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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填 ( http: / / www.21cnjy.com )空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。2-1-c-n-j-y
专题01 数形结合之一次函数图像与性质（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．若关于的不等式组有解，则一次函数的图象一定不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【标准答案】D
【思路指引】
先解不等式组，根据不等式组有解，求得的取值范围，即可判断一次函数的图象一定不经过的象限．
【详解详析】
∵，
∴，
∵不等式组有解，
∴，
∴，
∴，
∴经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
【名师指路】
本题考查了一次函数的性质、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．21*cnjy*com
2．在平面直角坐标系中，将直线沿坐标轴方向平移后，得到直线与关于坐标原点中心对称，则下列平移作法正确的是（ ）21教育名师原创作品
A．将向右平移4个单位长度 B．将向左平移6个单位长度
C．将向上平移6个单位长度 D．将向上平移4个单位长度
【标准答案】D
【思路指引】
先画出图象，求出直线与坐标轴交点A、B坐标，根据中心对称的性质得到对应点D、C坐标，利用待定系数法求出直线解析式，直线平移的规律即可求解．
【详解详析】
解：如图，把y=0代入得到，把x=0代入得到y=-2，
∴直线与x轴、y轴的交点分别为A、B（0,-2），
∵直线与关于坐标原点中心对称，
∴点A关于原点对称的点D的坐标为，点B关于原点对称的点C的坐标为（0,2）
设的解析式为，
则，
解得
∴的解析式为
∴直线可以看做直线向上平移4个单位得到．
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选：D
【名师指路】
本题考查了求一次函数与坐标轴的交点、待定系数法、一次函数的平移、中心对称的性质等知识，熟知一次函数的知识和中心对称的性质是解题关键．
3．已知点，，是直线上的三个点，则，，的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
结合题意，根据一次函数图像的性质分析，即可得到答案．
【详解详析】
∵直线上，随着的增加而减小，且
∴
故选：A．
【名师指路】
本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性质，从而完成求解．
4．已知一次函数（k，b是常数，）若，则它的图象可能是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】D
【思路指引】
逐一分析各个选项的k、b的符号，结合已知条件即可做出判断
【详解详析】
解：A、由图可知k＞0，b＞0，且当x=-1时，-k+b＜0， k＞b，则|k|=k，|b|=b，可得|k|＞|b|与题意不符；21教育网
B、由图可知k＞0，b＜0，且当x=1时，k+b＞0， k＞-b，则|k|=k，|b|=-b，可得|k|＞|b|与题意不符；
C、由图可知当x=-1时，-k+b=0， k=b，则 |k|=|b|与题意不符；
D、由图可知k＜0，b＞0，且当x=1时，k+b＞0， -k＜b，则|k|=-k，|b|=b，可得|k|＜|b|与题意相符；
故选：D
【名师指路】
此题考查了一次函数图象与k和b符号的关 ( http: / / www.21cnjy.com )系，关键是掌握当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
5．在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x ( http: / / www.21cnjy.com )+2和直线y=-2x+4分别交x轴于点A和点B，则下列直线中，与x轴的交点在线段AB上的是（ ）
A．y=x+2 B． C．y=4x-12 D．
【标准答案】D
【思路指引】
先确定A，B的坐标，从而 ( http: / / www.21cnjy.com )确定交点横坐标的取值范围，后逐一计算选项直线与x轴的交点，判断横坐标是否在求得的范围内，在范围内，满足条件，否则，不满足．
【详解详析】
∵直线y=2x+2和直线y=-2x+4分别交x轴于点A和点B，
∴A（-1，0），B（2，0），
∴-1≤x≤2，
∵y=x+2交x轴于点A（-2，0），且x= -2不是-1≤x≤2的解，
∴与x轴的交点不在线段AB上，
∵交x轴于点A（，0），且x= 不是-1≤x≤2的解，
∴与x轴的交点不在线段AB上，
∵y=4x-12交x轴于点A（3，0），且x= 3不是-1≤x≤2的解，
∴与x轴的交点不在线段AB上，
∵交x轴于点A（，0），且x=是-1≤x≤2的解，
∴与x轴的交点在线段AB上，
故选D．
【名师指路】
本题考查了一次函数与x轴的交点问题，利用交点的横坐标建立不等式解集，验证新直线与x轴交点的横坐标是否是解集的解是解题的关键．
6．（2021·上海普陀·二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B均在y轴上，点C在x轴上，将△ABC绕着顶点B旋转后，点C的对应点C′落在y轴上，点A的对应点A′落在反比例函数y＝在第一象限的图象上．如果点B、C的坐标分别是（0，﹣4）、（﹣2，0），那么点A′的坐标是（ ）
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A．（3，2） B．（，4） C．（2，3） D．（4，）
【标准答案】A
【思路指引】
根据题意求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线A′B的解析式，与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得A′的坐标．
【详解详析】
解：设A′B与x轴的交点为D，由题意可知D（2，0），
( http: / / www.21cnjy.com / )
设直线A′B的解析式为y＝kx﹣4，
把D（2，0）代入得0＝2k﹣4，
解得k＝2，
∴直线A′B的解析式为y＝2x﹣4，
由解得或，
∴点A′的坐标是（3，2），
故选：A．
【名师指路】
本题考查了旋转的性质，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点，求得直线A′B的解析式是解题的关键．
7．（2021·上海青浦·八年级期末）如果一次函数的图像经过第一、三、四象限，那么、应满足的条件是（ ）
A．，且； B．，且；
C．，且； D．，且．
【标准答案】B
【思路指引】
根据一次函数图像的性质分析，即可得到答案．
【详解详析】
一次函数的图像经过第一、三、四象限
∴当时，；
∴当时，
∴
故选：B．
【名师指路】
本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性质，从而完成求解．
8．（2021·上海普陀·八年级期中）一次函数y＝（k+3）x+1中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0 B．k＜0 C．k＜﹣3 D．k＞﹣3
【标准答案】C
【思路指引】
根据一次函数y＝（k+3）x+1中，y随x的增大而减小，推出k+3＜0即可找到k的取值范围．
【详解详析】
解：∵一次函数y=（k+3）x+1中，y随x的增大而减小，
∴k+3＜0，
解得：k＜-3．
故A、B、D错误，
故选：C．
【名师指路】
本题考查一次函数的性质以及不等式的解法，熟练掌握一次函数的性质特点，准确计算是解决本题的关键．
9．（2021·上海同济大学附属存志学校八年级期中）已知反比例函数y＝，下列结论正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．图像的两支分别在第二、四象限
C．图像与y＝3x的图像有两个交点
D．A（﹣1，3）在函数的图像上
【标准答案】C
【思路指引】
根据反比例函数的图象性质判断即可；
【详解详析】
当和时，y随x的增大而减小，故A错误；
图像的两支分别在第一、三象限，故B错误；
图像与y＝3x的图像有两个交点，故C正确；
当时，，故D错误；
故选C．
【名师指路】
本题主要考查了反比例函数的图象性质，反比例函数与一次函数的交点，准确计算是解题的关键．
10．如图，点A的坐标为（0 ( http: / / www.21cnjy.com )，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】A
【思路指引】
根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．
【详解详析】
作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，如图所示，
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由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y， ∵AD∥x轴，
∴∠DAO+∠AOD=180°，
∴∠DAO=90°，
∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠OAB=∠DAC，
在△OAB和△DAC中，，
∴△OAB≌△DAC（AAS），
∴OB=CD，
∴CD=x，
∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，
∴y=x+1（x＞0）．
考点：动点问题的函数图象
二、填空题
11．（2021·上海·八年级期中）如图，直角三角形的斜边在轴的正半轴上，点与原点重合，点的坐标是，且，若将绕着点旋转后30°，点和点分别落在点和点处，那么直线的解析式是__________．【来源：21cnj*y.co*m】
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【标准答案】和
【思路指引】
先求出E、F点的坐标，再利用待定系数法即可求得．
【详解详析】
解：∵点B的坐标是（0，4），且∠A＝30°．
∴AB＝4，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴BC＝AB＝2，
∴AC＝，
当逆时针旋转30°后，如图所示，
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∵旋转
∴EF＝BC＝2，AF＝AC＝
点E（-2，），F（0，），
∴直线EF的解析式是 y＝；
当逆时针旋转30°后，如图所示，过点E、F分别作EG⊥x轴，FH⊥x轴，垂足为点G、H，
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∵旋转
∴AE＝AB＝4，AF＝AC＝，∠EAF＝∠BAC＝30°，
∵EG∥y轴，
∴∠AEG＝∠BAC＝30°，
∵在Rt△EAG中，∠AEG＝30°，
∴AG＝AE＝2，
∴EG＝，
∴点E（2，），
∵∠EAF＝∠BAC＝30°，
∴∠FAH＝90°-∠EAF-∠BAC＝30°，
∵在Rt△FAH中，∠FAH＝30°，
∴FH＝AF＝，
∴AH＝，
∴点F（3，），
设直线EF的解析式为y＝kx＋b，
∴，解得，
∴直线EF的解析式为y＝x＋4，
故答案为：y＝或y＝x＋4．
【名师指路】
本题考查了坐标和图形的变化﹣旋转，待定系数法求一次函数的解析式，解直角三角形求得E、F的坐标是解题的关键．21世纪教育网版权所有
12．一次函数的图像与轴交点的纵坐标为－3，且当时，－1，则该一次函数的解析式是__________．
【标准答案】.
【思路指引】
因为一次函数y=kx+b的图与y轴交点的纵坐标为-3，所以b=-3，根据当x=1时，y=-1，可求出解．
【详解详析】
解：根据题意设y=kx-3，且当x=1时，y=-1，
-1=k-3
∴k=2．
∴解析式为：y=2x-3．
故答案为：y=2x-3．
【名师指路】
本题考查待定系数法求函数式，关键确定b的值，进而求出k的值．
13．如果一次函数的图像经过第一、二、四象限，那么常数的取值范围为____．
【标准答案】
【思路指引】
根据一次函数y=（m-2 ( http: / / www.21cnjy.com )）x+m－3的图象经过第一、二、四象限，可得函数表达式中一次项系数小于0，常数项大于0，进而得到关于m的不等式组，解不等式组即可得答案取值范围．
【详解详析】
∵一次函数的图像经过第一、二、四象限，
∴，
解得：1＜m＜2，
故答案为：1＜m＜2
【名师指路】
本题考查了一次函数y=kx+b（k≠0）的 ( http: / / www.21cnjy.com )图象与系数的关系：对于一次函数y=kx+b（k≠0），k＞0，b＞0时，图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0时，图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0时，图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0时，图象在二、三、四象限；熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
14．（2021·上海浦东新·七年级期末）正 ( http: / / www.21cnjy.com )比例函数的图象和反比例函数的图象相交于A，B两点，点A在第二象限，点A的横坐标为﹣1，作AD⊥x轴，垂足为D，O为坐标原点，S△AOD=1．若x轴上有点C，且S△ABC=4，则C点坐标为_____．
【标准答案】（2，0）或（﹣2，0）
【思路指引】
利用正比例函数与反比例函数图象关于原点对称求得A、B的坐标，然后根据S△ABC=4即可求得C的坐标．
【详解详析】
设反比例函数为（k≠0），正比例函数为（a≠0）；
∵这两个函数的图象关于原点对称，A点的横坐标为-1，
∴A和B这两点应该是关于原点对称的，OD=1，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵S△AOD=1，
∴，则．
∴A点坐标是（﹣1，2）；B点的坐标是（1，﹣2），
设C（x，0），
∵S△ABC=4，
∴，即，
解得，
∴C（2，0）或（﹣2，0）．
【名师指路】
本题考查了反比例函数和一次函数的交点，反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．还考查了坐标与图形的性质．
15．（2021·上海闵行·八年级期末）如图，点的坐标为，点从原点出发，以每秒个单位的速度沿轴向上移动，同时过点的直线关于直线也随之上下平移，且直线与直线平行，如果点关于直线的对称点落在坐标轴上，如果点的移动时间为秒，那么的值为_____．
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【标准答案】2或3
【思路指引】
找出点M关于直线l在坐标轴上的对称点E、F，如图所示．求出点E、F的坐标，然后分别求出ME、MF中点坐标，最后分别求出时间t的值．
【详解详析】
解：设直线l：y=-x+b．
如图，过点M作MF⊥直线l，交y轴于点F，交x轴于点E，则点E、F为点M在坐标轴上的对称点．
过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=3，MD=2．
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由直线l：y=-x+b可知∠PDO=∠OPD=45°，
∴∠MED=∠OEF=45°，则△MDE与△OEF均为等腰直角三角形，
∴DE=MD=2，OE=OF=1，
∴E（1，0），F（0，-1）．
∵M（3，2），F（0，-1），
∴线段MF中点坐标为（，）．
直线y=-x+b过点（，），则=-+b，解得：b=2，
∴t=2．
∵M（3，2），E（1，0），
∴线段ME中点坐标为（2，1）．
直线y=-x+b过点（2，1），则1=-2+b，解得：b=3，
∴t=3．
故点M关于l的对称点，当t=2时，落在y轴上，当t=3时，落在x轴上．
故答案为：2或3．
【名师指路】
考查了一次函数的图象与几何变换．注意在x轴、y轴上均有点M的对称点，不要漏解；其次注意点E、F坐标以及线段中点坐标的求法．
16．（2021·上海市民办华育中学八年级期中）一次函数的图像分别于x轴，y轴交于A、B，将线段AB绕点A顺时针旋转90度得到线段AC，则B、C两点的直线解析式为__________
【标准答案】
【思路指引】
先分别求出点的坐标，再根据旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质求出点的坐标，然后利用待定系数法即可得．
【详解详析】
解：由题意，画图如下：
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对于一次函数，
当时，，解得，即，
当时，，即，
过点作轴于点，
由旋转的性质得：，
，
轴轴，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、旋转的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
17．（2021·上海闵行·八年级期中）一次函数图象与坐标轴围成的三角形称为该一次函数的坐标三角形．已知一次函数的坐标三角形的面积为3，则该一次函数的解析式为___________．
【标准答案】或
【思路指引】
根据一次函数和坐标轴的交点坐标公式：与x轴交点，与y轴交点，求得一次函数与坐标轴的交点，然后得到底和高，利用三角形面积公式即可求解．
【详解详析】
由题意得：该函数与x轴交点，与y轴交点，
∴，
解得：，
故答案为：或．
【名师指路】
本题考查了一次函数和坐标轴的交点，关键是要用绝对值表示距离，答案应该有两种情况．
18．（2021·上海同济大学附属存志学校八年级期中）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A、C两点，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D，若S四边形ABCD＝6，则m的值是 ___．
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【标准答案】3
【思路指引】
根据反比例函数k的几何意义计算即可；
【详解详析】
∵正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A、C两点，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数图像在一三象限，
∴；
故答案是3．
【名师指路】
本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，反比例函数k的几何意义，准确计算是解题的关键．
19．（2021·上海杨浦·八年级期中）在平面直角坐标系中，点A（﹣4，1）为直线y＝kx（k≠0）和双曲线y＝（m≠0）的一个交点，点B（﹣5，0），如果在直线y＝kx上有一点P，使得S△ABP＝2S△ABO，那么点P的坐标是 ___．www.21-cn-jy.com
【标准答案】或
【思路指引】
根据题意作出图形，过点作轴，交直线于点，根据点的坐标求得直线和双曲线的解析式，设，进而求得的坐标，即可求得的长，当点位于点的左侧时，求得的面积，根据题意可得，当点位于点的右侧时，则，建立方程即可求得的值，从而求得的坐标
【详解详析】
如图，过点作轴，
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点A（﹣4，1）为直线y＝kx（k≠0）和双曲线y＝（m≠0）的一个交点，
直线解析式为，双曲线为
，
，
，
，
，
，
设，
①当点在点的左侧时，根据题意可得，
，
解得，
的坐标为，
②当点在点的右侧时，
解得
综上所述，的坐标为或．
故答案为：或．
【名师指路】
本题考查了正比例函数与反比例函数综合，求三角形的面积，分类讨论是解题的关键．
20．将正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0 ( http: / / www.21cnjy.com )）的图象，沿着y轴的一个方向平移|k|个单位后与x轴、y轴围成一个三角形，我们称这个三角形为正比例函数y＝kx的坐标轴三角形，如果一个正比例函数的图象经过第一、三象限，且它的坐标轴三角形的面积为5，那么这个正比例函数的解析式是__．
【标准答案】
【思路指引】
分别求出向上和向下平移时，与坐标轴的交点坐标，再根据它的坐标轴三角形的面积为5，求出k的值即可．
【详解详析】
解：正比例函数的图象经过第一、三象限，
，
当正比例函数是常数，的图象，沿着轴向上平移个单位时，所得函数的解析式为，
如图示：
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与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，
它的坐标轴三角形的面积为5，
，
，
这个正比例函数的解析式是，
当正比例函数是常数，的图象，沿着轴向下平移个单位时，所得函数的解析式为，
如图示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，
它的坐标轴三角形的面积为5，
，
，
这个正比例函数的解析式是，
故答案为：．
【名师指路】
此题考查了一次函数，用到的知识点是正比例函数、一次函数的图象与性质，关键是求出与坐标轴的交点坐标，注意分两种情况讨论．
三、解答题
21．（2021·上海长宁· ( http: / / www.21cnjy.com )二模）某商店销售一种商品．经过市场调查发现：该产品的销售单价需定在50元到110元之间较为合理，每月销售量y（万件）与销售单价x（元/件）存在如图所示的一次函数关系．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）求这种商品的每月销售量y（万件）关于销售单价x（元/件）（50≤x≤110）的函数解析式；
（2）已知六月份、八月份这种商品的销售单价分别为95元/件和84元/件，且每月销售量的增长率是相同的，求这个增长率．
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【标准答案】（1）y＝﹣x+12（50≤x≤110）；（2）20%
【思路指引】
（1）利用待定系数法即可得出一次函数解析式
（2）先算出六月、七月的销量再列一元二次方程即可
【详解详析】
解：（1）由题意，设y＝kx+b，
图象过点（70，5）、（90，3），
∴ ，
解得： ，
∴函数解析式为：y＝﹣x +12（50≤x≤110）；
（2）由（1）中解析式知：
六月份的销售量为：y＝﹣ ×95+12＝2.5（万件），
九月份的销售量为：y＝﹣×84+12＝3.6（万件），
设每月销售量的增长率为x，则由题意得：
2.5（8+x）2＝3.6，
解得：x＝20%（负值舍去）
答：每个月的增长率为20%．
【名师指路】
本题考查一次函数解析式、一元二次方程，熟练掌握一元二次方程增长率问题是关键，本题是中考的常考知识点．【版权所有：21教育】
22．（2021·上海静安·八年级期末）如图，在直角坐标平面中，点A（2，m）和点B（6，2）同在一个反比例函数的图像上．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求△AOB的面积及点A到OB的距离AH．
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【标准答案】（1）；（2）
【思路指引】
（1）根据得到即可算出点的坐标，把、两点的坐标代入一次函数表达式中，解方程组即可得出答案；
（2）设直线与轴的交点为，求得的坐标，根据三角形面积公式，利用求得的面积，然后根据求得．
【详解详析】
解：（1）设反比例函数为，
点和点在的图象上
解得，，
点的坐标为，
设直线的表达式为，
把和代入得，
解得，
直线的表达式为；
（2）设直线与轴的交点为，
在直线为中，令，则，
，
，
，
，
，
．
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【名师指路】
本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解决本题的关键．
23．（2021·上海黄浦·八年级期末）已知：如图，平面直角坐标系中有一个等腰梯形，且，点在轴正半轴上，点在轴上（点在点的左侧)，点在第一象限，，梯形的高为．双曲线经过点，直线经过两点．
（1）求双曲线和直线的解析式；
（2）点在双曲线上，点在轴上，如果四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
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【标准答案】（1），；（2）
【思路指引】
（1）首先过点作轴于点，由，，易得四边形是矩形，证得，又由，，梯形的高为2，求出各点坐标，由双曲线过点，直线过点，，直接利用待定系数法求解即可求得答案；
（2）由四边形是平行四边形，可得点的横坐标为，继而求得点的坐标，又由，求得答案．
【详解详析】
解：（1）如图1，过点作轴于点．
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，，
四边形是等腰梯形，
轴，
四边形是矩形，
，，，
在和中，
，
．
，
梯形的高为2，
．
，，
，．
，，，，
双曲线经过点，
．
双曲线的解析式为：，
直线经过、两点，
得：，
解得：．
直线的解析式为：；
（2）如图2，四边形是平行四边形．
且．
点在轴上，
过点作轴的垂线与双曲线的交点即为点．
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点的坐标为，
．
，
，
点的坐标为．
【名师指路】
此题属于反比例函数综合题．考查了 ( http: / / www.21cnjy.com )待定系数求函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的性质、矩形的判定与性质以及平行四边形的性质等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
24．（2021·上海市第四中学八年级月考）如图，已知一次函数的图像与轴、轴分别相交于、两点，点、分别在线段、上，．
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（1）求、两点的坐标；
（2）如果面积是面积的，求点的坐标．
【标准答案】（1）A（3，0），B（0，）；（2）C点的坐标为（，0）．
【思路指引】
（1）根据函数关系式求出A、B两点的坐标；
（2）过D点作DE垂直于x轴于E，设OC长度为m，再用m的代数式表示出DE，根据面积关系列出方程求出m值，即可得出C点坐标．21·世纪*教育网
【详解详析】
解：（1）在中，
当x=0时y=，
当y=0时，，解得x=3，
根据函数关系式可得：A（3，0），B（0，）；
（2）过D点作DE垂直x轴于E，
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∵OA=3，OB=，AB=，
∴∠OAB=30°，
又∵CD=CA，
∴∠OCD=∠OAB+∠CDA=2∠OAB=60°，
设OC=m，
∵OA=3，
∴CD=AC=3-m，
∵∠OCD=60°，
∴∠CDE=30°，
∴CE=CD=(3-m)，
DE=(3-m)，
∵S△OCD=S△ABD，
∴OC DE=×OA OB，
代入数据整理得：2m2-6m+3=0，
解得m=，
∵C、D分别在OA、OB上，
∴DE＜OB，AC＜OA，即(3-m)<，
∴1＜m＜3，
∴C点的坐标为（，0）．
【名师指路】
本题主要考查了一次函数图像在坐标系中的应用，主要利用点的坐标、含30度角直角三角形的性质以及勾股定理来解题，难点在第三小题中m的取值．21cnjy.com
25．（2021·上海松江·八年级期中）已知正比例函数的图像上有一点，且点在第一象限．
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（1）求点的坐标；
（2）过点作轴，点为此函数图像上异于点的点，若，求此时点的坐标．
【标准答案】（1）点B(6，12)；（2）点P坐标为(9，18)或(3，6)．
【思路指引】
（1）根据点B在直线y=2x上，将B点坐标代入直线y=2x，再根据点B在第一象限内，即可得答案．
（2）设P点到直线BC的距离标为a，由S△BPC=S△OBC，求出a的值，分出当点P在B的右侧和左侧两种情况，即可得答案．
【详解详析】
解：（1）∵点B在直线y=2x上，将B点坐标代入直线y=2x，
可得：2(m+2)=m2-4
m2-2m-8=0，
(m+2)(m-4)=0
解得：m=4或m=-2，
∵点B在第一象限内，
∴m=4，
∴点B(6，12)．
（2）∵BC⊥x轴，
∴C(6，0)，
设P点到直线BC的距离标为a，
∵S△BPC=S△OBC，
∴，
∴，
∴a=3，
当点P在B的右侧时，点P的横坐标为6+=9，
将x=9代入直线y=2x解析式，y=18，此时点P(9，18)；
当点P在B的左侧时，点P的横坐标为6-3=3，
将x=3代入直线y=2x解析式，y=6，此时点P(3，6)，
故点P坐标为(9，18)或(3，6)．
【名师指路】
本题考查了点在一次函数的图象上，点的横坐标和纵坐标代入解析式成立；一次函数和三角形的综合题，做题的关键是熟练掌握一次函数的性质．www-2-1-cnjy-com
26．（2021·上海市金山初级中学八年级期中）已知如图，在平面直角坐标系中，点A（3，7）在正比例函数图像上．
（1）求正比例函数的解析式．
（2）点B（1，0）和点C都在x轴上，当△ABC的面积是17.5时，求点C的坐标．
（3）在（2）的条件下，将点A左右 ( http: / / www.21cnjy.com )平移m个单位，得到点D，使得△AOC的面积是△ACD的面积的两倍，写出点D的坐标．（直接写出答案，不用解题过程）
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【标准答案】（1）；（2）或；（3）(0，7)或(1，7)或(5，7)或(6，7)
【思路指引】
（1）用待定系数法即可
（2）设点，则可得BC=|a-1|，由三角形的面积即可得关于a的方程，解方程即可；
（3）根据C点坐标可求得平移的距离，从而可求得点D的坐标．
【详解详析】
（1）设正比例函数的解析式为y=kx，其中k≠0
∵点A（3，7）在正比例函数图像上
∴3k=7
∴
∴正比例函数的解析式为
（2）设点，如图
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∵B（1，0）
∴BC=|a-1|
∴
即
解得或
∴点C的坐标为或
（3）当时，OC=4
分别以OC和AD为底的△AOC和△ACD的高相等
∴
∴点A向左或向右平移2个单位
∴点D的坐标为(1，7)或(5，7)
当时，OC=6
分别以OC和AD为底的△AOC和△ACD的高相等
∵△AOC的面积是△ACD的面积的两倍
∴
∴点A向左或向右平移3个单位
∴点D的坐标为(0，7)或(6，7)
综上所述，点D的坐标为(0，7)或(1，7)或(5，7)或(6，7)
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【名师指路】
本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，图形面积及点的平移等知识，这里求得的点的坐标不只一个，不要出现遗漏．【出处：21教育名师】
27．（2017·上海·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线交y轴于点A，交x轴于点B，以线段AB为边作菱形ABCD（点C、D在第一象限），且点D的纵坐标为9．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）求直线DC的解析式；
（3）除点C外，在平面直角坐标系xOy中 ( http: / / www.21cnjy.com )是否还存在点P，使点A、B、D、P组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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【标准答案】（1）点A（0，4）；点B（，0）．（2）直线DC的解析式为．（3）点P的坐标为（，﹣5）或（﹣，13）．
（1）分别令一次函数中x=0、y=0，求出与之对应的y、x的值，由此即可得出点A、B的坐标；
（2）过点D作DE⊥y轴，垂足为E，由点D的纵坐标为9即可得出AE的长，根据菱形的性质得出AB=AD，结合勾股定理即可求出点D的坐标，由DC∥AB可设直线DC的解析式为，代入点D的坐标求出b值即可得出结论；
（3）假设存在，点C时以BD为对角线 ( http: / / www.21cnjy.com )找出的点，再分别以AB、AD为对角线，根据平行四边形的性质（对角线互相平分）结合点A、B、D的坐标即可得出点P的坐标．
解：（1）令中x=0，则y=4，
∴点A（0，4）；
令中y=0，则﹣x+4=0，解得：x=2，
∴点B（2，0）．
（2）过点D作DE⊥y轴，垂足为E，如图1所示．
∵点D的纵坐标为9，OA=4，
∴AE=5．
∵四边形是ABCD是菱形，
∴AD=AB=，
∴DE==，
∴D（，9）．
∵四边形是ABCD是菱形，
∴DC∥AB，
∴设直线DC的解析式为，
∵直线DC过点D（，9），
∴b=11，
∴直线DC的解析式为．
（3）假设存在．
以点A、B、D、P组成的四边形是平行四边形还有两种情况（如图2）：
①以AB为对角线时，
∵A（0，4），B（2，0），D（，9），
∴点P（0+2﹣，4+0﹣9），即（，﹣5）；
②以AD为对角线时，
∵A（0，4），B（2，0），D（，9），
∴点P（0+﹣2，4+9﹣0），即（﹣，13）．
故除点C外，在平面直角坐标系xOy中还存在点P，使点A、B、D、P组成的四边形是平行四边形，点P的坐标为（，﹣5）或（﹣，13）．2·1·c·n·j·y
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“点睛”本题考查了一次函数图象 ( http: / / www.21cnjy.com )上点的坐标特征、菱形的性质、勾股定理以及待定系数法求函数解析，解题的关键是：（1）分别代入x=0，y=0，求出与之对应的y、x的值；（2）求出点D的坐标；（3）分别以AB、AD为对角线求出点P的坐标.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行四边形的性质（对角线互相平分），结合三个顶点的坐标求出另一顶点坐标是关键. 【来源：21·世纪·教育·网】
28．（2018·上海普陀·八年级期中）如图，已知一次函数的图像与x轴、轴分别交于点A、B，且BC∥AO，梯形AOBC的面积为10．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）求直线AC的表达式．
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【标准答案】（1）A(-2,0)，B(0,4)，C（-3，4）；（2）y=-4x-8
分析：（1）令x与y分别为0，代入函数解析式即可求出B、A两点坐标，再根据梯形的面积公式可求出C点的坐标；
（2）结合A、C两坐标，利用待定系数法即可求出直线AC的解析式.
详解：（1）当x=0时，y=4,
∴B(0,4),
当y=0时，即2x+4=0，
解得，x=-2，
∴A(-2,0),
∴OA=2，OB=4，
∵梯形AOBC的面积为10，
∴ ．
解得，
∴点C（-3，4）.
（2）设直线AC的表达式为（），
则，解得
∴直线AC的表达式为．
点睛：本题主要考查一次函数图象上点的坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标特征、利用待定系数法求一次函数解析式.运用点的坐标表示出线段的长，并结合梯形面积建立方程是解题的关键.21*cnjy*com
29．（2018·上海崇明·八年级期中）已知：如图，在直角坐标平面中，点在轴的负半轴上，直线经过点，与轴相交于点，点是点关于原点的对称点，过点的直线轴，交直线于点，如果．
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（1）求直线的表达式；
（2）如果点在直线上，且是等腰三角形，请求出点的坐标．
【标准答案】（1）；（2）或．
【思路指引】
（1）先求出点M的坐标，从而可得OM的长，再根据直角三角形的性质可得OA的长，从而可得点A的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）先根据对称性得出点B的坐标，再根据两点之间的距离公式可得的长，然后根据等腰三角形的定义分三种情况建立等式求解即可．
【详解详析】
（1）对于
当时，，则点的坐标为
设
∵
在中，，
则有
解得，即
∴点的坐标为
∵直线经过点
∴，解得
故直线的表达式为；
（2）点是点关于原点的对称点
点的坐标为
设直线上的点坐标为
则
由等腰三角形的定义，分以下三种情况：
①当时，是等腰三角形
则，解得或
或
此时，点D的坐标为或
②当时，是等腰三角形
则，解得或
或
此时，点D的坐标为或（与点重合，不能构成三角形，舍去）
③当时，是等腰三角形
则，解得
此时，点的坐标为
综上，点的坐标为点或．
【名师指路】
本题考查了一次函数的几何应用、直角三角形的性质、等腰三角形的定义等知识点，较难的是题（2），依据题意，正确分三种情况讨论是解题关键．21·cn·jy·com
30．（2021·上海徐汇·八年级期末）已知，如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，将△ABC绕着顶点B旋转后，点C的对应点C’落在y轴上，点A的对应点A’恰好落在反比例函数 的图像上．
（1）求的面积；
（2）如果的值为6 (即反比例函数为)，求点的坐标；
（3）如果四边形是梯形，求的值．
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【标准答案】（1）4；（2）（3，2）；（3）
【思路指引】
（1）一次函数与轴交于点，与轴交于点，求出点，坐标，利用三角形面积公式：计算即可；
（2）根据题意求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线A′B的解析式，与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得A′的坐标；
（3）①先分析四边形中对边与不平行，证明同旁内角相加不是180度，即度．②再分析四边形中对边，由此得出．过，分别作，的垂线，垂足分别为，，由旋转得出△，解出坐标，代入，可得值．
【详解详析】
解：（1）因为直线，
令x=0，则y=-4，令y=0，则x=-2，
，，
，，
△的面积；
（2）设A′B与x轴的交点为D，由题意可知D（2，0），
设直线A′B的解析式为y=kx-4，
把D（2，0）代入得0=2k-4，
解得k=2，
∴直线A′B的解析式为y=2x-4，
由，解得：或，
∴点A′的坐标是（3，2）；
（3）若四边形为梯形，由于点在轴的正半轴．
①证明与不平行；
∵，在中，
令，则，
又，
则，
（由于在中，，即，
所以与不平行；
②当时，可得，
即，，
又，，
所以，
过作垂线，垂足为，过作垂线，垂足为，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵BC=，AB=8，OC=2，
∴AM==，
∴BM==，
∴，
由旋转易得△，
，，
又，
∴，
，，
又点在反比例函数图象上，
．
【名师指路】
本题考查了旋转的性质，待定系数法求一次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的解析式，反比例函数与一次函数的交点，三线合一，面积法，解题的关键是掌握函数图像上的点坐标满足函数关系式．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解 ( http: / / www.21cnjy.com )答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21·cn·jy·com
专题01 数形结合之一次函数图像与性质（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．若关于的不等式组有解，则一次函数的图象一定不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在平面直角坐标系中，将直线沿坐标轴方向平移后，得到直线与关于坐标原点中心对称，则下列平移作法正确的是（ ）www.21-cn-jy.com
A．将向右平移4个单位长度 B．将向左平移6个单位长度
C．将向上平移6个单位长度 D．将向上平移4个单位长度
3．已知点，，是直线上的三个点，则，，的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
4．已知一次函数（k，b是常数，）若，则它的图象可能是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
5．在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x ( http: / / www.21cnjy.com )+2和直线y=-2x+4分别交x轴于点A和点B，则下列直线中，与x轴的交点在线段AB上的是（ ）2·1·c·n·j·y
A．y=x+2 B． C．y=4x-12 D．
6．（2021·上海普陀·二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B均在y轴上，点C在x轴上，将△ABC绕着顶点B旋转后，点C的对应点C′落在y轴上，点A的对应点A′落在反比例函数y＝在第一象限的图象上．如果点B、C的坐标分别是（0，﹣4）、（﹣2，0），那么点A′的坐标是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．（3，2） B．（，4） C．（2，3） D．（4，）
7．（2021·上海青浦·八年级期末）如果一次函数的图像经过第一、三、四象限，那么、应满足的条件是（ ）21教育网
A．，且； B．，且；
C．，且； D．，且．
8．（2021·上海普陀·八年级期中）一次函数y＝（k+3）x+1中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．k＞0 B．k＜0 C．k＜﹣3 D．k＞﹣3
9．（2021·上海同济大学附属存志学校八年级期中）已知反比例函数y＝，下列结论正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．图像的两支分别在第二、四象限
C．图像与y＝3x的图像有两个交点
D．A（﹣1，3）在函数的图像上
10．如图，点A的坐标为（0，1） ( http: / / www.21cnjy.com )，点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
二、填空题
11．（2021·上海·八年级期中）如图，直角三角形的斜边在轴的正半轴上，点与原点重合，点的坐标是，且，若将绕着点旋转后30°，点和点分别落在点和点处，那么直线的解析式是__________．21世纪教育网版权所有
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12．一次函数的图像与轴交点的纵坐标为－3，且当时，－1，则该一次函数的解析式是__________．2-1-c-n-j-y
13．如果一次函数的图像经过第一、二、四象限，那么常数的取值范围为____．
14．（2021·上海浦东新·七年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )正比例函数的图象和反比例函数的图象相交于A，B两点，点A在第二象限，点A的横坐标为﹣1，作AD⊥x轴，垂足为D，O为坐标原点，S△AOD=1．若x轴上有点C，且S△ABC=4，则C点坐标为_____．21*cnjy*com
15．（2021·上海闵行·八年级期末）如图，点的坐标为，点从原点出发，以每秒个单位的速度沿轴向上移动，同时过点的直线关于直线也随之上下平移，且直线与直线平行，如果点关于直线的对称点落在坐标轴上，如果点的移动时间为秒，那么的值为_____．
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16．（2021·上海市民办华育中学八年级期中）一次函数的图像分别于x轴，y轴交于A、B，将线段AB绕点A顺时针旋转90度得到线段AC，则B、C两点的直线解析式为__________
17．（2021·上海闵行·八年级期中）一次函数图象与坐标轴围成的三角形称为该一次函数的坐标三角形．已知一次函数的坐标三角形的面积为3，则该一次函数的解析式为___________．
18．（2021·上海同济大学附属存志学校八年级期中）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A、C两点，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D，若S四边形ABCD＝6，则m的值是 ___．
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19．（2021·上海杨浦·八年级期中）在平面直角坐标系中，点A（﹣4，1）为直线y＝kx（k≠0）和双曲线y＝（m≠0）的一个交点，点B（﹣5，0），如果在直线y＝kx上有一点P，使得S△ABP＝2S△ABO，那么点P的坐标是 ___．【出处：21教育名师】
20．将正比例函数y＝k ( http: / / www.21cnjy.com )x（k是常数，k≠0）的图象，沿着y轴的一个方向平移|k|个单位后与x轴、y轴围成一个三角形，我们称这个三角形为正比例函数y＝kx的坐标轴三角形，如果一个正比例函数的图象经过第一、三象限，且它的坐标轴三角形的面积为5，那么这个正比例函数的解析式是__．
三、解答题
21．（2021·上海长宁·二模）某商 ( http: / / www.21cnjy.com )店销售一种商品．经过市场调查发现：该产品的销售单价需定在50元到110元之间较为合理，每月销售量y（万件）与销售单价x（元/件）存在如图所示的一次函数关系．根据图象提供的信息，解答下列问题：【版权所有：21教育】
（1）求这种商品的每月销售量y（万件）关于销售单价x（元/件）（50≤x≤110）的函数解析式；
（2）已知六月份、八月份这种商品的销售单价分别为95元/件和84元/件，且每月销售量的增长率是相同的，求这个增长率．21教育名师原创作品
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22．（2021·上海静安·八年级期末）如图，在直角坐标平面中，点A（2，m）和点B（6，2）同在一个反比例函数的图像上．21*cnjy*com
（1）求直线AB的表达式；
（2）求△AOB的面积及点A到OB的距离AH．
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23．（2021·上海黄浦·八年级期末）已知：如图，平面直角坐标系中有一个等腰梯形，且，点在轴正半轴上，点在轴上（点在点的左侧)，点在第一象限，，梯形的高为．双曲线经过点，直线经过两点．
（1）求双曲线和直线的解析式；
（2）点在双曲线上，点在轴上，如果四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
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24．（2021·上海市第四中学八年级月考）如图，已知一次函数的图像与轴、轴分别相交于、两点，点、分别在线段、上，．【来源：21·世纪·教育·网】
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（1）求、两点的坐标；
（2）如果面积是面积的，求点的坐标．
25．（2021·上海松江·八年级期中）已知正比例函数的图像上有一点，且点在第一象限．
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（1）求点的坐标；
（2）过点作轴，点为此函数图像上异于点的点，若，求此时点的坐标．
26．（2021·上海市金山初级中学八年级期中）已知如图，在平面直角坐标系中，点A（3，7）在正比例函数图像上．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求正比例函数的解析式．
（2）点B（1，0）和点C都在x轴上，当△ABC的面积是17.5时，求点C的坐标．
（3）在（2）的条件下，将点A ( http: / / www.21cnjy.com )左右平移m个单位，得到点D，使得△AOC的面积是△ACD的面积的两倍，写出点D的坐标．（直接写出答案，不用解题过程）
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27．（2017·上海·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线交y轴于点A，交x轴于点B，以线段AB为边作菱形ABCD（点C、D在第一象限），且点D的纵坐标为9．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）求直线DC的解析式；
（3）除点C外，在平面直角坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )系xOy中是否还存在点P，使点A、B、D、P组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21·世纪*教育网
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28．（2018·上海普陀·八年级期中）如图，已知一次函数的图像与x轴、轴分别交于点A、B，且BC∥AO，梯形AOBC的面积为10．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）求直线AC的表达式．
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29．（2018·上海崇明·八年级期中）已知：如图，在直角坐标平面中，点在轴的负半轴上，直线经过点，与轴相交于点，点是点关于原点的对称点，过点的直线轴，交直线于点，如果．
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（1）求直线的表达式；
（2）如果点在直线上，且是等腰三角形，请求出点的坐标．
30．（2021·上海徐汇·八年级期末）已知，如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，将△ABC绕着顶点B旋转后，点C的对应点C’落在y轴上，点A的对应点A’恰好落在反比例函数 的图像上．21cnjy.com
（1）求的面积；
（2）如果的值为6 (即反比例函数为)，求点的坐标；
（3）如果四边形是梯形，求的值．
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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