若点P在线段AB的延长线上，则在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程．
（3）若动点P满足，请直接写出的值．（提示：请你利用备用图探究）
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【标准答案】（1）①，；②AP2+BP2=PQ2；（2）见解析；（3）或
【思路指引】
（1）①在等腰直角三角形ACB中，由勾股定理先求得AB的长，然后根据PA的长，可求得PB的长，再利用SAS证明△APC≌△BQC，得出BQ=AP=，∠CBQ=∠A=45°，那么△PBQ为直角三角形，依据勾股定理求出PQ=，即可得到PC；
②过点C作CD⊥AB，垂足为 ( http: / / www.21cnjy.com )D，由△ACB为等腰直角三角形，可求得：CD=AD=DB，然后根据AP=DC-PD，PB=DC+PD，可证明AP2+BP2=2PC2，因为在Rt△PCQ中，PQ2=2CP2，所以可得出AP2+BP2=PQ2的结论；
（2）过点C作CD⊥AB，垂足为 ( http: / / www.21cnjy.com )D，则可证明AP2+BP2=2PC2，在Rt△PCQ中，PQ2=2CP2，可得出AP2+BP2=PQ2的结论；2-1-c-n-j-y
（3）根据点P所在的位置画出图形， ( http: / / www.21cnjy.com )然后依据题目中的比值关系求得PA、PD的长（用含有CD的式子表示），然后在Rt△ACD和Rt△PCD中由勾股定理求得AC和PC的长度即可．
【详解详析】
解：（1）如图①．连接BQ，
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①△ABC是等腰直角三角形，AC=4，
∴AB=，
∵PA=，
∴PB=，
∵△ABC和△PCQ均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACP=∠BCQ，PC=CQ，
∴△APC≌△BQC（SAS）．
∴BQ=AP=，∠CBQ=∠A=45°．
∴△PBQ为直角三角形．
∴PQ=．
∵，
∴；
故答案为：，；
②如图①．过点C作CD⊥AB，垂足为D．
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∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=AD=DB．
∵AP2=（AD-PD）2=（DC-PD）2=DC2-2DC PD+PD2，
PB2=（DB+PD）2=（DC+DP）2=CD2+2DC PD+PD2，
∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，
∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，
∴AP2+BP2=2PC2．
∵△CPQ为等腰直角三角形，
∴2PC2=PQ2．
∴AP2+BP2=PQ2；
故答案为：AP2+BP2=PQ2；
（2）如图②：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
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∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=AD=DB．
∵AP2=（AD+PD）2=（DC+PD）2=CD2+2DC PD+PD2，
PB2=（DP-BD）2=（PD-DC）2=DC2-2DC PD+PD2，
∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，
∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，
∴AP2+BP2=2PC2．
∵△CPQ为等腰直角三角形，
∴2PC2=PQ2．
∴AP2+BP2=PQ2；
（3）如图③：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
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①点P位于点P1处时．
∵，
∴P1A＝AB＝， ，
在Rt△P1CD中，由勾股定理得：
，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
，
∴；
②当点P位于点P2处时．
∵，
∴P2A＝AB＝CD， ，
在Rt△P2CD中，由勾股定理得：
，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
，
∴；
综合上述，的值为：或．
【名师指路】
本题主要考查的是等腰直角三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质和勾股定理的应用，以及全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，根据等腰直角三角形的性质得CD=AD=DB，将PA、PB、PQ、AC、PC用含DC的式子表示出来是解题的关键．注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想进行求解.21*cnjy*com
25．在平面直角坐标系中，，且a，b满足，C、D两点分别是y轴正半轴、x轴负半轴上的两个动点：
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（1）如图1，若，求的面积；
（2）如图1，若，且，求D点的坐标；
（3）如图2，若，以为边，在的右侧作等边，连接，当最短时，求A，E两点之间的距离；
【标准答案】(1)的面积为12；(2) D点的坐标为；(3) A，E两点之间的距离为．
【思路指引】
(1)利用完全平方式和绝对值的性质求出a， b，然后确定A、B两点坐标，从而利用三角形面积公式求解即可；【版权所有：21教育】
(2)根据题意判断出，从而得到CB= AD，然后利用勾股定理求出CB，即可求出结论；
(3)首先根据已知推出 ，得到∠DBC=∠EAC=120°，进一步推出 ，从而确定随着D点的运动，点E在过点A且平行于BC的直线PQ上运动，再根据点到直线的最短距离为垂线段的长度，确定OE最短时，各点的位置关系，最后根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解详析】
解： (1) ：∵，
由非负性可知： ，
解得：
∴A(3，0)， B(-3，0)， AB=3-(-3)=6，
∵ C(0，4)，
∴OC=4，
∴；
(2)由(1)知A(3，0)， B(-3，0)，
∴OA=OB，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
在△AOC和△BOC中，
，
∴ ，
∴∠CBO=∠CAO，
∵∠CDA=∠CDE +∠ADE=∠BCD+∠CBA，∠CBA=∠CDE，
∴∠ADE=∠BCD，
在△BCD和△ADE中，
，
∴，
∴CB= AD，
∵ B(-3，0)， C(0，4)，
∴OB=3，OC=4,
∴ ，
∴AD=BC=5，
∵A(3，0)，
∴D(-2，0)；
(3)由(2) 可知CB=CA，
∵∠CBA=60°，
∴△ABC为等边三角形，∠BCA=60°， ∠DBC=120°，
∵△CDE为等边三角形，
∴CD=CE，∠DCE=60°，
∵∠DCE=∠DCB+∠BCE，∠BCA=∠BCE+∠ECA，
∴∠DCB=∠ECA，
在△DCB和△ECA中，
，
∴△DCB≌△ECA( SAS)，
∴∠DBC=∠EAC= 120°，
∵∠EAC+∠ACB= 120°+60°= 180°，
∴，
即：随着D点的运动，点E在过点A且平行于BC的直线PQ上运动，
∵要使得OE最短，
∴如图所示，当OE⊥PQ时，满足OE最短，此时∠OEA=90°，
∵∠DBC=∠EAC=120°，∠CAB=60°，
∴∠OAE=∠EAC-∠CAB=60°，∠AOE= 30°，
∵ A(3，0)，
∴OA=3，
∴
∴当OE最短时，A，E两点之间的距离为．
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【名师指路】
本题考查坐标与图形，全等三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定与性质，等腰三角形和等边三角形的判定与性质等，理解平面直角坐标系中点坐标的特征，掌握等腰或等边三角形的性质，熟练使全等三角形的判定与性质是解题关键．
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选 ( http: / / www.21cnjy.com )择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21cnjy.com
专题02 几何思想之等腰三角形的性质与判断综合专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，E是AC中点，连接BE，CD⊥BE于点F，CD＝BE．若AD＝，则BD的长为（ ）21·cn·jy·com
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A．2 B．2 C．2 D．3
2．如图，在△ABC中，∠B ( http: / / www.21cnjy.com )AC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）21*cnjy*com
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．
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A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
3．如图，在等腰直角三角形中，是斜边的中点，点分别在直角边上，且交于点P，有下列结论：①图形中全等的三角形只有两对；②的面积等于四边形的面积的2倍；③；④．其中正确的结论有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边，交于E，F两点，下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的是（ ）【出处：21教育名师】
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A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①②③④
5．如图，在中，是边上的高，，，．连接，交的延长线于点，连接，．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）21教育网
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A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
6．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．1.5 B．3 C．4.5 D．6
7．如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边DCE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①ACD≌BCE；②CP=CQ；③PQAE；④BO=OE；⑤∠DOE=60°，恒成立的结论有（ ）21*cnjy*com
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A．①②③⑤ B．①③④⑤ C．①②③④ D．①③⑤
8．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝∠ACB，BE⊥DE，DE与AB相交于点F，若BE＝4，则DF＝（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．6 B．8 C．10 D．12
9．如图，和均为等腰直角三角形，且，点、、在同一条线上，平分，连接．以下结论：①；②；③；④；⑤．正确的有（ ）
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A．个 B．个 C．个 D．个
10．如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角的平分线，下列结论中：①CP⊥CD；②∠P∠A；③BC＝CD；④∠D＝90°∠A；⑤PD∥AC．其中正确的结论是（ ）
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A．①②③④⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②④⑤
二、填空题
11．如图，△ABC中，∠BA ( http: / / www.21cnjy.com )C＝75°，∠ACB＝60°，AC＝4，则△ABC的面积为_；点D，点E，点F分别为BC，AB，AC上的动点，连接DE，EF，FD，则△DEF的周长最小值为_．21教育名师原创作品
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12．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使点A、B、D在同一直线上，且EF//AD，∠CAB=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，如果DE=2，则BD=______．
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13．如图，在等边中，点在边延长线上，连接，点在线段上，连接，交线段于点，，，，则线段的长度为___________．
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14．已知如图等腰△ABC，AB= ( http: / / www.21cnjy.com )AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②∠APO=∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB=AO+AP．其中正确的是_______．
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15．如图，点D是△ABC三条角平分线的交点，∠ABC＝68°，若AB+BD＝AC，则∠ACB的度数为 ___．
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16．如图，在等腰中，，，D、E为边AB上两个动点，且，则周长的最小值是________．
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17．如图，在四边形ABDE中 ( http: / / www.21cnjy.com )，点C边BD上一点．∠ABD＝∠BDE＝∠ACE＝90°，AC＝CE，点M为AE中点．连BM．DM，分别交AC，CE于G．H两点下列结论：①AB＋DE＝BD；②△BDM为等腰直角三角形：③△BDM≌△AEC；④GH∥BD．其中正确的结论是____．
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18．如图，在和中，，，，点A在边DE上，若，，则______．
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三、解答题
19．如图，已知△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．设P点的运动时间为t．
（1）CP＝ cm．（用含t的式子表示）；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？21世纪教育网版权所有
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20．如图，直线MN与x轴，y轴正半轴分别交 ( http: / / www.21cnjy.com )于A，C两点，分别过A、C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，直线y=x与直线MN交于点P，已知AC=10，OA=8．
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（1）求P点坐标；
（2）作的平分线OQ交直线MN与点Q，点E、F分别为射线OQ、OA上的动点，连结AE与EF，试探索AE＋EF是否存在最小值？若存在，请直接写出这个最小值；若不存在请说明理由；
（3）在直线MN上存在点G，使以点G，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出G点的坐标．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在边AB上，DE⊥CD，且DE＝CD，CE交边AB于点F，连接BE．【版权所有：21教育】
（1）若AC＝6，CD＝7，求线段AD的长；
（2）如图2，求证：△CBE是直角三角形；
（3）如图3，若CD≠CF，直接写出线段AC，CD，BE之间的数量关系．
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22．Rt中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E为△ABC外一点，且∠CEA＝45°．求证：AE⊥BE．
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23．（1）模型建立，如图1， ( http: / / www.21cnjy.com )等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；2·1·c·n·j·y
（2）模型应用：
①已知直线y＝x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；21·世纪*教育网
②如图3，矩形ABCO， ( http: / / www.21cnjy.com )O为坐标原点，B的坐标为(8，6)，A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣5上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．2-1-c-n-j-y
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24．已知：△ABC是等腰直 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决以下问题：www.21-cn-jy.com
（1）如图1，若点P在线段AB上，且AC=4，PA=，则①线段PB= ，PC= ．②猜想：三者之间的数量关系为 ．【来源：21·世纪·教育·网】
（2）如图2，若点P在线段AB的延长线上，则在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程．【来源：21cnj*y.co*m】
（3）若动点P满足，请直接写出的值．（提示：请你利用备用图探究）
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25．在平面直角坐标系中，，且a，b满足，C、D两点分别是y轴正半轴、x轴负半轴上的两个动点：
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（1）如图1，若，求的面积；
（2）如图1，若，且，求D点的坐标；
（3）如图2，若，以为边，在的右侧作等边，连接，当最短时，求A，E两点之间的距离；
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