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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分 ( http: / / www.21cnjy.com )选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。【来源：21·世纪·教育·网】
专题04 数形结合之实数与数轴难点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，数轴上有O，A，B，C，D五点，根据图中各点所表示的数，表示数的点会落在（ ）
A．点O和A之间 B．点A和B之间 C．点B和C之间 D．点C和D之间
【标准答案】B
【思路指引】
将化简得，先估算的取值范围，再估算出的取值范围，进而确定在数轴上的位置即可．
【详解详析】
∵
∴
∴
∴在点A和点B之间
故选：B．
【知识点】
本题主要考查了数轴上表示实数的点所在位置的确定，准确对实数进行计算并估算取值范围是解决本题的关键．
2．已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（ ）2·1·c·n·j·y
A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】B
【思路指引】
首先判断出b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，再根据有理数的大小比较法则，绝对值的性质等知识一一判断即可．21*cnjy*com
【详解详析】
解：由题意b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，则
①ab+ac＞0，故原结论正确；
②﹣a﹣b+c＞0，故原结论错误；
③+＝1﹣1+1＝1，故原结论错误；
④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝a﹣b+c+b﹣（﹣a+c）＝2a，故原结论错误；
⑤当b≤x≤a时，|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b，故原结论正确．
故正确结论有2个．
故选：B．
【名师指路】
本题考查了实数大小比较、绝对值、数轴等知识；理解相关定义是关键．
3．如图，在数轴上，，，四个点中，点最可能表示的实数是（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
先观察数轴上得到点C的大体范围为2-3之间，再对下方无理数进行估算，选择范围在2-3之间的数字即可．21cnjy.com
【详解详析】
解：观察数轴可知,
A：∵，∴，A错误；
B：∵，∴，B错误；
C：∵，∴，C正确；
D：∵，∴，D错误．
故选：C．
【名师指路】
本题主要考查的是估算无理数的大小，求得的无理数的大致范围并结合数轴进行对应是解题的关键．
4．数轴上表示1，的对应点分別为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据数轴上两点之间的距离计算、对称的性质即可解决．
【详解详析】
根据对称的性质得：AC=AB
设点C表示的数为a，则
解得：
故选：C．
【名师指路】
本题考查了数轴上两点之间的距离，图形对称的性质，关键是由对称的性质得到AC=AB．
5．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数都是带根号的数；③负数没有立方根；④的平方根是±8．其中正确的有（ ）【出处：21教育名师】
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【标准答案】B
【思路指引】
直接利用实数与数轴的关系以及无理数的定义、立方根、平方根的定义分别分析得出答案．
【详解详析】
解：①实数和数轴上的点是一一对应的，符合题意；
②无理数是无限不循环小数，原说法不合题意；
③负数也有立方根，原说法不合题意；
④8的平方根是±2，原说法不合题意．
故选：B．
【名师指路】
此题主要考查了实数与数轴的关系以及无理数的定义、立方根、平方根的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
6．下列说法错误的是（ ）
A．平方根与立方根都等于本身的数是0和1 B．算术平方根是无理数
C．所有无理数都是无限小数 D．实数与数轴上的点一一对应
【标准答案】A
【思路指引】
根据平方根、立方根、算术平方根、无理数的定义以及实数和数轴上点的关系进行解答即可．
【详解详析】
解：A.1的平方根是±1，故A选项错误，符合题意；
B.算术平方根是，是无理数，故B选项正确，不符合题意；
C.所有无理数都是无限小数，故C选项正确，不符合题意；
D. 实数与数轴上的点一一对应, 故D选项正确，不符合题意．
故选A．
【名师指路】
本题主要考查了根据平方根、立方根、算术平方根、无理数的定义以及实数和数轴上点的关系，灵活运用相关概念成为解答本题的关键．
7．设边长为3的正方形的对角线 ( http: / / www.21cnjy.com )长为a，下列关于a的四种说法：① a是无理数；② a可以用数轴上的一个点来表示；③ 3
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
【标准答案】C
根据勾股定理，边长为3的正方形的对角线长为，是无理数，故说法①正确。
根据实数与数轴上的一点一一对应的关系，a可以用数轴上的一个点来表示，故说法②正确。
∵，∴，故说法③错误。
∵，∴根据算术平方根的定义，a是18的算术平方根，故说法④正确。
综上所述，正确说法的序号是①②④。故选C。
8．设边长为3的正方形的对 ( http: / / www.21cnjy.com )角线长为a，下列关于a的四种说法：① a是无理数；② a可以用数轴上的一个点来表示；③ 3A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
【标准答案】C
【详解详析】
根据勾股定理，边长为3的正方形的对角线长为，是无理数，故说法①正确．
根据实数与数轴上的一点一一对应的关系，a可以用数轴上的一个点来表示，故说法②正确．
∵，∴，故说法③错误．
∵，∴根据算术平方根的定义，a是18的算术平方根，故说法④正确．
综上所述，正确说法的序号是①②④．故选C．
9．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则A，B，C，D四个点中可能是原点的为（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【标准答案】D
【思路指引】
分①若原点的位置为A点时，② ( http: / / www.21cnjy.com )若原点的位置为B点或C点时，③若原点的位置为D点时，结合有理数的加法法则和点在数轴上的位置分析即可得出正确选项．
【详解详析】
解：根据数轴可知，
①若原点的位置为A点时，x＞0，则，，，
∴，舍去；
②若原点的位置为B点或C点时，，
则或，，
∴，舍去；
③若原点的位置为D点时，
则 ，
∴，符合条件，
∴最有可能是原点的是D点，
故选：D．
【名师指路】
本题考查实数与数轴，有理数的加法法则，化简绝对值．熟记有理数的加法法则是解题关键．
10．在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，它们代表的实数分别为a，b，c，下列结论中
①若abc0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧；
②若a+b+c＝0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧；
③若a+c＝2b，则点B为线段AC的中点；
④O为坐标原点且A，B，C均不与O重合，若OB﹣OC＝AB﹣AC，则bc0，
所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【标准答案】D
【思路指引】
①根据乘法法则判定a，b，c至少有一个大于0，据此可解；
②根据加法法则判定a，b，c至少有一个大于0，据此可解；
③根据两点距离公式可判断；
④分情况讨论：B、C都在点O的右侧； ( http: / / www.21cnjy.com )B、C都在点O的左侧；B、C在点O的两侧且点A在点C的右侧；B、C在点O的两侧且点A在O、C之间（不与O重合）； B、C在点O的两侧且点A在O、B之间（不与O重合）； B、C在点O的两侧且点A在B右侧时；逐一画出图形进行判断，据此可解．
【详解详析】
解：①若abc0，则a，b，c不可能都小于0，至少有一个大于0，所以A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧，故①正确；
②若a+b+c＝0，因为a，b，c不能都为0，则a，b，c中至少有一个大于0，所以A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧，故②正确；
③若a+c＝2b，则a- b＝b- c，点B为线段AC的中点，故③正确；
④如图1, B、C都在点O的右侧,
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵OB﹣OC＝BC， AB﹣AC=BC，
∴OB﹣OC＝AB﹣AC，此时bc0，
如图2, B、C都在点O的左侧,
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵OB﹣OC＝BC， AB﹣AC=BC，
∴OB﹣OC＝AB﹣AC，此时bc0，
如图3, B、C在点O的两侧时，若点A在点C的右侧，
( http: / / www.21cnjy.com / )
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
如图4, B、C在点O的两侧时，若点A在O、C之间（不与O重合），
( http: / / www.21cnjy.com / )
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
如图5, B、C在点O的两侧时，若点A在O、B之间（不与O重合），
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
如图6, B、C在点O的两侧时，若点A在B右侧时，
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
综上所述，若OB﹣OC＝AB﹣AC，则B、C在点O的同一侧，所以b和c同号，即 bc0，故④正确；
故选：D．
【名师指路】
本题考查了数轴的有关知识及实数的运算法则，掌握运算法则及数形结合思想是解题关键．
二、填空题
11．如图，实数，，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，点B关于原点O的对称点为D．若m为整数，则m的值为________．21·世纪*教育网
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【标准答案】-3
【思路指引】
先求出D点表示的数，再得到m的取值范围，最后在范围内找整数解即可．
【详解详析】
解：∵点B关于原点O的对称点为D，点B表示的数为，
∴点D表示的数为，
∵A点表示，C点位于A、D两点之间，
∴，
∵m为整数，
∴；
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了数轴上点的特征，涉及到相反 ( http: / / www.21cnjy.com )数的性质、对无理数进行估值、确定不等式组的整数解等问题，解决本题的关键是牢记相关概念和性质，本题蕴含了数形结合的思想方法．21教育名师原创作品
12．如图，数轴上，两点表示的数分别为和4.1，则，两点之间表示整数的点共有____个．
【标准答案】3
【思路指引】
根据无理数的估算、结合数轴求解即可
【详解详析】
解：
∴
∴
∴在到4.1之间由2，3，4这三个整数
故答案为：3.
【名师指路】
本题考查了无理数的估算、实数与数轴，掌握无理数的估算方法是解题关键．
13．如图，半径为1的圆与数轴的 ( http: / / www.21cnjy.com )一个公共点与原点重合，若圆在数轴上做无滑动的来回滚动，规定圆向右滚动的周数记为正数，向左滚动周数记为负数，依次滚动的情况如下（单位：周）：﹣3，﹣1，＋2，﹣1，＋3，＋2，则圆与数轴的公共点到原点的距离最远时，该点所表示的数是_______．
【标准答案】﹣8π．
【思路指引】
根据每次滚动后，所对应数的绝对值进行解答即可．
【详解详析】
解：半径为1圆的周长为2π，
滚动第1次，所对应的周数为0﹣3＝﹣3（周），
滚动第2次，所对应的周数为0﹣3﹣1＝﹣4（周），
滚动第3次，所对应的周数为0﹣3﹣1＋2＝﹣2（周），
滚动第4次，所对应的周数为0﹣3﹣1＋2﹣1＝﹣3（周），
滚动第5次，所对应的周数为0﹣3﹣1＋2﹣1＋3＝0（周），
滚动第6次，所对应的周数为0﹣3﹣1＋2﹣1＋3＋2＝2（周），
所以圆与数轴的公共点到原点的距离最远是﹣4周，即该点所表示的数是﹣8π，
故答案为：﹣8π．
【名师指路】
题目主要考察数轴上的点及圆的滚动周长问题，确定相应滚动周数是解题关键．
14．如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是_______．
【标准答案】4+或6﹣或2﹣．
【思路指引】
先求出第一次折叠与A重合的点表示的数，然后再求两点间的距离即可；同理再求出第二次折叠与C点重合的点表示的数即可．
【详解详析】
解：第一次折叠后与A重合的点表示的数是：3+（3+1）＝7．
与C重合的点表示的数：3+（3﹣）＝6﹣．
第二次折叠，折叠点表示的数为：（3+7）＝5或（﹣1+3）＝1．
此时与数轴上的点C重合的点表示的数为：
5+（5﹣6+）＝4+或1﹣（﹣1）＝2﹣．
故答案为：4+或6﹣或2﹣．
【名师指路】
本题主要考查了数轴上的点和折叠问题，掌握折叠的性质是解答本题的关键．
15．数轴上A，B两点表示的数分别为﹣2和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为___．
【标准答案】或
【思路指引】
先根据对称点可以求出AC的长度，根据C在原点的左侧，进而可求出C点坐标．
【详解详析】
解：∵点B关于点A的对称点为C，
∴CA=AB=|-（-2）|=+2，
设点C所表示的数是x，
∴CA=|-2-x|=+2，
∴x=-2±（+2）=-4±，
∵C点在原点左侧，
∴C表示的数：-4-，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了实数与数轴，掌握用数轴理解题意，用x表示线段的长是解决本题的关键．
16．已知实数、与在数轴上的对应位置如图所示，则下列说法中：①；②；③；④，正确的是（填序号）：__________．21教育网
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【标准答案】③④
【思路指引】
依题意可得，，进而在数轴上将表示出来，根据有理数的乘法运算，乘方运算，以及有理数的乘法运算进行判断即可．
【详解详析】
依题意可得，，将表示在数轴上，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
故①不正确，
故②不正确，
，
故③正确，
，
故④正确
综上所述，正确的有③④，
故答案为：③④
【名师指路】
本题考查了数轴，绝对值，有理数的乘法运算，乘方运算，以及有理数的乘法运算，数形结合是解题的关键．
17．已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简=_________.
【标准答案】-
根据数轴可知1＜a＜2，可知a＜，即a-＜0，因此根据绝对值的性质和二次根式的性质，可得=-a+a-2=-.www.21-cn-jy.com
故答案为-.
点睛：此题主要考查了二次根式的性质，解题关键是利用绝对值的非负性，和二次根式的性质，注意在解题时二次根式的估算.
18．等边在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和-1，若绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2015次后，点B所对应的数是________．
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【标准答案】2014
【思路指引】
先求出翻转4次，点B所对应的数分别是多少，再归纳总结出一般规律，由此即可得出答案．
【详解详析】
由题意，翻转1次后，点B所对应的数为1
翻转2次后，点B所对应的数为1
翻转3次后，点B位于数轴的上方
翻转4次后，点B所对应的数为4
归纳类推得：翻转以3次为一个循环，每一个循环对应数依次增加3，且第一次和第二次、第四次和第五次、第七次和第八次、对应数值相等
，，
因此，翻转2014次和2015次，点B所对应的数相等
则翻转2015次后，点B所对应的数是
故答案为：2014．
【名师指路】
本题考查了实数的规律型问题，依据题意，正确归纳出一般规律是解题关键．
19．已知数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，那么数轴上到点B的距离与点A到点B的距离相等的另一点C表示的数是______________．
【标准答案】
【详解详析】
试题分析：根据数轴上点的对称性，可知AB=|-1-（-）|=，因此可知C点的数值为-1+=.
20．在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为|m﹣n|．
（1）若数轴上的点M，N分别对应的数为2﹣和﹣，则M，N间的距离为 ___，MN中点表示的数是 ___．
（2）已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且|a﹣c|＝|b﹣c|＝|d﹣a|＝1（a≠b），则线段BD的长度为 ___．
【标准答案】2
【思路指引】
（1）直接根据定义，代入数字求解即可得 ( http: / / www.21cnjy.com )到两点间的距离；根据两点之间的距离得出其一半的长度，然后结合其中一个端点表示的数求解即可得中点表示的数；
（2）先根据|a﹣c|＝|b﹣c|与a≠b推出C为AB的中点，然后根据题意分类讨论求解即可．
【详解详析】
解：（1）由题意，M，N间的距离为；
∵，
∴，
由题意知，在数轴上，M点在N点右侧，
∴MN的中点表示的数为；
（2）∵且，
∴数轴上点A、B与点C不重合，且到点C的距离相等，都为1，
∴点C为AB的中点，，
∵，
∴，
即：数轴上点A和点D的距离为，讨论如下：
1>若点A位于点B左边：
①若点D在点A左边，如图所示：
此时，；
②若点D在点A右边，如图所示：
此时，；
2>若点A位于点B右边：
①若点D在点A左边，如图所示：
此时，；
②若点D在点A右边，如图所示：
此时，；
综上，线段BD的长度为或，
故答案为：2；；或．
【名师指路】
本题考查数轴上两点间的距离，以及与线段中点相关的计算问题，理解数轴上点的特征以及两点间的距离表示方法，灵活根据题意分类讨论是解题关键．2-1-c-n-j-y
三、解答题
21．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，其中c为8的立方根，求代数式的值．
【标准答案】2．
【思路指引】
先根据数轴的定义可得，从而可得，再根据立方根的定义可得，然后根据算术平方根的定义、化简绝对值即可得．
【详解详析】
解：由数轴的定义得：，
，
为8的立方根，
，
则，
，
，
．
【名师指路】
本题考查了实数与数轴、立方根与算术平方根等知识点，熟练掌握数轴的定义是解题关键．
22．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，．
（1）求的值；
（2）已知的小数部分是，的小数部分是，求的平方根．
【标准答案】（1）；（2）
【思路指引】
（1）根据A点在数轴上的位置，可以 ( http: / / www.21cnjy.com )知道2＜a＜3，根据a的范围去绝对值化简即可；
（2）先求出b＋2，得到它的整数部分，用b＋2减去整数部分就是小数部分，从而求出m；同理可求出n．然后求出2m＋2n＋1，再求平方根．
【详解详析】
解：（1）由图知：，
，，
；
（2），
整数部分是3，
；
的整数部分是6，
，
，
的平方根为．
【名师指路】
本题主要考查了无理数的估算，考核学生的运算能力，解题时注意一个正数的平方根有两个．
23．如图，数轴的正半轴上有，，三点，点，表示数和．点到点的距离与点到点的距离相等，设点所表示的数为．
（1）请你求出数的值．
（2）若为的相反数，为的绝对值，求的整数部分的立方根．
【标准答案】（1）；（2）2
【思路指引】
（1）根据数轴上两点间的距离求出AB之间的距离即为c的值；
（2）根据题意及c的值求出m和n的值，再把m，n代入所求代数式进行计算即可．
【详解详析】
解：（1）点．分别表示1，，
，
；
（2），
，，
，
，
，
，
的整数部分是8，
．
【名师指路】
此题考查了估算无理数的大小，正确估算及是解题的关键．
24．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．
（1）求实数m的值；
（2）求|m＋1|＋|m﹣1|的值；
（3）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且|2c＋d|与互为相反数，求2c﹣3d的算术平方根．www-2-1-cnjy-com
【标准答案】（1）；（2）2；（3）4
【思路指引】
（1）点表示，沿着轴向右移动2个单位到达点，可得所表示的数；
（2），则，，进而化简，并求出代数式的值；
（3）根据非负数的意义，列方程求出、的值，进而求出的值，再求出的算术平方根．
【详解详析】
解：（1）；
（2），则，，
；
答：的值为2．
（3）与互为相反数，
，
，且，
解得：，，或，，
①当，时，
所以，无平方根．
②当，时，
，
的算术平方根为4．
【名师指路】
本题考查数轴、非负数的性质、绝对值的意义，分类讨论是常用的方法．
25．数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当在数轴上位于原点的右侧时，；当在数轴上位于原点时，；当在数轴上位于原点的左侧时，．当，，三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题，
（1）当时，求______，当时，求______．
（2）请根据，，三个数在数轴上的位置，求的值．
（3）请根据，，三个数在数轴上的位置，化简：．
【标准答案】（1）1； ；（2）；（3）．
【思路指引】
（1）当时，点a在原点右边，由题意可知，此时，代入即可求值；
当 时，点b在原点左边，由题意可知，此时，代入即可求值；
（2）由图中获取三点的位置信息后，结合题意即可求原式的值；
（3）由图获取的正、负信息和三个数绝对值的大小后，就可确定原式中绝对值符号里面式子的值的符号，就可化简原式．【版权所有：21教育】
【详解详析】
解：（1）当时，；当时，，
故答案是：1，-1；
（2）由数轴可得： ， ， ，
∴=；
（3）由数轴可知：且，
∴，
∴
．
【名师指路】
本题考查了数轴，解决本题的关键是熟记正数的绝 ( http: / / www.21cnjy.com )对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．在解第3小问这类题时，需注意以下两点：（1）根据在数轴上表示的数中，左边的总小于右边的，确定好所涉及数的大小关系及每个数的正、负信息（涉及异号两数相加的还要获取它们绝对值的大小关系）；（2）根据有理数加、减法法则确定好需化简式子中绝对值符号里的式子的正、负，然后再根据绝对值的代数意义将绝对值符号去掉．
26．有理数a＞0，b＞0，c＜0，且|a|＜|c|＜|b|．
（1）在数轴上将a，b，c三个数在数轴上表示出来如图所示；
（2）化简：|2a﹣c|+|b+c|﹣|a﹣b|．
【标准答案】（1）见解析；（2）3a
【思路指引】
（1）根据a＞0，b＞0，c＜0，且|a|＜|c|＜|b|．即可求解．
（2）先判断2a-c、b+c、a-b的正负号，即可化简．21·cn·jy·com
【详解详析】
解：（1）∵a＞0，b＞0，且|a|＜|c|＜|b|．
∴c＜6＜a＜b．
在数轴上将a，b，c三个数在数轴上表示出来如图所示：
（2）根据数轴位置关系，可得：2a﹣c＞0、a﹣b＜5．
∴|2a﹣c|+|b+c|﹣|a﹣b|＝2a﹣c+b+c+a﹣b＝3a．
【名师指路】
本题考查了整式的加减，数轴以及绝对值，解决本题的关键是2a-c、b+c、a-b的正负性．
27．在数轴上点A表示a，点B表示b，且a，b满足．
（1）a+b= ；
（2）x表示a+b的整数部分，y表示a+b的小数部分，则求y的值？
（3）若点A与点C之间的距离表示AC，点B与点C之间的距离表示BC，请在数轴上找一点C，使得AC=2BC，求点C在数轴上表示的数？
【标准答案】（1）；（2）；（3）或
【思路指引】
（1）根据非负数的性质求出a、b的值，即可求得a+b的值，
（2）根据无理数的估算可求得a+b整数部分，a+b的小数部分；
（3）设C点表示的数为x，根据AC=2BC列出方程，解方程即可．
【详解详析】
解：（1）
故答案为：；
（2）
；
（3）或
设点C表示的数为m，
当点C在A，B之间时，
当点C在点B的左边时，，
综上所述C点在数轴上表示的数为或．
【名师指路】
本题考查了数轴，数轴上两点间的距离可用右边的点表示的数减去左边的点表示的数．
28．我们将称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉．例如：．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题．
（1）分母有理化的值为________；
（2）如图所示，数轴上表示1，的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x，求的值．21世纪教育网版权所有
【标准答案】（1）；（2）4
【思路指引】
（1）根据题意，分子分母都乘以进而即可分母有理化；
（2）根据题意得，再代入分式求解即可
【详解详析】
解：（1）
故答案为：
（2）依题意可知：
∵点B和点C关于点A的对称
∴
∴
∴
∴
∴
【名师指路】
本题考查了分母有理化，数轴与实数，理解题意掌握分母有理化的方法是解题的关键．
29．如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点是C，O为原点.
（1）线段长度：AB=_________，AC=_________，OC=_________.
（2）设C点表示的数为x，试求｜x－｜+x的值．
【标准答案】（1）-1，-1，2-（2）
【详解详析】
整体分析：
(1)由点B关于点A的对称点是C可得AB=AC，则可得到点C所表示的数，从而计算出AB，AC，OC的长；(2)根据绝对值的意义化简.【来源：21cnj*y.co*m】
解：(1)设点C表示的数是x，根据题意得，AB=AC，所以-1=1-x，则x=，所以AB=AC-1，OC=，故答案为-1，-1，2-.21*cnjy*com
(2)把x=代入到｜x－｜+x得：
｜－｜+
=｜｜+
=-2+2-
=.
30．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对 ( http: / / www.21cnjy.com )角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
（1）图2中A、B两点表示的数分别为___________，____________；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）请你参照上面的方法：
①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长___________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）
( http: / / www.21cnjy.com / )
②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长）
【标准答案】（1），；（2）①图见解析，；②见解析
【思路指引】
（1）根据图1得到小正方形的对角线长，即可得出数轴上点A和点B表示的数
（2）根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图象即可；
（3）从原点开始画一个长是2，高是1的长方形 ( http: / / www.21cnjy.com )，对角线长即是a，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点M，再把这个长方形向左平移3个单位，用同样的方法得到点N．
【详解详析】
（1）由图1知，小正方形的对角线长是，
∴图2中点A表示的数是，点B表示的数是，
故答案是：，；
（2）①长方形的面积是5，拼成的正方形的面积也应该是5，
∴正方形的边长是，
如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
故答案是：；
②如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题考查无理数的表示方法，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解．
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、 ( http: / / www.21cnjy.com )填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题04 数形结合之实数与数轴难点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，数轴上有O，A，B，C，D五点，根据图中各点所表示的数，表示数的点会落在（ ）
A．点O和A之间 B．点A和B之间 C．点B和C之间 D．点C和D之间
2．已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（ ）21cnjy.com
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，在数轴上，，，四个点中，点最可能表示的实数是（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
4．数轴上表示1，的对应点分別为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
5．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数都是带根号的数；③负数没有立方根；④的平方根是±8．其中正确的有（ ）21·cn·jy·com
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．下列说法错误的是（ ）
A．平方根与立方根都等于本身的数是0和1 B．算术平方根是无理数
C．所有无理数都是无限小数 D．实数与数轴上的点一一对应
7．设边长为3的正方形的对角线长为a，下 ( http: / / www.21cnjy.com )列关于a的四种说法：① a是无理数；② a可以用数轴上的一个点来表示；③ 3A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
8．设边长为3的正方形的对角线 ( http: / / www.21cnjy.com )长为a，下列关于a的四种说法：① a是无理数；② a可以用数轴上的一个点来表示；③ 3A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
9．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则A，B，C，D四个点中可能是原点的为（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
10．在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，它们代表的实数分别为a，b，c，下列结论中
①若abc0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧；
②若a+b+c＝0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧；
③若a+c＝2b，则点B为线段AC的中点；
④O为坐标原点且A，B，C均不与O重合，若OB﹣OC＝AB﹣AC，则bc0，
所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题
11．如图，实数，，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，点B关于原点O的对称点为D．若m为整数，则m的值为________．2-1-c-n-j-y
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12．如图，数轴上，两点表示的数分别为和4.1，则，两点之间表示整数的点共有____个．
13．如图，半径为1的圆与数轴的一个公共 ( http: / / www.21cnjy.com )点与原点重合，若圆在数轴上做无滑动的来回滚动，规定圆向右滚动的周数记为正数，向左滚动周数记为负数，依次滚动的情况如下（单位：周）：﹣3，﹣1，＋2，﹣1，＋3，＋2，则圆与数轴的公共点到原点的距离最远时，该点所表示的数是_______．
14．如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是_______．21*cnjy*com
15．数轴上A，B两点表示的数分别为﹣2和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为___．
16．已知实数、与在数轴上的对应位置如图所示，则下列说法中：①；②；③；④，正确的是（填序号）：__________．21·世纪*教育网
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17．已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简=_________.
18．等边在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和-1，若绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2015次后，点B所对应的数是________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
19．已知数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，那么数轴上到点B的距离与点A到点B的距离相等的另一点C表示的数是______________．【来源：21cnj*y.co*m】
20．在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为|m﹣n|．
（1）若数轴上的点M，N分别对应的数为2﹣和﹣，则M，N间的距离为 ___，MN中点表示的数是 ___．【出处：21教育名师】
（2）已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且|a﹣c|＝|b﹣c|＝|d﹣a|＝1（a≠b），则线段BD的长度为 ___．【版权所有：21教育】
三、解答题
21．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，其中c为8的立方根，求代数式的值．
22．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，．
（1）求的值；
（2）已知的小数部分是，的小数部分是，求的平方根．
23．如图，数轴的正半轴上有，，三点，点，表示数和．点到点的距离与点到点的距离相等，设点所表示的数为．21教育名师原创作品
（1）请你求出数的值．
（2）若为的相反数，为的绝对值，求的整数部分的立方根．
24．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．
（1）求实数m的值；
（2）求|m＋1|＋|m﹣1|的值；
（3）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且|2c＋d|与互为相反数，求2c﹣3d的算术平方根．21*cnjy*com
25．数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当在数轴上位于原点的右侧时，；当在数轴上位于原点时，；当在数轴上位于原点的左侧时，．当，，三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题，
（1）当时，求______，当时，求______．
（2）请根据，，三个数在数轴上的位置，求的值．
（3）请根据，，三个数在数轴上的位置，化简：．
26．有理数a＞0，b＞0，c＜0，且|a|＜|c|＜|b|．
（1）在数轴上将a，b，c三个数在数轴上表示出来如图所示；
（2）化简：|2a﹣c|+|b+c|﹣|a﹣b|．
27．在数轴上点A表示a，点B表示b，且a，b满足．
（1）a+b= ；
（2）x表示a+b的整数部分，y表示a+b的小数部分，则求y的值？
（3）若点A与点C之间的距离表示AC，点B与点C之间的距离表示BC，请在数轴上找一点C，使得AC=2BC，求点C在数轴上表示的数？2·1·c·n·j·y
28．我们将称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉．例如：．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题．
（1）分母有理化的值为________；
（2）如图所示，数轴上表示1，的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x，求的值．【来源：21·世纪·教育·网】
29．如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点是C，O为原点.
（1）线段长度：AB=_________，AC=_________，OC=_________.
（2）设C点表示的数为x，试求｜x－｜+x的值．
30．如图1，把两个边长为1的小正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．www-2-1-cnjy-com
（1）图2中A、B两点表示的数分别为___________，____________；
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（2）请你参照上面的方法：
①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长___________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）
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②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长）
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