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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选 ( http: / / www.21cnjy.com )择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题03 数形结合之一次函数与一元一次方程、不等式问题（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．在平面直角坐标系中，一次函数（m，b均为常数）的图象与正比例函数（n为常数）的图象如图所示，则关于x的方程的解为（ ）
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A． B． C． D．
2．如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，与正比例函数交于点，已知点的横坐标为2，以下结论：①关于的方程的解为：②对于直线，当时，：③对于直线，当时，：④方程组的解为，其中正确的有（ ）个21cnjy.com
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A．1 B．2 C．3 D．4
3．在平面直角坐标系中，点O（ ( http: / / www.21cnjy.com )0，0），A（5，3），B（4，0），直线y＝mx﹣5m+3将△OAB分成面积相等的两部分，则m的值为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．1 B．2 C．3 D．﹣1
4．在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点 ( http: / / www.21cnjy.com )的坐标分别为（8，0）、（9，6）、（0，6），若一次函数y＝kx﹣8k的图象将△ABC分成面积为1∶2的两个部分，则k的值为（ ）【出处：21教育名师】
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣3或 D．﹣2或﹣3
5．一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，则一元一次不等式-kx+b>0的的解集为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．＞-2 B．＜-2 C． D．
6．已知一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，当时，实数的取值范围是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．或 B．或
C．或 D．
7．关于的分式方程的解为非负整数，且一次函数的图象不经过第三象限，则满足条件的所有整数的和为（ ）
A． B． C． D．
8．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（﹣6，0），且与正比例函数y＝x的图象交于点A（m，﹣3），若kx﹣x＞﹣b，则（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．x＞0 B．x＞﹣3 C．x＞﹣6 D．x＞﹣9
9．对于实数，定义符号其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于的函数，则该函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
10．一次函数与的图象如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大．②函数不经过第二象限．③不等式的解集是． ④，其中正确的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，点的坐标为，且点在的内部，则的取值范围是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．或
12．若直线与轴的交点位于轴正半轴上，则它与直线交点的横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
13．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．且
14．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（t，3）、（t，0），点D是直线y=kx+1与y轴的交点，若点A关于直线y=kx+1的对称点恰好落在四边形OABC内部（不包括正好落在边上），则t的取值范围为（ ）
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A．-2< t < 2 B．-2 < t < 2 C．-2 < t <-2或2二、填空题
15．如图，一次函数与正比例函数的图象交于点P（－2，－1），则关于的方程的解是_________．
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16．关于函数，给出下列结论：
①此函数是一次函数：
②无论k取什么值，函数图象必经过点；
③若函数经过二，三，四象限，则k的取值范围是；
④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是，其中正确的是______（填序号）．
17．如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点．点的坐标为，若点在直线上，点在轴上，若以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为______．
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18．如图，己知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①图象经过点；②关于x的方程的解为；③关于x的方程的解为；④当时，．其是正确的是_________．
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19．一次函数y1＝kx+b与y2 ( http: / / www.21cnjy.com )＝x+a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③关于x的方程kx﹣x＝a﹣b的解是x＝3；④当x＜3时，y1＜y2中．则正确的序号有____．21教育网
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20．已知直线y1＝kx＋1(k＜0)与直线y2＝nx(n＞0)的交点坐标为(，)，则不等式组nx－3＜kx＋1＜nx的解集为______．2-1-c-n-j-y
21．在平面直角坐标系中，垂直x轴的直线l分别与函数的图像交于P、Q两点，若平移直线l，可以使P、Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是_________．
22．已知一次函数和，当自变量时，，则的取值范围为_________．
三、解答题
23．在平面直角坐标系中，对于点与，给出如下的定义：
将过点的直线记为，若直线与有且只有两个公共点，则称这两个公共点之间的距离为直线与的“穿越距离”，记作．21*cnjy*com
例如，已知过点的直线与，其中，，，，如图所示，则．
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请解决下面的问题：
已知，其中，，，．
（1）当时，已知，为过点的直线．
①当时，________________；当时，________________；
②若，结合图象，求的值；
（2）已知，为过点的直线，若有最大值，且最大值为，直接写出的取值范围．
24．（温故）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．同时．我们也学习了绝对值的意义；
（尝试）结合上面经历的学习过程，探究函数的图象与性质，探究过程如下．请补充完整．
（1）列表：
··· ···
··· ···
请根据表格中的信息，求出的值．
（探索）（2）①根据（1）中结果，请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象．（温馨提示：请把图画在答题卷相对应的图上．)21·cn·jy·com
②若点在函数图象上，且，试比较与的大小，并说明理由．
（拓展）（3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于的方程有且只有一个正根和一个负根，请直接写出满足条件的的取值范围.2·1·c·n·j·y
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25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴、y轴于A、B两点，以AB为边在直线右侧作正方形ABCD，连接BD，过点C作CF⊥x轴于点F，交BD于点E，连接AE．
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（1）求线段AB的长；
（2）求证：AD平分∠EAF；
（3）求△AEF的周长．
26．（了解概念）
将平面直角坐标系中过某一定点且不与x轴垂直的直线，叫该定点的“友好线”．若点P（1，0），则点P的“友好线”可记为y＝k（x﹣1）．【版权所有：21教育】
（理解运用）
（1）已知点A的“友好线”可记为y＝kx﹣3k+，则点A的坐标为 ；
（2）若点B（3，2）的“友好线”恰好经过点（1，1），求该“友好线”的解析式；
（拓展提升）
（3）已知点M在点Q的“友好线”y＝k（x+2）﹣1上，点N在直线y＝﹣x+2，若M（a，m），N（a，n），且当﹣3≤a≤3时，m≤n，请直接确定k的取值范围．21教育名师原创作品
27．在平面直角坐标系xOy ( http: / / www.21cnjy.com )中，点P的坐标为（a，b），点P的“变换点”P′的坐标．定义如下：当a≥b时，P’点坐标为（b，﹣a）；当a＜b时，P′点坐标为（a，﹣b）．21*cnjy*com
（1）求A（5，3），B（1，6），C（﹣2，4）的变换点坐标；
（2）如果直线l与x轴交于点D（6，0），与 ( http: / / www.21cnjy.com )y轴交于点E（0，3）．直线l上所有点的变换点组成一个新的图形，记作图形W，请画出图形W，并简要说明画图的思路；
（3）若直线y＝kx﹣1（k≠0）与图形W有两个交点，请直接写出k的取值范围．
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28．在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点分别作轴于点，轴于点，一次函数的图象经过点．21·世纪*教育网
（1）用含的代数式表示．
（2）当时，直线被矩形截得线段的长度为 ．
（3）当时，函数值满足，求的取值范围．
（4）当直线将矩形分成的两部分面积比为时，直接写出的值．
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29．在平面直角坐标系中， ( http: / / www.21cnjy.com )函数y＝﹣ax+1（x＞a）的图像记为M1，函数y＝ax+1（x≤a）的图像记为M2，图像M1和M2合起来记为图像M．
（1）当a＝1时
①若点P（﹣2，b）在图像M上，求b的值．
②求图像M与x轴的交点坐标．
③直接写出﹣2≤x≤3时，y的最大值和最小值．
（2）当图像M上存在1个或3个点到x轴距离为2时，直接写出a的取值范围．
（3）已知矩形ABCD的四个端 ( http: / / www.21cnjy.com )点坐标分别为A（﹣2，a），B（3，a），C（3，﹣a），D（﹣2，﹣a），当图像M与矩形ABCD恰有2个公共点时，直接写出a的取值范围．www.21-cn-jy.com
30．已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为G．
（1）当时，若点在图象G上，求n的值；
（2）当时，若函数最大值与最小值的差为，求m的值；
（3）已知点，，，当图象G与有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
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本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选 ( http: / / www.21cnjy.com )择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。【来源：21cnj*y.co*m】
专题03 数形结合之一次函数与一元一次方程、不等式问题（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．在平面直角坐标系中，一次函数（m，b均为常数）的图象与正比例函数（n为常数）的图象如图所示，则关于x的方程的解为（ ）
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A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
由一次函数与方程的关系可知，当值相等时，坐标的值就是方程的解的值．由和两个函数表达式，可得，即值相等，即可求解．
【详解详析】
解：由图可知和的交点坐标为
的解为
的解为
故答案是：D．
【名师指路】
本题考察一次函数与方程的关系，难度不大．关键在于理解当值相等时，坐标的值就是对应方程的解的值，即交点坐标的横坐标与纵坐标在方程中的意义．
2．如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，与正比例函数交于点，已知点的横坐标为2，以下结论：①关于的方程的解为：②对于直线，当时，：③对于直线，当时，：④方程组的解为，其中正确的有（ ）个
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】C
【思路指引】
根据已知条件得到C(2，)，把C(2，)代入y=kx+2得到y=-x+2，当x=0时，y=2，当y=0时，x=3，求得B(0，2)，A(3，0)，于是得到结论．
【详解详析】
解：∵点C的横坐标为2，
∴当x=2时，y=x=，
∴C(2，)，
把C(2，)代入y=kx+2得，k=-，
∴y=-x+2，
当x=0时，y=2，当y=0时，x=3，
∴B(0，2)，A(3，0)，
∴①关于x的方程kx+2=0的解为x=3，正确；
②对于直线y=kx+2，当x＜3时，y＞0，正确；
③对于直线y=kx+2，当x＞0时，y＜2，故③错误；
④∵C(2，)，
∴方程组的解为，正确；
故选：C．
【名师指路】
此题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函 ( http: / / www.21cnjy.com )数图象与坐标轴的交点，一次函数与二元一次方程组，以及一次函数与不等式等知识，数形结合是解答本题的关键．21*cnjy*com
3．在平面直角坐标系中，点O（0 ( http: / / www.21cnjy.com )，0），A（5，3），B（4，0），直线y＝mx﹣5m+3将△OAB分成面积相等的两部分，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．﹣1
【标准答案】A
【思路指引】
设点C为线段OB的中点，则点 ( http: / / www.21cnjy.com )C的坐标为（2，0），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出直线y=mx-5m+3过三角形的顶点A（5，3），结合直线y=mx-5m+3过点C（2，0），再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m的值．
【详解详析】
解：设点C为线段OB的中点，则点C的坐标为（2，0），如图所示．
∵y＝mx﹣5m+3＝（x﹣5）m+3，
∴当x＝5时，y＝（5﹣5）m+3＝3，
∴直线y＝mx﹣5m+3过三角形的顶点A（5，3）．
∵直线y＝mx﹣5m+3将△OAB分成面积相等的的两部分，
∴直线y＝mx﹣5m+3过点C（2，0），
∴0＝2m﹣5m+3，
∴m＝1．
故选：A．
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【名师指路】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数上点的坐标特征，找出关于m的一元一次方程是解题的关键．
4．在平面直角坐标系中， ( http: / / www.21cnjy.com )已知A、B、C三点的坐标分别为（8，0）、（9，6）、（0，6），若一次函数y＝kx﹣8k的图象将△ABC分成面积为1∶2的两个部分，则k的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣3或 D．﹣2或﹣3
【标准答案】C
【思路指引】
先找出一次函数经过顶点，再根据题意将△ABC分成面积为1：2的两个部分，求出E、F两点的坐标，用待定系数法代入一次函数解析式即可．
【详解详析】
解：∵一次函数y=kx-8k，当x=8时，y=0，
∴一次函数y=kx-8k过定点(8，0)，
由题意可知，如图，直线AE或AF将△ABC分成面积之比为1：2的两个部分，
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∵B、C三点的坐标分别为（9，6）、（0，6），
∴BC//OA，
∴此时两三角形的高相等，面积之比等于底之比，
即CE：BE=1：2或CF：BF=2：1，
∴或，
∴E(3，6)，F(6，6)，
将E(3，6)代入y=kx-8k得，3k-8k=6，
∴k=-；
将F(6，6)代入y=kx-8k得，6k-8k=6，
∴k=-3；
综上可知：k=-3或k=-．
故选：C．
【名师指路】
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是发现直线过顶点，并用待定系数法解决问题．
5．一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，则一元一次不等式-kx+b>0的的解集为（ ）
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A．＞-2 B．＜-2 C． D．
【标准答案】D
【详解详析】
由函数和的图象关于轴对称可由的图象得到函数的图象如图所示，
由图可知：函数的图象位于轴之上的部分在点（2，0）的左侧，
∴不等式的解集为：.
故选D.
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【名师指路】
（1）函数和的图象关于轴对称；（2）函数和的图象关于轴对称；（3）不等式的解集是函数的图象位于轴之上的部分图象所对应的自变量的取值范围；不等式的解集是函数的图象位于轴之下的部分图象所对应的自变量的取值范围.
6．已知一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，当时，实数的取值范围是（ ）
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A．或 B．或
C．或 D．
【标准答案】C
【思路指引】
由函数图像可得y1>y2时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，即可确定答案．
【详解详析】
解：当，表示一次函数图象在反比例函数图象上方时的取值范围，由题图可知或．故答案为C．
【名师指路】
本题主要考查一次函数和不等式的关系，理解函数图像与不等式解集的关系是解答本题的关键．
7．关于的分式方程的解为非负整数，且一次函数的图象不经过第三象限，则满足条件的所有整数的和为（ ）21·世纪*教育网
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
解分式方程可得 且，再根据一次函数的图象不经过第三象限，可得，结合可得，且，再根据是整数和是非负整数求出的所有值，即可求解．
【详解详析】
经检验，不是方程的解
∴
∵分式方程的解为非负整数
∴
解得 且
∵一次函数的图象不经过第三象限
∴
解得
∴，且
∵是整数
∴
∵是非负整数
故答案为：A．
【名师指路】
本题考查了分式方程和一次函数的问题，掌握解分式方程和解不等式组的方法是解题的关键．
8．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（﹣6，0），且与正比例函数y＝x的图象交于点A（m，﹣3），若kx﹣x＞﹣b，则（ ）
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A．x＞0 B．x＞﹣3 C．x＞﹣6 D．x＞﹣9
【标准答案】D
【思路指引】
先利用正比例函数解析式,确定A点坐标;然后 ( http: / / www.21cnjy.com )利用函数图像，写出一次函数y=kx+b（k≠0）的图像，在正比例函数图像上方所对应的自变量的范围.
【详解详析】
解：把A（m，﹣3）代入y＝x得m＝﹣3，解得m＝﹣9，
所以当x＞﹣9时，kx+b＞x，
即kx﹣x＞﹣b的解集为x＞﹣9．
故选D．
【名师指路】
本题考查了一次函数与一元一 ( http: / / www.21cnjy.com )次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.
9．对于实数，定义符号其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于的函数，则该函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据定义先列不等式：和，确定其，对应的函数，画图象可知其最大值．
【详解详析】
解：由题意得：，解得：，
当时，，
当时，，，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
当时，，
当时，，，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
综上所述，，的最大值是当所对应的的值，
如图所示，当时，，
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故选：C
【名师指路】
本题考查了新定义、一元一次不等式及一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题．
10．一次函数与的图象如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大．②函数不经过第二象限．③不等式的解集是． ④，其中正确的是（ ）
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A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【标准答案】B
【思路指引】
根据图象交点横坐标是4，和图象所经过象限可以判断．
【详解详析】
解：由图象可得：对于函数来说，从左到右，图象上升，y随x的增大而增大，故①正确；
由图象可知，a＞0，d＞0，所以函数的图象经过第一，二，三象限，即不经过第四象限，故②错误，
由图象可得当时，一次函数图象在的图象上方，
不等式的解集是，
移项可得，，解集是，故③正确；
∵一次函数与的图象的交点的横坐标为4，
∴
∴，
∴，故④正确，
故选：B．
【名师指路】
本题考查了一次函数图象的性质和一次函数与不等式的关系，解题关键是树立数形结合思想，理解图象反应的信息，综合一次函数、不等式、方程解决问题．21世纪教育网版权所有
11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，点的坐标为，且点在的内部，则的取值范围是（ ）
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A． B． C． D．或
【标准答案】A
【思路指引】
先根据函数解析式求出点A、B的坐标，再根据题意得出，，解不等式组即可求得．
【详解详析】
解：在函数中，令得，令得，则，，
点P在的内部，
∴，
解得：．
故选A．
【名师指路】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数与坐标轴的特征及依据题意列出不等式是解题的关键.
12．若直线与轴的交点位于轴正半轴上，则它与直线交点的横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
由直线与轴的交点可得．分两种情况讨论，即可得．联立两条直线解析式即可得交点横坐标，由的范围即可确定出的范围．
【详解详析】
解：直线与轴的交点位于轴正半轴上，
．
令，解得：，
即，得．
①当时，解得，与题设矛盾；
②当时，解得，所以．
当直线与直线相交时，
，解得：，
即，
又，
，
，
，
，
，
．
故选：．
【名师指路】
本题主要考查了一次函数的图象性质与不等式的解法，熟练掌握以上知识是解题的关键．
13．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．且
【标准答案】D
【思路指引】
画出函数图象，利用图象可得t的取值范围.
【详解详析】
∵，
∴当y=0时，x=；当x=0时，y=2t+2，
∴直线与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点坐标为（0，2t+2），
∵t>0，
∴2t+2>2，
当t=时，2t+2=3，此时=-6，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图1，www.21-cn-jy.com
当t=2时，2t+2=6，此时=-3，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图2，
当t=1时，2t+2=4，=-4，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，如图3，
∴且，
故选：D.
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【名师指路】
此题考查一次函数的图象的性质，一次函数图象与坐标轴交点坐标，根据t的值正确画出图象理解题意是解题的关键.
14．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（t，3）、（t，0），点D是直线y=kx+1与y轴的交点，若点A关于直线y=kx+1的对称点恰好落在四边形OABC内部（不包括正好落在边上），则t的取值范围为（ ）
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A．-2< t < 2 B．-2 < t < 2 C．-2 < t <-2或2【标准答案】C
【思路指引】
根据条件，可以求得点关于直线的对称点的坐标，再根据在图形中的位置，得到关于的方程组．
【详解详析】
解：点在直线上，
，得到，于是直线的表达式是．
于是过点与直线垂直的直线解析式为．
联立方程组，解得，则交点．
根据中点坐标公式可以得到点，
点在长方形的内部
，解得或者．
本题答案：或者．
故选：Ｃ．
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【名师指路】
本题考查了一次函数的图象及性质，解题的关键是明白该题涉及直线垂直时“”之间的关系；直线的交点坐标与对应方程组的解之间的关系；中点坐标公式需要熟悉．
二、填空题
15．如图，一次函数与正比例函数的图象交于点P（－2，－1），则关于的方程的解是_________．www-2-1-cnjy-com
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【标准答案】
【思路指引】
根据一次函数y＝ax+b和正比例y＝kx的图象可知，点P就是一次函数y＝ax+b和正比例y＝kx的交点，即方程的解．
【详解详析】
解：根据题意可知，方程的解就是一次函数y＝ax+b和正比例y＝kx的图象的交点P的横坐标，由一次函数y＝ax+b和正比例y＝kx的图象，得方程的解是．
故答案为：．
【名师指路】
此题很简单，解答此题的关键是熟知方程组的解与一次函数y＝ax+b和正比例y＝kx的图象交点P之间的联系，考查了学生对题意的理解能力．
16．关于函数，给出下列结论：
①此函数是一次函数：
②无论k取什么值，函数图象必经过点；
③若函数经过二，三，四象限，则k的取值范围是；
④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是，其中正确的是______（填序号）．
【标准答案】②③
【思路指引】
一次函数的形式是y=kx+b（k≠0），根据一次函数的图象的性质解答该题．
【详解详析】
解：①当k-3≠0，即k≠3时，函数y=（k-3）x+k是一次函数．故①结论错误；
②由原解析式知（y+3x）-k（x+2）=0．所以，
解得，即无论k取何值，该函数图象都经过点点（-2，6）．故②结论正确；
③当该函数图象经过第二、三、四象限时，k-3＜0，且k＜0，所以k＜0．故③结论正确；
④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则（k-3）x+2k=0，所以x=＞0，解得0＜k＜3．故④结论错误．
综上所述，正确的结论是：②③．
【名师指路】
本题考查了一次函数的定义和一次函数的性质．在解答①题时，要注意一次函数解析式y=（k-3）x+k中自变量的系数不为零．
17．如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点．点的坐标为，若点在直线上，点在轴上，若以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为______．
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【标准答案】(0.5，0)或(-4.5，0)
【思路指引】
分CE//BD和CE与BD是对角线两种情况求解即可．
【详解详析】
解：当CE//BD时，如图1，
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设直线CE的解析式为y=2x+b，
把代入得
3=4+b，
∴b=-1，
∴y=2x-1，
当y=0时，2x-1=0，
∴x=0.5，
∴E(0.5，0)．
②当CE与BD是对角线时，作CF//AE交BD于F，如图2，
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∵的坐标为，
∴F的纵坐标是3，
把y=3代入，得
2x+4=3，
∴x=-0.5，
∴CF=2+0.5=2.5．
∵CF//AE，
∴∠CFG=∠EAG，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴GC=GE，
在△CGF和△EGA中
，
∴△CGF≌△EGA，
∴AE=CF=2.5，
把y=0代入，得
2x+4=0，
∴x=-2，
∴OA=2，
∴OE=4.5，
∴E(-4.5，0)．
综上可知，点E的坐标为(0.5，0)或(-4.5，0)．
【名师指路】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函 ( http: / / www.21cnjy.com )数的平移，一次函数与坐标轴的交点，平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，分类讨论是解答本题的关键．
18．如图，己知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①图象经过点；②关于x的方程的解为；③关于x的方程的解为；④当时，．其是正确的是_________．21教育网
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【标准答案】②③④
【思路指引】
根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解．
【详解详析】
解：把点，点代入得，，
解得：，
一次函数的解析式为，
当时，，
图象不经过点；故①不符合题意；
由图象得：关于的方程的解为，故②符合题意；
关于的方程的解为，故③符合题意；
当时，，故④符合题意；
故答案为：②③④．
【名师指路】
本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，利用数形结合是求解的关键．21·cn·jy·com
19．一次函数y1＝kx+b与y2＝x ( http: / / www.21cnjy.com )+a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③关于x的方程kx﹣x＝a﹣b的解是x＝3；④当x＜3时，y1＜y2中．则正确的序号有____．【出处：21教育名师】
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【标准答案】①③．
【思路指引】
根据一次函数的性质对①②进行判断；利用 ( http: / / www.21cnjy.com )一次函数与一元一次方程的关系对③进行判断；利用函数图象，当x＜3时，一次函数y1＝kx+b在直线y2＝x+a的上方，则可对④进行判断．【版权所有：21教育】
【详解详析】
解：∵一次函数y1＝kx+b经过第一、二、三象限，
∴k＜0，b＞0，所以①正确；
∵直线y2＝x+a的图象与y轴的交点在x轴，下方，
∴a＜0，所以②错误；
∵一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象的交点的横坐标为3，
∴x＝3时，kx+b＝x﹣a，整理得kx﹣x＝a﹣b，所以③正确；
当x＜3时，y1＝kx+b图像在y2＝x+a图像的上方，
∴y1＞y2，所以④错误．
故答案为①③．
【名师指路】
本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数与 ( http: / / www.21cnjy.com )一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系是解题关键．
20．已知直线y1＝kx＋1(k＜0)与直线y2＝nx(n＞0)的交点坐标为(，)，则不等式组nx－3＜kx＋1＜nx的解集为______．
【标准答案】
【思路指引】
由函数都经过(，)可求得k=n-3，代入不等式组即可解答.
【详解详析】
解：把(，）代入y1=kx+1，可得，
解得k=n-3，
代入不等式得nx－3＜nx-3x＋1＜nx，
解得：
∴不等式组mx-2＜kx+1＜mx的解集为
，
故答案为，．
【名师指路】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式和一元一次不等式组的解法．根据函数交点求出k和n的关系是解题的关键.2-1-c-n-j-y
21．在平面直角坐标系中，垂直x轴的直线l分别与函数的图像交于P、Q两点，若平移直线l，可以使P、Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是_________．
【标准答案】
【思路指引】
根据题意可知在时，有公共解，因此可以列出不等式，从而得到答案．
【详解详析】
令，则，
令，则，
∵平移直线，可以使P、Q都在轴的下方，
∴可知在时，有公共解，
∴，解得：，
故填：．
【名师指路】
本题考查了一次函数的图象与性质、函数与不等式的关系，解答的关键是将图象问题转化为不等式．
22．已知一次函数和，当自变量时，，则的取值范围为_________．
【标准答案】－3≤k≤2且k≠0
【思路指引】
分两种方法解答：代数法：根据题意确定（k－2）x＜5，得到k－2≤0 且≥－1，由此求出答案；几何法：根据函数关系式画出函数图象进行判断得出答案.
【详解详析】
代数法：
解析：∵y1＜y2 ，
∴kx－2＜2x＋3，
∴（k－2）x＜5，
经分析得：k－2≤0 且≥－1，
解得：－3≤k＜0或 0＜k≤2；
几何法：根据函数关系式画出函数图象，如下图，观察图像可知：
－3≤k＜0或 0＜k≤2.
故答案为：－3≤k≤2且k≠0.
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【名师指路】
此题考查两个一次函数图象的交点问题，解一元一次不等式，利用自变量的取值及函数值的大小关系确定未知数的取值范围，确定解题的思路及方法是关键.21教育名师原创作品
三、解答题
23．在平面直角坐标系中，对于点与，给出如下的定义：
将过点的直线记为，若直线与有且只有两个公共点，则称这两个公共点之间的距离为直线与的“穿越距离”，记作．
例如，已知过点的直线与，其中，，，，如图所示，则．
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请解决下面的问题：
已知，其中，，，．
（1）当时，已知，为过点的直线．
①当时，________________；当时，________________；
②若，结合图象，求的值；
（2）已知，为过点的直线，若有最大值，且最大值为，直接写出的取值范围．
【标准答案】（1）①2；；②，；（2）
【思路指引】
（1）①由题意和图像即可得出；
②根据题意表示出一次函数的表达式，根据“穿越距离”，的长度列方程求解即可；
（2）由一次函数的图像和的最大值求解即可．
【详解详析】
（1）当时，，．
由图可知,四边形ABCD为正方形，
又∵点在直线上．
所以将代入
得：，即．
∴．
①当时，
∴：．
∴．
当时，将代入，得出
∴：．
直线经过和，
∴由题意可知：．
②如图，．
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过作于，则．
∵，
∴．
∴．
∴．
结合图象，由正方形的轴对称性可知，均符合题意．
（2）设直线的表达式为，
将代入得：，，
∴．
如图所示，设直线与线段AB交于点，与线段CD交于点．
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∴将代入得：，解得：，
将代入得：，解得：．
∵的最大值为，
又因为平行线段和之间的距离为2，
∴由勾股定理可得PQ之间的水平距离，
代入得：，
解得：．
∴，，此时Q点与B点重合．
∴由“穿越距离”得定义和图像可得，若有最大值，且最大值为，
C点需在P点的右边，即C点的横坐标需大于P点的横坐标，
∴；
D点需在P点的左边或和P点重合，即D点的横坐标需小于等于P点的横坐标，
∴，解得：；
综上所述，的取值范围是.
【名师指路】
此题考查了一次函数图像和平行四边形结合动点问题，解题的关键是根据题意找到题目中的等量关系列出方程．
24．（温故）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．同时．我们也学习了绝对值的意义；
（尝试）结合上面经历的学习过程，探究函数的图象与性质，探究过程如下．请补充完整．
（1）列表：
··· ···
··· ···
请根据表格中的信息，求出的值．
（探索）（2）①根据（1）中结果，请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象．（温馨提示：请把图画在答题卷相对应的图上．)【来源：21·世纪·教育·网】
②若点在函数图象上，且，试比较与的大小，并说明理由．
（拓展）（3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于的方程有且只有一个正根和一个负根，请直接写出满足条件的的取值范围.
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【标准答案】（1）-3；-5 （2）①见解析 ②；理由见解析 （3）.
【思路指引】
(1)分x≥2 和x＜2两种情形化简，后从列表中，选择符合题意的一对数值代入计算即可；
(2)根据题意，x＜2，选择对应的函数，根据函数的性质判断即可；
(3)画出图象，利用数形结合思想求解即可．
【详解详析】
当时，，
把代入，
得:，
，
当时，，即；
图象如图
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当时，，
，
随的增大而减小
当时，；
（3）如图：当直线在直线之间时，关于的方程有且只有一个正根和一个负根，
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令，则，
即：或，
解得：或，
当，时，代入得：，
当，时，代入得：，
∴，
∴满足条件的的取值范围是：．
【名师指路】
本题考查一次函数的交点、绝对值方程与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴、y轴于A、B两点，以AB为边在直线右侧作正方形ABCD，连接BD，过点C作CF⊥x轴于点F，交BD于点E，连接AE．
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（1）求线段AB的长；
（2）求证：AD平分∠EAF；
（3）求△AEF的周长．
【标准答案】（1）AB＝13；（2）见解析；（3）△AEF周长为24．
【思路指引】
（1）根据一次函数解析式，令x、y分别为0，即可求出A、B两点坐标，再利用勾股定理即可算出AB的长；
（2）证明△CDE和△A ( http: / / www.21cnjy.com )DE中，可得∠DCE＝∠DAE，根据三角形内角和和对顶角的性质可得∠DCM＝∠MAF，等量代换得∠MAF＝∠EAM；
（3）过点C作y轴垂线交y轴于点N，构造三角形全等即可推出点C的坐标；将AE+EF转换为CF即可求出△AEF的周长．
【详解详析】
解：（1）∵一次函数y＝﹣x+12的图象交x轴、y轴与A、B两点，
∴当x=0，则y=12，故B(0，12)，
当y=0，则x=5，故A(5，0)，
即OA＝5，OB＝12，
∴AB＝＝＝13，
故AB＝13；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD，
∵BD是正方形的对角线，
∴∠CDE＝∠ADE，
在△CDE和△ADE中，
，
∴△CDE≌△ADE（SAS），
∴∠DCE＝∠DAE，
设FC与AD交点为M，
∵∠EMD＝∠AMF（对顶角相等），∠DCM+∠EMD＝∠MAF+∠AMF，
∴∠DCM＝∠MAF，
∴∠MAF＝∠EAM，
∴AD平分∠EAF；
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（3）过点C作y轴垂线交y轴于点N，如图所示：
∵∠CBN+∠NCB=∠CBN+ABO=90°，
∴∠NCB=∠ABO，
在△CNB和△BOA中，
，
∴△CNB≌△BOA（AAS），
∴BN=AO=5，CN=BO=12，
又∵CF⊥x轴，
∴CF=BO+BN=12+5=17，
∴C的坐标为(12，17)；
∵△CDE≌△ADE，
∴AE=CE，
∴AE+EF=CF=17，AF=OF-AO=12-5=7，
∴C△AEF=AE+EF+AF=CF+AF=17+7=24．
【名师指路】
本题考查一次函数图象与坐标轴 ( http: / / www.21cnjy.com )的交点，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，对顶角的性质，以及三角形内角和的应用，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．
26．（了解概念）
将平面直角坐标系中过某一定点且不与x轴垂直的直线，叫该定点的“友好线”．若点P（1，0），则点P的“友好线”可记为y＝k（x﹣1）．
（理解运用）
（1）已知点A的“友好线”可记为y＝kx﹣3k+，则点A的坐标为 ；
（2）若点B（3，2）的“友好线”恰好经过点（1，1），求该“友好线”的解析式；
（拓展提升）
（3）已知点M在点Q的“友好线”y＝k（x+2）﹣1上，点N在直线y＝﹣x+2，若M（a，m），N（a，n），且当﹣3≤a≤3时，m≤n，请直接确定k的取值范围．
【标准答案】（1）；（2）；（3）或
【思路指引】
（1）由经过定点求解．
（2）将代入求解．
（3）先将与代入求出点坐标，再将所求点坐标代入求出，结合图象求出取值范围．
【详解详析】
解：（1），
点坐标为．
故答案为：．
（2）由题意可得点所在直线解析式为，
将代入得，
解得，
该“友好线”的解析式为．
（3）由题意得当时，直线在直线下方，
把代入得，把代入得，
直线经过点，，
把代入得，
把代入得，
解得，
经过定点，时，如图，
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时，如图，
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∴或时满足题意．
【名师指路】
本题考查一次函数的综合应用，解题关键是理解题干的新定义函数，通过直线经过定点结合图象求解．
27．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为 ( http: / / www.21cnjy.com )（a，b），点P的“变换点”P′的坐标．定义如下：当a≥b时，P’点坐标为（b，﹣a）；当a＜b时，P′点坐标为（a，﹣b）．
（1）求A（5，3），B（1，6），C（﹣2，4）的变换点坐标；
（2）如果直线l与x轴交于点D（ ( http: / / www.21cnjy.com )6，0），与y轴交于点E（0，3）．直线l上所有点的变换点组成一个新的图形，记作图形W，请画出图形W，并简要说明画图的思路；
（3）若直线y＝kx﹣1（k≠0）与图形W有两个交点，请直接写出k的取值范围．
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【标准答案】（1）A′（3，﹣5），B′（1，﹣6），C′（﹣2，﹣4）；（2）见解析；（3）k＜﹣或k＞2．
【思路指引】
（1）根据A、B、C三点的横、纵坐标间的关系即可找出与之对应的变换点坐标；
（2）根据点D、E坐标利用待定系数法找出 ( http: / / www.21cnjy.com )直线DE的解析式，找出横纵坐标相等的点的坐标，根据变换点的定义，将直线DE中点（2，2）左侧（不包括该点）的射线作关于x轴对称的射线，再将直线DE中点（2，2）右侧（包括该点）的射线绕原点顺时针旋转90°，由此即可得出图形W；
（3）根据W的做法找出图形W中两段射 ( http: / / www.21cnjy.com )线的解析式，分别令y＝kx﹣1（k≠0）与这两段射线的交点的横坐标满足射线中x的取值范围，综合在一起即可得出结论．
【详解详析】
解：（1）∵5＞3，1＜6，﹣2＜4，
∴A′（3，﹣5），B′（1，﹣6），C′（﹣2，﹣4）．
（2）设直线DE的解析式为y＝ax＋b，
将点D（6，0）、E（0，3）代入y＝ax＋b中，
得：，解得：，
∴直线DE的解析式为y＝﹣x＋3．
当x＝y时，有x＝﹣x＋3，解得：x＝y＝2．
画出图形W，如图所示．
画图的思路，将直线DE点（2， ( http: / / www.21cnjy.com )2）左侧（不包括该点）的射线作关于x轴对称的射线，再将直线DE点（2，2）右侧（包括该点）的射线绕原点顺时针旋转90°，由此即可得出图形W．
（3）当x＜2时，y＝x﹣3；
当x≥2时，旋转后的图形解析式为﹣x＝﹣y＋3，即y＝2x﹣6（x≤2）．
令kx﹣1＝x﹣3，则有x＝﹣＜2（k≠），
解得：k＜﹣或k＞；
令kx﹣1＝2x﹣6，则有x＝≤2（k≠2），
解得：k≤﹣或k＞2．
综上可知：若直线y＝kx﹣1（k≠0）与图形W有两个交点，k的取值范围为k＜﹣或k＞2．
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【名师指路】
本题考查了一次函数图形与几何变换，主要利用了待定系数法求函数解析式，读懂题目信息，理解“变换点”的定义是解题的关键．
28．在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点分别作轴于点，轴于点，一次函数的图象经过点．
（1）用含的代数式表示．
（2）当时，直线被矩形截得线段的长度为 ．
（3）当时，函数值满足，求的取值范围．
（4）当直线将矩形分成的两部分面积比为时，直接写出的值．
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【标准答案】（1）；（2）；（3），；（4）．
【思路指引】
（1）把点代入，移项整理即可得到答案；
（2）先求出一次函数的解析式，然后求出直线与矩形的边OB、AC的交点坐标，利用勾股定理即可求出答案；
（3）由题意，可分为两种情况进行讨论：当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小；分别求出k的取值范围即可；
（4）与偶题意，可分为两种情况进行分析：分成的两部分面积比为或；分别求出k的值即可．
【详解详析】
解：（1）将点P（2，3）代入，得
，
∴．
（2）根据题意，∵，
∴，
∴一次函数的解析式为：，
设直线与矩形的边OB、AC分别交于点D、E，如图：
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令，则，
∴点D为（，0）；
令，则，
∴点E为（，4）；
∴．
故答案为：．
（3）根据题意，
当时，y随x增大而增大，
当x=1时，．
当x=5时，．
由已知，得解得，．
∴．
当时，y随x增大而减小，
当x=1时，．
当x=5时，．
由已知，得解得，．
∴．
∴综上，k的取值范围为：，．
（4）根据题意，如图：
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∵，
∴，
令，则，
∴点D为（，0）；
令，则，
∴点E为（，4）；
∴；
；
∵直线将矩形分成的两部分面积比为，
当时，有
，
解得：；
经检验：符合题意
当时，有
，
解得：
经检验：符合题意
综合上述，的值为：．
【名师指路】
本题考查了一次函数的图像和性质，矩形的性质， ( http: / / www.21cnjy.com )坐标与图形，解一元一次方程，解一元一次不等式组等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的理解题意，运用分类讨论的思想进行解题．
29．在平面直角坐标系中，函数y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ax+1（x＞a）的图像记为M1，函数y＝ax+1（x≤a）的图像记为M2，图像M1和M2合起来记为图像M．21cnjy.com
（1）当a＝1时
①若点P（﹣2，b）在图像M上，求b的值．
②求图像M与x轴的交点坐标．
③直接写出﹣2≤x≤3时，y的最大值和最小值．
（2）当图像M上存在1个或3个点到x轴距离为2时，直接写出a的取值范围．
（3）已知矩形ABCD的四个端点 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标分别为A（﹣2，a），B（3，a），C（3，﹣a），D（﹣2，﹣a），当图像M与矩形ABCD恰有2个公共点时，直接写出a的取值范围．2·1·c·n·j·y
【标准答案】（1）①；②；③﹣2≤x≤3时，y的最大值为，最小值为；（2）或；（3）或者或者．21*cnjy*com
【思路指引】
（1）①将代入解析式，进而根据的解析式求得的值；
②根据①中的解析式，令，进而求得图像M与x轴的交点坐标；
③分类讨论当时，求得的最大值和最小值，当时，求得的最小值，进而求得﹣2≤x≤3时，y的最大值和最小值；
（2）分类讨论，分图像M上存在1个点和3个点到x轴距离为2时两种情况讨论，当存在3个点时，根据当（）时，且，当存在1个点时，根据当（）时，且，分别列出不等式组，解不等式即可求的出a的取值范围；
（3）当图像M与矩形ABCD恰有2个公共点时，分三种情况讨论，①当，且与矩形有2个交点时，当在下方时， 且；②当，且与矩形有2个交点时当过点上方时，即，且与矩形有2个交点，即时，，③当且有2个交点时，当时，，且，，分别列出不等式组，解不等式即可求的出a的取值范围．
【详解详析】
（1）根据题意，当时，的解析式为，的解析式为：；
的解析式为
( http: / / www.21cnjy.com / )
①若点P（﹣2，b）在图像M上，
点在上，
将代入，解得
②时，，则与轴无交点
由的解析式为：；
令，解得
与x轴的交点坐标为
③如图，当时，由的图象可知，随的增大而增大，
( http: / / www.21cnjy.com / )
的最小值为时，，
的最大值为时，，
当时，由的图象可知，随的增大而减小，
则不存在最大值，
的最小值为当时，
综上所述，﹣2≤x≤3时，y的最大值为，最小值为．
（2）①当图像M上存在3个点到x轴距离为2时，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
当（）时，且
即，
解得 ，
，
②当图像M上存在1个点到x轴距离为2时，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
当（）时，且，
即，
解得，
，
综上所述，当图像M上存在1个或3个点到x轴距离为2时，或；
（3）当图像M与矩形ABCD恰有2个公共点时，分三种情况讨论，
矩形ABCD的四个端点坐标分别为A（﹣2，a），B（3，a），C（3，﹣a），D（﹣2，﹣a），
①当，且与矩形有2个交点时，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
当在下方时， 且
即
解不等式，即，
恒成立，
取任何实数，
解不等式，
即，
令 ，
解得，
，
，
，
则或
解得或，
，
，
的解集为，
②如图，当，且与矩形有2个交点时当过点上方时，即，且与矩形有2个交点，即时，，
( http: / / www.21cnjy.com / )
即，
解得，
，
③当且有2个交点时，
，，
当时，，且，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
即，
即，
解不等式，
，
或，
解得（舍），，
解不等式，即，
恒成立，
取任何实数，
的解集为．
综上所述，当图像M与矩形ABCD恰有2个公共点时，或者或者．
【名师指路】
本题考查了一次函数的性质，矩形的性质，配方法的应用，解不等式组；作出图形，分类讨论是解题的关键．
30．已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为G．
（1）当时，若点在图象G上，求n的值；
（2）当时，若函数最大值与最小值的差为，求m的值；
（3）已知点，，，当图象G与有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
【标准答案】（1）-5；（2）；（3），
【思路指引】
（1）将代入解析式求解即可；
（2）根据一次函数的图像的性质，分类讨论①当时，②当时，③当时，根据一次函数的定义分别求得最大和最小值，再求其差为，从而求得m的值；
（3）设,，分类讨论①当经过点时，求得的最小值， ②当经过点时，③当与线段有交点时，④当经过点的时，⑤如图，当经过点时，分别判断图象G与的交点个数，得出符合题意的m的取值范围．
【详解详析】
解：（1）当时，函数
∵点在图像G上
∴当时，．
（2）①当时，即时，对于函数，随着x的增大y也增大．
∴当时，函数有最小值．
当时，函数有最大值．
∴．
∴当时，不存在m值使最大值与最小值的差为．
②当时，即时，对于函数，随着x的增大，y反而减小．
∴当时，函数有最小值．
当时，函数有最大值．
∴，故当时，不存在m值使最大值与最小值的差为．
③当时，即时，图象G从左到右先上升，再下降，即随着x的增大y值先增大，再减小，当时有最大值．
当时，，当时，．
ⅰ当时，．
ⅱ当时，．
∴时，当时，函数最大值与最小值的差为．
综上述：．
（3）设,
①如图，当经过点时，
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图象G与有一个公共点，
将代入，得：
解得
②当经过点时，将点代入
解得
当时，当图象G与有两个公共点
如图，当时，即，也经过点
( http: / / www.21cnjy.com / )
此时，当图象G与有两个公共点
③当与线段有交点时，
将点代入，得
此时与交于点
当继续增大时，图象G与有四个公共点，
分别与线段各有一个交点，与线段各有一个交点；
④如图，当经过点的时，将代入
解得：
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此时分别与各有一个交点，此时图象G与有三个公共点
当继续增大时，图象G与有两个公共点
⑤如图，当经过点时，图象G与有一个公共点，此时可以求得的最大值
( http: / / www.21cnjy.com / )
将代入，得：
解得：
综上所述，当图象G与有两个公共点时，或．
【名师指路】
本题考查了一次函数的定义，一次函数图像与性质等知识点，分类讨论，数形结合是解题的关键．
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