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19.2 平行四边形
第4课时 用对角线的关系判定平行四边形
第19章 四边形
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对角线互相________的四边形是平行四边形．
平分
1．【中考·衡阳】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．AB∥DC，AB＝DC
B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC
D．OA＝OC，OB＝OD
C
2．【中考·绵阳】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为( )
A．6 B．12 C．20 D．24
D
解：四边形AECF是平行四边形．
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.
∵点E，F分别是OB，OD的中点，∴OE＝OF.
∴四边形AECF是平行四边形．
3．【教材改编题】如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F分别是OB，OD的中点．判断四边形AECF的形状并说明理由．
4．如图，已知AC∥DE且AC＝DE，AD，CE交于点B，AF，DG分别是△ABC，△BDE的中线．求证：四边形AGDF是平行四边形．
证明：∵AC∥DE，∴∠C＝∠E.
在△ABC和△DBE中，
∠ABC＝∠DBE，∠C＝∠E，AC＝ED，
∴△ABC≌△DBE(AAS)，∴CB＝EB，AB＝DB.
∵AF，DG分别是△ABC，△BDE的中线，
∴BF＝ BC，GB＝ BE，∴FB＝GB，
∴四边形AGDF是平行四边形．
证明：如图，连接BD交AC于点O.
∵四边形DEBF为平行四边形，∴OD＝OB，OE＝OF.
∵AF＝CE，∴AF－OF＝CE－OE，即OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
5．【教材改编题】已知：如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，连接DE，DF，BE，BF.四边形DEBF为平行四边形．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
6．小明的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是( )
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
A
7．【中考·安徽】 ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( )
A．BE＝DF B．AE＝CF
C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF
【点拨】如图，连接AC，与BD相交于O，在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四边形AECF为平行四边形，只需证明OE＝OF.
A.BE＝DF，则OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；B.由AE＝CF，无法判断OE＝OF，故本选项符合题意；C.AF∥CE，能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；D.∠BAE＝∠DCF，能够利用“角边角”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF＝BE，然后同A，故本选项不符合题意，故选B.
【答案】B
8．【创新题】【2021·河北改编】如图①， ABCD中，AD>AB，∠ABC为锐角，要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有如图②所示的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案有( )
A．甲、乙、丙
B．甲、乙
C．甲、丙
D．乙、丙
A
9．如图，用9个全等的等边三角形拼成一个几何图案，从该图案中可以找出________个平行四边形．
15
10．如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，F是AD的中点，连接EC.
(1)求证：四边形ADCE是平行四边形；
证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.
∵AE∥BC，∴∠AEF＝∠DBF.
在△AFE和△DFB中，
∴△AFE≌△DFB(AAS)，∴AE＝BD，∴AE＝CD.
∵AE∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形．
(2)若四边形ABCE的面积为S，请直接写出图中所有面积是 S的三角形．
解：△ABD，△ACD，△ACE，△ABE.
11．【2021·聊城】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO.
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
证明：在△AOE和△COD中，
∴△AOE≌△COD(ASA)，∴OD＝OE，
又∵AO＝CO，∴四边形AECD是平行四边形．
(2)若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
12．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F.
(1)当点D在边BC上时，如图①，求证：DE＋DF＝AC；
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵DF∥AB，∴∠B＝∠FDC.
∴∠FDC＝∠C.∴FD＝FC.
∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形．
∴DE＝AF.
∴DE＋DF＝AF＋FC＝AC.
(2)当点D在边BC的延长线上时，如图②，当点D在边BC的反向延长线上时，如图③.请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系(不需要证明)；
解：当点D在边BC的延长线上时，
DE－DF＝AC；
当点D在边BC的反向延长线上时，
DF－DE＝AC.
2或10
(3)若AC＝6，DE＝4，则DF＝________.(共51张PPT)
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第19章 四边形
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1．【中考·陕西】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝65°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC的中点，连接ED，则∠EDC的度数是( )
A．25° B．30° C．50° D．65°
D
2．【中考·邵阳】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于( )
A．120° B．108° C．72° D．36°
B
3．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．求证：
(1)四边形ADEF是平行四边形；
证明：∵点D，E分别是AB，BC的中点，∴DE∥AC.
同理可得EF∥AB.
∴四边形ADEF是平行四边形．
证明：由(1)知四边形ADEF是平行四边形，∴∠DAF＝∠DEF.
在Rt△AHB中，∵D是AB的中点，
∴DH＝ AB＝AD，∴∠DAH＝∠DHA.
同理可得HF＝ AC＝AF，∴∠FAH＝∠FHA.
∴∠DAH＋∠FAH＝∠DHA＋∠FHA.
∴∠DAF＝∠DHF.
∴∠DHF＝∠DEF.
(2)∠DHF＝∠DEF.
4．【创新题】如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两部分，如果所得两个图形的内角和相等，则符合条件的剪法是( )
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
B
5．【创新题】【2021·合肥月考】科研人员为某机器人编制了一段如图所示的程序，如果机器人在平地上按照该程序行走，那么该机器人所走的总路程为( )
A．6米 B．8米
C．12米 D．不能确定
C
6．【中考·咸宁】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，连接ED，EF.
(1)求证：四边形DEFC是矩形；
证明：∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，
∴DE∥FC，EF∥CD，
∴四边形DEFC是平行四边形．
∵∠DCF＝90°，∴四边形DEFC是矩形．
(2)请用无刻度的直尺在图中作出∠ABC的平分线(保留作图痕迹，不写作法)．
解：如图，射线BO即为所求．
7．如图，在 ABCD中，点P是对角线AC上一动点，过点P作PM∥DC，使PM＝DC，连接BM，CM，BP，PD.
(1)求证：△ADP≌△BCM；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠ADC＋∠BCD＝180°.
∵PM∥DC，PM＝DC，∴四边形PMCD是平行四边形，
∴PD＝CM，∠PDC＋∠DCM＝180°，
∴∠ADP＝∠BCM，∴△ADP≌△BCM.
(2)若PA＝ PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求 的值．
解：过点B作BH⊥AC于H，过点D作DG⊥AC于G，
则∠AHB＝∠DGC＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.
∴∠BAH＝∠GCD.
∴△ABH≌△CDG，∴BH＝DG，∴S△ADP＝S△ABP，
∵△ADP≌△BCM，∴S△ADP＝S△BCM，
∴S△BCM＝S△ABP＝S.
∵PA＝ PC，∴S△BPC＝2S△ABP＝2S，
8．如图，ON为∠AOB内部的一条射线，点P在边OA上，PH⊥OB于点H，交ON于点Q，PM∥OB交ON于点M，MD⊥OB于点D，QR∥OB交MD于点R，连接PR交QM于点S.
(1)求证：四边形PQRM为矩形；
证明：∵PH⊥OB，MD⊥OB，∴PH∥MD.
∵PM∥OB，QR∥OB，∴PM∥QR，
∴四边形PQRM是平行四边形．
∵PH⊥OB，∴∠PHO＝90°.
∵PM∥OB，∴∠MPQ＝∠PHO＝90°，
∴四边形PQRM为矩形．
(2)若OP＝ PR，试探究∠AOB与∠BON的数量关系，并说明理由．
解：∠AOB＝3∠BON.理由如下：
∵四边形PQRM为矩形，∴PS＝SR＝SQ＝ PR，
∴∠SQR＝∠SRQ.
又∵OP＝ PR，∴OP＝PS，∴∠POS＝∠PSO.
∵QR∥OB，∴∠SQR＝∠BON.
∴∠PSO＝∠SQR＋∠SRQ＝2∠SQR＝2∠BON，
∴∠POS＝2∠BON，
∴∠AOB＝∠POS＋∠BON＝2∠BON＋∠BON＝3∠BON，
即∠AOB＝3∠BON.
9．【马鞍山期末】如图是一种汽车用的“千斤顶”，它由4根连杆组成菱形ABCD，当摇柄顺时针旋转时，B，D两点的距离变小，从而顶起汽车．若AB＝30，摇柄每顺时针旋转1圈，BD的长就减少1.设BD＝a，AC＝h.
(1)当a＝40时，求h的值；
(2)从a＝40开始，设摇柄顺时针旋转x圈，求h关于x的函数表达式；
(3)从a＝40开始，摇柄顺时针旋转10圈，求“千斤顶”增加的高度．
10．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点(点E不与端点A，C重合)，且AE＝CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝OD，连接DE，DF，GE，GF.
(1)求证：四边形EDFG是正方形；
证明：如图，连接DC.
∵O是EF的中点，GO＝OD，∴四边形EDFG是平行四边形．
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD，CD⊥AB.
又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF.
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF. ∴四边形EDFG是菱形．
∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠EDC＋∠CDF＝90°，
即∠EDF＝90°. ∴四边形EDFG是正方形．
(2)直接写出四边形EDFG面积的最小值和此时E点所在的位置．
解：四边形EDFG面积的最小值为4，此时E为线段AC的中点．
11．【池州东至期末】用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的2个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图①.用n个全等的正六边形按这种方式拼接，如图②，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为( )
A．4 B．6 C．8 D．12
【点拨】正六边形每个内角的度数是 ＝120°，则正六边形围成的正多边形每个内角的度数是360°－2×120°＝120°，根据题意得180°(n－2)＝120°n，解得n＝6.故选B.
【答案】 B
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A′恰好在∠BCD的平分线上时，CA′的长为( )
【点拨】如图，过点A′作A′M⊥BC于点M.
∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD＝90°.
∵点A的对应点A′恰好在∠BCD的平分线上，易得△A′MC为等腰直角三角形，∴设CM＝A′M＝x，则BM＝7－x.
又由折叠的性质知AB＝A′B＝5，∴在Rt△A′MB中，由勾股定理得A′M2＝A′B2－BM2，∴x2＝25－(7－x)2，∴x＝3或x＝4.∵在等腰直角三角形A′CM中，由勾股定理得CA′＝ A′M，∴CA′＝3 或4 .故选B.
【答案】 B
13．如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F 处，FC交AD于E.
(1)求证：△AFE ≌ △CDE；
证明：由翻折的性质可得AF＝AB，∠F＝∠B＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°，
∴AF＝CD，∠F＝∠D，
∵∠AEF＝∠CED，∴△AFE≌△CDE.
(2)若AB ＝4，BC ＝8，则图中阴影部分的面积为______．
【点拨】∵△AFE≌△CDE，∴AE＝CE，
根据翻折的性质可知FC＝BC＝8，
在Rt△AFE中，AE2＝AF2＋EF2，
即(8－EF)2＝42＋EF2，
解得EF＝3，则AE＝5，
∴阴影部分的面积＝ EC·AF＝ ×5×4＝10.
10
14．如图，在矩形ABCD中，P是AD上一动点，O为BD的中点，连接PO并延长，交BC于点Q.
(1)求证：四边形PBQD是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴∠PDO＝∠QBO.
∵O为BD的中点，∴OB＝OD，
又∵∠POD＝∠QOB，∴△PDO≌△QBO，∴OP＝OQ.
又∵OB＝OD，∴四边形PBQD是平行四边形．
(2)若AD＝6 cm，AB＝4 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动(不与点D重合)，设点P运动时间为t s，请用含t的代数式表示PD的长，求出当t为何值时，四边形PBQD是菱形，并求出此时菱形的周长．
解：依题意得AP＝t cm，则PD＝(6－t)cm.
当四边形PBQD是菱形时，有PB＝PD＝(6－t)cm，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，
在Rt△ABP中，∵AP2＋AB2＝BP2，
∴t2＋42＝(6－t)2，解得t＝ ，
∴当t＝ 时，四边形PBQD是菱形，
此时菱形的周长为
15．在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.
(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积；
解：易知在菱形ABCD中，AC⊥BD，BG＝ BD＝8，AG＝CG，
由勾股定理得AG＝
∴AC＝2AG＝2×6＝12.
∴菱形ABCD的面积＝ AC·BD＝ ×12×16＝96.
(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由；
解：OE＋OF的值不发生变化．
理由如下：
如图①，连接AO，则S△ABD＝S△ABO＋S△AOD，
∴ BD·AG＝ AB·OE＋ AD·OF，
即 ×16×6＝ ×10·OE＋ ×10·OF，
解得OE＋OF＝9.6，是定值，不发生变化．
(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系，并说明理由．
解：OE＋OF的值发生变化，OE，OF之间的数量关系
为OE－OF＝9.6.
理由如下：
如图②，连接AO，则S△ABD＝S△ABO－S△AOD，
∴ BD·AG＝ AB·OE－ AD·OF，
即 ×16×6＝ ×10·OE－ ×10·OF，
解得OE－OF＝9.6.
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC的内部，∠BOC＝90°，OB＝OC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点．
(1)求证：四边形DEFG是矩形；
证明：连接AO并延长，交BC于H.
∵AB＝AC，OB＝OC，∴AH⊥BC.
∵D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点，
∴DG∥BC∥EF，DE∥AH∥GF.
∴四边形DEFG是平行四边形．
∵EF∥BC，AH⊥BC，∴AH⊥EF.
∵DE∥AH，∴DE⊥EF. ∴四边形DEFG是矩形．
(2)若DE＝2，EF＝3，求△ABC的面积．
解：由(1)易知EF＝ BC，DE＝ OA，H为BC的中点．
∵△BOC是等腰直角三角形，
∴BC＝2EF＝2OH＝2×3＝6，
AH＝OA＋OH＝2DE＋EF＝2×2＋3＝7.
∴S△ABC＝ BC·AH＝ ×6×7＝21.
17．【创新题】【2021·滁州期末】如图，小明家门前有一块矩形空地ABCD，AB＝4 m，BC＝8 m，小明想把这块空地改造成两个停车位，于是小明做了如下操作：
①连接BD；
②在BC上取一点F，连接DF，使得∠ADB＝∠FDB；
③在AD上取一点E，使得AE＝CF，连接BE；
④分别取DE，BF的中点M，N，连接MN.
这样小明就成功地改造了两个停车位EBNM和MNFD.
(1)求证：四边形BFDE是菱形；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠FBD.
∵AE＝CF，∴DE＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵∠ADB＝∠FDB，∴∠FBD＝∠FDB，
∴FD＝FB，∴四边形BFDE是菱形．
(2)请你帮助小明计算出EM的长．
解：∵AD＝BC，BC＝8 m，∴AD＝8 m，
∵四边形BFDE是菱形，∴DE＝BE.
设DE＝BE＝x m，则AE＝(8－x)m，
由题意得∠A＝90°，∴AE2＋AB2＝BE2，
即(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5，∴DE＝5 m，
又∵M是DE的中点，∴EM＝ DE＝ m.
18．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，P是BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F.求证：PA＝EF.
证明：如图，连接PC.
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠ECF＝90°，
∴四边形PECF是矩形．∴PC＝EF.
在△ABP和△CBP中，
∴△ABP≌△CBP(SAS)．
∴PA＝PC. ∴PA＝EF.
19．阅读
在平面直角坐标系中，以任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)为端点的线段的中点坐标为
运用
(1)如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON，OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4，3)，则点M的坐标为________；
(2，1.5)
解：设点D的坐标为(x，y)．
以点A，B，C，D为顶点构成的四边形是平行四边形，
①当AB为对角线时，
∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)，
(2)在平面直角坐标系中，有A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．
∴x＝1，y＝－1.
∴点D的坐标为(1，－1)．
②当BC为对角线时，
∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)，
∴
∴x＝5，y＝3. ∴点D的坐标为(5，3)．
③当AC为对角线时，
∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)，
∴
∴x＝－3，y＝5.
∴点D的坐标为(－3，5)．
综上所述，点D的坐标为(1，－1)或(5，3)或(－3，5)．(共13张PPT)
专题技能训练(八)
1.矩形性质与判定的灵活运用
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第19章 四边形
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1．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC，点D是△ABC内部一点，DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，若CE＝3DE，5DF＝3AF，DE＝2.5，求AF的长．
解：∵DE⊥BC，DF⊥AB，∴∠DEB＝∠DFB＝90°，
由题意知∠ABC＝90°，∴四边形DEBF为矩形，
∴BF＝DE＝2.5，DF＝EB.
设DF＝3x，则EB＝3x，
∵5DF＝3AF，∴AF＝5x，∴AB＝5x＋2.5.
∵CE＝3DE，∴CE＝7.5，
∴BC＝7.5＋3x.
∵AB＝BC，∴5x＋2.5＝7.5＋3x，
解得x＝2.5，
∴AF＝5x＝12.5.
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作 ABDE，连接AD，EC.
(1)求证：△ADC≌△ECD；
证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥DE，AB＝DE.∴∠B＝∠EDC.
又∵AB＝AC，∴AC＝DE，∠B＝∠ACB.
∴∠EDC＝∠ACD.
在△ADC和△ECD中，
∴△ADC≌△ECD.
(2)若BD＝CD，请判断四边形ADCE的形状，并证明．
解：四边形ADCE是矩形．
证明如下：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD∥AE，BD＝AE.
又∵BD＝CD，∴AE＝CD. ∴四边形ADCE是平行四边形．
在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.
∴∠ADC＝90°.∴四边形ADCE是矩形．
3．如图，△ABC是等腰三角形，AC＝BC，点D、E分别是AB、AC的中点，延长DE至F，使EF＝DE，连接CD、CF和AF.
(1)求证：四边形ADCF是矩形；
证明：∵E是AC的中点，∴AE＝EC.
∵DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE＝ BC，∴DF＝BC.
∵CA＝CB，∴AC＝DF，
∴四边形ADCF是矩形．
(2)如果∠B＝60°，AC＝6，求矩形ADCF的面积．
解：∵△ABC是等腰三角形，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝6，
易得△BDC的面积＝△ADC的面积＝△ACF的面积，
CD＝3 ，
∴矩形ADCF的面积＝△ABC的面积＝ ×6×3 ＝9 .
4．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片折叠，使点B恰好落在CD边上的点E处，折痕为AF，且AB＝10 cm，AD＝8 cm，DE＝6 cm.
(1)求证：平行四边形ABCD是矩形；
证明：由折叠可知AE＝AB＝10 cm.
∵AD＝8 cm，DE＝6 cm，
∴AD2＋DE2＝AE2，
∴△ADE是直角三角形，且∠D＝90°.
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形．
(2)求BF的长．
解：由(1)得平行四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝10 cm，AD＝BC＝8 cm，∠C＝90°.
∵DE＝6 cm，∴EC＝CD－DE＝10－6＝4(cm)．
设BF＝x cm，则EF＝BF＝x cm，FC＝BC－BF＝(8－x) cm，
在Rt△EFC中，由勾股定理得EC2＋FC2＝EF2，
即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，∴BF的长为5 cm.(共29张PPT)
19.3 矩形、菱形、正方形
第5课时 正方形及其性质
第19章 四边形
HK版 八年级下
1
2
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核心必知
1
2
3
4
C
5
B
D
C
相等；垂直平分
C
直角
6
7
8
9
C
B
10
见习题
11
12
13
14
答案显示
15
见习题
C
C
22 020
见习题
1．有一个角是________，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形．
直角
2．正方形的四条边都________，四个角都是直角. 正方形的对角线相等且互相________ .
一半
一半
1．【芜湖繁昌期末】正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．四个角都是直角 B．四条边相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
B
2．【中考·沈阳】如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有( )
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
C
3．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC等于( )
A．45° B．55° C．60° D．75°
C
4．【教材改编题】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C
5．【合肥庐阳区期末】如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为( )
A．3 B．4 C. D.
D
6．如图，正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG翻折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是( )
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【点拨】如图，连接AE，∵在正方形ABCD中，AB＝6，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠D＝∠B＝90°.由翻折可知AB＝AF，BG＝GF，∠B＝∠AFG＝90°.∴∠AFE＝90°，AF＝AD.在Rt△AFE和Rt△ADE中，AE＝AE，AF＝AD，∴Rt△AFE≌Rt△ADE，∴EF＝DE.设DE＝FE＝x，则EC＝6－x.∵G为BC的中点，BC＝6，∴BG＝CG＝3.
在Rt△ECG中，根据勾股定理，得(6－x)2＋9＝(x＋3)2，
解得x＝2.∴DE＝2.
【答案】C
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，C，F在坐标轴上，E是OA的中点，四边形AOCB是矩形，四边形BDEF是正方形，若点C的坐标为(6，0)，则点D的坐标为( )
A．(2，4) B．(2，6)
C．(2，2 ) D．(2，2＋2 )
B
8．【宣城期末】如图，在正方形ABCD中，边长为4，对角线AC，BD交于点O，点E是BC边上任意一点，过点E分别向BD，AC作垂线，垂足分别为F，G，则四边形OFEG的周长是________．
9．如图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，连接AE，CG.求证：AE＝CG.
证明：∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴AD＝CD，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°.
∵∠CDG＝∠ADC＋∠ADG，∠ADE＝∠EDG＋∠ADG，
∴∠ADE＝∠CDG.
在△ADE和△CDG中，
AD＝CD，∠ADE＝∠CDG，DE＝DG，
∴△ADE≌△CDG，∴AE＝CG.
10．如图，在正方形ABCD中，AB＝4.以CD为底边向外作等腰直角三角形DCE，连接BE，则BE的长为( )
C
11．【2021·重庆】如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N.若四边形MOND的面积是1，则AB的长为( )
A．1 B. C．2 D．2
C
12．【2021·合肥期末】如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB边的中点，点F在BC边上移动，点B关于直线EF的对称点记为B′，连接B′D，B′E，B′F.当四边形BEB′F为正方形时，B′D的长为________．
13．如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，记△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，…的面积分别为
S1，S2，S3，…，如此下去，则S2 022＝________．
22 020
14.【中考·聊城】如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过点B作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF.
(1)求证：AE＝BF；
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°.
∵BH⊥AE，∴∠BAE＋∠ABH＝90°.
又∵∠ABH＋∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF.
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF，∴AE＝BF.
(2)若正方形的边长是5，BE＝2，求AF的长．
解：∵△ABE≌△BCF，∴CF＝BE＝2.
∵正方形的边长为5，
∴AD＝CD＝5，
∴DF＝CD－CF＝5－2＝3，
在Rt△ADF中，AF＝
15．【创新题】某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：
在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.
(1)观察猜想
如图①，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为________；
②BC，CD，CF之间的数量关系为____________．(将结论直接写在横线上)
垂直
BC＝CD＋CF
解：成立，②不成立．
②的正确结论为BC＝CD－CF.
证明：∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°.
∵∠BAC＝90°，∴∠DAB＝∠FAC.
(2)数学思考
如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC.
∴BD＝CF，∠DBA＝∠FCA.
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°.
∴∠DBA＝∠FCA＝135°.
∴∠BCF＝90°.
∴CF⊥BC.
∵BC＝CD－BD，BD＝CF，∴BC＝CD－CF.
(3)拓展延伸
如图③，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE.若已知AB＝2 ，CD＝ BC，则GE的长为____．
【点拨】分别过点A，E作AM⊥BC，EN⊥BC，EP⊥CF，
垂足分别为M，N，P，得矩形PCNE.
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2 ，
∴BC＝4，∴AM＝BM＝MC＝2.
∵CD＝ BC，∴CD＝1，∴MD＝3.
∵∠ADC＋∠EDN＝90°，∠EDN＋∠DEN＝90°，
∴∠ADC＝∠DEN.
又∵∠AMD＝∠DNE＝90°，AD＝DE，∴△AMD≌△DNE.
∴DN＝AM＝2，EN＝MD＝3.
∴CN＝2＋1＝3.
由题易知CG＝BC＝4，∴GP＝4－3＝1.
在Rt△GPE中，GP＝1，PE＝CN＝3，∴GE＝
【答案】(共17张PPT)
专题技能训练(八)
2.菱形性质与判定的灵活运用
HK版 八年级下
第19章 四边形
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1
2
3
4
见习题
见习题
见习题
见习题
1．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E(尺规作图的痕迹保留在图中了)，连接EF.
(1)求证：四边形ABEF为菱形；
证明：由尺规作∠BAD的平分线的过程可得AB＝AF，
∠BAE＝∠FAE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠FAE＝∠AEB. ∴∠BAE＝∠AEB.
∴AB＝BE. ∴BE＝FA.
∴四边形ABEF为平行四边形．
∵AB＝AF，∴四边形ABEF为菱形．
(2)若菱形ABEF的周长为16，AE＝4 ，求∠C的大小．
解：连接BF，交AE于O，
∵菱形ABEF的周长为16，∴AB＝BE＝EF＝FA＝4，
又∵AE＝4 ，∴EO＝AO＝2 ，
∴BO＝ ∴BE＝2BO，∴∠BEO＝30°.
同理可得∠FEO＝30°.
又∵AB∥DC，AB∥EF，∴EF∥DC，
∴∠C＝∠BEF＝∠BEO＋∠FEO＝60°.
2．如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.
(1)求证：四边形CEFG是菱形；
证明：由题意可得△BCE≌△BFE，
∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE.
∵FG∥CE，∴∠FGE＝∠CEB，
∴∠FGE＝∠FEG，∴FG＝FE，
∴FG＝EC，
∴四边形CEFG是平行四边形．
又∵CE＝FE，∴四边形CEFG是菱形．
【点拨】∵在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，
∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，
∴AF＝ ＝8，∴DF＝2.
设EF＝x，则CE＝x，DE＝6－x，
∵∠FDE＝90°，∴22＋(6－x)2＝x2，解得x＝ ，
∴CE＝ ，∴四边形CEFG的面积是CE·DF＝ ×2＝ .
(2)若AB＝6，AD＝10，则四边形CEFG的面积为________．
3．【2021·玉林改编】如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB，DC于点E，F，连接DE，BF.
(1)求证：四边形DEBF是菱形；
证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB∥CD，∴∠FDO＝∠EBO.
在△DOF和△BOE中，
∴△DOF≌△BOE(ASA)，∴OF＝OE，
又OD＝OB，∴四边形DEBF是平行四边形．
∵EF⊥BD，∴四边形DEBF是菱形．
(2)若AD∥EF，AD＋AB＝12，BD＝4 ，则AF的长为________．
【点拨】∵AD∥EF，EF⊥BD，
∴∠FEB＝∠DAB，AD⊥BD，∴∠ADB＝90°.
设AD＝x，∵AD＋AB＝12，∴AB＝12－x，
在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，
即x2＋(4 )2＝(12－x)2，解得x＝4，
∴AD＝4，AB＝8，∴AD＝ AB.
∴∠ABD＝30°，∴∠DAB＝60°，∴∠FEB＝60°.
∵四边形DEBF是菱形，∴DE＝BE＝BF，DE∥BF，
∴△BEF是等边三角形，∠DEA＝∠FBA.
∴∠DEA＝∠FBA＝∠EFB＝60°，BE＝EF.
∴△ADE是等边三角形，
易得AE＝EF＝BF＝4，∴∠AFE＝30°，∴∠AFB＝90°，
∴AF＝
【答案】
4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t s(0＜t≤10)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.
(1)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
解：能．
在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝90°－60°＝30°，
DC＝4t cm，∴DF＝2t cm.
又∵AE＝2t cm，∴AE＝DF.
∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，
即40－4t＝2t，解得t＝ .
∴当t＝ 时，四边形AEFD为菱形．
(2)当t为何值时，△DEF为直角三角形？
解：①当∠DEF＝90°时，
∵四边形AEFD为平行四边形，
∴EF∥AD，∴∠ADE＝∠DEF＝90°.
∵∠A＝60°，∴∠AED＝30°，
∴AD＝ AE＝t cm.
又∵AD＝(40－4t)cm，∴40－4t＝t，解得t＝8；
②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，
在Rt△AED中，∠A＝60°，则∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，即40－4t＝4t，解得t＝5；
③易知∠EFD＝90°的情况不存在．
综上所述，当t＝8或5时，△DEF为直角三角形．(共26张PPT)
19.2 平行四边形
第2课时 平行四边形的对角线性质
第19章 四边形
HK版 八年级下
1
2
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核心必知
1
2
3
4
A
5
D
16
C
相等
C
平分
6
7
8
9
见习题
C
10
12
11
12
13
14
答案显示
C
15
见习题
D
23
B
见习题
D
1．性质3：平行四边形对角线互相________．
平分
2．平行四边形的一条对角线分平行四边形为两个全等的三角形；两条对角线分平行四边形为四个面积________的三角形．
相等
1．【中考·湘西州】如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，则下列结论中错误的是( )
A．OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC
C．AB＝CD D．AC＝BD
D
2．【中考·清远】如图，在 ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为( )
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．8 cm
A
3．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连接CE，则△CDE的周长为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
C
4．【中考·南宁】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是( )
A．2 cm＜OA＜5 cm
B．2 cm＜OA＜8 cm
C．1 cm＜OA＜4 cm
D．3 cm＜OA＜8 cm
C
5．【教材改编题】如图， ABCD的对角线交于点O，且AB＝5，若△OCD的周长为13，则 ABCD的两条对角线长的和是________．
16
6．如图所示，已知平行四边形ABCD和平行四边形EBFD的顶点A，E，F，C在一条直线上，求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.
又∵在平行四边形EBFD中，DF∥BE，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE＝CF.
7．【2021·台湾改编】如图，已知平行四边形ABCD和△BDE，A点在BE上，若平行四边形ABCD的面积为20，△BDE的面积为24，则△ADE的面积为( )
A．10 B．12 C．14 D．16
C
8．如图，某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是( )
A．红花、绿花种植面积一定相等
B．紫花、橙花种植面积一定相等
C．红花、蓝花种植面积一定相等
D．蓝花、黄花种植面积一定相等
C
9．在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若△AOB的面积为3，则 ABCD的面积为________．
12
10．【创新题】【2021·合肥高新区期末】如图①，平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD＝15.沿四边形ABCD的两条对角线将其剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片，若将甲、丙合并(AD，CB重合)形成一个对称图形戊，如图②所示，则图形戊的两条对角线长度之和为________．
23
11．【2021·铜陵义安区期末】已知平行四边形的一边长为10，则对角线的长度可能取下列数组中的( )
A．4，8 B．10，32
C．8，10 D．11，13
D
12.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝ ，AC＝2，BD＝4，则AE的长为( )
【答案】D
13．如图，点P是 ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：
①S1＋S3＝S2＋S4；②若S4＞S2，则S3＞S1；
③若S3＝2S1，则S4＝2S2；
④若S1－S2＝S3－S4，则P点一定在对角线BD上．
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B
14．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AC∶BD＝2∶3.求：
(1)AC的长；
解：∵AC∶BD＝2∶3，∴设AC＝2x，则BD＝3x.
(2)△AOD的面积．
15．【2021·宣城月考】【问题探究】已知平行四边形ABCD的面积为100，M是AB所在直线上一点．
(1)如图①，当点M与B重合时，S△DCM＝________；
(2)如图②，当点M在AB上，且与B，A均不重合时，S△DCM＝________；
(3)如图③，当点M在AB(或BA)的延长线上时，S△DCM＝________．
50
50
50
【拓展推广】如图④，平行四边形ABCD的面积为a，E，F分别为DC，BC延长线上的点，连接DF，AF，AE，BE，求图中阴影部分的面积和．
【实践应用】如图⑤是一块平行四边形绿地ABCD，PQ，MN分别平行于DC，AD，它们相交于点O，S四边形AMOP＝300 m2，S四边形MBQO＝400 m2，S四边形NCQO＝700 m2，S四边形DPON＝525 m2，现进行绿地改造，在绿地内部作一个三角形区域MQD(连接DM，QD，QM，图中阴影部分)种植不同的花草，则三角形区域的面积为__________．
【答案】700 m2(共10张PPT)
专题技能训练(七)
1.判定平行四边形的四种常用方法
HK版 八年级下
第19章 四边形
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1
2
3
4
见习题
见习题
见习题
见习题
1．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．
求证：四边形ADEF是平行四边形．
证明：∵△ABD，△BCE都是等边三角形，
∴BA＝BD，BC＝BE，∠DBA＝∠EBC＝60°.
∴∠EBC－∠EBA＝∠DBA－∠EBA，∴∠ABC＝∠DBE.
∴△ABC≌△DBE.∴AC＝DE.
又∵△ACF为等边三角形，∴AF＝AC＝DE.
同理，可得AD＝AB＝EF. ∴四边形ADEF是平行四边形．
2．【马鞍山当涂期末】如图，已知平行四边形ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE.求证：四边形AECF为平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，AD＝CB.
∵AM⊥BC，∴AM⊥AD.
∵CN⊥AD，∴AM∥CN. 即AE∥CF.∴∠AED＝∠CFB.
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF. ∴AE＝CF.
∴四边形AECF为平行四边形．
3．【2021·合肥高新区期末】如图，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG.
(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；
证明：∵D，G分别是AB，AC的中点，∴DG∥BC，
同理可得EF∥BC，∴DG∥EF.
如图，连接AO，
∵D，E分别为AB，OB的中点，∴DE∥AO.
同理可证GF∥AO，∴GF∥DE.
∴四边形DEFG是平行四边形．
解：如图，过O作OH⊥BC于点H，
则∠BHO＝∠CHO＝90°.
在Rt△OBH中，由OB＝ ，∠OBC＝45°，易得OH＝BH＝1.
在Rt△OCH中，∵∠OCB＝30°，∴OC＝2，
∴CH＝ ，∴BC＝BH＋CH＝1＋ .
(2)如果∠OBC＝45°，∠OCB＝30°，OB＝ ，求BC的长．
4．如图，已知G、H是△ABC的边AC的三等分点，GE∥BH，交AB于点E，HF∥BG，交BC于点F，延长EG、FH交于点D，连接AD、DC，设AC和BD交于点O，求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵ED∥BH，FD∥BG，
∴四边形BHDG是平行四边形，
∴OB＝OD，OG＝OH.
∵G、H是AC的三等分点，
∴AG＝GH＝HC，
∴OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．(共16张PPT)
19.4 综合与实践 多边形的镶嵌
第19章 四边形
HK版 八年级下
1
2
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核心必知
1
2
3
4
2 024
5
C
D
(1)18 (2)(4n＋2)
一个周角
D
既无缝隙又不重叠
6
7
8
A
B
见习题
答案显示
1．用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间__________________地全部覆盖，在几何里面叫做平面镶嵌．
既无缝隙又不重叠
2．平面镶嵌的条件：要实现平面图形的镶嵌，必须保证每一个拼接点处的几个内角恰好能拼成__________．(无缝隙、不重叠)
一个周角
1．【2021·铜仁改编】用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅用形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌，下列形状的地砖不能使用的是( )
A．等边三角形 B．正方形
C．正五边形 D．正六边形
C
2．如图，已知等边三角形ABC的边长为1，按图中所示的规律，用2 022个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是________．
2 024
3．用一种正多边形地砖铺满地面的条件是( )
A．内角是整数度数 B．边数是3的倍数
C．内角整除180° D．内角整除360°
D
4．用黑白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律，拼成若干个图案：
(1)第4个图案中有白色地砖________块；
(2)第n个图案中有白色地砖________块．
18
(4n＋2)
5．用正三角形和正六边形作平面镶嵌，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是( )
A．2m＋3n＝12 B．m＋n＝8
C．2m＋n＝6 D．m＋2n＝6
D
6．用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数是( )
A．4 B．5 C．6 D．8
A
7．利用边长相等的正三角形和正六边形的地砖镶嵌地面时，在每个顶点周围有a块正三角形和b块正六边形的地砖(ab≠0)，则a＋b的值为( )
A．3或4 B．4或5 C．5或6 D．4
【点拨】正三角形和正六边形的内角度数分别为60°、120°，60°×4＋120°＝360°，或60°×2＋120°×2＝360°，∴a＝4，b＝1或a＝2，b＝2，当a＝4，b＝1时，a＋b＝5；当a＝2，b＝2时，a＋b＝4.
【答案】B
8．如图，有四种正多边形(所有正多边形的边长相等)．
(1)请你用其中两种进行平面镶嵌，有几种选择？是哪几种？
解：有两种选择：正三角形和正方形，正三角形和正六边形．
(2)若用两种正多边形进行平面镶嵌，p，q表示这两种正多边形的个数，x°，y°表示对应正多边形的每个内角的度数，则有方程px＋qy＝360，求(1)中每种平面镶嵌中p，q的值．
解：当用正三角形和正方形进行平面镶嵌时，有60p＋90q＝360(p为正三角形的个数，q为正方形的个数)，即2p＋3q＝12，因为p，q是正整数，所以p＝3，q＝2；当用正三角形和正六边形进行平面镶嵌时，有60p＋120q＝360(p为正三角形的个数，q为正六边形的个数)，即p＋2q＝6，因为p，q是正整数，所以p＝4，q＝1或p＝2，q＝2.(共26张PPT)
19.3 矩形、菱形、正方形
第4课时 菱形的判定
第19章 四边形
HK版 八年级下
1
2
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核心必知
1
2
3
4
A
5
D
见习题
AE＝AF(答案不唯一)
垂直
C
相等
6
7
8
9
C
10
C
11
12
13
答案显示
见习题
见习题
C
见习题
见习题
1．四边都________的四边形是菱形．
相等
2．对角线互相________的平行四边形是菱形．
垂直
1．如图，要判定 ABCD是菱形，需要添加的条件是( )
A．AB＝AC B．BC＝BD
C．AC＝BD D．AB＝BC
D
2．【中考·通辽】如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断 ADCE是菱形的是( )
A．∠BAC＝90° B．∠DAE＝90°
C．AB＝AC D．AB＝AE
A
3．【教材改编题】若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是( )
A．矩形
B．菱形
C．对角线相等的四边形
D．对角线互相垂直的四边形
C
4．【2021·北京】如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是___________________ (写出一个即可)．
AE＝AF(答案不唯一)
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别是△ABC三边的中点．
求证：四边形ADEF是菱形．
证明：∵D，E，F分别是△ABC三边的中点，
∴DE AC，EF AB，
∴四边形ADEF为平行四边形．
又∵AC＝AB，∴DE＝EF，
∴四边形ADEF为菱形．
6．【中考·宁夏】如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是( )
A．AC⊥BD B．AB＝AD
C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD
C
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝________时，平行四边形CDEB为菱形．
【答案】
8．【中考·扬州改编】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB，DC于点E、F，连接AF、CE.判断四边形AECF的形状，并说明理由．
解：四边形AECF是菱形．
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO.
又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)．
∴AE＝FC.
又∵AE∥FC，∴四边形AECF是平行四边形．
又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，0)，B( ，1)，若平移点A到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是( )
A．向左平移(4－ )个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移 个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移 个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移2个单位，再向上平移1个单位
C
10.若四边形的四条边长依次为a，b，c，d，且a2＋b2＋c2＋d2＝ab＋bc＋cd＋ad，则此四边形一定是( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．无法确定
C
11.【2021·六安模拟】如图，已知BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，垂足分别为E，D，连接CD，DE，DE与AB交于点O，CD∥AB.求证：四边形OBCD是菱形．
证明：∵BD，BE分别是∠ABC与∠ABF的平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝ ∠ABC，∠ABE＝ ∠ABF.
又∵∠ABC＋∠ABF＝180°，
∴∠ABD＋∠ABE＝ ×180°＝90°，即∠EBD＝90°，
∵AE⊥BE，AD⊥BD，∴∠AEB＝∠ADB＝90°，
∴四边形AEBD是矩形． ∴OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠ODB＝∠DBC，∴OD∥BC.
又∵CD∥AB，∴四边形OBCD是平行四边形，
∵OB＝OD，∴平行四边形OBCD是菱形．
12．【合肥庐阳区期末】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG，DF.
(1)求证：四边形BDFG是菱形；
证明：∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BDFG是平行四边形．
∵AG∥BD，CF⊥BD，∴CF⊥AG.
又∵点D是AC的中点，
∴BD＝DF＝ AC，
∴四边形BDFG是菱形．
(2)若AG＝11，CF＝8，求四边形BDFG的周长．
解：设GF＝x，则DF＝x，AC＝2x.
∵AF＝AG－GF，∴AF＝11－x.
在Rt△ACF中，∠AFC＝90°，
∴AF2＋CF2＝AC2，即(11－x)2＋82＝(2x)2，
解得x＝5(负值已舍去)．∴GF＝5.
∴菱形BDFG的周长为4GF＝20.
13．【中考·新疆】如图，在 ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.
(1)求证：四边形BCED′是菱形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB.
∴∠DEA＝∠EAD′.
根据折叠的性质，得∠DAE＝∠EAD′，
∴∠DAE＝∠DEA.∴DE＝DA＝1.
根据折叠的性质，得AD′＝AD＝1，ED′＝ED＝1.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝2，BC＝AD＝1.
∴BD′＝AB－AD′＝2－1＝1，EC＝DC－DE＝2－1＝1.
∴EC＝BC＝BD′＝ED′＝1.
∴四边形BCED′是菱形．
(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．
解：根据折叠的性质，知点D和点D′关于直线l对称，连接BD交直线l于点P，连接PD′，此时PD′＋PB的值最小，即为线段BD的长．过点D作DF⊥AB，交BA的延长线于F，如图．
∵DC∥AB，DF⊥AB，∴DF⊥DC.
∵∠ADC＝60°，∴∠ADF＝30°.(共12张PPT)
专题技能训练(七)
2.构造三角形中位线的五种方法
HK版 八年级下
第19章 四边形
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1
2
3
4
5
见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
1．已知：如图，△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外作等边三角形ABM和等边三角形CAN，D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连接DE，FE，求证：DE＝EF.
证明：如图，连接MC，BN，
∵△ABM和△CAN是等边三角形，
∴∠BAM＝∠CAN＝60°，MA＝BA，AN＝AC，
∴∠BAM＋∠BAC＝∠CAN＋∠BAC，即∠MAC＝∠BAN.
在△MAC与△BAN中，
∴△MAC≌△BAN (SAS)，
∴MC＝BN，
∵D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，
∴DE＝ MC，EF＝ BN，∴DE＝EF.
2．点M为△ABC的边BC的中点，AB＝12，AC＝18，BD⊥AD于点D，连接DM.
(1)如图①，若AD为∠BAC的平分线，则MD＝________；
3
(2)如图②，若AD为△ABC的外角∠BAN的平分线，则MD＝________.
15
(3)变式：如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC外一点，使∠DAC＝∠BAC，E为BD的中点，若∠ABC＝60°，求∠ACE的度数．
解：如图，延长AD交BC的延长线于F，
∵在△ABC与△AFC中，
∴△ABC≌△AFC(ASA)，
∴BC＝FC，∠F＝∠ABC＝60°，∴∠CAF＝30°.
∵E为BD的中点，∴EC∥AF，∴∠ACE＝∠CAF＝30°.
3．【2021·安徽模拟改编】如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，求DE的长．
解：如图，延长BC至M，使EM＝BE，
连接AM，过点C作CN⊥AM于N，
∵D是边AB的中点，EM＝BE，
∴AD＝BD，DE＝ AM.
∵DE平分△ABC的周长，
∴AC＋CE＋AD＝BE＋DB，∴AC＋CE＝BE＝EM，
∴CM＝CA.∴∠CAM＝∠M，
∵∠ACB＝60°，∴∠CAM＝30°.
∵CN⊥AM，∴∠CNA＝90°，AM＝2AN.
4．【教材改编题】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝ EC，求证：F是AD的中点．
证明：取BE的中点M，连接DM，
则MD＝ EC，MD∥AC.
∵AE＝ EC，∴MD＝AE.
∵MD∥AC，∴∠AEF＝∠DMF，
又∵∠AFE＝∠DFM，∴△AFE≌△DFM，
∴AF＝FD，∴点F是AD的中点．
5．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，M，N分别是AB，CD的中点，MN分别交BD和AC于点E，F，对角线AC和BD相交于点G，求证：∠GEF＝∠GFE.
证明：取BC的中点P，连接MP，NP.
∵AM＝BM，BP＝CP，∴MP∥AC，MP＝ AC.
同理可得NP∥BD，NP＝ BD.
又∵AC＝BD，∴MP＝NP.∴∠PMN＝∠PNM.
∵MP∥AC，NP∥BD，
∴∠GFE＝∠PMN，∠GEF＝∠PNM.
∴∠GEF＝∠GFE.(共30张PPT)
19.1 多边形内角和
第2课时 多边形的外角和
第19章 四边形
HK版 八年级下
1
2
提示：点击 进入习题
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核心必知
1
2
3
4
B
5
A
A
5
不稳定性
相等
3
8
360°
6
7
8
9
D
(1)3；4；5；6；8 (2)y＝n(n≥3)
10
C
11
12
13
14
答案显示
B
15
见习题
见习题
3
A
－1
B
答案显示
16
见习题
17
见习题
1．n边形的外角和等于______(n为不小于3的整数)．
360°
2．各条边都相等，各个内角都________的多边形叫做正多边形．
相等
3．四边形各边的长都确定，但图形的形状不确定，这就是四边形的____________．
不稳定性
1．【创新题】【2021·安徽模拟改编】“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．如图是冰裂纹窗中的部分图案的示意图，若∠1＝∠2＝75°，∠3＝∠4＝65°，则∠5的度数为( )
A．80° B．75°
C．65° D．60°
A
2．【中考·宜昌】设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是( )
A．a＞b B．a＝b
C．a＜b D．b＝a＋180°
B
3．【2021·广安】一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是________．
8
4．【中考·益阳】若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数是________．
5
5．下列说法中不正确的是( )
A．各边都相等的多边形是正多边形
B．正多边形的各边都相等
C．正三角形就是等边三角形
D．各内角都相等的多边形不一定是正多边形
A
6．如图，把边长为12的正三角形纸板剪去三个小正三角形，得到正六边形，则剪去的小正三角形的边长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D
正多边形的边数 3 4 5 6 8 …
对称轴的条数 …
(2)请写出正多边形的对称轴的条数y随正多边形的边数n(n≥3)变化的关系式：________________．
7．(1)请找出如图所示的正多边形的对称轴的条数，并填入表中．
3 4 5 6 8
y＝n(n≥3)
8．下列图形中具有稳定性的是( )
B
9．四边形具有不稳定性，当四边形的形状改变时，发生变化的是( )
A．四边形的某边长
B．四边形的周长
C．四边形的某些角的大小
D．四边形的内角和
C
10．要使如图铰接的六边形框架形状稳定，至少需要添加________条对角线．
3
11．【教材改编题】(1)如图①，工人在栅栏上加钉了木条，从数学的角度看，这样做的依据是_______________________；
(2)如图②，是一个电动伸缩门，则电动门能伸缩的几何原理是_______________________．
三角形的稳定性
平行四边形的不稳定性
12．如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是五边形ABCDE的与∠BAE，∠AED，∠EDC相邻的外角，则∠1＋∠2＋∠3＝( )
A．90° B．180°
C．120° D．270°
【点拨】如图，延长AB，DC.
∵AB∥CD，∴∠4＋∠5＝180°.
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°，
∴∠1＋∠2＋∠3＝180°.故选B.
【答案】B
13．如图，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°，…，照这样走下去，他第一次回到出发点(A点)时，一共走的路程是( )
A．100米 B．110米
C．120米 D．200米
【点拨】∵每次小明都是沿直线前进10米后向左转36°，∴他走过的路线可看成正多边形．边数n＝360°÷36°＝10，∴他第一次回到出发点(A点)时，一共走的路程是10×10＝100(米)．
【答案】A
14．【2021·安徽期末改编】过n边形的一个顶点有4条对角线，过m边形的一个顶点的所有对角线把m边形分成6个三角形，正t边形的边长为7，周长为63，则(n－m)t的值为________．
－1
15.【2021·福建改编】如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，求∠AFC的度数．
解：∵△ABF为等边三角形，
∴AB＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BF＝BC，∠FBC＝∠ABC－∠ABF＝48°，
∴∠BFC＝ ＝66°.
∴∠AFC＝∠AFB＋∠BFC＝126°.
16．(1)如图①，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1＋∠2＝________．
(2)如图②，已知在△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成为四边形，∠1＋∠2＝________．
(3)根据(1)与(2)的求解过程，请你归纳猜想∠1＋∠2与∠A的关系是______________________．
270°
220°
∠1＋∠2＝180°＋∠A
(4)若没有剪掉∠A，而是把它折成如图③所示的形状，试探究∠1＋∠2与∠A的关系，并说明理由．
解：∠1＋∠2＝2∠A.理由如下：
∵△EFP是由△EFA折叠得到的，
∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF.
∴∠1＝180°－2∠AFE，∠2＝180°－2∠AEF.
∴∠1＋∠2＝360°－2(∠AFE＋∠AEF)．
又∵∠AFE＋∠AEF＝180°－∠A，
∴∠1＋∠2＝360°－2(180°－∠A)＝2∠A.
17．如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等，那么这个多边形叫做正多边形．如正三角形就是等边三角形，正四边形就是正方形．如图，是一组正多边形．
正多边形的边数 3 4 5 6 … n
∠α的度数 …
(1)观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表：
60° 45° 36° 30°
(2)根据规律，计算正八边形中∠α的度数．
解：正八边形中∠α＝ ＝22.5°.
(3)是否存在正n边形使得∠α＝21°？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．(共29张PPT)
19.3 矩形、菱形、正方形
第1课时 矩形及其性质
第19章 四边形
HK版 八年级下
1
2
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核心必知
1
2
3
4
(3，4)
5
C
D
673
一半
2或4
直角；相等
6
7
8
9
4
115°
10
C
11
12
13
14
答案显示
A
15
见习题
B
60°
见习题
见习题
4
1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的四个角都是________. 矩形的对角线________．
直角
相等
2．直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．
一半
1．如图是一张矩形纸片ABCD，AB＝10，AD＝4，若用剪刀沿∠ABC的平分线BE剪下，则DE的长等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
C
2．【2021·安徽模拟】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A(10，0)，点C(0，4)，点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当OP＝OD时，点P的坐标为________．
(3，4)
3．如图，矩形ABCD中，动点P沿B→A→D→C→B的路线运动，点M是AB边上的一点，且MB＝ AB，已知AB＝4，BC＝2，当AP＝2MP时，点P到边AD的距离为________．
2或4
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2 021次后，则它与AB边的碰撞次数是________．
673
5．如图，矩形ABCD的对角线AC＝5，则( )
A．AB＝5 B．BC＝5
C．CD＝5 D．BD＝5
D
6．【2021·株洲】如图，线段BC为等腰三角形ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O，若OD＝2，则AC＝________．
4
7．如图，E是矩形ABCD的对角线的交点，点F在线段AE上，且DF＝DC，若∠ADF＝25°，则∠BEC＝________．
【点拨】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，BE＝CE.∵∠ADF＝25°，∴∠CDF＝∠ADC－∠ADF＝90°－25°＝65°.∵DF＝DC，∴∠DFC＝∠DCA＝ ＝57.5°.∴∠BCE＝∠BCD－∠DCA＝90°－57.5°＝32.5°.∵BE＝CE，∴∠BEC＝180°－2∠BCE＝180°－65°＝115°.
【答案】115°
8．【2021·雅安】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线，若DE＝6，则BF的长为( )
A．6 B．4 C．3 D．5
A
9．【合肥庐江县期末】如图，在Rt△ABC中，CD、CE分别是斜边AB上的中线和高，CD＝8，CE＝5，则Rt△ABC的面积是( )
A．80 B．60 C．40 D．20
C
10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB的中点，点D在BC上，且AD＝BD，AD、CE相交于点F，若∠B＝20°，则∠DFE＝________．
60°
11．【中考·眉山】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是( )
A．1 B. C．2 D.
【点拨】如图，连接CE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，OC＝OA，AD＝BC＝8，DC＝AB＝6.
∵EF⊥AC，OA＝OC，∴AE＝CE.
在Rt△DEC中，DE2＋DC2＝CE2，即DE2＋36＝(8－DE)2，解得DE＝ ，故选B.
【答案】B
12．如图，矩形ABCD的面积为40，点P在边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F.若AC＝10，则PE＋PF＝________．
【点拨】如图，设AC与BD的交点为O，连接PO.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO＝BO＝DO＝5.
易知S△DCO＝ S矩形ABCD＝10.
∵S△DCO＝S△DPO＋S△PCO，
∴10＝ ×DO×PF＋ ×OC×PE，
∴20＝5PF＋5PE，∴PE＋PF＝4.
【答案】4
13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E.
(1)求证：BD＝BE；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AB∥CD.又∵BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AC＝BE，∴BD＝BE.
(2)若BE＝10，CE＝6，连接OE，求△ODE的面积．
解：如图，过点O作OF⊥CD于点F.
由题意易得OF＝ BC，DE＝2CE＝12.
在Rt△BCE中，由勾股定理得BC＝8.∴OF＝4.
∴△ODE的面积为 DE·OF＝ ×12×4＝24.
14．如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，M，N分别是AB，CD的中点．
(1)求证：MN⊥CD；
证明：连接DM，CM.
由已知得CM＝ AB，DM＝ AB.
∴CM＝DM.
又∵点N为CD的中点，∴MN⊥CD.
(2)若AB＝10，CD＝8，求MN的长．
解：∵AB＝10，CD＝8，
∴DM＝ AB＝5，DN＝ CD＝4.
又∵MN⊥CD，
∴MN＝
15．【创新题】某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角尺的直角顶点绕着矩形ABCD(AB(1)该学习小组中一名成员意外地发现：在图①(三角尺的一直角边与OD重合)中，BN2＝CD2＋CN2；在图③(三角尺的一直角边与OC重合)中，CN2＝BN2＋CD2.请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一证明．
解：选BN2＝CD2＋CN2.
证明：连接DN，如图①.
∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD.
∵∠DON＝90°，∴BN＝DN.
∵∠BCD＝90°，∴DN2＝CD2＋CN2，
∴BN2＝CD2＋CN2.(答案不唯一)
解：BN2＋DM2＝CM2＋CN2.
证明：延长NO交AD于点P，连接PM，MN，如图②.
∵四边形ABCD是矩形，∴OD＝OB，AD∥BC，
∴∠DPO＝∠BNO，∠PDO＝∠NBO.
在△BON和△DOP中，
(2)试探究图②中BN，CN，CM，DM这四条线段之间的关系，写出你的结论，并证明．
∵
∴△BON≌△DOP(AAS)，∴ON＝OP，BN＝PD.
∵∠MON＝90°，∴PM＝MN.
∵∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴PM2＝PD2＋DM2，MN2＝CM2＋CN2，
∴PD2＋DM2＝CM2＋CN2，∴BN2＋DM2＝CM2＋CN2.(共24张PPT)
专题技能训练(九)
3.利用特殊四边形的性质巧解动点问题
HK版 八年级下
第19章 四边形
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见习题
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见习题
D
见习题
C
见习题
1．【中考·赤峰】如图，P是 ABCD的边AD上一点，E，F分别是PB，PC的中点，若 ABCD的面积为16 cm2，则△PEF的面积(阴影部分)是__________cm2.
2
2．如图，点O为 ABCD的对角线AC，BD的交点，∠BCO＝90°，∠BOC＝60°，BD＝8，点E是OD上的一动点，点F是OB上的一动点(E，F不与端点重合)，且DE＝OF，连接AE，CF.
(1)求线段EF的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB.∵DE＝OF，BD＝8，
∴EF＝OD＝ BD＝4.
(2)若△AOE的面积为S1，△COF的面积为S2，S1＋S2的值是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，请说明随着DE的增大，S1＋S2的值是如何发生变化的？
解：S1＋S2的值不变． 如图，连接AF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，∴S△AOF＝S△COF.
∵DE＝OF，∴S△ADE＝S△AOF，∴S△ADE＝S△COF，
∴S1＋S2＝S△AOD.
∵AD∥BC，∠BCO＝90°，∠BOC＝60°，
∴∠DAC＝90°，∠AOD＝60°，
∴∠ADO＝30°.
由(1)知OD＝4，∴AO＝ OD＝2.
3．【2021·六安模拟】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的长的变化情况是( )
A．一直增大
B．一直减小
C．先减小后增大
D．先增大后减少
C
4．已知，矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.
(1)如图①，连接AF，CE.
①四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由；
解：四边形AFCE是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE.
∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA＝OC.
∴△AOE≌△COF(AAS)，∴OE＝OF，
∴四边形AFCE为平行四边形．
∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形．
②求AF的长；
解：设AF＝CF＝x cm，
则BF＝(8－x) cm，
在Rt△ABF中，AB＝4 cm，
由勾股定理，得42＋(8－x)2＝x2，
解得x＝5，∴AF＝5 cm.
(2)如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为每秒5 cm，点Q的速度为每秒4 cm，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
解：易知当点P在AF上，点Q在CD上时，A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；
当点P在AB上，点Q在DE或CE上时，A，C，P，Q四点也不可能构成平行四边形；
只有当点P在BF上，点Q在ED上时，A，C，P，Q四点才能构成平行四边形．
如图，连接AP，CQ，则以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，此时PC＝QA.易知PC＝AF＋PF，CD＝4 cm，AD＝8 cm.
∵点P的速度为每秒5 cm，点Q的速度为每秒4 cm，运动时间为t s，∴PC＝5t cm，QA＝(12－4t)cm，
∴5t＝12－4t，解得t＝ .
∴当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为 .
5．【中考·凉山州】菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E(0，－1)，当EP＋BP最短时，点P的坐标为____________________．
【点拨】连接ED交OC于点P，此时EP＋BP最短．
6．在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD上．
(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
证明：如图①，连接AC.
∵四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，
∴AB＝BC＝CD，∠BCD＝180°－∠B＝120°.
∴△ABC是等边三角形．
又∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.
∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°.
∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°.
∴∠FEC＝∠CFE.∴EC＝CF.∴BE＝DF.
(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
证明：如图②，连接AC.由(1)知△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝60°.
又∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.
∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，∴∠ACF＝60°＝∠B.
∴△ABE≌△ACF.
∴AE＝AF.∴△AEF是等边三角形．
7．【中考·安徽】如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE＋PF＝9的点P的个数是( )
A．0 B．4 C．6 D．8
D
8．已知正方形ABCD，P为射线AB上一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC，AC.
(1)如图①，若点P在线段AB的延长线上，判断△ACE的形状，并说明理由．
解：△ACE是等腰三角形．理由如下：
如图，连接AF，CP.
∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，
∴AB＝BC，BF＝BP＝EF＝EP，
∠ABC＝∠FBP＝∠EFB＝∠EPB＝90°，
∴∠ABF＝∠CBP＝90°，
∴△AFB≌△CPB(SAS)，
∴AF＝CP，∠AFB＝∠CPB，
∴∠AFB＋∠EFB＝∠CPB＋∠EPB，∴∠AFE＝∠CPE.
又∵EF＝EP，
∴△AFE≌△CPE(SAS)，
∴AE＝CE，
∴△ACE是等腰三角形．
(2)如图②，已知点P在线段AB上．
①若点P是线段AB的中点，判断△ACE的形状，并说明理由；
解：△ACE是直角三角形．理由如下：
∵点P是线段AB的中点，∴AP＝PB＝ AB.
设AP＝PB＝PE＝EF＝BF＝a，
则AB＝AD＝DC＝BC＝2a，CF＝3a.
∵AC2＝AD2＋CD2＝8a2，CE2＝CF2＋EF2＝10a2，
AE2＝AP2＋PE2＝2a2，∴CE2＝AC2＋AE2，
∴△ACE是直角三角形．
解：∠CAE＝112.5°.
②当AB＝ BP时，请直接写出∠CAE的度数．(共26张PPT)
19.3 矩形、菱形、正方形
第6课时 正方形的判定
第19章 四边形
HK版 八年级下
1
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核心必知
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B
①②③
AB＝BC(答案不唯一)
菱形；菱形；垂直
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B
10
见习题
11
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见习题
见习题
见习题
有一个角是直角的________是正方形；对角线相等的________是正方形；对角线互相________的矩形是正方形．
菱形
菱形
垂直
1．【中考·滨州】下列命题是假命题的是( )
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
D
2．【合肥瑶海区期末】在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，下列条件能判定四边形ABCD是正方形的是( )
A．OA＝OC，OB＝OD
B．OA＝OB＝OC＝OD
C．OA＝OC，AC＝BD
D．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD
D
3．【2021·黑龙江】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件：_____________________，使矩形ABCD是正方形．
AB＝BC(答案不唯一)
4．【马鞍山含山月考】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，能证明四边形BECF为正方形的是________．
①BC＝AC；②CF⊥BF；
③BD＝DF；④AC＝BF.
【点拨】∵EF垂直平分BC，∴BE＝EC，BF＝CF，∵BF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形．当BC＝AC时，∵∠ACB＝90°，可得∠A＝45°，∴∠EBC＝45°，∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°，∴菱形BECF是正方形．故①正确；当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故②正确；当BD＝DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故③正确；当AC＝BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故④错误．故答案是①②③.
【答案】①②③
5．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，E为AC的中点，Rt△FEG的两条直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N.若正方形ABCD的边长为a，则阴影部分(即四边形EMCN)的面积为( )
B
6．【2021·合肥模拟】 将图①中的两个三角形按如图②所示的方式摆放，其中四边形ABCD为矩形，连接PQ，MN，甲、乙两人有如下结论：
甲：若四边形ABCD为正方形，则四边形PQMN必是正方形；
乙：若四边形PQMN为正方形，
则四边形ABCD必是正方形．
下列判断正确的是( )
A．甲正确，乙不正确
B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都不正确
D．甲、乙都正确
B
7．【中考·菏泽】如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是________．
8．【中考·深圳】如图，在正方形ABCD中，BE＝1，将BC沿CE翻折，点B的对应点刚好落在对角线AC上；将AD沿AF翻折，点D的对应点刚好落在对角线AC上，连接EF，则EF＝________．
【点拨】设点B的对应点是点G，点D的对应点是点H，
如图，过点F作FM⊥AB于点M.
由题意得BE＝EG＝DF＝FH＝1，∴AM＝DF＝1.
∵AC为正方形ABCD的对角线，
【答案】
9．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D是AB的中点，过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，求证：四边形CEDF是正方形．
证明：如图，连接CD.
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠CED＝90°，∠CFD＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF是矩形．
∵AC＝BC，点D是AB的中点，∴CD平分∠ACB.
∵DE⊥AC，DF⊥CB，∴DE＝DF，
∴四边形CEDF是正方形．
10．【宿州萧县校级月考】如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE.当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？并说明理由．
解：当△ABC满足∠ABC＝90°时，四边形BECD是正方形．
理由：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD＝CD.
∵四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，BE＝AD，∴BE CD，
∴四边形BECD是平行四边形．
∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴ BECD是矩形，
又∵AB＝BC，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，
∴AD＝BD＝DC，∴矩形BECD是正方形．
11．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC.
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，
∴∠BAD＋∠ABC＝180°.
∵∠CAD＝∠DBC，∴∠BAD＝∠ABC，∴2∠BAD＝180°，
∴∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是正方形．
(2)E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝ AC，DO＝ BD，
∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO.
∵DH⊥CE，∴∠DHE＝90°，∴∠EDH＋∠DEH＝90°.
∵∠ECO＋∠DEH＝90°，∴∠ECO＝∠EDH.
在△ECO和△FDO中，
∴△ECO≌△FDO(ASA)，
∴OE＝OF.
12．如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
证明：如图，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q.
∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP.
∵∠QEF＋∠FEC＝45°，∠PED＋∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED.
在△EQF和△EPD中，
∴△EQF≌△EPD，∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形．
(2)若AB＝2，CE＝ ，求CG的长度；
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
解：∠EFC＝120°或30°.(共28张PPT)
19.3 矩形、菱形、正方形
第3课时 菱形及其性质
第19章 四边形
HK版 八年级下
1
2
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核心必知
1
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C
C
见习题
垂直
A
相等
6
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8
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B
10
见习题
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13
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3 cm
16
见习题
见习题
1．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形的四条边都________．
相等
2．菱形的对角线互相________．①菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，这两条对称轴是菱形的对角线所在的直线．②菱形被两条对角线分成了四个全等的直角三角形，在计算或证明时常用这个结论．
垂直
1．如图，已知菱形ABCD的边长等于2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长为( )
C
2．【2021·合肥期末】如图，四边形ABCD是菱形，其中A，B两点的坐标分别为(0，3)，(4，0)，则点D的坐标为( )
A．(0，1) B．(0，－1)
C．(0，2) D．(0，－2)
D
3．【中考·贵阳】如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为( )
A．24 B．18 C．12 D．9
A
4．【中考·福建】如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF.
求证：∠BAE＝∠DAF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝AD.
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴∠BAE＝∠DAF.
5．下列性质中菱形不一定具有的性质是( )
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．是轴对称图形
C
6．【2021·柳州】如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝10，则△AOD的面积为( )
A．9 B．10 C．11 D．12
B
7．【教材改编题】在菱形ABCD中，对角线AC＝2，BD＝4，则菱形ABCD的周长是________．
8．如图，P为菱形ABCD的对角线AC上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF＝3 cm，则PE的长为________．
3 cm
9．【中考·新疆】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE.过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF.求证：
(1)△ODE≌△FCE；
证明：∵CF∥BD，∴∠ODC＝∠DCF.
∵E是CD的中点，∴ED＝EC.
又∵∠DEO＝∠CEF，∴△ODE≌△FCE.
(2)四边形OCFD是矩形．
证明：∵△ODE≌△FCE，∴OE＝EF.
又∵DE＝EC，
∴四边形OCFD是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，∴∠DOC＝90°.
∴四边形OCFD是矩形．
10．【2021·山西】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝8，AC＝6，OE∥AB，交BC于点E，则OE的长为________．
【答案】
11．【中考·泸州】一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为__________．
16
12．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接DE、DF和EF，在移动的过程中，EF的最小值为________．
【点拨】连接DB，作DH⊥AB于H.
∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB＝BC＝CD.
∵∠A＝60°，∴△ABD和△BCD都是等边三角形，
∴∠ADB＝∠DBC＝60°，AD＝BD.
在Rt△ADH中，AH＝ AB＝1，AD＝2，∴DH＝ .
在△ADE和△BDF中，
∴△ADE≌△BDF，
∴∠ADE＝∠BDF，DE＝DF，
∴∠ADE＋∠BDE＝∠BDF＋∠BDE＝∠ADB＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴EF＝DE.
∵当点E运动到点H时，DE的值最小，其最小值为 ，
∴EF的最小值为 .
【答案】
13．【中考·苏州】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD.
∵DE⊥BD，∴DE∥AC.
∴四边形ACDE是平行四边形．
(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．
解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，DO＝3，AC⊥BD.
∴AD＝CD＝
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8.
∴△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.
14．【中考·南宁】已知四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°.
(1)如图①，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；
解：AE＝EF＝AF.
(2)如图②，当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B，C重合)，求证：BE＝CF；
证明：如图，连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠D＝60°.
∴△ABC，△ACD是等边三角形．
∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠ACF＝60°.
∵∠BAE＋∠EAC＝∠BAC＝60°，
∠CAF＋∠EAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.
在△ABE和△ACF中，
∴△ABE≌△ACF(ASA)．
∴BE＝CF.
解：如图，过点A作AG⊥CE于点G，
过点F作FH⊥CE于点H.
∵∠EAB＝15°，∠ABC＝60°，∴∠AEG＝45°.
∴△AEG为等腰直角三角形．
∴∠EAG＝45°.∴∠BAG＝30°.
∵AB＝4，∴BG＝2，∴AG＝2 . ∴AG＝EG＝2 .
(3)如图③，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离．(共31张PPT)
19.1 多边形内角和
第1课时 多边形及其内角和
第19章 四边形
HK版 八年级下
1
2
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核心必知
1
2
3
4
D
5
C
C
D
(n－2)·180°
不相邻
3
D
首尾顺次
6
7
8
9
2 025
7
10
D
11
12
13
14
答案显示
C
15
见习题
6或7
C
B
(1)4；(n－2) (2)2 024 (3)(n－1)
见习题
答案显示
16
见习题
17
见习题
1．在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段_________相接组成的封闭图形叫做多边形．
首尾顺次
2．多边形中连接________两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
不相邻
3．n边形的内角和等于______________(n为不小于3的整数)．
(n－2)·180°
1．下列图形中不是多边形的是( )
C
2．下列图形中不是凸多边形的是( )
D
3．一个四边形截去一个角后变为( )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．以上均有可能
D
4．七边形的对角线共有( )
A．11条 B．12条
C．13条 D．14条
D
【点拨】直接运用多边形的边数与对角线的条数的关系式求解．七边形的对角线的条数＝ ＝14.故选D.
5．从多边形的一个顶点出发向其余的顶点引对角线，将多边形分成6个三角形，则此多边形的边数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
C
6．已知过多边形的某一顶点共可作2 022条对角线，则此多边形的边数是________．
2 025
7．【南陵月考】已知一个多边形的对角线条数正好等于它的边数的2倍，则这个多边形的边数是________．
7
【点拨】设这个多边形的边数是n.根据题意，得 n(n－3)＝2n，解得n＝7或n＝0(舍去)．故这个多边形的边数是7.
8．【中考·怀化】若一个多边形的内角和为1 080°，则这个多边形的边数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
C
9．将一个n边形变成(n＋2)边形，内角和将( )
A．减少180° B．增加180°
C．减少360° D．增加360°
D
10．【中考·铜仁】如图是长方形ABCD，一条直线将该长方形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a＋b不可能是( )
A．360° B．540°
C．630° D．720°
C
11．【2021·丽水】 一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，原多边形的边数为________．
6或7
12．【教材改编题】已知，五边形ABCDE如图所示．
(1)填空：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________；
(2)请用两种方法证明你的结论．
540°
解：方法一：
如图①，连接AC，AD，把五边形分成三个三角形，
∵一个三角形的内角和为180°，
∴三个三角形的内角和为3×180°＝540°，
即五边形的内角和是540°.
方法二：
如图②，在五边形内任取一点O，连接OA，OB，OC，OD，OE，把五边形分成五个三角形．
∵一个三角形的内角和为180°，
∴五个三角形的内角和为5×180°＝900°，
∴五边形内角和为900°－∠1－∠2－∠3－∠4－∠5＝900°－360°＝540°.
13．【芜湖期末】过多边形的一个顶点可以引9条对角线，那么这个多边形的内角和为( )
A．1 620° B．1 800°
C．1 980° D．2 160°
B
14．(1)从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各不相邻的顶点，则可以把多边形分割成若干个三角形．若多边形是一个五边形，则可以分割成3个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成________个三角形；…；则n边形可以分割成________个三角形．
4
(n－2)
(2)如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各不相邻的顶点，将这个多边形分割成了2 022个三角形，那么此多边形的边数为________．
(3)若在n边形的一条边上取一点P(不是顶点)，再将点P与除n边形这条边的顶点以外的各顶点连接起来，则可将n边形分割成________个三角形．
2 024
(n－1)
15．在四边形ABCD中，∠A∶∠B＝7∶5，∠A－∠C＝∠B，∠C＝∠D－40°，求各内角的度数．
解：由题可设∠A＝7x，则∠B＝5x.
∵∠A－∠C＝∠B，∴∠C＝2x.
∵∠C＝∠D－40°，∴∠D＝2x＋40°.
则7x＋5x＋2x＋2x＋40°＝360°，解得x＝20°，
∴∠A，∠B，∠C，∠D的度数分别为140°，
100°，40°，80°.
16．在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°.
(1)如图①，若∠B＝∠C，试求出∠C的度数；
解：∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∠A＝140°，
∠D＝80°，∠B＝∠C，
∴∠C＝(360°－∠A－∠D)÷2＝70°.
(2)如图②，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
解：∵BE∥AD，∴∠BEC＝∠D＝80°，
∠ABE＋∠A＝180°.
∴∠ABE＝180°－∠A＝180°－140°＝40°.
又∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE＝40°.
∴∠C＝180°－∠EBC－∠BEC＝180°－40°－80°＝60°.
(3)如图③，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．
解：∵∠A＋∠ABC＋∠BCD＋∠D＝360°，
∴∠ABC＋∠BCD＝360°－∠A－∠D＝
360°－140°－80°＝140°.
∵∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，
17．【2021·合肥期末】如图，以n边形的n个顶点和它内部的m个点作为顶点，把原n边形分割成若干个互不重叠的小三角形．观察图形，解答下面的问题：
(1)填表．
6
8
(2)若三角形内部有m个点，则原三角形被分割成________个互不重叠的小三角形；若四边形内部有m个点，则原四边形被分割成 ________个互不重叠的小三角形；若n边形内部有m个点，则原n边形被分割成____________个互不重叠的小三角形．
(2m＋1)
(2m＋2)
(2m＋n－2)
(3)若多边形内部的点的个数为多边形顶点数的五分之一，原多边形被分割成2 021个互不重叠的小三角形，求这个多边形的边数．
解：设这个多边形的边数为n，则它内部的点的个数为 n，
根据题意得2× n＋n－2＝2 021，解得n＝1 445.
答：这个多边形的边数为1 445.(共14张PPT)
专题技能训练(九)
1.平行四边形的性质与判定的灵活运用
HK版 八年级下
第19章 四边形
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1
2
3
4
见习题
见习题
见习题
见习题
1．如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别为AB，CD的中点．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵E，F分别为AB，CD的中点，∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
(2)连接BD，分别交CE，AF于G，H，求证：BG＝DH；
证明：∵在 ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADH＝∠CBG.
∵四边形AECF也是平行四边形，∴AF∥EC，
∴∠CGB＝∠FHB.
∵∠FHB＝∠AHD，∴∠AHD＝∠CGB.
在△ADH和△CBG中，
∠ADH＝∠CBG，∠AHD＝∠CGB，AD＝CB，
∴△ADH≌△CBG(AAS)，∴BG＝DH.
(3)连接CH，AG，则四边形AGCH也是平行四边形吗？请说明理由．
解：四边形AGCH也是平行四边形．
理由如下：连接CA交BD于O，如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
由(2)得DH＝BG，∴OH＝OG，
∴四边形AGCH也是平行四边形．
2．如图，将 ABCD的AD边延长至点E，使DE＝ AD，连接CE，F是BC边的中点，连接FD.
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD BC.
∵F是BC的中点，∴FC＝ BC.
又DE＝ AD，∴FC DE.
∴四边形CEDF是平行四边形．
(2)若AB＝3，AD＝4，∠A＝60°，则CE的长为_______．
【点拨】如图，过点D作DM⊥BC于点M.
∵四边形CEDF和四边形ABCD都是平行四边形，AB＝3，AD＝4，∠A＝60°，
∴CE＝DF，∠DCM＝∠EDC＝∠A＝60°，
FC＝ BC＝ AD＝2，DC＝AB＝3.
在Rt△DCM中，∠DCM＝60°，DC＝3，∴∠CDM＝30°.
【答案】
3．【中考·泰州】如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，EF∥AC.
(1)求证：BE＝AF；
证明：∵DE∥AB，EF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD＝∠BDE，
∴AF＝DE.
∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBE.
∴∠DBE＝∠BDE. ∴BE＝DE. ∴BE＝AF.
解：如图，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H.
∵∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分线，BD＝6，
∴∠ABD＝∠EBD＝30°. ∴DG＝ BD＝3.
∵BE＝DE，EH⊥BD，∴BH＝DH＝ BD＝3.
易得DE＝BE＝2 ，
∴四边形ADEF的面积为DE·DG＝6 .
(2)若∠ABC＝60°，BD＝6，求四边形ADEF的面积．
4．阅读材料：
小明遇到这样一个问题：如图①，在△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于点D，E，已知CD⊥BE，CD＝2，BE＝3，求BC＋DE的值．
小明发现，过点E作EF∥DC，交BC的延长线于点F，构造△BEF，如图②，经过推理和计算
能够解决问题．
(1)请按照上述思路完成小明遇到的这个问题；
解：∵DE∥BC，EF∥DC，
∴四边形DCFE是平行四边形，
∴EF＝CD＝2，CF＝DE.
∵CD⊥BE，∴EF⊥BE，
∴BC＋DE＝BC＋CF＝BF＝
(2)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图③，已知 ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC＝BF＝DF，则∠DGC的度数为__________．
【点拨】连接AE，CE，如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD.
∵四边形ABEF是矩形，∴AB∥FE，BF＝AE，AB＝FE，
∴DC∥FE，DC＝FE，∴四边形DCEF是平行四边形，
∴CE∥DF，CE＝DF.
∵AC＝BF＝DF，∴AC＝AE＝CE，
∴△ACE是等边三角形，∴∠ACE＝60°.
∵CE∥DF，∴∠DGC＝∠ACE＝60°.
【答案】60°(共33张PPT)
19.2 平行四边形
第3课时 用对边关系判定平行四边形
第19章 四边形
HK版 八年级下
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核心必知
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C
见行且相等
平行四边形
平行四边形
平行且相等
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D
D
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平行四边形
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C
15
见习题
A
见习题
见习题
8
答案显示
16
见习题
1．一组对边____________的四边形是平行四边形．
平行且相等
2．两组对边分别相等的四边形是______________．
平行四边形
1．在四边形ABCD中，AD＝BC，若四边形ABCD是平行四边形，则还应满足( )
A．∠A＋∠C＝180° B．∠B＋∠D＝180°
C．∠A＋∠B＝180° D．∠A＋∠D＝180°
C
2．【中考·东营】如图，在四边形ABCD中，E是BC边中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F，AB＝BF.添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，你认为下列四个条件可选择的是( )
A．AD＝BC B．CD＝BF
C．∠A＝∠C D．∠F＝∠CDF
【点拨】题干中有AB＝BF，因此可证AB∥CD，AB＝CD，而要证这两个条件应证△BEF≌△CED.结合题干中条件：E为BC中点，∠CED和∠BEF是对顶角，添加∠F＝∠CDF可证△BEF≌△CED，可得AB∥CD，AB＝CD.
【答案】D
3．如图， ABCD中，CE＝DF，则四边形ABEF是_____________________．
平行四边形
4．【教材改编题】若在四边形ABCD中，AD＝BC，BD为对角线，∠ADB＝∠CBD，则AB与CD的关系为_____________________．
平行且相等
5．【2021·合肥期末】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，连接BD，E是BC延长线上一点，连接DE，若BD＝DE，∠E＝∠ADB，求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBE，
又∵∠E＝∠ADB，∴∠DBE＝∠ADB，∴AD∥BC，
又∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
6．下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是( )
A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形
C．两个锐角三角形 D．两个全等三角形
D
【点拨】②③两块碎玻璃角的两边互相平行，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．故选D.
7．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，她带了两块碎玻璃，其编号应该是( )
A．①② B．①④
C．③④ D．②③
D
8．已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．∠ADB＝∠CBD，AB∥CD
B．∠ADB＝∠CBD，∠DAB＝∠BCD
C．∠DAB＝∠BCD，AB＝CD
D．∠ABD＝∠CDB，OA＝OC
C
9．已知一个四边形的边长依次是a，b，c，d，且a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则此四边形为______________．
平行四边形
10．在 ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边三角形ADE和等边三角形BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD＝CB，∠DAB＝∠BCD.
又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，
∴DE＝BF，AE＝CF，∠DAE＝∠BCF＝60°.
∵∠DCF＝∠BCD－∠BCF，∠BAE＝∠DAB－∠DAE，
∴∠DCF＝∠BAE，∴△DCF≌△BAE(SAS)，∴DF＝BE.
又∵DE＝BF，∴四边形BEDF是平行四边形．
11．【滁州定远期末】如图，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点的是( )
A．(－3，1) B．(4，1)
C．(－2，1) D．(2，－1)
【点拨】如图，以已知三点为顶点可构造三个平行四边形，即平行四边形AOBC1、平行四边形ABOC2、平行四边形AOC3B，根据平行四边形的性质，可知选项B，C，D正好是C1，C2，C3的坐标．故选A.
【答案】A
12．【宿州期末】如图，已知等边三角形ABC的边长为8，P是△ABC内一点，PD∥AC，PE∥AB，PF∥BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，则PD＋PE＋PF＝__________．
【点拨】过E点作EG∥PD，交AB于G，过D点作DH∥PF，交AC于H，如图，∵PD∥GE，PE∥DG，∴四边形DGEP为平行四边形，∴EG＝DP，PE＝GD.由△ABC是等边三角形，EG∥PD∥AC，易得∠BGE＝∠BEG＝60°，∴△BEG为等边三角形，∴EG＝PD＝GB，同理可证：DH＝PF＝AD，∴PD＋PE＋PF＝BG＋GD＋AD＝AB＝8.
【答案】8
13．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8 cm，BC＝12 cm，M是BC上一点，且BM＝9 cm，点E从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动，同时点F从点C出发，以3 cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为t s，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t＝________．
【答案】
14.如图，已知∠A＝∠D，AB＝DC，AC，BD相交于O.
(1)求证：△AOB≌△DOC；
证明：∵∠A＝∠D，∠AOB＝∠DOC，AB＝DC，
∴△AOB≌△DOC.
(2)若AB＝BC，∠A＝32°，求∠AOB的度数；
解：∵AB＝BC，∠A＝32°，
∴∠ACB＝∠A＝32°.
∵△AOB≌△DOC，
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝32°，
∴∠AOB＝∠OCB＋∠OBC＝64°.
证明：∵∠OCB＝∠OBC，∠A＝∠D，AB＝DC，
∴△ABC≌△DCB，∴AC＝BD.
∵△BDC和△BEC关于直线BC对称，
∴DC＝CE，BD＝BE，
∴AB＝CE，AC＝BE，
∴四边形ABEC是平行四边形．
(3)在(2)的条件下，作△BDC关于直线BC的对称图形△BEC，求证：四边形ABEC是平行四边形．
15．【中考·呼伦贝尔】如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边三角形ACD及等边三角形ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.求证：
(1)AC＝EF；
(2)四边形ADFE是平行四边形．
证明：∵△ADC是等边三角形，∴∠DAC＝60°，AC＝AD.
又∵AC＝EF，∴AD＝EF.
又∵∠BAC＝30°，∴∠DAF＝∠DAC＋∠BAC＝90°.
∴∠DAF＝∠AFE＝90°.
∴AD∥EF.
∴四边形ADFE是平行四边形．
16．【芜湖南陵期末】如图①， ABCD 中，∠ABC，∠ADC的平分线分别交AD，BC于点E，F.
(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；
证明：在 ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC＝ ∠ABC.
∵DF平分∠ADC，∴∠ADF＝∠CDF＝ ∠ADC.
∴∠ABE＝∠EBC＝∠ADF＝∠CDF.
∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠AEB＝∠ADF，∴EB∥DF.
又∵ED∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形．
(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索．连接AF，CE，分别交BE，FD于点G，H，得到四边形EGFH.此时，他猜想四边形EGFH是平行四边形，请在框图(图②)中补全他的证明思路．
GF∥EH；AE∥CF(共32张PPT)
19.2 平行四边形
第1课时 平行四边形及其边、角性质
第19章 四边形
HK版 八年级下
1
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核心必知
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A
5
C
A
10.5 cm
相等
相等
3
D
平行
相等
4
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9
B
45°
10
D
11
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13
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见习题
15
见习题
C
C
6 cm
168或48
C
答案显示
16
见习题
17
见习题
1．定义：两组对边分别________的四边形叫做平行四边形.
平行
2．性质1：平行四边形的对边________．
相等
3．性质2：平行四边形的对角________.
相等
4．夹在两条平行线之间的平行线段相等．两条平行线之间的距离处处________．
相等
1．【安庆宿松期中】如图，分别过△ABC的三个顶点作对边的平行线，这些平行线两两相交，该图形中平行四边形的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C
2．【教材改编题】如图，在平行四边形ABCD中，AD＝6，AB＝4，DE平分∠ADC交BC于点E，则BE的长是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
A
3．【中考·黔南州】如图，在 ABCD中，已知AC＝4 cm，若△ACD的周长为13 cm，则 ABCD的周长为( )
A．26 cm B．24 cm
C．20 cm D．18 cm
D
4．已知 ABCD的周长为36 cm，AB＝ BC，则较长边的长为________．
10.5 cm
5．在平行四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可能等于( )
A．2∶7∶2∶7 B．2∶2∶7∶7
C．2∶7∶7∶2 D．2∶3∶4∶5
A
6．【2021·株洲】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝132°，则∠A＝( )
A．38° B．48°
C．58° D．66°
B
7．在 ABCD中，∠A＋∠C＝270°，则∠B＝________.
45°
证明：在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C.
∵E，F分别是边BC，AD的中点，∴AF＝CE.
在△ABF与△CDE中，
∴△ABF≌△CDE(SAS)，∴∠ABF＝∠CDE.
8．【中考·无锡】如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是边BC，AD的中点，求证：∠ABF＝∠CDE.
9．如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，E，G为垂足，则下列说法不正确的是( )
A．AB＝CD
B．EC＝FG
C．A，B两点的距离就是线段AB的长度
D．a与b的距离就是线段CD的长度
D
10．【中考·铜仁】已知直线a∥b∥c，a与b的距离为5 cm，b与c的距离为2 cm，则a与c的距离是( )
A．3 cm B．7 cm
C．3 cm或7 cm D．以上都不对
【点拨】如图①，直线a，c在b两侧时，∵a与b的距离为5 cm，b与c的距离为2 cm，∴a与c的距离为5＋2＝7(cm)；如图②，直线a，c在b同侧时，∵a与b的距离为5 cm，b与c的距离为2 cm，∴a与c的距离为5－2＝3(cm)．综上所述，a与c的距离为3 cm或7 cm.故选C.
【答案】C
11.如图， ABCD的边AB长为4 cm，DE平分∠ADC，若∠B＝80°，∠DAE＝50°，则 ABCD的周长是( )
A．8 cm B．16 cm
C．24 cm D．32 cm
C
12．如图，在 ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G.下列结论正确的是( )
A．DE＝DF B．AG＝GF
C．AF＝DF D．BG＝GC
C
13．【2021·青海】如图，在 ABCD中，对角线BD＝8 cm，AE⊥BD，垂足为E，且AE＝3 cm，BC＝4 cm，则AD与BC之间的距离为________．
6 cm
14．已知平行四边形ABCD中，CD＝15，AC＝13，AE为BC边上的高，且AE＝12，则平行四边形ABCD的面积为______________．
【点拨】在平行四边形ABCD中，AB＝CD＝15.
①AE在△ABC内，如图①.
在Rt△ABE中，BE＝
在Rt△AEC中，CE＝
∴BC＝BE＋EC＝14，
∴S平行四边形ABCD＝BC·AE＝14×12＝168；②AE不在△ABC内，如图②.易得BC＝BE－CE＝9－5＝4，
∴S平行四边形ABCD＝BC·AE＝4×12＝48.故答案为168或48.
【答案】168或48
15．【中考·青海】如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F.
(1)求证：AD＝BF；
证明：∵E是AB边上的中点，∴AE＝BE.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠F.
在△ADE和△BFE中，∠ADE＝∠F，∠DEA＝∠FEB，AE＝BE，∴△ADE≌△BFE.
∴AD＝BF.
(2)若平行四边形ABCD的面积为32，试求四边形EBCD的面积．
解：如图，过点D作DM⊥AB，交BA的延长线于M，则DM是平行四边形ABCD的边AB上的高．
16．【中考·黄冈】如图，在 ABCD中，分别以BC，CD为边作△BCF和△CDE，其中BC＝BF，CD＝DE，∠CBF＝∠CDE.连接AF，AE.
(1)求证：△ABF≌△EDA；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC.
∵BC＝BF，CD＝DE，∴BF＝AD，AB＝DE.
∵∠ADE＋∠ADC＋∠EDC＝360°，
∠ABF＋∠ABC＋∠CBF＝360°，∠EDC＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠ADE，∴△ABF≌△EDA.
(2)延长AB与CF相交于G.若AF⊥AE，求证：FB⊥BC.
证明：如图，延长FB交AD于H.
∵AE⊥AF，∴∠EAF＝90°.
∵△ABF≌△EDA，∴∠EAD＝∠AFB.
∵∠EAD＋∠FAH＝90°，∴∠FAH＋∠AFB＝90°，
∴∠AHF＝90°，∴FH⊥AD，即FB⊥AD.
∵AD∥BC，∴FB⊥BC.
17．如图，点E在平行四边形ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE.
(1)求证：△BCE≌△ADF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ABC＋∠BAD＝180°.
∵AF∥BE，∴∠EBA＋∠BAF＝180°，
∴∠CBE＝∠DAF，
同理得∠BCE＝∠ADF.
在△BCE和△ADF中，
∴△BCE≌△ADF(ASA)．
(2)设 ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，则 的值为________．
2(共33张PPT)
19.2 平行四边形
第5课时 三角形的中位线
第19章 四边形
HK版 八年级下
1
2
提示：点击 进入习题
答案显示
核心必知
1
2
3
4
A
5
C
B
B
中点
D
线段
3
中点
6
7
8
9
D
100
10
见习题
11
12
13
14
答案显示
5
15
见习题
见习题
C
见习题
2
1．如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的________也相等．
线段
2．连接三角形两边________的线段叫做三角形的中位线．
中点
3．三角形的中位线________于三角形的第三边，且等于第三边的________.
平行
一半
1．【教材改编题】下列每个图形中，已知l1∥l2∥l3，AB＝BC，则下列结论错误的是( )
A．图①中，DE＝EF B．图②中，AE＝EF
C．图③中，DE＝EF D．图④中，DB＝BF
C
2．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AE＝EC，DE＝4 cm，则下列说法正确的是( )
A．AD＝DB B．AD＝4 cm
C．AE＝4 cm D．DE＝EC
A
3．【中考·盐城】如图，点D，E分别是△ABC边BA，BC的中点，AC＝3，则DE的长为( )
A．2 B. C．3 D.
D
4．【中考·泸州】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，且AE＋EO＝4，则 ABCD的周长为( )
A．20 B．16 C．12 D．8
B
5．【中考·陕西】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【点拨】在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC＝
∵DE是△ABC的中位线，∴DF∥BM，DE＝ BC＝3.
∴∠EFC＝∠FCM.
∵∠FCE＝∠FCM，∴∠EFC＝∠ECF.
∴EF＝EC＝ AC＝5. ∴DF＝DE＋EF＝3＋5＝8.
6．【2021·安徽期末】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是边CD和AB的中点，若∠PEF＝30°，则下列说法错误的是( )
A．PE＝PF B．∠EPF＝120°
C．AD＋BC＞2EF D．AB＋DC＞2DB
D
7．【中考·长沙】如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50 m，则AB的长是________m.
100
8．【2021·邵阳】如图，点D，E，F分别为△ABC三边的中点，若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为_____．
5
9．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H得到的四边形EFGH叫做中点四边形．求证：中点四边形EFGH是平行四边形．
证明：如图，连接BD.
∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线．
∴EH＝ BD，EH∥BD.
同理，FG＝ BD，FG∥BD.
∴EH＝FG，EH∥FG.
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
10．【2021·宁波】如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，BD＝ ，若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为( )
C
11．【中考·天津】如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为________．
【点拨】连接DE，∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE∥AC，2DE＝AC＝4，EC＝2.
∵EF⊥AC，∴DE⊥EF，∴△DEG为直角三角形．
【答案】
12．【合肥庐阳区模拟】如图，△ABC中，AB＝9，AC＝5，AD是∠BAC的平分线，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AD于F，连接EF，则线段EF的长为______．
【点拨】如图，延长CF交AB于点G.
∵AD平分∠BAC，∴∠GAF＝∠CAF.
∵CG⊥AD，∴∠AFG＝∠AFC＝90°.
在△AGF和△ACF中，
∴△AGF≌△ACF.
【答案】2
∴AG＝AC＝5，GF＝CF，
∴BG＝AB－AG＝9－5＝4.
又∵BE＝CE，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF＝ BG＝2.
13．【中考·邵阳】如图，等边三角形ABC的边长是2，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝ BC，连接DE，CD和EF.
(1)求证：DE＝CF；
证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．∴DE＝ BC＝1.
又CF＝ BC＝1，∴DE＝CF.
(2)求EF的长；
解：由(1)知DE是△ABC的中位线，∴DE∥CF.
又∵DE＝CF，∴四边形CDEF是平行四边形．∴CD＝EF.
∵在等边三角形ABC中，D是AB的中点，
(3)求四边形DEFC的面积．
14．【合肥包河区期末】如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在AB上，且BF＝DE.
(1)求证：四边形BDEF是平行四边形；
证明：如图，延长CE交AB于点G，
∵AE⊥CE，∴∠AEG＝∠AEC＝90°.
又∵AE平分∠BAC，∴∠GAE＝∠CAE.
在△AEG和△AEC中，
∴△AGE≌△ACE(ASA)，∴GE＝EC.
∵BD＝CD，∴DE为△CGB的中位线，
∴DE∥AB.
∵DE＝BF，∴四边形BDEF是平行四边形．
(2)线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论．
解：BF＝ (AB－AC)．
证明：∵D，E分别是BC，GC的中点，∴BF＝DE＝ BG.
∵△AGE≌△ACE，∴AG＝AC，
∴BF＝ (AB－AG)＝ (AB－AC)．
15．(1)如图①，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N.
求证：∠BME＝∠CNE；(提示：连接BD，取BD的中点H，连接FH，HE)
证明：如图①，连接BD，取BD的中点H，连接EH，FH.
∵E，H分别是AD，BD的中点，
∴EH∥AB，EH＝ AB，∴∠BME＝∠HEF.
∵F，H分别是BC，BD的中点，∴FH∥CD，FH＝ CD，
∴∠CNE＝∠HFE.
∵AB＝CD，∴HE＝FH，∴∠HEF＝∠HFE，
∴∠BME＝∠CNE.
(2)如图②，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G，若AB＝DC＝2，∠FEC＝45°，则FE的长为________．
【点拨】如图②，连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH.
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴EH＝ AB，FH＝ CD，FH∥AC，
∴∠HFE＝∠FEC＝45°.
∵AB＝CD＝2，∴HF＝HE＝1，
∴∠HEF＝∠HFE＝45°，
∴∠EHF＝180°－∠HFE－∠HEF＝90°，
【答案】(共25张PPT)
专题技能训练(九)
2.特殊平行四边形的性质与判定的灵活运用
HK版 八年级下
第19章 四边形
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1．【2021·雅安】如图，△OAD为等腰直角三角形，延长OA至点B，使OB＝OD，四边形ABCD是矩形，其对角线AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F.
(1)求证：△OAF≌△DAB；
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴BE＝DE，∠BAD＝90°，
∴∠ABD＋∠ADB＝90°，
∵OB＝OD，∴OE⊥BD，
∴∠OEB＝90°，∴∠BOE＋∠OBE＝90°，
∴∠BOE＝∠ADB.
∵△OAD为等腰直角三角形，∴AO＝AD，∠OAD＝90°，
∴∠OAD＝∠BAD.
在△OAF和△DAB中，
∴△OAF≌△DAB(ASA)．
(2)求 的值．
解：连接BF，如图，
由(1)知△OAF≌△DAB，∴AF＝AB，
又∵∠DAB＝90°，∴BF＝ AF，
∵BE＝DE，OE⊥BD，∴DF＝BF，
∴DF＝ AF，∴
2．【中考·云南】如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
证明：∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠AOB＝∠DAO＋∠ADO＝2∠OAD，
∴∠DAO＝∠ADO，∴AO＝DO，∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
(2)若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求∠ADO的度数．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.
又∵∠AOB＝∠DOC，∠AOB∶∠ODC＝4∶3，
∴∠DOC∶∠ODC∶∠OCD＝4∶3∶3，
∴∠ODC＝54°.
又∵∠ADC＝90°，∴∠ADO＝90°－54°＝36°.
3．如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H.
(1)求证：四边形AGPH是矩形；
证明：∵AC＝9，AB＝12，BC＝15，
∴AC2＝81，AB2＝144，BC2＝225，
∴AC2＋AB2＝BC2，∴∠A＝90°.
∵PG⊥AC，PH⊥AB，∴∠AGP＝∠AHP＝90°，
∴四边形AGPH是矩形．
(2)在点P的运动过程中，GH是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
解：存在．
如图，连接AP.
∵四边形AGPH是矩形，∴GH＝AP.
易知当AP⊥BC时，AP最短，此时9×12＝15·AP，
∴AP＝ .∴GH的最小值为 .
4．【2021·菏泽】如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CB上，且∠ADM＝∠CDN，求证：BM＝BN.
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C.
在△AMD和△CND中，
∴△AMD≌△CND(ASA)．
∴AM＝CN，∴AB－AM＝BC－CN，即BM＝CN.
5．【宿州泗县月考】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BC＝10 cm，AD＝8 cm，E，F分别为AB，AC的中点．
(1)求证：四边形AEDF是菱形；
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点，
∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴DE和DF是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形．
∵E，F分别为AB，AC的中点，AB＝AC，
∴AE＝AF，∴四边形AEDF是菱形．
(2)求菱形AEDF的面积；
解：∵EF为△ABC的中位线，
∴EF＝ BC＝5 cm，
∵AD＝8 cm，AD⊥EF，
∴S菱形AEDF＝ AD·EF＝ ×8×5＝20(cm2)．
(3)若点H从F点出发，在线段FE上以每秒2 cm的速度向E点运动，点P从B点出发，在线段BC上以每秒3 cm的速度向C点运动，H，P两点同时出发，运动时间为t秒，当t＝______时，四边形BPHE是平行四边形；当t＝______时，四边形PCFH是平行四边形．
【点拨】易知EF∥BC，∴EH∥BP，若四边形BPHE为平行四边形，则EH＝BP，∴5－2t＝3t，解得t＝1，
∴当t＝1时，四边形BPHE为平行四边形；
易知FH∥PC，若四边形PCFH为平行四边形，则FH＝PC，
∴2t＝10－3t，
解得t＝2，∴当t＝2时，四边形PCFH为平行四边形．
【答案】1；2
6．(1)如图①，在平行四边形纸片ABCD中，AD＝5，S ABCD＝15.过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为( )
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
C
(2)如图②，在(1)中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF＝4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D.
①求证：四边形AFF′D是菱形；
证明：易知AF DF′，
∴四边形AFF′D是平行四边形．
∵S ABCD＝AD·AE＝15，AD＝5，
∴AE＝3.∵EF＝4，∠E＝90°，
∴AF＝
∵AD＝5，∴AD＝AF，
∴四边形AFF′D是菱形．
【点拨】如图，连接AF′，DF.
在Rt△AEF′中，AE＝3，EF′＝EE′＋E′F′＝5＋4＝9，
根据勾股定理，得AF′＝3 .
在Rt△DFE′中，FE′＝EE′－EF＝5－4＝1，DE′＝AE＝3，
根据勾股定理，得DF＝ ，
∴四边形AFF′D的两条对角线的长分别是3 和 .
②四边形AFF′D的两条对角线的长分别为____________．
7．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与点A、B重合)，连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH.
(1)求证：GF＝GC；
证明：如图①，连接DF.
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°.
∵点A关于直线DE的对称点为F，
∴AE＝EF，AD＝DF，∴DF＝DC.
又∵ED＝DE，∴△ADE≌△FDE，
∴∠DFE＝∠A＝90°，∴∠DFG＝90°.
在Rt△DFG和Rt△DCG中，
DF＝DC，DG＝DG，∴Rt△DFG≌Rt△DCG(HL)，∴GF＝GC.
(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．
解：BH＝ AE.
证明：如图②，在线段AD上截取AM，使AM＝AE，连接ME，DF.
∵AD＝AB，∴DM＝BE. 由(1)易知∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵∠ADC＝90°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90°，
∴2∠2＋2∠3＝90°，
∴∠2＋∠3＝45°，即∠EDG＝45°.
∵EH⊥DE，∴∠DEH＝90°，∴△DEH是等腰直角三角形，
∴∠AED＋∠BEH＝∠AED＋∠1＝90°，DE＝EH，
∴∠1＝∠BEH.
在△DME和△EBH中，
∴△DME≌△EBH，∴EM＝BH.
在Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，∴EM＝ AE，∴BH＝ AE.
8．如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.
(1)求证：△BCE≌△DCF；
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D.
∵点E，F分别为AB，AD的中点，∴BE＝ AB，DF＝ AD.
∴BE＝DF.
∴△BCE≌△DCF.
解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形．
(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？(不必说明理由)(共30张PPT)
专题技能训练(九)
4.特殊平行四边形中的五种热门题型
HK版 八年级下
第19章 四边形
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见习题
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B
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D
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见习题
C
B
B
见习题
B
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见习题
1．【中考·泰安】如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB＝6，BC＝4 ，则FD的长为( )
A．2 B．4 C. D．2
B
2．如图，在矩形ABCD中，∠DAC＝65°，点E是CD上一点，BE交AC于点F，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处，则∠AFC′等于( )
A．25° B．30° C．35° D．40°
D
3．【中考·内江】如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE，BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连接EF.已知AB＝3，BC＝4，则EF的长为( )
【点拨】∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4，
∴BD＝
设AE的长为x，由折叠可得△ABE≌△MBE，
∴EM＝AE＝x，DE＝4－x，BM＝AB＝3，DM＝5－3＝2.
在Rt△EMD中，EM2＋DM2＝DE2，
∴x2＋22＝(4－x)2，解得x＝
设CF的长为y，由折叠可得△CBF≌△NBF，
∴NF＝CF＝y，DF＝3－y，BN＝BC＝4，DN＝5－4＝1，
在Rt△DNF中，DN2＋NF2＝DF2，
∴y2＋12＝(3－y)2，解得y＝ ，DF＝3－ ＝ ，
在Rt△DEF中，EF＝
故选C.
【答案】C
4．【2021·合肥模拟】如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，动点M满足：S矩形ABCD＝3S△MAB，则点M到点A，B的距离之和(MA＋MB)的最小值是( )
A．6 B．8
C．10 D．8
B
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E是BC边上一点，且AE＝EC，点P是边AD上一动点，连接PE，PC，则下列结论：① BE＝3；②当AP＝5时，EP平分∠AEC；③△PEC周长的最小值为15 ；④当AP＝ 时，EA平分∠BEP.其中正确的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【点拨】∵AE＝EC，设BE＝x，则AE＝8－x，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2＋BE2，即(8－x)2＝42＋x2，
解得x＝3，即BE＝3，故①正确；
当AP＝5时，∵EC＝5，∴AP＝CE.
又∵AP∥EC，∴四边形APCE为平行四边形．
又∵AE＝EC，∴四边形APCE为菱形，
∴EP平分∠AEC，故②正确；
作点C关于直线AD的对称点C′，连接PC′，DC′，
则PC＝PC′，DC′＝DC＝4，
∴△PEC的周长＝EC＋EP＋PC＝EC＋EP＋PC′，CC′＝8，
∴△PEC周长的最小值为EC＋EC′＝5＋ ，
故③错误；
过点P作PG⊥BC，垂足为G，∴AB＝PG＝4.
∵AP＝ ，∴PD＝8－ ＝ ＝GC，
∴EG＝5－
∴EP＝AP，∴∠PAE＝∠PEA.
又∵AD∥BC，∴∠PAE＝∠BEA，∴∠PEA＝∠BEA，
∴EA平分∠BEP，故④正确；故选B.
【答案】B
6．我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，可证中点四边形EFGH是平行四边形，如果我们对四边形ABCD的对角线AC与BD添加一定的条件，则可使中点四边形EFGH成为特殊的平行四边形，请你经过探究后回答下面的问题：
(1)①当AC________BD时，四边形EFGH为菱形；
②当AC________BD时，四边形EFGH为矩形．
＝
⊥
(2)当AC和BD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？请回答并证明你的结论．
解：当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．
证明：∵G，H分别是CD，AD的中点，
∴GH是△ACD的中位线，∴GH∥AC，GH＝ AC.
同理得EF∥AC，EF＝ AC，GF∥BD，GF＝ BD，
∴GH∥EF，GH＝EF，
∴四边形EFGH是平行四边形．
又∵AC＝BD，∴EF＝GF，∴四边形EFGH是菱形．
∵AC⊥BD，GH∥AC，∴GH⊥BD.
∵GF∥BD，∴GH⊥GF，∴∠HGF＝90°，
∴四边形EFGH为正方形．
7.【中考·镇江】将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到四边形FECG的位置(如图)，使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝________．(结果保留根号)
【点拨】∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴CD＝1，∠CDA＝90°.
由题易得CF＝ ，∠CFE＝45°，∴∠FHD＝45°，
∴DH＝DF＝CF－CD＝ －1.
8．【中考·荆州】如图①，等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方形ABCD的中心，点C，D分别在OE和OF上，现将△OEF绕点O逆时针旋转α角(0°＜α＜90°)，连接AF，DE(如图②)．
(1)在图②中，∠AOF＝________；(用含α的式子表示)
90°－α
(2)在图②中猜想AF与DE的数量关系，并证明你的结论．
解：AF＝DE.
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠AOD＝∠COD＝90°，OA＝OD.
∵∠DOF＝∠COE＝α，∴∠AOF＝∠DOE.
∵△OEF为等腰直角三角形，∴OF＝OE，
∴△AOF≌△DOE(SAS)，∴AF＝DE.
9．【中考·桂林】将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则 的值为( )
【点拨】由折叠可得AB＝OB，AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG，
∴E，G分别为AD，CD的中点．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，AD＝BC，∠C＝90°.
设CD＝2a，AD＝2b，则AB＝OB＝2a，
DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝2b.
∵∠C＝90°，
【答案】B
在Rt△BCG中，CG2＋BC2＝BG2，
即a2＋(2b)2＝(3a)2，∴b2＝2a2，
10．如图①，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一直角边交CD于点F，另一直角边交CB的延长线于点G.
(1)求证：EF＝EG；
证明：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，
∴∠ABG＝90°＝∠D.
∵∠GEB＋∠BEF＝90°，∠DEF＋∠BEF＝90°，
∴∠DEF＝∠GEB.
在△FED和△GEB中，
∠DEF＝∠GEB，ED＝EB，∠D＝∠EBG，
∴△FED≌△GEB(ASA)，∴EF＝EG.
(2)如图②，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变．
①(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
解：成立．
证明：如图，过点E作EH⊥BC于H，
过点E作EP⊥CD于P，∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝∠D＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝DC＝AD，
易得CA平分∠BCD.
又∵EH⊥BC，EP⊥CD，∴EH＝EP.
∴四边形EHCP是正方形，∴∠HEP＝90°.
∵∠GEH＋∠HEF＝90°，∠PEF＋∠HEF＝90°，
∴∠PEF＝∠GEH，
∴在△FEP与△GEH中，∠PEF＝∠GEH，EP＝EH，
∠EPF＝∠EHG，
∴△FEP≌△GEH(ASA)，∴EF＝EG.
②若EC＝2，则四边形EFCG的面积为________．
2
【点拨】由①知，四边形EHCP是正方形，∴EH＝HC.
∵EC＝2，易得EH＝ .
由①知，△FEP≌△GEH，
∴S△FEP＝S△GEH，
∴S四边形EFCG＝S四边形EPCH＝EH2＝2.
11．【中考·漳州】如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG.
(1)求证：四边形DEFG为菱形；
证明：根据折叠的性质，
得DG＝FG，ED＝EF，∠DEG＝∠FEG.
∵FG∥CD，∴∠FGE＝∠DEG.
∴∠FEG＝∠FGE. ∴FG＝FE.
∴DG＝GF＝EF＝DE.
∴四边形DEFG为菱形．
(2)若CD＝8，CF＝4，求 的值．
解：设DE＝x，则EF＝DE＝x，CE＝8－x，
在Rt△EFC中，CF2＋CE2＝EF2，
即42＋(8－x)2＝x2，
解得x＝5.∴CE＝8－x＝3.
∴(共27张PPT)
19.3 矩形、菱形、正方形
第2课时 矩形的判定
第19章 四边形
HK版 八年级下
1
2
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核心必知
1
2
3
4
90
5
C
AC＝BD(答案不唯一)
D
矩形
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相等
6
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8
9
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见习题
10
11
12
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A
见习题
见习题
见习题
1．对角线________的平行四边形是矩形．
相等
2．三个角是直角的四边形是________．
矩形
1．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是( )
A．∠A＋∠B＝180°
B．∠C＋∠B＝180°
C．∠A＝∠B
D．∠D＝∠B
C
2．如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋，若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变，当∠α是________°时，两条对角线长度相等．
90
3．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，DE，DF是△ABC的中位线，连接EF，AD.求证：EF＝AD.
证明：∵DE，DF是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形．
又∵∠BAC＝90°，∴平行四边形AEDF是矩形，
∴EF＝AD.
4．【2021·六安模拟】工人师傅在做矩形门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，还要测量两条对角线是否相等，以确保门窗或零件是矩形，这样做的道理是( )
A．两组对边分别相等的四边形是矩形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
D
5．四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC与BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是____________________．(写出一个即可)
AC＝BD(答案不唯一)
6．【中考·聊城】如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，且AF＝AD，连接BF，求证：四边形ABFC是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE.
∵E是BC的中点，∴EB＝EC，
∴△ABE≌△FCE(AAS)，∴AB＝CF.
∵AB∥CF，∴四边形ABFC是平行四边形．
∵AF＝AD，∴BC＝AF，
∴平行四边形ABFC是矩形．
7．【中考·怀化】已知：如图，在 ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC.
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°.
在△ABE和△CDF中，
∠B＝∠D，∠AEB＝∠CFD，AB＝CD，
∴△ABE≌△CDF(AAS)．
证明：∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB＝90°，
∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
(2)求证：四边形AECF是矩形．
8．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是( )
【点拨】∵DE是AC的垂直平分线，AF＝BF，∴DF∥BC，∴∠C＝90°.
又BE⊥DF，∴四边形BCDE是矩形．
∵∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，∴AB＝4，
∴AC＝ ＝2 ，∴BE＝CD＝ ，
∴四边形BCDE的面积为2× ＝2 .故选A.
【答案】A
9.【中考·安顺】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D为斜边BC上的一个动点，过D分别作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为________．
【点拨】连接AD.∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，
∴BC＝
∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积为 AB×AC＝ BC×AD，∴AD＝ ，∴MN的最小值为 .
【答案】
10.【合肥蜀山区期末】如图，将 ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，DE交边BC于点F.
(1)求证：BF＝CF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∴∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF.
∵BE＝AB，∴BE＝CD.
在△BEF与△CDF中，
∵
∴△BEF≌△CDF(ASA)．
∴BF＝CF.
证明：由四边形ABCD是平行四边形，
易知∠A＝∠DCB.
∵BE∥CD，CD＝EB，∴四边形BECD是平行四边形．
又∵∠A＝ ∠EFC，∴∠EFC＝2∠DCF，
∴∠DCF＝∠FDC，∴DF＝CF，
∴DE＝BC，∴四边形BECD是矩形．
(2)若∠A＝ ∠EFC，求证：四边形BECD是矩形．
11．【中考·日照】如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.
(1)求证：△DCA≌△EAC；
证明：在△DCA和△EAC中，
∴△DCA≌△EAC(SSS)．
证明：∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵CE⊥AE，∴∠E＝90°.
由(1)知△DCA≌△EAC，
∴∠D＝∠E＝90°.∴四边形ABCD为矩形．(答案不唯一)
AD＝BC
(2)只需添加一个条件，即________，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．
12．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC分别交∠ACB、△ABC的外角∠ACD的平分线于点E、F.
(1)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；
解：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的平分线于点F，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF.
∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，
∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，
∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF.
∵∠OCE＋∠BCE＋∠OCF＋∠DCF＝180°，∴∠ECF＝90°.
在Rt△CEF中，由勾股定理得EF＝
∴OC＝OE＝ EF＝5.
(2)连接AE、AF.问：当点O运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？证明你的结论．
解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO＝CO.
∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形．
∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．
