【尖子生题典】专题03 几何思想之等边三角形压轴题专练(原卷版+解析版)-2021-2022学年八年级下册数学专题训练(北师大版)

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名称 【尖子生题典】专题03 几何思想之等边三角形压轴题专练(原卷版+解析版)-2021-2022学年八年级下册数学专题训练(北师大版)
格式 zip
文件大小 3.5MB
资源类型 试卷
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2022-01-21 11:57:15

文档简介

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编者学科君小注:
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发,供中等及以上学生使用。
思路设计:重在培优训练,分选择、填空、解答 ( http: / / www.21cnjy.com )三种类型题,知识难度层层递进,由中等到压轴,基础差的学生选做每种类型题的前4题;基础中等的学生必做前4题、选做5-8题;尖子生全部题型必做,冲刺压轴题。21教育网
专题03 几何思想之等边三角形压轴题专练(解析版)
错误率:___________易错题号:___________
一、单选题
1.若点D为等边内一点,且,,,则此等边三角形ABC的面积为( )
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A. B. C. D.
【标准答案】A
【思路指引】
将绕点顺时针旋转得,再过点作,交延长线于点,利用旋转的性质得出为等边三角形,利用等边三角形的性质及勾股定理推出,在中,由勾股定理,即可求等边的面积.
【详解详析】
解:如图,将绕点顺时针旋转得,再过点作,交延长线于点,如下图:
( http: / / www.21cnjy.com / )
由旋转的性质知,,,,
是等边三角形,
,,
在中,,,,




在中,,
,,
在中,由勾股定理得,,

又等边的面积,
等边的面积,
故选:A.
【名师指路】
本题考查了旋转的性质,等边三角形、勾股定理,解题的关键是掌握旋转的性质,及作出适当的辅助线进行求解.21·世纪*教育网
2.如图,已知,,,,和交于点,则下列结论::①;②;③平分;④.其中正确的有( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.①② B.①②③ C.①②③④ D.①②④
【标准答案】C
【思路指引】
证明,由全等三角形的性质得到,可得,则,得出;,得到,利用角平分线的判定定理得平分,在上截取,根据可证明,得出,由此可以解决问题.
【详解详析】
解:∵,,,

即,
在与中,


,,故①正确,
,,,

,故②正确,
连接,过分别作与,于,如图1,
( http: / / www.21cnjy.com / )


,而,

平分,所以③正确,
在上截取,
( http: / / www.21cnjy.com / )

是等边三角形,
,,





故④正确;
故选:.
【名师指路】
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识,利用全等三角形面积相等证明高相等是解决问题的关键.www.21-cn-jy.com
3.如图,点,,在一条直线上,,均为等边三角形,连接和,分别交、于点、,交于点,连接,.下列结论:①;②;③为等边三角形;④平分.其中结论正确的有( )
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A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【标准答案】D
【思路指引】
由等边三角形的性质得出AB=D ( http: / / www.21cnjy.com )B,∠ABD=∠CBE=60°,BE=BC,得出∠ABE=∠DBC,由SAS即可证出△ABE≌△DBC;由△ABE≌△DBC,得出∠BAE=∠BDC,根据三角形外角的性质得出∠DMA=60°;由ASA证明△ABP≌△DBQ,得出对应边相等BP=BQ,即可得出△BPQ为等边三角形;由△ABE≌△DBC得到△ABE和△DBC面积等,且AE=CD,从而证得点B到AE、CD的距离相等,利用角平分线判定定理得到点B在角平分线上.
【详解详析】
解:∵△ABD、△BCE为等边三角形,
∴AB=DB,∠ABD=∠CBE=60°,BE=BC,
∴∠ABE=∠DBC,∠PBQ=60°,
在△ABE和△DBC中,
∴△ABE≌△DBC(SAS),
∴①正确;
∵△ABE≌△DBC,
∴∠BAE=∠BDC,
∵∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60°,
∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°,
∴②正确;
在△ABP和△DBQ中,
∴△ABP≌△DBQ(ASA),
∴BP=BQ,
∴△BPQ为等边三角形,
∴③正确;
∵△ABE≌△DBC
∴AE=CD,S△ABE=S△DBC,
∴点B到AE、CD的距离相等,
∴B点在∠AMC的平分线上,
即MB平分∠AMC;
∴④正确;
故选:D.
【名师指路】
本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理;熟练掌握等边三角形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.
4.如图,正和正中,B、C、D共线,且,连接和相交于点F,以下结论中正确的有( )个
( http: / / www.21cnjy.com / )
① ②连接,则平分 ③ ④
A.4 B.3 C.2 D.1
【标准答案】A
【思路指引】
根据“手拉手”模型证明,从而得到,再结合三角形的外角性质即可求解,即可证明①;作于点,于点,证明,结合角平分线的判定定理即可证明②;利用面积法表示和的面积,然后利用比值即可证明③;利用“截长补短”的思想,在上取点,使得,首先判断出为等边三角形,再结合“手拉手”模型推出即可证明④.
【详解详析】
解:①∵和均为等边三角形,
∴,,,
∴,
∴,
在和中,
∴,
∴,
∵,,
∴,故①正确;
②如图所示,作于点,于点,
则,
∵,
∴,
在和中,
∴,
∴,
∴平分,故②正确;
③如图所示,作于点,
∵,,
∴,
∵,
∴整理得:,
∵,
∴,
∴,故③正确;
④如图所示,在上取点,使得,
∵,平分,
∴,,
∴为等边三角形,
∴,,
∵,
∴,
∴,
在和中,
∴,
∴,
∵,,
∴,故④正确;
综上,①②③④均正确;
故选:A.
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【名师指路】
本题考查等边三角形的判定与性质,全等三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的判定与性质等,理解等边三角形的基本性质,掌握全等三角形中的辅助线的基本模型,包括“手拉手”模型,截长补短的思想等是解题关键.
5.如图,在△ABC中,∠BAC=45°,CD⊥AB于点D,AE⊥BC于点E,AE与CD交于点F,连接BF,DE,下列结论中:①AF=BC;②∠DEB=45°,③AE=CE+2BD,④若∠CAE=30°,则,正确的有( )
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A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④
【标准答案】B
【思路指引】
①②只要证明△ADF≌△CDB即可解决 ( http: / / www.21cnjy.com )问题.③如图1中,作DM⊥AE于M,DN⊥BC于N,易证△DMF≌△DNB,四边形DMEN是正方形,想办法证明AE CE=BC+EF EC=EF+BE=2DN<2BD,即可.④如图2中,延长FE到H,使得FH=FB.连接HC、BH.想办法证明△BFH是等边三角形,AC=AH即可解决问题.
【详解详析】
解:∵AE⊥BC,
∴∠AEC=∠ADC=∠CDB=90°,
∵∠AFD=∠CFE,
∴∠DAF=∠DCB,
∵AD=DC,
∴△ADF≌△CDB,
∵AF=BC,DF=DB,故①正确,
∴∠DFB=∠DBF=45°,
取BF的中点O,连接OD、OE.
∵∠BDF=∠BEF=90°,
∴OE=OF=OB=OD,
∴E、F、D、B四点共圆,
∴∠DEB=∠DFB=45°,故②正确,
如图1中,作DM⊥AE于M,DN⊥BC于N,
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵△ADF≌△CDB,
∴,,
∵,
∴△DMF≌△DNB,
∴,
∵,
∴四边形DMEN是矩形,
∵,
∴四边形DMEN是正方形,
∴MF=BN,EM=EN,
∴EF+EB=EM FM+EN+NB=2EM=2DN,
∵AE CE=BC+EF EC=EF+BE=2DN<2BD,
∴AE CE<2BD,即AE<EC+2BD,故③错误,
如图2中,作DM⊥AE于M,DN⊥BC于N.
∵△DMF≌△DNB,四边形DMEN是正方形,
∴FM=BN,EM=EN=DN,
∴EF+EB=EM MF+EN+BN=2EN=2DN≤2BD,
∵AE EC=ADF+EF EC=BC_EF EC=EF+BE≤2BD,
∴AE≤EC+2BD,故③错误,
如图2中,延长FE到H,使得FH=FB.连接HC、BH.
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠CAE=30°,∠CAD=45°,∠ADF=90°,
∴∠DAF=15°,∠AFD=75°,
∵∠DFB=45°,
∴∠AFB=120°,
∴∠BFH=60°,
∵FH=BF,
∴△BFH是等边三角形,
∴BF=BH,
∵BC⊥FH,
∴FE=EH,
∴CF=CH,
∴∠CFH=∠CHF=∠AFD=75°,
∴∠ACH=75°,
∴∠ACH=∠AHC=75°,
∴AC=AH,
∵AF+FB=AF+FH=AH,
∴AF+BF=AC,故④正确,
故选:B.
【名师指路】
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造特殊三角形解决问题,属于中考选择题中的压轴题.
6.如图,在△ABC中,点M,N分别是AC,BC上一点,AM=BN,∠C=60°,若AB=9,BM=7,则MN的长度可以是(  )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.2 B.7 C.16 D.17
【标准答案】B
【思路指引】
通过构造等边和等边,得到(SAS),再证明(SAS),即可将线段AB、BM和MN集中到△QMB中,根据三角形三边关系即可判断MN的长度取值范围.
【详解详析】
解:如图,作等边和等边,连接QP、QM,
( http: / / www.21cnjy.com / )
在等边和等边中,,
∴,
∴,
又∵,,
∴(SAS),
∴,,
∵AM=BN,

在中,,,
∴,
在中,,,
∴,
∴,
在和中,

∴(SAS)
∴,
在中,,
∴,
∴,
∴选项B,MN=7符合题意,
故选B.
【名师指路】
本题主要考查了全等三角形性质和 ( http: / / www.21cnjy.com )判定的综合应用,解题关键是线段AB、BM和MN通过旋转全等集中到同一个三角形中,再根据三角形三边关系即可判断MN的长度取值范围.
7.如图,在中,,,,D为AB上一动点(不与点A重合),为等边三角形,过D点作DE的垂线,F为垂线上任意一点,G为EF的中点,则线段BG长的最小值是( )
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A. B.6 C. D.9
【标准答案】B
【思路指引】
连接,,设交于点,先判定为线段的垂直平分线,再判定,然后由全等三角形的性质可得答案.【来源:21cnj*y.co*m】
【详解详析】
解:如图,连接,,设交于点,
( http: / / www.21cnjy.com / )
,为的中点,

点在线段的垂直平分线上,
为等边三角形,

点在线段的垂直平分线上,
为线段的垂直平分线,
,,
点在射线上,当时,的值最小,如图所示,设点为垂足,
,,
,,
则在和中,



∵,,,
∴,,
∴,
解得:,

故选:B.
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质,数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键.
8.如图,中,,点D在内部,且使得.则的度数为( )
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A. B. C. D.不能确定
【标准答案】C
【思路指引】
如图,在内作,且使得,连,证明,得到为等腰三角形,再证明为等边三角形,推出为等腰三角形,由三角形外角的性质得出即可.
【详解详析】
如图,在内作,且使得,连,
( http: / / www.21cnjy.com / )
在和中,


为等腰三角形,
为等腰三角形,
,,,
为等边三角形,
为等腰三角形,
延长CE交AD于F点,
故选:C.
【名师指路】
本题主要考查了三角形的综合问题, ( http: / / www.21cnjy.com )涉及等腰三角形的等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,三角形外角的性质,有一定难度,根据题意做出适当的辅助线是解题的关键.
二、填空题
9.如图,在等腰△ABC中, ( http: / / www.21cnjy.com )AB=AC,∠BAC=120°,点D是线段BC上一点,∠ADC=90°,点P是BA延长线上一点,点O是线段AD上一点,OP=OC,下面的结论:①∠APO=∠ACO;②∠APO+∠DCO=30°;③AC=AO+AP;④PO=PC,其中正确的有______.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】①②③④
【思路指引】
连接BO,由线段垂直平分线的性质定理 ( http: / / www.21cnjy.com ),等腰三角形的判定与性质,三角形的内角和定理,角的和差求出∠APO=∠ACO,∠APO+∠DCO=30°,由三角形的内角和定理,角的和差求出∠POC=60°,再由等边三角的判定证明△OPC是等边三角形,得出PC=PO,∠PCO=60°,由角的和差,等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,线段的和差和等量代换求出AO+AP=AC,即可得出结果.
【详解详析】
解:连接BO,如图1所示:
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∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BO=CO,
∴∠OBC=∠OCB,
又∵OP=OC,
∴OP=OB,
∴∠OBP=∠OPB,
又∵在等腰△ABC中∠BAC=120°,
∴∠ABC=∠ACB=30°,
∴∠OBC+∠OBP=∠OCB+∠ACO,
∴∠OBP=∠ACO,
∴∠APO=∠ACO,故①正确;
又∵∠ABC=∠PBO+∠CBO=30°,
∴∠APO+∠DCO=30°,故②正确;
∵∠PBC+∠BPC+∠BCP=180°,∠PBC=30°,
∴∠BPC+∠BCP=150°,
又∵∠BPC=∠APO+∠CPO,
∠BCP=∠BCO+∠PCO,
∠APO+∠DCO=30°,
∴∠OPC+∠OCP=120°,
又∵∠POC+∠OPC+∠OCP=180°,
∴∠POC=60°,
又∵OP=OC,
∴△OPC是等边三角形,
∴PC=PO,∠PCO=60°,故④正确;
在线段AC上截取AE=AP,连接PE,如图2所示:
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∵∠BAC+∠CAP=180°,∠BAC=120°,
∴∠CAP=60°,
∴△APE是等边三角形,
∴AP=EP,
又∵△OPC是等边三角形,
∴OP=CP,
又∵∠APE=∠APO+∠OPE=60°,
∠CPO=∠CPE+∠OPE=60°,
∴∠APO=∠EPC,
在△APO和△EPC中,

∴△APO≌△EPC(SAS),
∴AO=EC,
又∵AC=AE+EC,AE=AP,
∴AO+AP=AC,故③正确;
故答案为:①②③④.
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定与 ( http: / / www.21cnjy.com )性质、线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角的和差、线段的和差、等量代换等相关知识点;作辅助线构建等腰三角形、等边三角形、全等三角形是解题的关键.
10.如图,为等边三角形,点为外的一点,,,,则的面积为______.
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【标准答案】
【思路指引】
将△BCD顺时针方向旋转60°至△ACE,连接DE,过点E作EF⊥AD,交AD的延长线于点F,由设DF=a,则EF=a,DE=CE=2a,由勾股定理可求出a的值,进而即可求解.
【详解详析】
解:将△BCD顺时针方向旋转60°至△ACE,连接DE,过点E作EF⊥AD,交AD的延长线于点F,
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∴CD=CE,∠ECD=60°,
∴△CDE为等边三角形,
∴∠CDE=∠CED=∠ECD=60°,
∵∠ADC=60°,
∴∠ADC=∠ECD,
∴AD∥CE,
∴S△ACE=S△CDE,
∵将△BCD顺时针方向旋转60°至△ACE,
∴S△BCD=S△ACE,
∴S△CDE=S△BCD,
∵∠ADC=∠CDE=60°,
∴∠EDF=60°,
在Rt△FDE中,设DF=a,则EF=a,DE=CE=2a,
∵,,
∴AE=,
∴在Rt△AEF中,,解得:a=1或a=-3(舍去),
∴S△BCD= S△CDE=×2a×a=×2×=.
故答案是:.
【名师指路】
本题考查了旋转的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理,平行线的判定,三角形的面积等知识,熟练掌握旋转的性质是解题的关键.21*cnjy*com
11.如图,在中,且的面积为,以、为边分别往的形外作等边、,分别过点、作、,连接、交于点,则线段的最小值为______________.
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【标准答案】
【思路指引】
连接AE,BE,先证明ECA≌△BDE, ( http: / / www.21cnjy.com )得到AE=BE,再证明△ECA≌△BPA,AB=AE=BE,即可得到△ABE是等边三角形,由AB长度和位置固定,则 E点位置固定过点E作EF⊥AB于F,当OE最小时,即PE最小,当P在EF上时,此时EP有最小值,由此求解即可得到答案.
【详解详析】
解:如图所示,连接AE,BE,
∵CE//DP、DE//PC,
∴四边形CPDE是平行四边形,∠ECP=∠EDP,∠ECP+∠CPD=180°
∴PE=2OE,CE=PD,ED=PC,∠CPD=180°-∠ECP
∵△PAC、△PDB都是等边三角形,
∴AP=AC=PC=ED,CE=PD=BP=BD,∠ACP=∠CPA=∠DPB=∠DBP=∠BDP=60°
∴∠ECA=∠ECP+∠ACP=∠EDB=∠BDP+∠EDP,
∴△ECA≌△BDE(SAS),
∴AE=BE,
∵∠CPD+∠CPA+∠APB+∠BPD=360°,
∴∠APB+120°+180°-∠ECP=360°,
∴∠APB=60°+∠ECP=∠ECA,
∴△ECA≌△BPA(SAS),
∴AB=AE=BE,
∴△ABE是等边三角形,
∵AB长度和位置固定,
∴E点位置固定
过点E作EF⊥AB于F,
∴AF=5,

∵PE=2OE,
∴当OE最小时,即PE最小,
∴当P在EF上时,此时EP有最小值,
∴此时有
∴ ,

∴ ,
故答案为:.
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【名师指路】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定,勾股定理,等边三角形的性质与判定,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.21cnjy.com
12.如图,AD,BE在AB的同侧,AD=3,BE=3,AB=6,点C为AB的中点,若∠DCE=120°,则DE的最大值是_______.【来源:21·世纪·教育·网】
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【标准答案】9
【思路指引】
如图,作点A关于直线CD的对称点M,作点B ( http: / / www.21cnjy.com )关于直线CE的对称点N,连接DM,CM,CN,MN,NE.证明△CMN是等边三角形,再根据DE≤DM+MN+EN,当D,M,N,E共线时,DE的值最大.
【详解详析】
解:如图,作点A关于直线CD的对称点M,作点B关于直线CE的对称点N,连接DM,CM,CN,MN,NE.
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由题意AD=EB=3,AC=CB=3,DM=CM=CN=EN=3,
∴∠ACD=∠ADC,∠BCE=∠BEC,
∵∠DCE=120°,
∴∠ACD+∠BCE=60°,
∵∠DCA=∠DCM,∠BCE=∠ECN,
∴∠ACM+∠BCN=120°,
∴∠MCN=60°,
∵CM=CN=3,
∴△CMN是等边三角形,
∴MN=3,
∵DE≤DM+MN+EN,
∴DE≤9,
∴当D,M,N,E共线时,DE的值最大,最大值为9,
故答案为:9.
【名师指路】
本题考查轴对称的性质,两点之间线段最短,等边三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会利用轴对称解决问题,属于中考填空题中的压轴题.
13.如图,在中,,,以BC为边在BC的右侧作等边,点E为BD的中点,点P为CE上一动点,连结AP,BP.当的值最小时,的度数为__________.
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【标准答案】15°
【思路指引】
连接PD、AD,设AD与CE交 ( http: / / www.21cnjy.com )于点P1,利用等边三角形的性质证得∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°,PD=BP,根据两点之间线段最短得出当点A、P、D共线时即点P运动到P1时,AP+BP有最小值,连接BP1,根据等边对等角证得∠CBP1=∠CDP1=∠CAD,再根据三角形的外角性质即可求解.
【详解详析】
解:连接PD、AD,设AD与CE交于点P1,
∵△BCD是等边三角形,点E为BC的中点,
∴∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°,BC=CD,CE⊥BD,BE=DE,
∴CE为线段BD的垂直平分线,
∴PD=BP,
∴当点P运动时,AP+BP=AP+PD,而AP+PD≥AD,
∴当点A、P、D共线时即点P运动到P1时,AP+BP有最小值,
连接BP1,则BP1=DP1,
∴∠P1BD=∠P1DB,又∠CBD=∠BDC,
∴∠CBP1=∠CDP1,
∵AC=BC=CD,
∴∠CDP1=∠CAD,即
延长AC至Q,
∵∠ACB=90°,∠BCD=60°,
∴∠DCQ=90°﹣60°=30°,又∠DCQ=∠CDP1+∠CAD=2∠CDP1,
∴∠CDP1=15°,即∠CBP1=15°,
∴当的值最小时,=15°,
故答案为:15°.
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【名师指路】
本题考查等边三角形的性质、线段垂直 ( http: / / www.21cnjy.com )平分线的性质、最短路径问题、等腰三角形的性质、三角形的外角性质,熟练掌握相关性质的联系与运用,会利用两点之间线段最短解决最值问题是解答的关键.
14.如图,∠AOB=30° ( http: / / www.21cnjy.com ),点M、N分别在边OA、OB上,且OM=2,ON=5,点P、Q分别在边OB、OA上则当MP+PQ+QN的最小值时,S△NOQ+S△QOP+S△MOP=___.
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【标准答案】5
【思路指引】
作M关于OB的对称点M′,作N关于OA的对称点N′,连接M′N′,即为MP+PQ+QN的最小值;证出△ONN′为等边三角形,△OMM′为等边三角形,得出∠N′OM′=90°,S△NOQ+S△QOP+S△MOP=计算即可.
【详解详析】
解:作M关于OB的对称点M′,作N关于OA的对称点N′,如图所示:
连接M′N′,交OA和OB于Q与M,即为MP+PQ+QN的最小值.
根据轴对称的定义可知:∠N′OQ=∠M′OB=∠AOB=30°,∠ONN′=∠OMM′=60°,
∴△ONN′为等边三角形,△OMM′为等边三角形,
∴∠N′OM′=90°,OM=M′O=2,ON=ON′=5
根据对称可得:
S△NOQ+S△QOP+S△MOP=
∴S△NOQ+S△QOP+S△MOP=5
故答案为:5.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题,根据轴对称的定义,找到相等的线段,得到等边三角形是解题的关键.
15.△ABC中,∠ACB=60°,AC=4,BC=13,以AB为边作等边△ABD,过D作DE⊥BC于E,则BE的长为____.2-1-c-n-j-y
【标准答案】2.5或8.5
【思路指引】
作辅助线,构建全等三角形,如图 ( http: / / www.21cnjy.com )1,证明△ABC≌△DAG,则∠HGC=∠C=60°,DG=AC=4,再证明△GHC是等边三角形,计算DH=13,BH=4;在Rt△DHE中,∠HDE=30°,
根据直角三角形30°角的性质求 ,从而得EC的长;延长AC至G,使AG=BC=13,连接GD,CD,设AD,BC交于F,根据等边三角形的性质得到AD=BD,∠ABD=∠C=60°,根据全等三角形的性质得到∠ADG=∠BDC,DG=CC,推出△CDG是等边三角形,根据直角三角形的性质即可得到答案.
【详解详析】
解:如图1,延长CA至G,使AG=BC=13,连接GD并延长,交CB的延长线于H,
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∵△ADB是等边三角形,
∴AD=AB,∠DAB=60°,
∴∠DAG+∠BAC=120°,
∵∠C=60°,
∴∠ABC+∠BAC=120°,
∴∠DAG=∠ABC,
在△ABC和△DAG中,
∵BC=AG,∠ABC=∠DAC,AB=AD
∴△ABC≌△DAG(SAS),
∴∠HGC=∠C=60°,DG=AC=4,
∴△GHC是等边三角形,
∴GH=GC=HC=13+4=17,∠DHC=60°,
∴DH=13,BH=4,
∵DE⊥BC,
∴∠DEH=90°,
在Rt△DHE中,∠HDE=30°,
∴ ,
∴BE=EH-BH=6.5-4=2.5;
如图2,延长AC至G,使AG=BC=13,连接GD,CD,设AD,BC交于F,
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∵△ADB是等边三角形,
∴AD=BD,∠ABD=∠C=60°,
∵∠AFC=∠BFD,
∴∠CAD=∠CBD,
在△ADG和△BDC中,
∵AD=BD,∠DAG=∠DBC,AG=BC,
∴△ADG≌△BDC(SAS),
∴∠ADG=∠BDC,DG=CC,
∴∠BDC-∠ADC=∠ADG-∠ADC,即∠ADB=∠CDG=60°,
∴△CDG是等边三角形,
∴∠DCG=60°,
∴∠BCD=60°,
∵DE⊥BC,
∴∠DEC=90°,
∴∠EDC=30°,
∵CD=CG=AG-AC=BC-AC=9
∴ ,
∴BE=BC-CE=8.5,
综上所述,BE的长为2.5或8.5.
故答案为:2.5或8.5
【名师指路】
本题考查了全等三角形的性质和判定、 ( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形30°角的性质、等边三角形的性质和判定,作辅助线构建两三角形全等是本题的关键,证明△GHC是等边三角形是突破口.www-2-1-cnjy-com
16.如图,在等边△ABC中,AB= ( http: / / www.21cnjy.com )2,D为△ABC内一点,且DA=DB,E为△ABC外一点,BE=AB,且∠EBD =∠CBD,连接DE、CE,则下列结论; ①∠DAC=∠DBC;②BE⊥AC;③∠DEB=30°;④若EC∥AD,则S△EBC=1,其中正确的有________.(只填序号)
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【标准答案】①③④
【思路指引】
连接DC,证△ACD≌△BCD得出①∠ ( http: / / www.21cnjy.com )DAC=∠DBC;再证△BED≌△BCD,得出∠BED=∠BCD=30°;其它两个条件运用假设成立推出答案即可.
【详解详析】
证明:连接DC,
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC,∠ACB=60°,
∵DB=DA,DC=DC,
在△ACD与△BCD中,

∴△ACD≌△BCD (SSS),
∴∠BCD=∠ACD=∠ACB=30°,∠DAC=∠DBC,
∵BE=AB,
∴BE=BC,
在△BED与△BCD中,

∴△BED≌△BCD (SAS),
∴∠BED=∠BCD=30°.
由此得出①③正确.
∵EC∥AD,
∴∠DAC=∠ECA,
∵∠DBE=∠DBC,∠DAC=∠DBC,
∴∠DAC=∠DBC=∠DBE=∠ACE,
∵BE=BA,
∴BE=BC,
∴∠BCE=∠BEC=60°+∠ACE,
在△BCE中三角和为180°,
∴2∠ACE+2(60°+∠ACE)=180°
∴∠ACE=15°,
∴∠CBE=30°,这时BE是AC才是边上的中垂线,结论②错误.
BE边上的高=BC=1,
∴S△EBC=1,结论④是正确的.
故答案为:①③④
【名师指路】
本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定,解题关键是熟练运用全等三角形的判定定理证明三角形全等.21·cn·jy·com
17.如图,△ABC是边长为 ( http: / / www.21cnjy.com )12的等边三角形,D是BC的中点,E是直线AD上的一个动点,连接EC,将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接DF.则在点E的运动过程中,当DF的长度最小时,CE的长度为______.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
取线段的中点,连接,根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出以及,由旋转的性质可得出,由此即可利用全等三角形的判定定理证出,进而即可得出,再根据点为的中点,求出和的长,由勾股定理可得出答案.
【详解详析】
取线段的中点,连接,如图所示.
( http: / / www.21cnjy.com / )
为等边三角形,且为的对称轴,
,,


在和中,



当时,最小,此时为的中点,
,,



故答案为.
【名师指路】
本题考查了勾股定理,旋转的性质,等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质,解题的关键是通过全等三角形的性质找出.
18.如图,在四边形ABCD中,AB=AC,DB平分∠ADC,∠BCD=150°.则∠ABD的度数为 ___°.
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【标准答案】30
【思路指引】
以为边作等边,连接,过点分别作,分别交的延长线于点,证明三点共线,进而证明可得,证明可得,进而可得,进而SSS证明,从而可得,即可求得的度数.
【详解详析】
如图,以为边作等边,连接,
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠ABE=60°
三点共线,
过点分别作,分别交的延长线于点,
( http: / / www.21cnjy.com / )
DB平分∠ADC,
又,
DB平分∠ADC,
又,
故答案为:30
【名师指路】
本题考查了三角形全等的性质与判定,角平分线的性质,等边三角形的性质,添加条直线是解题的关键.
三、解答题
19.(1)如图①,已知:在△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D,E.则线段DE、BD与CE之间的数量关系是    ;
(2)如图②,将(1)中的条件改为:在△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问:(1)中的结论是还否成立?如成立,请你给出证明:若不成立,请说明理由;
(3)拓展与应用:如图③,D,E ( http: / / www.21cnjy.com )是D,A,E三点所在直线m上的两动点(D,A,E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD,CE.若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状,并说明理由.
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【标准答案】(1)DE=BD+CE;(2)成立,证明见解析;(3)等边三角形,理由见解析
【思路指引】
(1)根据垂直的定义得到∠B ( http: / / www.21cnjy.com )DA=∠CEA=90°,根据等角的余角相等得到∠CAE=∠ABD,根据“AAS”证明△ADB≌△CEA,根据全等三角形的性质得到AE=BD,AD=CE,结合图形得到DE=BD+CE;
(2)根据∠BDA=∠AEC ( http: / / www.21cnjy.com )=∠BAC,得到∠BAD=∠ACE,由AAS定理证明△BAD≌△ACE,根据全等三角形的性质得到BD=AE,DA=CE,得出结论;
(3)根据等边三角形的性质得到∠BAC=12 ( http: / / www.21cnjy.com )0°,证明△BAD≌△ACE,得到BD=AE,证明△BDF≌△AEF,得到DF=EF,∠BFD=∠AFE,求出∠DFE=60°,根据等边三角形的判定定理得到答案.
【详解详析】
解:(1)如图①,∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,
∴∠BDA=∠CEA=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠CAE=∠ABD,
在△ADB和△CEA中,

∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE,
故答案为:DE=BD+CE;
(2)(1)中结论成立,
理由如下:如图②,∵∠BDA=∠BAC=α,
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,
∴∠DBA=∠CAE,
在△ADB和△CEA中,

∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE;
(3)△DEF是等边三角形,
理由如下:如图③,由(2)可知,△ADB≌△CEA,
∴BD=AE,∠DBA=∠CAE,
∵△ABF和△ACF均为等边三角形,
∴∠ABF=∠CAF=60°,BF=AF,
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,即∠DBF=∠EAF,
∵在△DBF和△EAF中,

∴△DBF≌△EAF(SAS)
∴DF=EF,∠BFD=∠AFE,
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,
∴△DEF为等边三角形.
【名师指路】
本题考查的是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质,掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.
20.定义:若a,b,c是△ABC的三边,且a2+b2=2c2,则称△ABC为“方倍三角形”.
(1)对于①等边三角形②直角三角形,下列说法一定正确的是   .
A.①一定是“方倍三角形”B.②一定是“方倍三角形”
C.①②都一定是“方倍三角形”D.①②都一定不是“方倍三角形”
(2)若Rt△ABC是“方倍三角形”,且斜边AB=,则该三角形的面积为   ;
(3)如图,△ABC中,∠ABC=120°,∠ACB=45°,P为AC边上一点,将△ABP沿直线BP进行折叠,点A落在点D处,连接CD,AD.若△ABD为“方倍三角形”,且AP=,求△PDC的面积.
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【标准答案】(1)A;(2);(3)-1
【思路指引】
(1)根据“方倍三角形”定义可得,等边三角形一定是“方倍三角形”,直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断;
(2)设Rt△ABC其余两条边为a, ( http: / / www.21cnjy.com )b,满足a2+b2=3,根据“方倍三角形”定义,还满足:a2+3=2b2,即可得a和b的值,进而可得直角三角形的面积;
(3)根据题意可得△ABP≌△DBP,根据“方倍三角形”定义可得△ABD为等边三角形,从而证明△APD为等腰直角三角形,可得AP=DP= ,延长BP交AD于点E,根据勾股定理求出BE的长,根据△PBC为等腰直角三角形,可得PC=PB= ,进而可以求△PDC的面积.
【详解详析】
解:(1)对于①等边三角形,三边相等,
设边长为a,
则a2+a2=2a2,
根据“方倍三角形”定义可知:
等边三角形一定是“方倍三角形”;
对于②直角三角形,三边满足关系式:
a2+b2=c2,
根据“方倍三角形”定义可知:
直角三角形不一定是“方倍三角形”;
故答案为:A;
(2)设Rt△ABC其余两条边为a,b,
则满足a2+b2=3,
根据“方倍三角形”定义,还满足:
a2+3=2b2,
联立解得 ,
则Rt△ABC的面积为:;
故答案为:;
(3)由题意可知:
△ABP≌△DBP,
∴BA=BD,∠ABP=∠DBP,
根据“方倍三角形”定义可知:
BA2+BD2=2AD2=2BA2,
∴AD=AB=BD,
∴△ABD为等边三角形,∠BAD=60°,
∴∠ABP=∠DBP=30°,
∴∠PBC=90°,
∵∠CPB=45°,
∴∠APB=180°﹣45°=135°,
∴∠DPC=90°,
∵∠ABC=120°,∠ACB=45°,
∴∠BAC=15°,
∴∠CAD=45°,
∴△APD为等腰直角三角形,
∴AP=DP= ,
∴AD=2,
延长BP交AD于点E,如图,
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠ABP=∠PBD,
∴BE⊥AD,PE=AD=AE=1,
∴BE=,
∴PB=BE﹣PE= ﹣1,
∵∠CPB=∠PCB=45°,
∴△PBC为等腰直角三角形,
∴PC=PB=,
∴S△PDC=PC PD=()×=﹣1.
【名师指路】
本题考查了翻折变换、等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质,解决本题的关键是掌握等边三角形的性质.
21.在等边△ABC中,D为边AC的中点,点N在边BC的延长线上,且∠MDN=120°.
(1)如图1,点M在边AB上,求证:DM=DN;
(2)如图2,点M在边AB的延长线上,试探究BM,BN与等边△ABC边长BC的数量关系;
(3)如图3,点M在边AB上,若AM+CN=BD,求∠ADM的度数.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】(1)见解析;(2)BN﹣BM=BC,理由见解析;(3)75°.
【思路指引】
(1)如图1,作DE//BC交 ( http: / / www.21cnjy.com )AB于E,根据△ABC是等边三角形得出B=AC=BC,∠A=∠B=∠ACB=60°,由DE//BC得出△ADE为等边三角形,进而可证△DCN≌△DEM(ASA),由全等的性质即可得出答案;
(2)如图2,作DE//BC交AB于E,由(1)同理可证△DEM≌△DCN,得出EM=CN,从而得出BM,BN与BC的数量关系;
(3)如图3,作DE//BC交AB ( http: / / www.21cnjy.com )于E,DH⊥AB于点H,由(1)知,EM=CN,由D为AC的中点以及DH⊥AB得出BD=2DH,由△ADE为等边三角形,DH⊥AB,得出AH=EH,由AM+CN=BD,可证△HDM为等腰直角三角形,故可求出答案.
【详解详析】
(1)如图1,作DE∥BC交AB于E,
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠A=∠B=∠ACB=60°,
∵D为AC的中点,
∴AD=DC=AC,
∵DE∥BC,
∴∠AED=∠B=∠ADE=∠ACB=60°,
∴△ADE为等边三角形,
∴AE=DE=AD,
∴DE=DC,
∵∠MDN=∠EDC=120°,
∴∠EDM=∠CDN,
在△DCN和△DEM中,

∴△DCN≌△DEM(ASA),
∴DN=DM;
(2)如图2,作DE∥BC交AB于E,
( http: / / www.21cnjy.com / )
由(1)同理可证△DEM≌△DCN,
∴EM=CN,
∴BN﹣BM=BC+CN﹣EM+BE=BC+BE=BC;
(3)如图3,作DE∥BC交AB于E,DH⊥AB于点H,
( http: / / www.21cnjy.com / )
由(1)知,EM=CN,
∵D为AC的中点,
∴∠ABD=30°,
∵DH⊥AB,
∴BD=2DH,
∵△ADE为等边三角形,DH⊥AB,
∴AH=EH,
∵AM+CN=BD,
∴AH+EH+EM+EM=2DH,
即EH+EM=DH,
∴MH=DH,
即△HDM为等腰直角三角形,
∴∠AMD=45°,
∴∠ADM=180°﹣∠A﹣∠AMD=180°﹣60°﹣45°=75°.
【名师指路】
本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及等边三角形的性质,掌握做辅助线构造全等三角形是解题的关键.21世纪教育网版权所有
22.如图1,点M为锐角三角形内任意一点,连接.以为一边向外作等边三角形,将绕点B逆时针旋转得到,连接.
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证:;
(2)若的值最小,则称点M为的费马点.若点M为的费马点,求此时的度数;
(3)受以上启发,你能想出作锐角三角形的费马点的一个方法吗?请利用图2画出草图,并说明作法以及理由.
【标准答案】(1)见解析;(2):;;(3)见解析
【思路指引】
(1)结合等边三角形的性质,根据SAS可证△AMB≌△ENB
(2)连接MN,由(1)的结论证 ( http: / / www.21cnjy.com )明ΔBMN为等边三角形,所以BM=MN,即AM+BM+CM=EN+MN+CM,所以当E、N、M、C四点共线时,AM+BM+CM的值最小,从而可求此时∠AMB、∠BMC、ΔCMA的度数;
(3)根据(2)中费马点的定义,又△ABC的费马点在线段EC上,同理也在线段BF上,因此线段EC和BF的交点即为△ABC的费马点.
【详解详析】
解:(1)证明:∵为等边三角形,
∴.
而,
∴.
在与中,
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴.
(2)连接.由(1)知,.
∵,
∴为等边三角形.
∴.
∴.
∴当E、N、M、C四点共线时,的值最小.
此时,:;.
(3)如图2,分别以的,为一边向外作等边和等边,连接,相交于M,则点M即为的费马点,由(2)知,的费马点在线段上,同理也在线段上.因此线段与的交点即为的费马点.
(方法不唯一,正确即可)
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【名师指路】
本题考查了等边三角形的性质,三角形全等的判定与性质,掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键.
23.【阅读理解】截长补短法,是 ( http: / / www.21cnjy.com )初中数学几何题中一种辅助线的添加方法.截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等,补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等,从而解决问题.
(1)如图①,△是等边三角形,点是边下方一点,连结,且,探索线段之间的数量关系.
解题思路:延长到点,使,连接,根据,则,因为可证,易证得△≌△,得出△是等边三角形,所以,从而探寻线段之间的数量关系.根据上述解题思路,请直接写出之间的数量关系是 ;
【拓展延伸】
(2)如图②,在Rt△中,,.若点是边下方一点,,探索线段之间的数量关系,并说明理由;
【知识应用】
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(3)如图③,两块斜边长都为2cm的三角板,把斜边重叠摆放在一起,已知所对直角边等于斜边一半,则的长为_____________cm.(结果无需化简)
【标准答案】(1);(2)猜想: 证明见解析;(3).
【思路指引】
(1)由等边三角形知AB=AC,∠B ( http: / / www.21cnjy.com )AC=60°,结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°,由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE,证△ABD≌△ACE得AD=AE,∠BAD=∠CAE,再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB.
(2)延长DC到点E,使CE ( http: / / www.21cnjy.com )=BD,连接AE,先证△ABD≌△ACE得AD=AE,∠BAD=∠CAE,据此可得∠DAE=∠BAC=90°,由勾股定理知DA2+AE2=DE2,继而可得2DA2=(DB+DC)2;
(3)由直角三角形的性质知QN=MN=1,MQ=,利用(2)中的结论知PQ=QN+QM=1+,据此可得答案.
【详解详析】
解:(1)DA=DC+DB,理由:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∵∠BDC=120°,
∴∠ABD+∠ACD=180°,
又∵∠ACE+∠ACD=180°,
∴∠ABD=∠ACE,
在△ABD和△ACE中,

∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴AD=AE,∠BAD=∠CAE,
∵∠ABC=60°,即∠BAD+∠DAC=60°,
∴∠DAC+∠CAE=60°,即∠DAE=60°,
∴△ADE是等边三角形,
∴DA=DE=DC+CE=DC+DB,即DA=DC+DB,
故答案为:DA=DC+DB;
(2)DA=DB+DC如图2,延长DC到点E,使CE=BD,连接AE,
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠BAC=90°,∠BDC=90°∴∠ABD+∠ACD=180°,
∵∠ACE+∠ACD=180°,
∴∠ABD=∠ACE,
∵AB=AC,CE=BD,
在△ABD和△ACE中,

∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴AD=AE,∠BAD=∠CAE,
∴∠DAE=∠BAC=90°,
∴DA2+AE2=DE2,
∴2DA2=(DB+DC)2,
∴DA=DB+DC;
(3)如图3,连接PQ,
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∵MN=2,∠QMN=30°,
∴QN=MN=1,
∴MQ=,
由(2)知PQ=QN+QM=1+,
∴PQ=,
故答案为:.
【名师指路】
此题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质,掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.2·1·c·n·j·y
24.如图,在△ABC中,AB=AC,D为 ( http: / / www.21cnjy.com )直线BC上一动点(不与点B,C重合),在AD的右侧作△ADE,使得AE=AD,∠DAE=∠BAC,连接CE.
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)当D在线段BC上时,
①求证:△BAD≌△CAE;
②若AC⊥DE,求证:BD=DC;
(2)当CE∥AB时,若△ABD中最小角为20°,试探究∠ADB的度数(直接写出结果)
【标准答案】(1)①见解析;②见解析;(2)100°或40°或20°
【思路指引】
(1)①根据SAS即可证明;
②利用等腰三角形的三线合一得到∠DAC=∠EAC,再根据全等三角形的性质得到∠BAD=∠EAC,利用等腰三角形的性质得到BD=DC;
(2)分D在线段BC上、当点D在CB的延长线上、点D在BC的延长线上三种情形根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可.
【详解详析】
解:(1)①∵∠DAE=∠BAC,
∴∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,

∴△BAD≌△CAE;
②如图,
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AE=AD,AC⊥DE,
∴∠DAC=∠EAC,
∵△BAD≌△CAE,
∴∠BAD=∠EAC,
∴∠DAC=∠BAD,
∵AB=AC,
∴BD=DC;
(2)如图,当D在线段BC上时,
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵CE∥AB,
∴∠ACE=∠BAC,
∵△BAD≌△CAE,
∴∠ABD=∠ACE,
∴∠ABD=∠BAC,又∠ABC=∠ACB,
∴△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=60°,
∴∠ADB=180°-60°-20°=100°;
如图,当点D在CB的延长线上时,
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同理可得,∠ABC=60°,
∴∠ADB=40°,
当△ABD中的最小角是∠ADB时,∠ADB=20°,
当点D在BC的延长线上时,只能∠ADB=20°,
∴∠ADB的度数为100°或40°或20°.
【名师指路】
本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定和性质、等边三角形的判定和性质,解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题,学会用分类讨论的首先思考问题.【出处:21教育名师】
25.图形的翻折就是将一个图形沿着一条轴折叠的运动。
翻折有如下性质:
(1)、把图形变为与之全等的图形;
(2)、关于所沿轴对称的两点连线被该轴垂直平分
【课堂提问】何老师在课堂中提出这样的问题:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,那么BC和AB有怎样的数量关系?
【互动生成】经小组合作交流后,各小组派代表发言.
(1)小华代表第3小组发言:AB=2BC.请你补全小华的证明过程.
证明:把△ABC沿着AC翻折,得到△ADC.
∴∠ACD=∠ACB=90°,
∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°,即:点B、C、D共线.
(请在下面补全小华的证明过程)
(2)受到第3小组“翻折”的启发,小明 ( http: / / www.21cnjy.com )代表第2小组发言:如图2,在△ABC中,如果把条件“∠ACB=90°”改为“∠ACB=135°”,保持“∠BAC=30°”不变,若BC=2,求AB的长.
【能力迁移】我们发现,翻折可以探索图形性质,请利用翻折解决下面问题.如图3,点D是△ABC内一点,AD=AC=,BD=8,∠BAD=∠CAD=30°,∠ADB=135°,求BC的值
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【标准答案】(1)见解析;(2)AB=;能力迁移:
【思路指引】
(1)根据翻折的性质和等边三角形的判定:是等边三角形,可得结论;
(2)如图2,同理把沿着翻折,得到,证明是等边三角形,根据勾股定理得:的长,可得的长;
能力迁移:把将沿着AC翻折,得到,连接,得出为等边三角形,过点作交于点,根据勾股定理计算即可.
【详解详析】
解:(1)AB=2BC,补全小华的证明过程.
证明:把△ABC沿着AC翻折,得到△ADC.
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∴∠ACD=∠ACB=90°,
∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°,
即:点B、C、D共线,
由翻折得:AD=AB,∠CAD=∠CAB=30°,BC=CD,
∴∠BAD=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴AB=BD=2BC;
(2)如图2,把△ABC沿着AC翻折,得到△ADC.
( http: / / www.21cnjy.com / )
由翻折得:AD=AB,∠CAD=∠CAB=30°,BC=CD=1,
∴∠BAD=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴AB=BD,
∵∠ACB=∠ACD=135°,
∴∠BCD=90°,
∴BD===,
∴AB=BD=;
能力迁移:
把将沿着AC翻折,得到,连接,
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∵∠BAD=∠CAD=30°,
∴共线,
由翻折得:,,,
∴为等边三角形,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
过点作交于点,
∴,
∴,
∵AD=AC=,
∴,
∴.
【名师指路】
本题考查了折叠的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理等知识点,熟练掌握折叠的性质,将原图形进行折叠构造出等边三角形是解本题的关键.【版权所有:21教育】
26.如图,在等边△ABC中,AB=A ( http: / / www.21cnjy.com )C=BC=6cm,现有两点M、N分别从点A、B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为1cm/s,点N的速度为2cm/s.当点N第一次回到点B时,点M、N同时停止运动,设运动时间为ts.21*cnjy*com
(1)当t为何值时,M、N两点重合;
(2)当点M、N分别在AC、BA边上运动,△AMN的形状会不断发生变化.
①当t为何值时,△AMN是等边三角形;
②当t为何值时,△AMN是直角三角形;
(3)若点M、N都在BC边上运动,当存在以MN为底边的等腰△AMN时,求t的值.
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【标准答案】(1)当M、N运动6秒时,点N追上点M;(2)①,△AMN是等边三角形;②当或时,△AMN是直角三角形;(3)
【详解详析】
(1)首先设点M、N运动x秒后,M、N两点重合,表示出M,N的运动路程,N的运动路程比M的运动路程多6cm,列出方程求解即可;
(2)①根据题意设点M、N运 ( http: / / www.21cnjy.com )动t秒后,可得到等边三角形△AMN,然后表示出AM,AN的长,由于∠A等于60°,所以只要AM=AN三角形ANM就是等边三角形;
②分别就∠AMN=90°和∠ANM=90°列方程求解可得;
(3)首先假设△AMN是等腰 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形,可证出△ACM≌△ABN,可得CM=BN,设出运动时间,表示出CM,NB,NM的长,列出方程,可解出未知数的值.
【解答】
解:(1)设点M、N运动x秒后,M、N两点重合,
x×1+6=2x,
解得:x=6,
即当M、N运动6秒时,点N追上点M;
(2)①设点M、N运动t秒后,可得到等边三角形△AMN,如图1,
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AM=t,AN=6﹣2t,
∵AB=AC=BC=6cm,
∴∠A=60°,当AM=AN时,△AMN是等边三角形,
∴t=6﹣2t,
解得t=2,
∴点M、N运动2秒后,可得到等边三角形△AMN.
②当点N在AB上运动时,如图2,
( http: / / www.21cnjy.com / )
若∠AMN=90°,
∵BN=2t,AM=t,
∴AN=6﹣2t,
∵∠A=60°,
∴2AM=AN,即2t=6﹣2t,
解得;
如图3,若∠ANM=90°,
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由2AN=AM得2(6﹣2t)=t,
解得.
综上所述,当t为或时,△AMN是直角三角形;
(3)当点M、N在BC边上运动时,可以得到以MN为底边的等腰三角形,
由(1)知6秒时M、N两点重合,恰好在C处,
如图4,假设△AMN是等腰三角形,
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∴AN=AM,
∴∠AMN=∠ANM,
∴∠AMC=∠ANB,
∵AB=BC=AC,
∴△ACB是等边三角形,
∴∠C=∠B,
在△ACM和△ABN中,
∵∠AMC=∠ANB,∠C=∠B,AC=AB,
∴△ACM≌△ABN(AAS),
∴CM=BN,
∴t﹣6=18﹣2t,
解得t=8,符合题意.
所以假设成立,当M、N运动8秒时,能得到以MN为底的等腰三角形.
【名师指路】
本题是三角形综合题,主要考查 ( http: / / www.21cnjy.com )了等边三角形的判定与性质,含30°角的直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质,将动点问题转化为线段的长是解题的关键.21教育名师原创作品
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编者学科君小注:
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发,供中等及以上学生使用。
思路设计:重在培优训练,分选择、填空、解答 ( http: / / www.21cnjy.com )三种类型题,知识难度层层递进,由中等到压轴,基础差的学生选做每种类型题的前4题;基础中等的学生必做前4题、选做5-8题;尖子生全部题型必做,冲刺压轴题。21教育网
专题03 几何思想之等边三角形压轴题专练(解析版)
错误率:___________易错题号:___________
一、单选题
1.若点D为等边内一点,且,,,则此等边三角形ABC的面积为( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. B. C. D.
2.如图,已知,,,,和交于点,则下列结论::①;②;③平分;④.其中正确的有( )www.21-cn-jy.com
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A.①② B.①②③ C.①②③④ D.①②④
3.如图,点,,在一条直线上,,均为等边三角形,连接和,分别交、于点、,交于点,连接,.下列结论:①;②;③为等边三角形;④平分.其中结论正确的有( )2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图,正和正中,B、C、D共线,且,连接和相交于点F,以下结论中正确的有( )个www-2-1-cnjy-com
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① ②连接,则平分 ③ ④
A.4 B.3 C.2 D.1
5.如图,在△ABC中,∠BAC=45°,CD⊥AB于点D,AE⊥BC于点E,AE与CD交于点F,连接BF,DE,下列结论中:①AF=BC;②∠DEB=45°,③AE=CE+2BD,④若∠CAE=30°,则,正确的有( )2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④
6.如图,在△ABC中,点M,N分别是AC,BC上一点,AM=BN,∠C=60°,若AB=9,BM=7,则MN的长度可以是(  )【出处:21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.2 B.7 C.16 D.17
7.如图,在中,,,,D为AB上一动点(不与点A重合),为等边三角形,过D点作DE的垂线,F为垂线上任意一点,G为EF的中点,则线段BG长的最小值是( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. B.6 C. D.9
8.如图,中,,点D在内部,且使得.则的度数为( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. B. C. D.不能确定
二、填空题
9.如图,在等腰△ABC中,AB=AC, ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAC=120°,点D是线段BC上一点,∠ADC=90°,点P是BA延长线上一点,点O是线段AD上一点,OP=OC,下面的结论:①∠APO=∠ACO;②∠APO+∠DCO=30°;③AC=AO+AP;④PO=PC,其中正确的有______.
( http: / / www.21cnjy.com / )
10.如图,为等边三角形,点为外的一点,,,,则的面积为______.
( http: / / www.21cnjy.com / )
11.如图,在中,且的面积为,以、为边分别往的形外作等边、,分别过点、作、,连接、交于点,则线段的最小值为______________.21·cn·jy·com
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12.如图,AD,BE在AB的同侧,AD=3,BE=3,AB=6,点C为AB的中点,若∠DCE=120°,则DE的最大值是_______.
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13.如图,在中,,,以BC为边在BC的右侧作等边,点E为BD的中点,点P为CE上一动点,连结AP,BP.当的值最小时,的度数为__________.
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14.如图,∠AOB=30°,点 ( http: / / www.21cnjy.com )M、N分别在边OA、OB上,且OM=2,ON=5,点P、Q分别在边OB、OA上则当MP+PQ+QN的最小值时,S△NOQ+S△QOP+S△MOP=___.21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
15.△ABC中,∠ACB=60°,AC=4,BC=13,以AB为边作等边△ABD,过D作DE⊥BC于E,则BE的长为____.【来源:21·世纪·教育·网】
16.如图,在等边△ABC中,AB=2,D ( http: / / www.21cnjy.com )为△ABC内一点,且DA=DB,E为△ABC外一点,BE=AB,且∠EBD =∠CBD,连接DE、CE,则下列结论; ①∠DAC=∠DBC;②BE⊥AC;③∠DEB=30°;④若EC∥AD,则S△EBC=1,其中正确的有________.(只填序号)
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17.如图,△ABC是边长为12的等 ( http: / / www.21cnjy.com )边三角形,D是BC的中点,E是直线AD上的一个动点,连接EC,将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接DF.则在点E的运动过程中,当DF的长度最小时,CE的长度为______.
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18.如图,在四边形ABCD中,AB=AC,DB平分∠ADC,∠BCD=150°.则∠ABD的度数为 ___°.
( http: / / www.21cnjy.com / )
三、解答题
19.(1)如图①,已知 ( http: / / www.21cnjy.com ):在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D,E.则线段DE、BD与CE之间的数量关系是    ;
(2)如图②,将(1)中的条件改为:在 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问:(1)中的结论是还否成立?如成立,请你给出证明:若不成立,请说明理由;
(3)拓展与应用:如图③,D,E ( http: / / www.21cnjy.com )是D,A,E三点所在直线m上的两动点(D,A,E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD,CE.若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状,并说明理由.
( http: / / www.21cnjy.com / )
20.定义:若a,b,c是△ABC的三边,且a2+b2=2c2,则称△ABC为“方倍三角形”.
(1)对于①等边三角形②直角三角形,下列说法一定正确的是   .
A.①一定是“方倍三角形”B.②一定是“方倍三角形”
C.①②都一定是“方倍三角形”D.①②都一定不是“方倍三角形”
(2)若Rt△ABC是“方倍三角形”,且斜边AB=,则该三角形的面积为   ;
(3)如图,△ABC中,∠ABC=120°,∠ACB=45°,P为AC边上一点,将△ABP沿直线BP进行折叠,点A落在点D处,连接CD,AD.若△ABD为“方倍三角形”,且AP=,求△PDC的面积.
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21.在等边△ABC中,D为边AC的中点,点N在边BC的延长线上,且∠MDN=120°.
(1)如图1,点M在边AB上,求证:DM=DN;
(2)如图2,点M在边AB的延长线上,试探究BM,BN与等边△ABC边长BC的数量关系;
(3)如图3,点M在边AB上,若AM+CN=BD,求∠ADM的度数.
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22.如图1,点M为锐角三角形内任意一点,连接.以为一边向外作等边三角形,将绕点B逆时针旋转得到,连接.21·世纪*教育网
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(1)求证:;
(2)若的值最小,则称点M为的费马点.若点M为的费马点,求此时的度数;
(3)受以上启发,你能想出作锐角三角形的费马点的一个方法吗?请利用图2画出草图,并说明作法以及理由.21*cnjy*com
23.【阅读理解】截长补短 ( http: / / www.21cnjy.com )法,是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法.截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等,补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等,从而解决问题.
(1)如图①,△是等边三角形,点是边下方一点,连结,且,探索线段之间的数量关系.
解题思路:延长到点,使,连接,根据,则,因为可证,易证得△≌△,得出△是等边三角形,所以,从而探寻线段之间的数量关系.根据上述解题思路,请直接写出之间的数量关系是 ;【来源:21cnj*y.co*m】
【拓展延伸】
(2)如图②,在Rt△中,,.若点是边下方一点,,探索线段之间的数量关系,并说明理由;【版权所有:21教育】
【知识应用】
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(3)如图③,两块斜边长都为2cm的三角板,把斜边重叠摆放在一起,已知所对直角边等于斜边一半,则的长为_____________cm.(结果无需化简)21*cnjy*com
24.如图,在△ABC中,AB=AC,D为直 ( http: / / www.21cnjy.com )线BC上一动点(不与点B,C重合),在AD的右侧作△ADE,使得AE=AD,∠DAE=∠BAC,连接CE.
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(1)当D在线段BC上时,
①求证:△BAD≌△CAE;
②若AC⊥DE,求证:BD=DC;
(2)当CE∥AB时,若△ABD中最小角为20°,试探究∠ADB的度数(直接写出结果)
25.图形的翻折就是将一个图形沿着一条轴折叠的运动。
翻折有如下性质:
(1)、把图形变为与之全等的图形;
(2)、关于所沿轴对称的两点连线被该轴垂直平分
【课堂提问】何老师在课堂中提出这样的问题:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,那么BC和AB有怎样的数量关系?
【互动生成】经小组合作交流后,各小组派代表发言.
(1)小华代表第3小组发言:AB=2BC.请你补全小华的证明过程.
证明:把△ABC沿着AC翻折,得到△ADC.
∴∠ACD=∠ACB=90°,
∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°,即:点B、C、D共线.
(请在下面补全小华的证明过程)
(2)受到第3小组“翻折”的启发,小明代 ( http: / / www.21cnjy.com )表第2小组发言:如图2,在△ABC中,如果把条件“∠ACB=90°”改为“∠ACB=135°”,保持“∠BAC=30°”不变,若BC=2,求AB的长.21世纪教育网版权所有
【能力迁移】我们发现,翻折可以探索图形性质,请利用翻折解决下面问题.如图3,点D是△ABC内一点,AD=AC=,BD=8,∠BAD=∠CAD=30°,∠ADB=135°,求BC的值
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26.如图,在等边△ABC中,AB=AC=B ( http: / / www.21cnjy.com )C=6cm,现有两点M、N分别从点A、B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为1cm/s,点N的速度为2cm/s.当点N第一次回到点B时,点M、N同时停止运动,设运动时间为ts.21教育名师原创作品
(1)当t为何值时,M、N两点重合;
(2)当点M、N分别在AC、BA边上运动,△AMN的形状会不断发生变化.
①当t为何值时,△AMN是等边三角形;
②当t为何值时,△AMN是直角三角形;
(3)若点M、N都在BC边上运动,当存在以MN为底边的等腰△AMN时,求t的值.
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