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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择 ( http: / / www.21cnjy.com )、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21教育网
专题04 数形结合之一次函数与二元一次方程组（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图所示，一次函数（是常数，）与一次函数（是常数）的图象相交于点，下列判断错误的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．关于的方程的解是
B．关于的不等式的解集是
C．当时，函数的值比函数的值小
D．关于，的方程组的解是
【标准答案】B
【思路指引】
根据条件结合图象对各选项进行判断即可．
【详解详析】
解：∵一次函数（是常数，）与一次函数（是常数）的图象相交于点，
∴关于的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意；
∵由图可知，直线在直线上方时，都在点的左侧，
∴关于的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意；
∵当x＜0时，直线在直线上方，
∴当x＜0时，函数的值比函数的值小，选项C判断正确，不符合题意；
∵一次函数（是常数，）与一次函数（是常数）的图象相交于点，
∴关于，的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意；
故选：B．
【名师指路】
本题考查了一次函数与二元一次方 ( http: / / www.21cnjy.com )程（组），一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
2．对于实数a，b，我们 ( http: / / www.21cnjy.com )定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max（2x﹣1，﹣x+2}，则该函数的最小值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【标准答案】B
【思路指引】
联立两函数解析式成方程组，通过解方程组找出交点坐标，再根据max{a，b}的意义即可得出函数的最小值．
【详解详析】
解：联立两函数解析式成方程组，得： ，
解得： ．
∴当x＜1时，y＝max（2x﹣1，﹣x+2}=-x+2＞1；当x≥1时，y＝max（2x﹣1，﹣x+2}=2x-1≥1．
∴函数y＝max（2x﹣1，﹣x+2}最小值为1．
故选B．
【名师指路】
本题考查了一次函数与一元一次不等式，联立两函数解析式成方程组求出交点坐标是解题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，，的角平分线与的垂直平分线交于点C，与交于点D，反比例函数的图象过点C，当面积为1时，k的值为（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】C
【思路指引】
根据 ，得到OB=2OA，设OA=a，则OB=2a，设直线AB的解析式是y=kx+b，利用待定系数法求出直线AB的解析式是y=﹣2x+2a，根据题意可得OD的解析式是y=x，由此求出D的坐标，再根据求解即可．21*cnjy*com
【详解详析】
解：∵ ，
∴OB=2OA，
设OA=a，则OB=2a，
设直线AB的解析式是y=kx+b，
根据题意得： ，
解得： ，
则直线AB的解析式是y=﹣2x+2a，
∵∠AOB=90°，OC平分∠AOB，
∴∠BOC=∠AOC=45°，
CE=OE=，
∴OD的解析式是y=x，
根据题意得： ，
解得： ，
则D的坐标是（，），
∴CE=OE=，
∴C的坐标是（，），
∴，
∴，
∴，
∴，
故选C．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题主要考查了待定系数法求一次 ( http: / / www.21cnjy.com )函数解析式，求两直线的交点，反比例函数比例系数的几何意义，三角形面积公式等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
4．若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
联立两直线解析式求出交点坐标，再根据交点在第一象限列出不等式组求解即可．
【详解详析】
解：根据题意，联立方程组，
解得：，
则两直线交点坐标为，，
两直线交点在第一象限，
，
解得：,
故选：C．
【名师指路】
本题考查了两直线相交的问题，解二元一次方程组和一元一次不等式组，联立两函数解析式求交点坐标是常用的方法．
5．已知两直线与相交于第四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
先求出交点坐标，然后列不等式组即可求解．
【详解详析】
解：由题意得，
，
解得
，
∵两直线与相交于第四象限，
∴，
∴-6＜k＜0；
故选：A．
【名师指路】
本题考查一次函数的图象及性质，以及不等式组的解法，能够掌握直线交点坐标的求法，牢记象限内点的坐标特点是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，点，当四边形 ABCD 的周长最小时，则 m 的值为（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．2 D．3
【标准答案】B
【思路指引】
首先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据垂线段最短解决问题即可．
【详解详析】
解：∵A（1，5），B（4，1），C（m，-m），D（m-3，-m+4），
∴，，
∴AB=CD，
∵点B向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到A，点C向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到D，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=CD，
故四边形ABCD的周长为2(AB+BC)，而AB=5,故只要BC最短，则周长最短，
∵C点的横坐标与纵坐标互为相反数，
∴点C在直线y=-x上运动，
∴由点到直线的距离垂线段最短可知， BC⊥直线y=-x 时，BC的值最小，如下图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
易求得直线BC的解析式为：y=x-3
C点所在的直线为：y=-x，联立两个一次函数解析式：
，解得，故，
故选：B．
【名师指路】
本题考查轴对称最短问题，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．如图，等腰Rt△ABC中，BC＝，以边AC为斜边向右做等腰Rt△ACD，点E是线段CD的中点，连接 AE．作线段CE关于直线AC的对称线段CF，连接BF，并延长BF交线段AE于点G，则线段BG长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
建立如下图所示坐标系，使BC与x轴重合，A ( http: / / www.21cnjy.com )C与y轴重合，可将各点坐标求出，并通过两点式分别求出直线BF、直线AE的解析式，直线BF与AE相交于点G，即可求出BG的长度．
【详解详析】
解：建立如图所示坐标系，使BC与x轴重合，AC与y轴重合，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵ABC和ACD都是等腰直角三角形，且BC=，
∴AC=BC=，AB=，AD=CD=，
可将各点坐标表示出来，A(0，)，B(，0)，C(0,0)，D(,),
∴点E为CD中点，故E的坐标为(,),
又∵CF为CE关于AC的对称线段，故F的坐标为(,),
设直线BF的解析式为：y=kx+b，将B点、F点坐标代入，
，解得：，
∴直线BF的解析式为：，
设直线AE的解析式为：y=mx+n，将A点、E点坐标代入，
，解得：，
∴直线BF的解析式为：，
直线BF与AE相交于点G，
，解得：，即G(,)，
线段BG的长度为：，
故选：B．
【名师指路】
本题主要考察了直角坐标系与几何图形的结合、求一次函数解析式、两直线交点、用勾股定理求坐标系中两点距离，解题的关键在于求出各点的坐标．www-2-1-cnjy-com
8．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：①方程组的解为；②△BCD为直角三角形；③S△ABD＝6；④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．其中正确的说法是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【标准答案】B
【思路指引】
根据一次函数图象与二元一次方程的 ( http: / / www.21cnjy.com )关系，利用交点坐标可得方程组的解；根据两直线的系数的积为-1，可知两直线互相垂直；求得BD和AO的长，根据三角形面积计算公式，即可得到△ABD的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
【详解详析】
解：①∵直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），
∴方程组的解为，
故①正确，符合题意；
②把B（0，4），C（﹣，）代入直线l1：y＝kx+b，可得，解得，
∴直线l1：y＝2x+4，
又∵直线l2：y＝﹣x+m，
∴直线l1与直线l2互相垂直，即∠BCD＝90°，
∴△BCD为直角三角形，
故②正确，符合题意；
③把C（﹣，）代入直线l2：y＝﹣x+m，可得m＝1，
y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，
∴D（0，1），
∴BD＝4﹣1＝3，
在直线l1：y＝2x+4中，令y＝0，则x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∴S△ABD＝×3×2＝3，
故③错误，不符合题意
④点A关于y轴对称的点为A'（2，0），
由点C、A′的坐标得，直线CA′的表达式为：y＝﹣x+1，
令x＝0，则y＝1，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1），
故④正确，符合题意；
故选：B．
【名师指路】
本题为一次函数综合题，考查了一次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
9．在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移个单位长度，使其与的交点在位于第二象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
先求出平移后的函数解析式，再联立它与另一个函数解析式求出它们的交点坐标，根据第二象限的坐标特点为，得到关于m的不等式组，解这个不等式组即可得出m的取值范围．
【详解详析】
解：将函数的图像向上平移m个单位长度后的图像的解析式为，
联立后可以得到：，
解得，
因为它们的交点在第二象限，
即，
解得，
，
故选：B．
【名师指路】
本题主要考查了一次函数图像的平 ( http: / / www.21cnjy.com )移以及求图像的交点的问题，解决本题需要建立关于x和y的二元一次方程组和关于m的不等式组，要求学生能熟练运用平移的规则得到平移后的函数解析式，同时能联立这两个解析式求交点坐标，最后还需要根据交点坐标的特征建立不等式组求出其中的字母参数的取值范围，整个过程对学生的计算能力有较高的要求．【版权所有：21教育】
10．已知函数（为常数，）的图象经过点，且实数，，满足等式：，则一次函数与轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
将点代入函数中，得到关于，，的关系式，将看作常数，再联立满足的等式组成二元一次方程组，将，用含的式子表示出来，此时再回代入函数中，求解出的值，最后在一次函数中令，求解出y的值，最终表示出交点坐标即可．
【详解详析】
解：将点代入函数中，
得：，
又∵，
化简可得：
此时联立方程组可得： ，
解得：，
∴点的坐标可表示为（-k，2k），
将（-k，2k）代入得：
，
解得，
∵为常数且，
∴，
此时一次函数，
令，
解得：，
∴交点坐标为．
故选：C．
【名师指路】
本题考查了一次函数与二元一次方程组，联立二元一次方程组并正确求解是解题的关键．
二、填空题
11．如图，根据函数图象回答问题：方程组的解为_________．
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【标准答案】
【思路指引】
首先观察函数的图象y=kx+3经过点（-3，0），然后求得k值确定函数的解析式，最后求得两图象的交点求方程组的解即可；
【详解详析】
解：根据图象知：y=kx+3经过点（-3，0），
所以-3k+3=0， 解得：k=1，
所以解析式为y=x+3，
当x=-1时，y=2，
所以两个函数图象均经过（-1，2），
所以方程组 的解为，
故答案为：．
【名师指路】
本题主要考查一次函数与二元一次方程组，关键是能根据函数图象的交点解方程组．
12．如图，点A是一次函数图象上的动点，作AC⊥x轴与C，交一次函数的图象于B． 设点A的横坐标为，当____________时，AB=1．
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【标准答案】或
【思路指引】
分别用m表示出点A和点B的纵坐标，用点A的纵坐标减去点B的纵坐标或用点B的纵坐标减去点A的纵坐标得到以m为未知数的方程，求解即可．
【详解详析】
解：∵点A是一次函数图象上的动点，且点A的横坐标为，
∴
∵AC⊥x轴与C，
∴
∴
∵
∴
解得，或
故答案为或
【名师指路】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据A点横坐标和点的坐标特征求得A、B点纵坐标是解题的关键．
13．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A，点B（m，0）是x轴上的一个动点，过点B作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点，若，则m的值为____________．
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【标准答案】或
【思路指引】
分别求出A、C、D三点坐标，根据，利用坐标列式计算即可．
【详解详析】
∵由直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A，
∴点A坐标（－1，2），
∵过点B（m，0）作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点，
∴点C坐标（m，1－m），点D坐标（m，－2m）．
∴，
解得
故答案为或．
【名师指路】
本题考查了求两直线交点坐标，用未知数表示动点坐标等知识点，利用代数式表示动点坐标是解决本题的关键．
14．若函数y＝2x+b的图象与两坐标轴围成的三角形面积为4，那么b＝_______．
【标准答案】±4
【思路指引】
利用一次函数y＝2x+b的图象与x轴交点和与y轴交点的特点求出坐标，以及图象与坐标轴所围成的三角形是直角三角形求解．21·cn·jy·com
【详解详析】
解：∵当y＝0时，0＝2x+b，
∴；
当x＝0时，y＝b，
∴一次函数y＝2x+b的图象与坐标轴所围成的三角形面积：，
解得，
故答案为：．
【名师指路】
此题考查了一次函数的图像与性质，涉及了三角形面积的求解，解题的关键是根据函数解析式求得与坐标轴的交点．【来源：21cnj*y.co*m】
15．如图，已知一次函数y＝－x＋6的图像与x轴，y轴分别相交于点A、B，与一次函数y＝x的图像相交于点C，若点Q在直线AB上，且△OCQ的面积等于12，则点Q的坐标为__________________．
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【标准答案】（－1，）（7，－）
【思路指引】
根据题意联立两个一次函数可确定点C的坐标，然后确定点A、点B的坐标，分两种情况讨论：①当点Q位于线段BC上时，设，求得，由此可得点Q必在点B左侧，即，可得，代入求解即可得点Q的坐标；②当点Q位于C点右侧时，设，根据图形可得，代入求解即可得点Q的坐标．
【详解详析】
解：根据题意分两种情况进行讨论，
，
解得：，
∴，
令代入得：，
令代入得：，
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①当点Q位于线段BC上时，如图即点Q的位置，设，
，
∴点Q必在点B左侧，即，
，
，
，
解得：，
∴，
则，
∴；
②当点Q位于C点右侧时，如图即点Q的位置，设，
，
，
，
解得：，
则，
∴；
综上可得：或，
故答案为：或．
【名师指路】
题目主要考查一次函数的性质及与二元一次方程组的联系，三角形动点问题，理解题意，作出相应图形结合一次函数性质是解题关键．
16．已知平面直角坐标系中， ( http: / / www.21cnjy.com )O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y=x+4上的一个动点，若∠EAB=∠ABO，则点E的坐标为_____________．
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【标准答案】(－12，－8)；(4,8)
【思路指引】
分两种情况：当点E在y轴右侧时，由条 ( http: / / www.21cnjy.com )件可判定AE∥BO，容易求得E点坐标；当点E在y轴左侧时，可设E点坐标为（a，a+4），过AE作直线交x轴于点C，可表示出直线AE的解析式，可表示出C点坐标，再根据勾股定理可表示出AC的长，由条件可得到AC=BC，可得到关于a的方程，可求得E点坐标．
【详解详析】
(1)当点E在y轴右侧时，如图1，连接AE，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠EAB=∠ABO，
∴AE∥OB，
∵A（0，8），
∴E点纵坐标为8，
又E点在直线y=x+4上，把y=8代入可求得x=4，
∴E点坐标为（4，8）；
(2)当点E在y轴左侧时，过A、E作直线交x轴于点C，如图2，
( http: / / www.21cnjy.com / )设C（m，0），
∵∠EAB=∠ABO，
∴AC=BC，
∴（4-m）2=m2+82，
解得m=-6，
∴C（6,0）
∴直线AC的解析式为，
∵E是直线AC与y=x+4的交点
∴联立，解得
∴E（-12，-8）．
综上可知，E点坐标为（4，8）或（-12，-8）．
故答案为：（4，8）或（-12，-8）．
【名师指路】
本题主要考查一次函数的综合应 ( http: / / www.21cnjy.com )用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、等腰三角形的性质、分类讨论思想等知识点．确定出E点的位置，由条件得到AE∥OB或AC=BC是解题的关键．本题难度未大，注意考虑全面即可．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于点D，C．点G，H是线段CD上的两个动点，且∠GOH＝45°，过点G作GA⊥x轴于A，过点H作HB⊥y轴于B，延长AG，BH交于点E，则过点E的反比例函数y＝的解析式为_____．
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【标准答案】y＝
【思路指引】
过点G作GP⊥GO，交OH的延长线于点P，过点P作PN⊥AE，交AE延长线于N，设点A（-，0）则AO＝，DO＝2，AD＝2-，由“AAS”可证△GAO≌△PNG，可得NP＝AG＝2-，AO＝GN＝，可求点P坐标，求出一次函数解析式，可求点H的纵坐标，即可求解．
【详解详析】
解：如图，过点G作GP⊥GO，交OH的延长线于点P，过点P作PN⊥AE，交AE延长线于N，
( http: / / www.21cnjy.com / )
设点A（-，0）
∴AO＝，
∵直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于点D，C，
∴点D（﹣2，0），∠ADC＝45°，
∴DO＝2，AD＝2﹣，
∵AE⊥OD，
∴∠ADG＝∠AGD＝45°，
∴AD＝AG＝2﹣，
∵GP⊥GO，∠GOH＝45°，
∴∠GPO＝∠GOP＝45°，
∴GP＝GO，
∵∠AGO+∠AOG＝90°，∠AGO+∠NGP＝90°，
∴∠AOG＝∠NGP，
又∵∠GNP＝∠GAO＝90°，GO＝GP，
∴△GAO≌△PNG（AAS），
∴NP＝AG＝2﹣，AO＝GN＝，
∴AN＝2，
∴点P（2﹣2，﹣2），
∴直线OP解析式为：y＝ x，
联立方程组
∴
∴点H的纵坐标为，
∴点E（，）
∵反比例函数y＝的图象过点E，
∴k＝×（）＝2，
∴反比例函数解析式为：y＝，
故答案为：y＝ ．
【名师指路】
本题考查了反比例函数k的几何意义，全等三角形的判定和性质，二元一次方程组的解法，利用参数解决问题是本题的关键．
18．已知直线与直线的交点坐标为，则直线与直线的交点坐标为____________．
【标准答案】（-2,3）．
【思路指引】
由，得到，根据直线与直线的交点坐标为，得到，进而得到，将代入中，即可求解．
【详解详析】
解：∵
∴
∵直线与直线的交点坐标为
∴
得
∴
∴
将代入中得
∴交点坐标为（-2,3）
故答案为：（-2,3）．
【名师指路】
此题主要考查直线的交点问题，解题的关键是正确理解一次函数图象交点与二元一次方程组之间的关系．
19．对于实数a，b，我们定义符号 ( http: / / www.21cnjy.com )max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b]＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是_____．
【标准答案】2
【思路指引】
联立两函数解析式成方程组，通过解方程组找出交点坐标，再根据max{a，b}的意义即可得出函数的最小值．
【详解详析】
解：联立两函数解析式成方程组，得：，
解得：．
∴当x＜﹣1时，y＝max{x+3，﹣x+1}＝﹣x+1＞2；当x≥﹣1时，y＝max{x+3，﹣x+1}＝x+3≥2．
∴函数y＝max{x+3，﹣x+1}最小值为2．
故答案为：2．
【名师指路】
本题考查一次函数，解题的关键是掌握分段函数的解析式和函数最值的求解方法．
20．若直线与直线交于点，且函数的值随值的增大而减小，则的取值范围是______．
【标准答案】
【思路指引】
根据一次函数与二元一次方程组的关系可得，求得，再由一次函数的性质可得，则可得出关于m的一元一次不等式组，求解后即可得出结果．
【详解详析】
解：∵直线与直线交于点，
∴ ，
∴，
∴，
∵函数的值随值的增大而减小，
∴，
即，
∴或，
当时，，，此不等式组无解；
当时，，，不等式组的解集为．
∴的取值范围是．
故答案为：．
【名师指路】
此题考查了一次函数与二元一次方程组的关系、一次函数的性质及一元一次不等式组的应用，熟练掌握相关知识点并能准确运用其求解是解题的关键．21世纪教育网版权所有
三、解答题
21．如图1，直线的解析式为，点坐标为，点关于直线的对称点点在直线上．
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（1）求直线、的解析式；
（2）如图2，若交于点，在线段上是否存在一点，使与的面积相等，若存在求出点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图3，过点的直线.当它与直线夹角等于时，求出相应的值．
【标准答案】（1），；（2）存在，；（3）或．
【思路指引】
（1）先用待定系数法求出直线的表达式，再根据勾股定理求出，再用待定系数法求出直线的解析式；
（2）由（1）得，BC=OB=3，CD=4，BD=5，用面积法求出点C的纵坐标，代入直线AD的表达式中，得出点C的坐标，求出直线的解析式，根据得到，用待定系数法求出直线的解析式，最后求出直线与直线的交点即可；
（3）若直线、与直线夹角等于，为等腰直角三角形，作于，于，证明出，根据全等的性质与直线过点D，设直线的解析式为，令坐标为，则，，得到，，再进行分类讨论即可．
【详解详析】
解：（1），
，即，
又，
，
设直线的解析式为，将点代入得，
直线的解析式为.
在中，，
点、点关于直线对称，
设，，，
，
在中，，
（面积法亦可）
，
直线的解析式为.
（2）由（1）得，BC=OB=3，CD=4，BD=5，
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则，
解得：，
将代入中，求得：
则，直线的解析式为：，
直线的解析式为：.
，
，
，
设直线的解析式为：，
在直线上，
，
，
直线的解析式为：，
联立得：，解得：.
故存在，.
（3）如图，设若直线、与直线夹角等于，
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即为等腰直角三角形，作于，于，
则，
，，
直线过，
即，解得：，
直线的解析式为：，
设坐标为，则，，
点坐标为，
点在直线上，
，
解得：，
，.
当直线过点时，，解得：，
当直线过点时，，解得：.
所以或.
【名师指路】
本题主要考查了一次函数的综合应用，涉及勾股定理、二元一次方程组等知识点，根据函数图象之间的关系进行求解是本题解题的关键．
22．定义：图象与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B，
（1）关于l的对称函数y＝与直线x＝1交于点C，如图．
①直接写出点的坐标：A（ ，0）；B（ ，0）；C（1， ）；
②P为关于l的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标；
（2）当直线y＝x与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围．
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【标准答案】（1）①﹣2，2，2；②点P坐标为或或；（2）．
【思路指引】
（1）①把点的横（纵）坐标代入解析式中即可求得点的纵（横）坐标；
②先根据三角形面积公式求得，再根据得到，解得或，再根据解析式求出点P的横坐标即可；
（2）先根据关于m的对称函数的解析式， 确定m的取值范围为，再根据一次函数与二元一次方程组的关系确定直线y=x与关于m的对称函数的两个交点的坐标，再根据交点存在确定m的取值范围．
【详解详析】
解：（1）①当时，令，即，解得，此时满足题意，故．
当时，令，即，解得，此时满足题意，故．
当时，，故．
故答案为：，2，2．
②∵，，，
∴AB=4，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴或．
当，且时，令，即，解得，此时与点C重合，故舍去．
当，且时，令，即，解得，此时符合题意，故．
当，且时，令，即，解得，此时符合题意，故．
当，且时，令，即，解得，此时符合题意，故．
故点P坐标为或或．
（2）∵关于m的对称函数的解析式为
∴该函数图象为两个一次函数图象的一部分结合起来的图象．
∵一次函数图象与x轴最多只有一个交点，且关于m的对称函数与x轴有两个交点，
∴组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x轴有交点．
∵对于，令y=0，即，解得x=2，
∴x=2必须在的范围之内．
∴．
∵对于，令y=0，即，解得，
∴必须在的范围之内．
∴．
∴．
∵直线y＝x与关于m的对称函数有两个交点，
∴直线y=x分别与直线和各有一个交点．
对于直线y=x与直线，
联立可得解得
∴直线y=x与直线必有一交点．
对于直线y=x与直线，
联立可得解得
∵，
∴必须在的范围之内才能保证直线y=x与直线有交点．
∴．
∴．
∴m的取值范围是．
【名师指路】
本题考查求一次函数自变量的值或 ( http: / / www.21cnjy.com )函数值，坐标与图形关系，三角形面积公式，一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握分类讨论思想和数形结合思想是解题关键．2-1-c-n-j-y
23．如图1，直线与坐标轴分别交于点A、B，与直线交于点C．
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（1）求A、C两点的坐标；
（2）如图2，若有一条垂直于x轴的直线l以每秒1个单位的速度从点A出发沿射线方向作匀速滑动，分别交直线、及x轴于点M、N和Q．设运动时间为，连接．
①当时，求t的值．
②若四边形为平行四边形，试求出E点的坐标；
（3）试探究在坐标平面内是否存在点P，使得以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【标准答案】（1）A（6，0），C（2，2）；（2）① t=2或6；②（，）；（3）或或或
【思路指引】
（1）根据A是一次函数与x轴的交点令y=0得到x=6，联立一次函数和正比例函数的解析式，从而可得A、C点的坐标；
（2）①根据绝对值方程即可解决问题；②四边形CMEN是平行四边形则CM∥EN，CN∥ME，即可得到，，设直线ME的解析式为，直线EN的解析式为，求出，，然后联立和即可求解；
（3）根据菱形的性质，分OC为菱形的边和对角线进行讨论求解即可得到答案.
【详解详析】
解：（1）对于直线，令x=0得到y=3，令y=0，得到x=6，
∴A（6，0），B（0，3）．
联立，
解得，
∴C（2，2），
（2）①设M（6-t，-（6-t）+3），N（6-t，6-t），
∴MN=|-（6-t）+3-（6-t）|=|t-6|，
∵OA=2MN，
∴6=2|t-6|，
解得t=2或6；
②∵四边形CMEN是平行四边形
∴CM∥EN，CN∥ME，
∴，，
设直线ME的解析式为，直线EN的解析式为
把M（6-t，-（6-t）+3）代入中，
∴，
把N（6-t，6-t）代入中，
∴
∴直线ME的解析式为，直线EN的解析式为
解得：
∴E的坐标为（，）；
（3）∵C（2，2），
∴
当OC为菱形的边时，可得（，0），（，0），（，0），
当OC为菱形的对角线时，可得（2，0），
∴或或或时以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形.
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【名师指路】
本题考查了用待定系数法求出一次函数解析式，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
24．在平面直角坐标系中，点坐标为， 点B坐标为，点坐标为，且、满足方程组．
（1）如图1，直接写出点和点的坐标；
（2）如图2，在线段上有一点（点不与、重合），过点作的垂线，分别交轴和线段于点和点，连接，若，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长交轴于点，若，连接交于点，求点的坐标．
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【标准答案】（1）A（0,6），（-3,0）；（2）；（3）K（0，）
【思路指引】
（1）利用代入法解方程组求出m、n的值即可得到点A和点的坐标；
（2）根据点B、C的坐标及DF⊥AB，求得，化简得，再利用外角的性质求出结果；
（3）连接BE，设E（0，n），先求出直线AB的解析式，设直线EG的解析式为，求出n=3，由此得到OE=OB=3，求出直线EG的解析式，直线AC的解析式，连立方程组求出点F的坐标，求出直线BF的解析式，即可得到答案．【出处：21教育名师】
【详解详析】
25．如图，在平面直角坐标系中，点O ( http: / / www.21cnjy.com )为坐标原点．△ABO的顶点A在y轴的正半轴上，且OA=16，顶点B在x轴正半轴上，且B（12，0），BE是△ABO的角平分线，且AB=20．
（1）直接写出E点坐标；
（2）点D是射线BO上的一个动点 ( http: / / www.21cnjy.com )（点D不与点B、点O重合），连接DE，设D点的横坐标为t，△BDE的面积为S，求S与t的关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，如图3，当点 ( http: / / www.21cnjy.com )D在线段OB上，连接AD，AD、BE相交于点F，过点F作FM⊥AD交AB于点M，FN⊥BE交AB于点N，当S=20时，求线段MN的长度．
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【标准答案】（1）；（2）（t<12且t≠0）；（3）2
【思路指引】
（1）过点作于点，设点，根据角平分线的性质，可得,进而根据等面积法求得的值，进而求得的坐标；
（2）根据点的位置，分别计算的长，根据三角形面积公式以及点到坐标的距离求得解析式；
（3）过点作于点，过点作于点，连接，根据题意，求得的坐标，进而求得直线和直线的解析式，即可求得的坐标，根据角平分线的性质，可得，设，根据等面积法和勾股定理分别求得，列方程解得的值，即求得的长
【详解详析】
（1）过点作于点，如图1，
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BE是△ABO的角平分线，
设点
则,
解得
（2）如图2，
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点D是射线BO上的一个动点，点D不与点B、点O重合，D点的横坐标为t，
且
，
当，，
，，
（且），
；
（3）如图3，当点D在线段OB上，
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，
解得，
，
，
，
设的解析式为，
则，
解得，
，
设的解析式为，
，
，
解得，
，
交点为，
，
解得，
，
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过点作于点，过点作于点，连接，
则，
BE是△ABO的角平分线，，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
即，
，
整理得：，
即，
解得，
．
【名师指路】
本题考查了一次函数的交点问题，角平分线的性质，勾股定理，根据算术平方根的意义解方程，掌握以上知识是解题的关键．2·1·c·n·j·y
26．定义：如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为平面图形的一条面积等分线．21*cnjy*com
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（1）如图1，已知，请用尺规作出的一条面积等分线．
（2）已知：如图2，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴的正半轴上、在y轴的正半轴上，．
①请判断直线是否为矩形的面积等分线，并说明理由；
②若矩形的面积等分线与坐标轴所围成的三角形面积为4，请直接写出此面积等分线的函数表达式．
（3）如图3，在中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标，求过点D的一条的面积等分线的解析式．
（4）在中点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，直线是的一条面积等分线，请直接写出b的取值范围．
【标准答案】（1）见解析；（2）①直线不是矩形的面积等分线；②y=2x 4或y=x+；（3）；（4）
【思路指引】
（1）作出线段BC的垂直平分线，找到BC中点D，连接AD，AD即所求的的一条面积等分线．
（2）①连接AC，OB交于点M，根据求出点M的坐标，然后由矩形性质可知形OABC的面积等分线必过点M，将M点的坐标代入判断M点不在一次函数图像上，即可判断出直线不是矩形的面积等分线；
②先设出矩形面积等分线的解析式，利用和坐标轴围城的三角形面积是4建立方程求解即可；
（3）根据题意设出三角形面积等分线的解析式，求出直线AB的解析式，然后两条直线联立表示出交点坐标，根据三角形面积的一半列出方程求解即可；
（4）根据图像结合面积等分线的性质即可求出b的取值范围．
【详解详析】
解：（1）如图1所示，作出BC的垂直平分线交BC于点D，连接AD，
∴AD是三角形ABC的中线，
∴AC所在直线即要求的的一条面积等分线．
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（2）①如图2所示，连接AC，OB交于点M．
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∵OA=6，OC=4，
∴，，
∴，
∵四边形OABC是矩形，
∴矩形OABC的面积等分线必过点M，
将x=3代入中，得：
，
∴直线不过点M，
∴直线不是矩形OABC的面积等分线；
②如图所示，
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由①知，矩形OABC的面积等分线必过点M(3,2)，
设矩形OABC的面积等分线的解析式为y=kx+b与x轴相交于点E，与y轴相交于F，
∴3k+b=2，
∴b=2 3k，
∴矩形OABC的面积等分线的解析式为y=kx+2 3k，
令x=0，y=2 3k，
∴F(0，2 3k)，
∴OF=|2 3k|，
令y=0，
∴x=，
∴E(，0)，
∴OE=，
∵矩形OABC的面积等分线与坐标轴所围成的三角形面积为4，
∴，
∴OE OF=8，
∴|2 3k| ||=8，
∴k=2或k=，
∴矩形OABC的面积等分线函数表达式为y=2x 4或y=x+．
（3）如图所示，设三角形ABC面积的等分线的表达式为，交x轴于点F，交AB于点E．
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∵三角形ABC面积的等分线过点D，
∴将D代入表达式得：b=-2，
∴表达式为．
将y=0代入得：x=，
∴F．
∴AF=．
∵点A的坐标为，点B的坐标为，
利用待定系数法可得AB的表达式为，
∵DE和AB交于点E，
∴联立表达式得：，
解得：．
∵，
∴，
∴，
代入得：，
整理得：，
解得：（舍去），
∴三角形ABC面积的等分线的表达式为．
（4）如图所示，
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∵直线是的一条面积等分线，
由图像可知，
当或时，无论a取何值，直线都不能把的面积平分，
∴．
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此题考查了待定系数法求一次函 ( http: / / www.21cnjy.com )数表达式，三角形中线的性质，基本作图，矩形的性质等知识，解题的关键是设出直线表达式，根据三角形面积列出方程求解．21教育名师原创作品
27．平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点．
（1）当时，求点的坐标；
（2）如图1，点为的中点，过点作轴于，交直线于点，若，求的值；
（3）如图2，点在第二象限内，轴于，以为边向左作正方形，的延长线交直线于点，若，求点的坐标．【来源：21·世纪·教育·网】
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【标准答案】（1）（ ）；（2）；（3）（）
【思路指引】
（1）当k=1时，直线l2为y=x+2．解方程组，解方程组即可；
（2）先求出C（-2，0），OC=2，A ( http: / / www.21cnjy.com )（6，0），OA=6，过点P作PG⊥DF于点G，先证△PDG≌△ADE（AAS），再证PC=PA，过点P作PH⊥CA于点H，可求CH=CA=4，OH= 2，求点P（2，2）即可；
（3）由正方形，可得PQ=PM，∠RQP=∠CMP=90°，可证Rt△PMC≌Rt△PQR（HL），可得NR=NC，设NR=NC=a，则R（-a-2，a），代入， a=8，设P（m，n），则，利用正方形边长线段可得10+m=即可．
【详解详析】
解：（1）当k=1时，直线l2为y=x+2．
解方程组，
解得，
∴P；
（2）当y=0时，kx+2k=0，
∵k≠0，
∴x=-2
∴C（-2，0），OC=2
当y=0时，，
∴x=6，
∴A（6，0），OA=6
过点P作PG⊥DF于点G，
∵，
∴PG∥x轴，
∴∠GPD=∠EAD，∠PGD=∠AED=90°，
∵点为的中点，
∴PD=AD，
在△PDG和△ADE中
，
∴△PDG≌△ADE（AAS），
∴DG = DE，
∵，
∴FG+GD=DF=2DE，
∴FG=GD，
∵PG⊥DF，
∴PD=PF，
∴∠PFD=∠PDF，
∵∠PFD+∠PCA=90°，∠PDF+∠PAC=90°，
∴∠PCA=∠PAC，
∴PC=PA，
过点P作PH⊥CA于点H，
∴CH=CA=4，
∴OH=CH-OC=4-2=2，
当x=2时，，
∴点P（2，2），
把点P代入y=kx+2k，得2k+2k=2，
∴；
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（3）∵以为边向左作正方形，
∴PQ=PM，∠RQP=∠CMP=90°
在Rt△PMC和Rt△PQR中
∴Rt△PMC≌Rt△PQR（HL），
∴CM=RQ，
∴NR=NC，
设NR=NC=a，
则R（-a-2，a），
代入，得，
解得，a=8，
设P（m，n），
则，
∵ON=a+2=8+2=10，
∴NM=ON-OM=10+m，
∵PM=NM，
即10+m=，
解得m=，，
∴P．
【名师指路】
本题考查直线的交点问题，两函数解析 ( http: / / www.21cnjy.com )式组成方程组，解方程组，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，正方形性质，一元一次方程，习题难度稍难，综合性较大，灵活掌握以上知识是关键．
28．已知：在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A．
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（1）请证明：无论m为何值，直线，总经过点．
（2）当时，求点A的坐标．
（3）函数的图像与直线、直线围成的封闭区域（不含边界）为W，横纵坐标都为整数的点叫做整点．
①当时，画出函数图像，并直接写出区域W内整点的个数．
②当区域W内恰好有三个整点时，直接写出m的取值范围．
【标准答案】（1）见解析；（2）A（4,3）；（3）①3个；②
【思路指引】
（1）取m的值代入直线解析式，依次验证是否过点（2,2），再求出x=2时的函数值，即可得到结论；
（2）将m的值代入求出解析式，再将代入求出y值即可得到点A的坐标；
（3）①根据m的值画出图象，分情况：当x=1时，当x=2时，当x=3时，分别求出区域内函数的最大和最小值，即可得到整点坐标及个数；
②根据题意得到当x=3时，，解不等式即可．
【详解详析】
（1）证明：当m=0时，直线为y=x，当x=2时y=2，此时直线经过点（2,2）；
当m=1时，直线为y=2x-2，当x=2时y=2，此时直线经过点（2,2）；
当m=2时，直线为y=3x-4，当x=2时y=2，此时直线经过点（2,2）；
当x=2时，，
∴无论m为何值，直线，总经过点．
（2）解：当时，直线为，
∵直线与直线交于点A，
∴当时，y=3，
∴A（4,3）；
（3）①如图，当x=1时，区域内函数值最小为1，最大为；
当x=2时，区域内函数值最小为，最大为2，存在整点（2,1）；
当x=3时，区域内函数值最小为，最大为，存在整点（3,1）、（3,2）；
故整点有（2,1）、（3,1）、（3,2）共3个；
②当区域W内恰好有三个整点时，即（2,1）、（3,1）、（3,2），且无论m为何值，直线总经过点，www.21-cn-jy.com
∴当x=3时，，
∴．
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【名师指路】
此题考查了一次函数的性质，画函数图象，求两 ( http: / / www.21cnjy.com )条直线交点坐标，函数的最值的确定，构建不等式解决实际问题，正确掌握各知识点并熟练应用是解题的关键．
29．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣0 ( http: / / www.21cnjy.com ).5x＋2与x轴，y轴分别交于点A和点B，与直线y＝x交于点C、P（m，0）为x轴上一动点（P不与原点重合），过P作x轴垂线与直线y＝x和y＝﹣0.5x＋2分别交于点M和点N，过N作x轴的平行线交直线y＝x于D．
（1）求C点坐标；
（2）求当MN＝OB时，m的值；并直接写出此时四边形COPN的面积＝ ；
（3）直接写出当DN＝2NP时，m的值＝ ；
（4）过D作y轴平行线交直线AB于点E，P点在运动过程中，的值＝ ．
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【标准答案】（1）；（2），；（3）或；（4）
【思路指引】
（1）联立两直线解析式求解即可；
（2）设，求得点坐标，再求得线段，求解即可；
（3）设，求得点坐标，根据题意列方程求解即可；
（4）设，求得线段、，求解即可．
【详解详析】
解：（1）联立两直线解析式，可得
解得，即点坐标为
故答案为
（2）设，则，
线段
由题意可得：，，则
∴，解得或（舍去）
四边形COPN的面积
故答案为，
（3）设，则，
则的纵坐标为
又∵在直线上，
∴的横坐标为
即
，
由题意可得：
化简可得：或
解得或
故答案为或；
（4）由（3）得，则的横坐标为
则的纵坐标为，即
则
由（1）得
∴
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故答案为
【名师指路】
此题考查了一次函数的性质，一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，求得对应线段的长度．21cnjy.com
30．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．21·世纪*教育网
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（1）求出点A、点B的坐标；
（2）求△COB的面积；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由．
【标准答案】（1）A点坐标为（6，0），B点坐标为（0，3）；（2）3；（3）当P点坐标为或或（0，1）或时，使得△PBC为等腰三角形
【思路指引】
（1）根据A、B是直线与x轴，y轴的交点进行求解即可；
（2）先求出C点坐标，然后求出OB的长，再由进行求解即可；
（3）分当PB=BC时，当PC=BC时，当PB=PC时，三种情况讨论求解即可．
【详解详析】
解：（1）∵A、B是直线与x轴，y轴的交点，
∴A点坐标为（6，0），B点坐标为（0，3）；
（2）联立，
解得，
∴C点坐标为（2，2），
∵B点坐标为（0，3），
∴OB=3，
∴；
（3）假设存在点P使得△PBC是等腰三角形，
∵B（0，3），C（2，2），
∴，
设P点坐标为（0，m），则，
当PB=BC时，则，
∴，
解得，
∴此时P点坐标为或；
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当PC=BC时，过点C作CD⊥BP于D，
∴D点坐标为（0，2），PD=BD，
∴PD=BD=1，
∴BP=2
∴OP=OB-BP=1，
∴P点坐标为（0，1）
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当PB=PC时，
∴，
解得，
∴P点坐标为；
∴综上所述，当P点坐标为或或（0，1）或时，使得△PBC为等腰三角形．
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【名师指路】
本题主要考查了一次函数与几何的综合，等腰三角形的性质，两点距离公式，两直线的交点问题，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答 ( http: / / www.21cnjy.com )三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题04 数形结合之一次函数与二元一次方程组（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图所示，一次函数（是常数，）与一次函数（是常数）的图象相交于点，下列判断错误的是（ ）21教育网
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A．关于的方程的解是
B．关于的不等式的解集是
C．当时，函数的值比函数的值小
D．关于，的方程组的解是
2．对于实数a，b，我们定义符号max ( http: / / www.21cnjy.com ){a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max（2x﹣1，﹣x+2}，则该函数的最小值是（ ）21·cn·jy·com
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，，的角平分线与的垂直平分线交于点C，与交于点D，反比例函数的图象过点C，当面积为1时，k的值为（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
4．若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
5．已知两直线与相交于第四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，点，当四边形 ABCD 的周长最小时，则 m 的值为（ ）．
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A． B． C．2 D．3
7．如图，等腰Rt△ABC中，BC＝，以边AC为斜边向右做等腰Rt△ACD，点E是线段CD的中点，连接 AE．作线段CE关于直线AC的对称线段CF，连接BF，并延长BF交线段AE于点G，则线段BG长为（ ）www.21-cn-jy.com
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A． B． C． D．
8．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：①方程组的解为；②△BCD为直角三角形；③S△ABD＝6；④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．其中正确的说法是（ ）2·1·c·n·j·y
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A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
9．在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移个单位长度，使其与的交点在位于第二象限，则的取值范围为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． B． C． D．
10．已知函数（为常数，）的图象经过点，且实数，，满足等式：，则一次函数与轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，根据函数图象回答问题：方程组的解为_________．
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12．如图，点A是一次函数图象上的动点，作AC⊥x轴与C，交一次函数的图象于B． 设点A的横坐标为，当____________时，AB=1．【出处：21教育名师】
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13．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A，点B（m，0）是x轴上的一个动点，过点B作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点，若，则m的值为____________．【版权所有：21教育】
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14．若函数y＝2x+b的图象与两坐标轴围成的三角形面积为4，那么b＝_______．
15．如图，已知一次函数y＝－x＋6的图像与x轴，y轴分别相交于点A、B，与一次函数y＝x的图像相交于点C，若点Q在直线AB上，且△OCQ的面积等于12，则点Q的坐标为__________________．
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16．已知平面直角坐标系 ( http: / / www.21cnjy.com )中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y=x+4上的一个动点，若∠EAB=∠ABO，则点E的坐标为_____________．
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17．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于点D，C．点G，H是线段CD上的两个动点，且∠GOH＝45°，过点G作GA⊥x轴于A，过点H作HB⊥y轴于B，延长AG，BH交于点E，则过点E的反比例函数y＝的解析式为_____．
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18．已知直线与直线的交点坐标为，则直线与直线的交点坐标为____________．
19．对于实数a，b，我 ( http: / / www.21cnjy.com )们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b]＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是_____．
20．若直线与直线交于点，且函数的值随值的增大而减小，则的取值范围是______．
三、解答题
21．如图1，直线的解析式为，点坐标为，点关于直线的对称点点在直线上．
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（1）求直线、的解析式；
（2）如图2，若交于点，在线段上是否存在一点，使与的面积相等，若存在求出点坐标，若不存在，请说明理由；21cnjy.com
（3）如图3，过点的直线.当它与直线夹角等于时，求出相应的值．
22．定义：图象与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B，
（1）关于l的对称函数y＝与直线x＝1交于点C，如图．
①直接写出点的坐标：A（ ，0）；B（ ，0）；C（1， ）；
②P为关于l的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标；
（2）当直线y＝x与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围．
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23．如图1，直线与坐标轴分别交于点A、B，与直线交于点C．
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（1）求A、C两点的坐标；
（2）如图2，若有一条垂直于x轴的直线l以每秒1个单位的速度从点A出发沿射线方向作匀速滑动，分别交直线、及x轴于点M、N和Q．设运动时间为，连接．21*cnjy*com
①当时，求t的值．
②若四边形为平行四边形，试求出E点的坐标；
（3）试探究在坐标平面内是否存在点P，使得以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．21教育名师原创作品
24．在平面直角坐标系中，点坐标为， 点B坐标为，点坐标为，且、满足方程组．
（1）如图1，直接写出点和点的坐标；
（2）如图2，在线段上有一点（点不与、重合），过点作的垂线，分别交轴和线段于点和点，连接，若，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长交轴于点，若，连接交于点，求点的坐标．
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25．如图，在平面直角坐标系中，点O为 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标原点．△ABO的顶点A在y轴的正半轴上，且OA=16，顶点B在x轴正半轴上，且B（12，0），BE是△ABO的角平分线，且AB=20．21*cnjy*com
（1）直接写出E点坐标；
（2）点D是射线BO上的一个动点（点D不与 ( http: / / www.21cnjy.com )点B、点O重合），连接DE，设D点的横坐标为t，△BDE的面积为S，求S与t的关系式，并直接写出t的取值范围；www-2-1-cnjy-com
（3）在（2）的条件下，如图3， ( http: / / www.21cnjy.com )当点D在线段OB上，连接AD，AD、BE相交于点F，过点F作FM⊥AD交AB于点M，FN⊥BE交AB于点N，当S=20时，求线段MN的长度．
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26．定义：如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为平面图形的一条面积等分线．
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（1）如图1，已知，请用尺规作出的一条面积等分线．
（2）已知：如图2，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴的正半轴上、在y轴的正半轴上，．
①请判断直线是否为矩形的面积等分线，并说明理由；
②若矩形的面积等分线与坐标轴所围成的三角形面积为4，请直接写出此面积等分线的函数表达式．
（3）如图3，在中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标，求过点D的一条的面积等分线的解析式．
（4）在中点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，直线是的一条面积等分线，请直接写出b的取值范围．
27．平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点．
（1）当时，求点的坐标；
（2）如图1，点为的中点，过点作轴于，交直线于点，若，求的值；
（3）如图2，点在第二象限内，轴于，以为边向左作正方形，的延长线交直线于点，若，求点的坐标．
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28．已知：在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A．
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（1）请证明：无论m为何值，直线，总经过点．
（2）当时，求点A的坐标．
（3）函数的图像与直线、直线围成的封闭区域（不含边界）为W，横纵坐标都为整数的点叫做整点．
①当时，画出函数图像，并直接写出区域W内整点的个数．
②当区域W内恰好有三个整点时，直接写出m的取值范围．
29．如图，在平面直角坐标系中 ( http: / / www.21cnjy.com )，直线y＝﹣0.5x＋2与x轴，y轴分别交于点A和点B，与直线y＝x交于点C、P（m，0）为x轴上一动点（P不与原点重合），过P作x轴垂线与直线y＝x和y＝﹣0.5x＋2分别交于点M和点N，过N作x轴的平行线交直线y＝x于D．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求C点坐标；
（2）求当MN＝OB时，m的值；并直接写出此时四边形COPN的面积＝ ；
（3）直接写出当DN＝2NP时，m的值＝ ；
（4）过D作y轴平行线交直线AB于点E，P点在运动过程中，的值＝ ．
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30．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．2-1-c-n-j-y
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（1）求出点A、点B的坐标；
（2）求△COB的面积；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由．21·世纪*教育网
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