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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择 ( http: / / www.21cnjy.com )、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题03 运算能力之实数的运算易错点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．下列式子一定成立的是（ ）
A．2a+3a=6a B．x8÷x2=x4
C． D．（﹣a﹣2）3=﹣
【标准答案】D
【思路指引】
根据合并同类项、同底数幂的除法法则、分数指数运算法则、幂的乘方法则进行计算即可.
【详解详析】
解：A：2a+3a=(2+3)a=5a，故A错误；
B：x8÷x2=x8-2=x6，故B错误；
C：=，故C错误；
D：(-a-2)3=-a-6=-，故D正确.
故选D.
【名师指路】
本题考查了合并同类项、同底数幂的除法法则、分数指数运算法则、幂的乘方法则.其中指数为分数的情况在初中阶段很少出现.【出处：21教育名师】
2．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是( )
A．1+ B．2+ C．2﹣1 D．2+1
【标准答案】D
【详解详析】
设点C所对应的实数是x．根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则有
，解得.
故选D.
3．随着数学学习的深入，数系不断扩充，引入新数，规定，并且新数满足交换律、结合律和分配律，则运算结果是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据多项式乘多项式的运算法则计算，把i2=-1代入即可.
【详解详析】
(1+i)(2-i)
=2-i+2i-i2
=2+i-(-1)
=3+i
故选D.
【名师指路】
本题考查整式的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键.
4．如图，数轴上与1、两个实数对应的点分别为A、B，点C与点B关于点A对称，则点C表示的数是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．2 B．1
C．1 D．22
【标准答案】A
【思路指引】
由于与1、两个实数对应的点分别为A、B，所以得到AB=-1，而点C与点B关于点A对称（即AB=AC），由此得到AC=-1，又A对应的数为1，由此即可求出点C表示的数．
【详解详析】
∵数轴上与1、两个实数对应的点分别为A. B，
∴AB= 1，
而点C与点B关于点A对称(即AB=AC)，
∴AC= 1，
而A对应的数为1，
∴点C表示的数是1 ( 1)=2 .
故选A.
【名师指路】
此题考查实数与数轴，解题关键在于得到AB=-1.
5．如图，数轴上，，三点所表示的数分别为，，，其中．如果，那么该数轴的原点的位置应该在（ ）．
A．点的左边 B．点与点之间
C．点与点之间（靠近点B） D．点与点之间（靠近点）
【标准答案】C
【思路指引】
根据绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，分别判断出点A、B、C到原点的距离的大小，从而得到原点的位置，即可得解．2-1-c-n-j-y
【详解详析】
∵，
∴点A到原点的距离最大，点C其次，点B最小，
又∵AB=BC，
∴原点O的位置是在点B、C之间且靠近点B的地方．
故选：C．
【名师指路】
本题考查了实数与数轴，理解绝对值的定义是解题的关键．
6．如图，若，则表示的值的点落在（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【标准答案】C
【思路指引】
首先对原式进行化简，然后代入x的值，最后根据即可判断．
【详解详析】
原式=
=
=
当时，原式=
∵
∴
故选C．
【名师指路】
本题考查了分式的乘除法化简，无理数的估算，无理数的估算是难点，关键是要熟记一些常用的完全平方数，和一些常用无理数的近似值．
7．若，则，，的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
可以用取特殊值的方法，因为a＞1，所以可设a=2，然后分别计算|a|，-a，，再比较即可求得它们的关系．
【详解详析】
解：设a=2，
则|a|=2，-a=-2，，
∵2＞＞-2，
∴|a|＞＞-a；
故选：C．
【名师指路】
此类问题运用取特殊值的方法做比较简单．
8．对任意两个正实数，，定义新运算★为：若，则★；若，则★．则下列说法中正确的有（ ）
①；②；③★
A．① B．② C．①② D．①②③
【标准答案】A
【思路指引】
①根据新运算的运算方法，分类讨论：，，判断出是否等于即可；
②由①，推得，所以不一定成立；
③应用放缩法，判断出与的关系即可．
【详解详析】
解：①时，
，
，
；
时，
，
，
；
①符合题意．
②由①，可得：，
当时，
，
不一定等于，
当时，
，
不一定等于，
不一定成立，
②不符合题意．
③当时，，，
，
，
当时，
，
不成立，
③不符合题意，
说法中正确的有1个：①．
故选：A．
【点评】
此题主要考查了定义新运算，以及实数 ( http: / / www.21cnjy.com )的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
9．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]=4，[]=1，[﹣2.5]=﹣3．现对82进行如下操作：，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】C
【思路指引】
按照题目给出的信息进行操作计算即可．
【详解详析】
解：，
∴对121只需进行3次操作后变为1，
故选：C．
【名师指路】
本题考查了算术平方根的运算和无理数的估算，解决本题的关键是明确[x]表示不大于x的最大整数．
10．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为时，输入值x为3或9；
②当输入值x为16时，输出值y为；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．
其中错误的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
【标准答案】D
【思路指引】
根据运算规则即可求解．
【详解详析】
解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①说法错误；
②输入值x为16时，，故②说法正确；
③对于任意的正无理数y，都存在 ( http: / / www.21cnjy.com )正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误；
④当x=1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．
其中错误的是①③．
故选：D．21*cnjy*com
【名师指路】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．【版权所有：21教育】
二、填空题
11．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）已知，是有理数，且，则______．
【标准答案】
【思路指引】
将等式的左边展开，根据，是有理数求得a、b值，即可求解．
【详解详析】
解：∵，且，是有理数，
∴a=﹣1，b=1，
∴ab=（﹣1）×1=﹣1，
故答案为：﹣1．
【名师指路】
本题考查实数的运算、代数式的求值，掌握实数的运算法则是解答的关键．
12．（2021·上海·七年级期中）若（为连续整数），那么的值为__________．
【标准答案】9
【思路指引】
先对进行估值，再进行和的计算即可
【详解详析】
解：∵由题意可知
∴
∴=9
故答案为：9
【名师指路】
本题考查无理数的估值，正确确定无理数的范围是解题的关键
13．（2021·上海市南洋模范中学八年级月考）观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2，，，……那么第10个数据应是______．21教育网
【标准答案】
【详解详析】
试题解析：通过数据找规律可知,第n个数为那么第10个数据为：
故答案为
14．在平面直角坐标系中，如果对任意一点（a，b），规定两种变换：
，，那么 _________．
【标准答案】（2，1）．
【详解详析】
∵，，
∴== （2，1）．
故答案为（2，1）．
15．a是不为1的数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数为；-1的差倒数为；已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…以此类推，则__________．
【标准答案】3
【思路指引】
根据题意先分别求出a2，a3，a4的值，进而得出变化规律，即可得出答案．
【详解详析】
解：∵a1＝3，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，
∴a2＝ ＝－，
∴a3＝＝，
∴a4＝＝3，
…
∵2020÷3＝673…1，
∴第2020个数与第1个数相等，
∴a2020＝3．
故答案为：3．
【名师指路】
此题主要考查了实数的运算以及差倒数的定义，正确得出数字变化规律是解题关键．
16．计算：_____．
【标准答案】0
【详解详析】
【思路指引】原式利用负整数指数幂法则，立方根定义计算即可求出值．
【解答】解：原式，
故答案为：0
【点评】此题考查了实数的运算，以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．计算：__．
【标准答案】6．
【思路指引】
分别计算绝对值和0次幂，再计算和即可．
【详解详析】
解：原式＝5+1
＝6．
故答案为：6．
【名师指路】
此题主要考查了实数运算，解题的关键是熟练掌握绝对值及零次幂的性质．
18．（2021·上海市文来中学七年级期中）若，则______．
【标准答案】
【思路指引】
先利用完全平方公式求的值，再求它的算术平方根即可．
【详解详析】
解：∵
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了完全平方公式和二次根式运算，解题关键是树立转化思想，先求这个是式子的平方，再求它的算术平方根．21世纪教育网版权所有
19．（2021·上海市建平中学西校八年级月考）已知b是正实数，a是b的小数部分，且a2+b2＝18，则a+b＝___．2·1·c·n·j·y
【标准答案】
【思路指引】
根据已知条件确定的取值范围，进而表示出，根据完全平方公式变形可得的值
【详解详析】
已知b是正实数，a是b的小数部分，且，
，
即
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了无理数大小的估计，求得的范围，进而表示出是解题的关键．
20．（2021·上海市西南模范中学七年级期中）设的小数部分为，则____________．
【标准答案】4
【思路指引】
先通过估算出的整数部分，再用减去它的整数部分表示出小数部分a，最后将a代入所求的式子中，运用平方差公式计算出结果．21*cnjy*com
【详解详析】
的整数部分为1，
的小数部分为，
故答案为：4．
【名师指路】
本题考查了估算无理数的大小和平方差公式，属于基础题，先求出的整数部分是解题关键．
三、解答题
21．（2020·上海市静安区实验中学九年级期中）计算：.
【标准答案】4.
试题分析：直接利用分数指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简即可．
试题解析：解：原式===4．
22．（2020·上海·月考）计算：（﹣1）2019﹣|1﹣|+．
【标准答案】1．
【思路指引】
直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．
【详解详析】
原式＝
＝1．
【名师指路】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
23．（2020·上海第二工业大学附属龚路中学七年级期中）通过计算我们知道：
（a-1）（a+1）=a2-1
（a-1）（a2+a+1）=a3-1
（a-1）（a3+a2+a+1）=a4-1
（1）请根据以上计算规律填空：（a-1）（an+an-1+…+a3+a2+a+1）=______
（2）根据上述规律，请你求出32018+32017+…+33+32+3+1的个位上的数字．
【标准答案】（1）an+1-1；（2）（32019-1）
【思路指引】
（1）通过计算先找到规律，根据规律得结论；
（2）先把32018+32017+…+33+32+3+1乘以（3-1）变形为（1）中规律的形式，计算出结果．再找到3n的个位数字变化规律，得结论．21教育名师原创作品
【详解详析】
解：（1）由以上计算规律可知：
（a-1）（an+an-1+…+a3+a2+a+1）=an+1-1，
故答案为an+1-1；
（2）32018+32017+…+33+32+3+1
=（3-1）（32018+32017+…+33+32+3+1）
=（32019-1）
因为31=3，32=9，33=27，34=81，
35的个位数字为3，36的个位数字为9，37的个位数字为7，38的个位数字为1…
所以32019的个位数字是7，
所以原式的个位数字是3.
【名师指路】
本题考查了多项式乘以多项式，特殊数的个位数字特点．题目难度较大．解决本题的关键是把（2）变形为（1）的规律通项．
24．（2020·上海闵行·七年级期末）阅读下述材料，尝试解决问题
数学是一门充满思维乐趣的学科，现有一个的数阵，数阵中每个位置对应的数都是1，2或3. 定义为数阵中第行、第列的数. 例如，数阵第3行、第2列所对应的数是3，所以.
（1）对于数阵，的值为_________；若，则的值为_________.
（2）若一个的数阵对任意的均满足以下条件：
条件一：；
条件二：；则称这个数阵是“有趣的”.
已知一个“有趣的”数阵满足，试计算的值.
【标准答案】（1）2；1，2，3；（2）1.
【思路指引】
（1）根据定义a*b为数阵中第a行第b列的数即可求解；
（2）根据a*a＝a；（a*b）*c＝a*c，将2*1变形得到2*1＝（1*2）*1即可求解；
【详解详析】
（1）对于数阵A，2*3的值为2；若2*3＝2*x，则x的值为1，2，3；
（2）∵1*2＝2，
∴2*1＝（1*2）*1，
∵（a*b）*c＝a*c，
∴（1*2）*1＝1*1，
∵a*a＝a，
∴1*1＝1，
∴2*1＝1．
【名师指路】
考查了规律型：数字的变化类，探 ( http: / / www.21cnjy.com )究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
25．我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：（m，n是正整数，且），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称是x的最佳分解．并规定：．
例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以．
（1）填空：；；
（2）一个两位正整数t（，，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求的最大值；
（3）填空：
①；
②；
③；
④．
【标准答案】（1）；1；（2）t为39，28，17；的最大值；（3）
【思路指引】
（1）6＝1×6＝2×3，由已知可求＝；9=1×9=3×3，由已知可求=1；
（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b＋a 10a b＝9（b a）＝54，得到b a＝6，可求t的值，故可得到的最大值；
（3）根据的定义即可依次求解．
【详解详析】
（1）6＝1×6＝2×3，
∵6 1＞3 2，
∴＝；
9=1×9=3×3，
∵9 1＞3 3，
∴=1，
故答案为：；1；
（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：
10b＋a 10a b＝9（b a）＝54，
∴b a＝6，
∵1≤a≤b≤9，
∴b＝9，a＝3或b＝8，a＝2或b＝7，a＝1，
∴t为39，28，17；
∵39＝1×39＝3×13，
∴＝；
28＝1×28＝2×14＝4×7，
∴＝；
17＝1×17，
∴；
∴的最大值．
（3）①∵=20×21
∴；
②=28×30
∴；
③∵=40×42
∴；
④∵=56×60
∴，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
26．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）对于实数，我们规定用表示不小于的最小整数，称为的根整数，如．
（1）计算：______．
（2）现对进行连续求根整数，直到结果是2为止，例如对12进行连续求根整数，第一次，再进行第二次求根整数，表示对12连续求根整数2次可得结果为2，请问对100进行连续求根整数，______次后结果为2．
（3）若，写出满足题意的的整数值：______．
【标准答案】（1）3；（2）3；（3）2，3，4．
【思路指引】
（1）根据定义求解即可；
（2）根据，，，可得对100进行3次连续求根整数后结果为2；
（3）根据，，并且，得到，据此求解即可．
【详解详析】
解：（1）∵，所以不小于的最小整数是3，即；
（2），，，所以100进行连续求根整数，3次后结果为2；
（3）∵，，并且，
则，所以满足题意的的整数值有2，3，4．
【名师指路】
本题考查了估算无理数的大小，弄清题中的新定义是解本题的关键．
27．如果把一个奇数位的 ( http: / / www.21cnjy.com )自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排列，与从个位到最高位依次排列出的一串数字完全相同，相邻两个数位上的数字之差的绝对值相等（不等于0），且该数正中间的数字与其余数字均不同，我们把这样的自然数称为“阶梯数”，例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，且|1﹣2|=|2﹣3|=|3﹣2|=|2﹣1|=1，因此12321是一个“阶梯数”，又如262，85258，…，都是“阶梯数”，若一个“阶梯数”t从左数到右，奇数位上的数字之和为M，偶数位上的数字之和为N，记P（t）=2N﹣M，Q（t）=M+N．
（1）已知一个三位“阶梯数”t，其中P（t）=12，且Q（t）为一个完全平方数，求这个三位数；
（2）已知一个五位“阶梯数”t能被4整除，且Q（t）除以4余2，求该五位“阶梯数”t的最大值与最小值．
【标准答案】（1）171；（2）最大值是67876，最小值是21012
【思路指引】
（1）设“阶梯数”t的百位为x，相邻两数的差为k，则t=，可得M=a+a=2a，N=a+k，根据P（t）=12，得到关于k的方程，可求得k=6，再根据Q（t）=3a+6为一个完全平方数，其中1≤a≤9，可求3a+6=9，16，25，可求a=1，从而得到这个三位数；
（2）设某五位阶梯数为，根据==2778a+302k+ ，可得2k﹣a是4的倍数，根据M=3a+2k，N=2A+2K，可得Q（t）=M+N=5a+4k，则=k+a+，可得a﹣2是4的倍数，根据完全平方数的定义得到a=2，6，再分两种情况求出T的值，进一步得到该五位“阶梯数”t的最大值和最小值．
【详解详析】
解：（1）设“阶梯数”t的百位为x，相邻两数的差为k，则t=，
∴M=a+a=2a，N=a+k，
∴P（t）=2N﹣M=2（a+k）﹣2a=2k=12，
∴k=6．
∵Q（t）=M+N=2a+a+k=3a+6为一个完全平方数，其中1≤a≤9，
∴9≤3a+6≤33，
∴3a+6=9，16，25，
∴a=1，
∴t=171；
（2）设某五位阶梯数为 ．
∵==2778a+302k+，
∴2k﹣a是4的倍数．
∵M=3a+2k，N=2a+2k，
∴Q（t）=M+N=5a+4k，
∴=k+a+，
∴a﹣2是4的倍数．
∵1≤a≤9，
∴﹣1≤a﹣2≤7，
∴a﹣2=0，4，
∴a=2，6．
当a=2时，为整数且0≤2+2k≤9，
∴﹣1≤k≤ 3.5，
∴k=±1，3，
所以t=21012，23432，25852；
当a=6时，为整数且0≤6+2k≤9，
∴﹣3≤k≤1.5，
∴k=±1，﹣3，
所以t=63036，65456，67876．
所以该五位“阶梯数”t的最大值是67876，最小值是21012．
【名师指路】
考查了完全平方数，解题的关键是弄清楚“阶梯数”的定义，从而写出符合题意的数．
28．概念学习
规定：求若干个相同的实数（均不为0）的除法运算叫做除方，如，类比实数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，一般地，把个相除记作，读作“的圈次方”
初步探究
计算：（1）；
（2）．
深入思考
我们知道，实数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，实数的除方也可以按照下面的方法转化为乘方运算．21cnjy.com
例如：．
参考上面的方法，完成下列各题：
（3）计算： ， ；
（4）已知：，求的值．
【标准答案】（1）；（2）；（3），2；（4）
【思路指引】
（1）根据题目中的定义得道原式=，按照有理数除法法则计算即可；
（2）根据题意得到原式=，按照有理数除法法则计算即可；
（3）根据深入思考部分要求，对原式进行变形，然后按照乘方运算法则计算即可；
（4）根据题意得到除方规律为，将改写，然后根据同底数幂的性质求解即可．
【详解详析】
初步探究：
（1）；
故答案为；
（2）；
故答案为；
深入思考：
（3）
故答案为；2．
（4）由已知得，，
∴，即，
∴，
∴．
【名师指路】
本题考查了乘方运算，和幂的乘方，属于新定义题型，本类题目应仔细阅读题干，掌握新的运算法则，严格按照题目要求进行求解即可求解．www.21-cn-jy.com
29．（2021·上海杨浦·七年级期中）阅读下面的文字，解答问题．
对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差．
例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2．
（1）仿照以上方法计算：[]＝ {5﹣}＝ ；
（2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值： ．
（3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝ ，n＝ ．21·世纪*教育网
【标准答案】（1）2；3﹣；（2）1、2、3；（3）256，4
【思路指引】
（1）依照定义进行计算即可；
（2）由题可知，，则可得满足题意的整数的的值为1、2、3；
（3）由，可知，是某个整数的平方，又是符合条件的所有数中最大的数，则，再依次进行计算．
【详解详析】
解：（1）由定义可得，，，
．
故答案为：2；．
（2），
，即，
整数的值为1、2、3．
故答案为：1、2、3．
（3），即，
可设，且是自然数，
是符合条件的所有数中的最大数，
，
，
，
，
，
即．
故答案为：256，4．
【名师指路】
本题属于新定义类问题，主要考查估算无理数大小，无理数的整数部分和小数部分，理解定义内容是解题关键．
30．（2021·上海市文来中学七年级期中）计算：
【标准答案】
【思路指引】
被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成是将平方得到的，因此可以用待定系数法化简．
【详解详析】
解：设，
两边平方得：，
∴，
②×③×④得;
,
∵均为非负数，
∴，
∴，
⑤÷②得，，
同理有，
所求的显然满足①，
所以，原式=
【名师指路】
本题考查了二次根式的性质与化简方法，由复合二次根式的被开方数复杂，可以通过设未知数，利用平方法解题．21·cn·jy·com
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选 ( http: / / www.21cnjy.com )择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题03 运算能力之实数的运算易错点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．下列式子一定成立的是（ ）
A．2a+3a=6a B．x8÷x2=x4
C． D．（﹣a﹣2）3=﹣
2．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是( )21教育网
A．1+ B．2+ C．2﹣1 D．2+1
3．随着数学学习的深入，数系不断扩充，引入新数，规定，并且新数满足交换律、结合律和分配律，则运算结果是（ ）21·cn·jy·com
A． B． C． D．
4．如图，数轴上与1、两个实数对应的点分别为A、B，点C与点B关于点A对称，则点C表示的数是（ ）www.21-cn-jy.com
A．2 B．1
C．1 D．22
5．如图，数轴上，，三点所表示的数分别为，，，其中．如果，那么该数轴的原点的位置应该在（ ）．【来源：21·世纪·教育·网】
A．点的左边 B．点与点之间
C．点与点之间（靠近点B） D．点与点之间（靠近点）
6．如图，若，则表示的值的点落在（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．段① B．段② C．段③ D．段④
7．若，则，，的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．对任意两个正实数，，定义新运算★为：若，则★；若，则★．则下列说法中正确的有（ ）www-2-1-cnjy-com
①；②；③★
A．① B．② C．①② D．①②③
9．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]=4，[]=1，[﹣2.5]=﹣3．现对82进行如下操作：，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（ ）2-1-c-n-j-y
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为时，输入值x为3或9；
②当输入值x为16时，输出值y为；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．
其中错误的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
二、填空题
11．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）已知，是有理数，且，则______．
12．（2021·上海·七年级期中）若（为连续整数），那么的值为__________．
13．（2021·上海市南洋模范中学八年级月考）观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2，，，……那么第10个数据应是______．21*cnjy*com
14．在平面直角坐标系中，如果对任意一点（a，b），规定两种变换：
，，那么 _________．
15．a是不为1的数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数为；-1的差倒数为；已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…以此类推，则__________．
16．计算：_____．
17．计算：__．
18．（2021·上海市文来中学七年级期中）若，则______．
19．（2021·上海市建平中学西校八年级月考）已知b是正实数，a是b的小数部分，且a2+b2＝18，则a+b＝___．【出处：21教育名师】
20．（2021·上海市西南模范中学七年级期中）设的小数部分为，则____________．
三、解答题
21．（2020·上海市静安区实验中学九年级期中）计算：.
22．（2020·上海·月考）计算：（﹣1）2019﹣|1﹣|+．
23．（2020·上海第二工业大学附属龚路中学七年级期中）通过计算我们知道：
（a-1）（a+1）=a2-1
（a-1）（a2+a+1）=a3-1
（a-1）（a3+a2+a+1）=a4-1
（1）请根据以上计算规律填空：（a-1）（an+an-1+…+a3+a2+a+1）=______
（2）根据上述规律，请你求出32018+32017+…+33+32+3+1的个位上的数字．
24．（2020·上海闵行·七年级期末）阅读下述材料，尝试解决问题
数学是一门充满思维乐趣的学科，现有一个的数阵，数阵中每个位置对应的数都是1，2或3. 定义为数阵中第行、第列的数. 例如，数阵第3行、第2列所对应的数是3，所以.
（1）对于数阵，的值为_________；若，则的值为_________.
（2）若一个的数阵对任意的均满足以下条件：
条件一：；
条件二：；则称这个数阵是“有趣的”.
已知一个“有趣的”数阵满足，试计算的值.
25．我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：（m，n是正整数，且），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称是x的最佳分解．并规定：．
例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以．
（1）填空：；；
（2）一个两位正整数t（，，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求的最大值；
（3）填空：
①；
②；
③；
④．
26．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）对于实数，我们规定用表示不小于的最小整数，称为的根整数，如．21·世纪*教育网
（1）计算：______．
（2）现对进行连续求根整数，直到结果是2为止，例如对12进行连续求根整数，第一次，再进行第二次求根整数，表示对12连续求根整数2次可得结果为2，请问对100进行连续求根整数，______次后结果为2．【来源：21cnj*y.co*m】
（3）若，写出满足题意的的整数值：______．
27．如果把一个奇数位的 ( http: / / www.21cnjy.com )自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排列，与从个位到最高位依次排列出的一串数字完全相同，相邻两个数位上的数字之差的绝对值相等（不等于0），且该数正中间的数字与其余数字均不同，我们把这样的自然数称为“阶梯数”，例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，且|1﹣2|=|2﹣3|=|3﹣2|=|2﹣1|=1，因此12321是一个“阶梯数”，又如262，85258，…，都是“阶梯数”，若一个“阶梯数”t从左数到右，奇数位上的数字之和为M，偶数位上的数字之和为N，记P（t）=2N﹣M，Q（t）=M+N．
（1）已知一个三位“阶梯数”t，其中P（t）=12，且Q（t）为一个完全平方数，求这个三位数；
（2）已知一个五位“阶梯数”t能被4整除，且Q（t）除以4余2，求该五位“阶梯数”t的最大值与最小值．
28．概念学习
规定：求若干个相同的实数（均不为0）的除法运算叫做除方，如，类比实数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，一般地，把个相除记作，读作“的圈次方”
初步探究
计算：（1）；
（2）．
深入思考
我们知道，实数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，实数的除方也可以按照下面的方法转化为乘方运算．2·1·c·n·j·y
例如：．
参考上面的方法，完成下列各题：
（3）计算： ， ；
（4）已知：，求的值．
29．（2021·上海杨浦·七年级期中）阅读下面的文字，解答问题．
对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差．
例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2．
（1）仿照以上方法计算：[]＝ {5﹣}＝ ；
（2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值： ．
（3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝ ，n＝ ．21cnjy.com
30．（2021·上海市文来中学七年级期中）计算：
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