2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-1菱形的性质与判定》寒假预习同步达标测评 (word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-1菱形的性质与判定》寒假预习同步达标测评 (word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 434.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-21 08:30:00 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-1菱形的性质与判定》
寒假预习同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．菱形ABCD的周长是8cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线BD的长是（ ）
A．cm B．2cm C．1cm D．2cm
2．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H．则DH＝（ ）
A．6 B． C． D．5
3．如图，已知菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，且AC+BD＝16，则该菱形的面积等于（ ）
A．6 B．8 C．14 D．28
4．平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．∠ABD＝∠CBD C．AB＝BC D．AC＝BD
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．BA⊥BD C．AB＝CD D．AD＝BC
6．下列选项中能使 ABCD成为菱形的是（ ）
A．AB＝CD B．AB＝BC C．∠BAD＝90° D．AC＝BD
7．如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；
③AD＝4AG；④4FH＝BD；其中正确结论的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
8．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①OG＝AB；②S△ACD＝6S△BOF；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④S四边形ODGF＞S△ABF．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
9．如图，锐角∠BOC＝α，∠AOC是它的邻补角，AD∥OC，OD平分∠AOC，P为射线OC上一点（不含端点O），连接PD，作∠DPE＝α，PE交直线AB于点E．甲、乙、丙、丁四位同学都对这个问题进行了研究，并得出自己的结论．
甲：若点E与点O重合，四边形PEAD是菱形；
乙：若α＝60°，一定PD＝PE；
丙：若α≠60°，一定PD≠PE；
丁：若α＝80°，可能PD＝PE．
下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙、丙正确，丁不正确
B．甲、乙、丁正确，丙不正确
C．甲、乙正确，丙、丁不正确
D．甲、乙、丁不正确，丙正确
10．如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHLK的各个内角相等，记四边形HCH′L、四边形EKE′A、△BGF的周长分别为C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，则AB的长是（ ）
A．9.5 B．10 C．10.5 D．11
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．如图，在菱形ABCD外侧作等边△CBE，连接DE、AE．若∠ABC＝100°，则∠DEA的大小为 ．
12．如图，已知点A的坐标是，2），点B的坐标是（﹣1，，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则点D的坐标是 ．
13．在菱形ABCD中，AD＝10，AC＝12，则菱形ABCD的面积是 ．
14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，下列条件①AC⊥BD；②OA＝OC；③AC平分∠BCD；④∠ABC＝∠ADC，能判定四边形ABCD是菱形的有 ．（填写序号）
15．如图，在 ABCD中，点E，F分别是AB，CD边上的点，且∠ADE＝∠CBF，连接BD，EF．补充一个条件，可使四边形EBFD是菱形，这个条件是 ．
16．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD，且AC平分BD，若添加一个条件 ，则四边形ABCD为菱形．
17．如图所示，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向△ABC外构造等边△ACD和等边△ABE，F为AB的中点，连接CF，DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．有下列五个结论：①AC⊥DF；②DA+DF＝BE；③四边形ADCF是菱形；④S四边形BCDE＝6S△ACD；⑤四边形BCDF是平行四边形．其中正确的结论是
18．把2张大小形状完全相同的平行四边形纸片（如图1）按两种不同的方式（如图2、图3）不重叠地放在平行四边形ABCD内，未被覆盖的部分用阴影表示，若AD﹣AB＝1，则图3中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差值是 ．
19．如图，点E，F分别是矩形ABCD的边CD，AB的中点，两条平行线AK，CL分别经过菱形EGFH的顶点H，G和边FG，EH的中点M，N，已知菱形EGFH的面积为S，则图中阴影部分的面积和为 .（用含S的代数式表示）
20．在平面直角坐标系xOy中，A（6，8），点C在x轴上，在平面直角坐标系内存在点D，使A、O、C、D为顶点的四边形是菱形，则D点的坐标为 ．
三．解答题（共9小题，满分60分）
21．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AB和BC上的点，且BE＝BF．求证：∠DEF＝∠DFE．
22．如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F．求证AE＝CF．
23．如图，在菱形ABCD中，点E在边CD上，AE与BD相交于点F，连接CF．
（1）求证：∠AED＝∠BCF；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝2，求菱形ABCD的面积．
24．如图，四边形ABCD是平行四边形，延长DA，BC，使得AE＝CF，连接BE，DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接BD，若∠1＝32°，∠ADB＝22°，请直接写出当∠ABE＝ °时，四边形BFDE是菱形．
25．如图，在△ABC中，PQ是CA的垂直平分线，CF∥AB交PQ于点F，连接AF．
（1）求证：△AED≌△CFD；
（2）求证：四边形AECF是菱形．
26．如图，点E是 ABCD的边CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）若AD的长为2，求CF的长；
（2）若∠BAF＝90°，则当∠F＝ 时，平行四边形ABCD是菱形．
27．已知：在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点O作EF⊥BD，分别交AB，DC于点E，F，连接BF，DE．
（1）如图1，求证：四边形DEBF是菱形；
（2）如图2，AD∥EF，且AD＝AE，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中四个度数为30°的角．
28．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点．
求证：四边形EGFH是菱形．
29．如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠BAC＝∠CDF．
（1）求证：BC＝2CE；
（2）求证：AM＝DF+ME．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：∵菱形ABCD的周长为8cm，
∴AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2cm，
∴OA＝1（cm），
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝＝＝（cm），
∴BD＝2OB＝2（cm），
故选：B．
2．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB＝＝5，
则AD＝5，
∵S菱形ABCD＝ AC BD，
S菱形ABCD＝DH AB，
∴DH 5＝×6×8，
∴DH＝．
故选：B．
3．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，
∵菱形ABCD的周长为24，
∴AD＝AB＝6，
∵AC+BD＝16，
∴AO+BO＝8，
∴AO2+BO2+2AO BO＝64，
∵AO2+BO2＝AB2，
∴AO BO＝14，
∴菱形的面积＝4×三角形AOD的面积＝4××14＝28，
故选：D．
4．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
又∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：D．
5．解：能判定四边形ABCD是菱形的是AC⊥BD，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故选：A．
6．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴ ABCD为菱形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°，
∴ ABCD为矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴ ABCD为矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
7．解：∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°，AE＝AC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠EAF＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，
∵F为AB的中点，
∴AB＝2AF，
∴BC＝AF，
在△ABC和△EFA中，
，
∴△ABC≌△EFA（SAS），
∴FE＝AB，∠AEF＝∠BAC＝30°，
∴∠AHE＝180°﹣∠EAC﹣∠AEF＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴EF⊥AC，故①正确，
∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴FH∥BC，
∵F是AB的中点，
∴FH是△ABC的中位线，
∴FH＝BC，
∵BC＝AB，AB＝BD，
∴BD＝4FH，故④正确；
∵AD＝BD，BF＝AF，
∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，
∵∠FAE＝90°，
∴∠DFB＝∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF＝30°，
∴∠BDF＝∠FEA，
在△DBF和△EFA中，
，
∴△DBF≌△EFA（AAS），
∴AE＝DF，
∵FE＝AB＝AD，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∵AB＞AC，
∴AD＞AE，
∴四边形ADFE不是菱形，故②错误；
∵AG＝AF，
∴AG＝AB，
∵AD＝AB，
则AD＝4AG，故③正确，
故选：C．
8．解：①∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB∥CD，AB＝CD，BO＝OD，
∴∠ABG＝∠GED，∠BAG＝∠GDE，
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴BG＝GE，
∴OG＝AB，∴①正确；
②由①知△ABG≌△DEG，
∴AG＝GD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AO⊥BO，
∵∠BAD＝60°，
∴AB＝BD＝AD，BG⊥AD，
∴∠FBO＝30°，∠ABO＝60°，∠BAO＝30°，
∴，
∵S△ACD＝S△ABC＝2S△ABO，
∴，∴②正确
③由①知△ABG≌△DEG，
∴AB＝DE，
∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
由②知：AB＝BD，
∴四边形ABDE是菱形，∴③正确．
④∵BO＝DO，AG＝DG，
∴，OG∥AB，
∴S△AFG＝2S△OFG，
∵S△AOG＝S△AFG+S△OFG，
∴，S△DOG：S△DBA＝1：4，S△FOG：S△FAB＝1：4，
∴，
∵AG＝GD，
∴S△AOG＝S△GOD，
∴S四边形，
∴S四边形ODGF＝S△FAB，∴④不正确．
综上所述①②③正确．
故选：B．
9．解法一：如图1，点E与点O重合.
∵AD∥OC，
∴∠A＝∠BOC＝α，
∵∠DPE＝α，
∴∠DPE＝∠A，即∠DPO＝∠A，
∵∠AOD＝∠POD，OD＝OD，
∴△ADO≌△PDO，
∴PO＝AO，PD＝AD，
∵∠ADO＝∠POD，∠AOD＝∠POD，
∴∠ADO＝∠AOD，
∴AO＝AD，
∴PO＝AO＝AD＝PD，
∴四边形POAD是菱形，即四边形PEAD是菱形，
解法二：可以证明，AO＝AD，四边形PEAD是平行四边形，可得菱形．
故甲正确；
当α＝60°时，则∠AOD＝∠DOP＝∠POB＝60°．
如图2，点E在线段AO上，连接DE交OD于点F．
∵∠AOB＝∠DPE＝60°，∠OFE＝∠PFD，
∵∠OFP＝∠EFD，
∴△OFP∽△EFD，
∴∠PED＝∠POD＝60°，
∴∠PDE＝60°＝∠PED，
∴PD＝PE；
如图3，点E在线段AO的延长线上，延长DO、PE交于点F，连接DE．
∵∠FOE＝∠DPE＝60°，∠EFO＝∠DFP（公共角），
∵∠OFP＝∠EFD（公共角），
∴△OFP∽△EFD，
∴∠POF＝∠DEF＝120°，
∴∠PED＝60°，
∵∠DPE＝60°，
∴∠PDE＝60°＝∠PED，
∴PD＝PE．
故乙正确；
由甲的结论可知，当点E与点O重合时，四边形PEAD是菱形，
此时PD＝PE，这与α是否等于60°无关，
故丙错误；
由甲的结论可知，当点E与点O重合时，PD＝PE，这与锐角α的大小无关，
如图4，即使α＝80°，也可能存在PD＝PE的情况．
故丁正确．
故选：B．
10．解：∵六边形EFGHLK的各个内角相等，
∴该六边形的每个内角为120°，每个外角都是60°，
∴△BFG，△AEK，△CHL都是等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，BF＝FG，AE＝AK，CL＝HL，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，即BF+FE+AE＝AK+KL+CL，
又∵BF＝FG＝KL，
∴EF＝CL＝6＝CH，
由轴对称可得，四边形HCH′L、四边形EKE′A都是菱形，
∵C1＝2C2，
∴AE＝CH＝3，
又∵2C2＝4C3，
∴C3＝C2＝×12＝6，
∴BF＝×6＝2，
∴AB＝BF+EF+AE＝2+6+3＝11，
故选：D．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD，AB∥CD，
∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝80°，
∵△CBE是等边三角形，
∴BC＝BE＝CE，∠CBE＝∠BCE＝∠BEC＝60°，
∴AB＝BE，CD＝CE，∠DCE＝140°，∠ABE＝160°，
∴∠CED＝∠CDE＝（180°﹣∠DCE）＝20°，∠BAE＝∠BEA＝（180°﹣160°）＝10°，
∴∠DEA＝∠BEC﹣∠DEC﹣∠BEA＝30°，
故答案为：30°．
12．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴OB＝OD，
又∵点O为坐标原点，
∴点B和点D关于原点对称，
∵点B的坐标为（﹣1，﹣），
∴D点坐标为（1，），
故答案为：（1，）．
13．解：如图，连接AC，BD交于点O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝6，
∴∠AOD＝90°，
∴OD＝＝8，
∴BD＝2OD＝16，
∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝×12×16＝96，
故答案为96．
14．解：①∵AB＝AD，AC⊥BD，
∴OB＝OD，
∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
又∵∠AOD＝∠COB，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故①能判定四边形ABCD是菱形；
②∵AB＝AD，AC⊥BD，
∴OB＝OD，
∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故②能判定四边形ABCD是菱形；
③∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵AC平分∠BCD，
∴∠DCA＝∠BCA，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝CD，
∴AB＝AD＝CD，不能判定四边形ABCD是菱形；
④∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故④能判定四边形ABCD是菱形；
故答案为：①②④．
15．解：添加BD⊥EF，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，∠A＝∠C，AB∥CD，AB＝CD，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，
即BE＝DF，
又∵BE∥DF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BD⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形．
故答案为：BD⊥EF．
16．解：添加一个条件OA＝OC，则四边形ABCD为菱形，理由如下：
∵AC平分BD，OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：OA＝OC（答案不唯一）．
17．解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，AC＝AB，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴CD∥AB，
∵F为AB的中点，
∴BF＝AF＝AB，
∴BF∥CD，CD＝BF＝AF，
∴四边形BCDF为平行四边形，故⑤正确；四边形ADCF是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，AF＝BF，
∴CF＝AF＝AB，
∴四边形ADCF是菱形，故③正确；
∵四边形BCDF为平行四边形，
∴DF∥BC，
又∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥DF，故①正确；
∵DA＝CA，DF＝BC，AB＝BE，BC+AC＞AB，
∴DA+DF＞BE，故②错误；
设AC＝x，则AB＝2x，
∴S△ACD＝x2，S△ACB＝x2，S△ABE＝x2，
∴＝＝，故④错误；
故答案为：①③⑤．
18．解：设图1平行四边形的长边为y，短边为x，AD＝m，AB＝n，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝n，AD＝BC＝m，
∵AD﹣AB＝1，
∴m﹣n＝1，
∴图2中阴影部分的周长＝2y+2（n﹣x）+2x+2（n﹣y）
＝2y+2n﹣2x+2x+2n﹣2y
＝4n，
图3中阴影部分的周长＝2（n﹣x）+2y+2x+2（m﹣y）
＝2n﹣2x+2y+2x+2m﹣2y
＝2m+2n，
∴图3中阴影部分的周长﹣图2中阴影部分的周长＝2m+2n﹣4n＝2（m﹣n）＝2×1＝2，
故答案为：2．
19．解：如图，连接EF、GH交于点O，设EF交NG于点R，交AK于点T，连接AG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠D＝90°，
∵E、F分别是CD、AB的中点，
∴DE＝CD，AF＝AB，
∴DE＝AF，
∵DE∥AF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∵∠D＝90°，
∴四边形ADEF是矩形，
∴EF∥AD，EF＝AD，∠AFE＝90°，
∵四边形EGFH是菱形，
∴GH⊥EF，OG＝OH＝GH，
∴∠EOG＝90°，
∴∠EOG＝∠AFE，
∴GH∥AF，
∴∠GHM＝∠FAM，
∵点M是FG的中点，
∴GM＝FM，
在△HGM和△AFM中，
，
∴△HGM≌△AFM（AAS），
∴GH＝AF，
∴GH＝AB，
∵OG＝AF，OE＝OF，OG∥AF，
∴点G是矩形ADEF的中心，即A、G、E三点在同一条直线上，
∴AG＝EG，
∵EF∥AD，
∴∠LAG＝∠REG，
在△AGL和△EGR中，
，
∴△AGL≌△EGR（ASA），
∴AL＝ER，
∵AK∥CL，AL∥CK，
∴四边形ALCK是平行四边形，
同理，四边形ALRT是平行四边形，
∴AL＝RT＝CK，
∴ER＝RT，
同理可得，RT＝FT，
∴ER＝RT＝FT＝EF＝AD，
∵菱形EGFH的面积为S，
∴EF GH＝2S，
∴AD AB＝4S，
∵AL＝AD，
∴S ALCK＝AL AB＝AD AB＝S，
∵S GMHN＝S，
∴S阴影＝S ALCK﹣S GMHN＝S﹣S＝S；
故答案为：S．
20．解：根据题意画图如下：
∵A（6，8），
∴OA＝＝10，
当四边形AODC是菱形时，D（6，﹣8）；
当四边形AOC′D′是菱形时，D′（16，8）；
当四边形AOC″D″是菱形时，D″（﹣4，8），
综上所述，满足条件的点D的坐标为：（6，﹣8）、（16，8）、（﹣4，8）．
故答案为：（6，﹣8）、（16，8）、（﹣4，8）．
三．解答题（共9小题，满分60分）
21．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C，AB＝CB，AD＝DC，
∵BE＝BF，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE．
22．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA＝BC，∠A＝∠C，
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BEA＝∠BFC＝90°，
在△ABE与△CBF中
，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF．
23．解：（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，AB∥CD．
在△ABF和△CBF中，
，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠BAF＝∠BCF，
∵AB∥CD，
∴∠BAP＝∠AED．
∴∠AED＝∠BCF；
（2）过点A作AG⊥BC，垂足为G，
∴∠AGB＝90°．
∴∠ABC＝60°，
∴∠BAG＝30°．
∵AB＝2，
∴BG＝1．
∵在Rt△ABG中，AG2+BG2＝AB2．
∴．
∴．
24．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，
∴∠1＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当∠ABE＝12°时，四边形BFDE是菱形，理由如下：
∵△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，AE＝CF，
∴BF＝DE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵∠1＝32°，∠ADB＝22°，
∴∠ABD＝∠1﹣∠ADB＝10°，
∵∠ABE＝12°，
∴∠DBE＝∠ABD+∠ABE＝22°，
∴∠DBE＝∠ADB＝22°，
∴BE＝DE，
∴平行四边形BFDE是菱形，
故答案为：12．
25．证明：（1）PQ为线段AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，AD＝CD，
∵CF∥AB
∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，
在△AED与△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（ASA）；
（2）∵△AED≌△CFD，
∴AE＝CF，
∵EF为线段AC的垂直平分线，
∴EC＝EA，FC＝FA，
∴EC＝EA＝FC＝FA，
∴四边形AECF为菱形．
26．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CF，
∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴CF＝AD＝2；
（2）∠F＝30°时，平行四边形ABCD是菱形．
证明：∵∠BAF＝90°，∠F＝30°，
∴AB＝BF，
∵点E是 ABCD的边CD的中点，
∴AD＝BC＝CF，
∵BF＝BC+CF＝2AD，
∴AD＝BF，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
27．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠OBE＝∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AD∥EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AE＝DF，
由（1）得：四边形DEBF是菱形，
∴DE＝DF＝BE，
∴AD＝DE，
∵AD＝AE，
∴AD＝AE＝DE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠AED＝60°，
∵DE＝BE，
∴∠EDB＝∠EBD＝∠AED＝30°，
同理：∠FDB＝∠FBD＝30°，
即图2中四个度数为30°的角为∠EDB、∠EBD、∠FDB、∠FBD．
28．证明：∵点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，
∴GF是△ADC的中位线，GE是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，
∴GF∥AD，GF＝AD，GE＝BC，EH∥AD，EH＝AD，
∴GF∥EH，GF＝EH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
又∵AD＝BC，
∴GE＝EH，
∴四边形EGFH是菱形．
29．证明：
（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，且BC＝CD，
∴∠BAC＝∠ACD，且∠BAC＝∠CDF，
∴∠ACD＝∠CDF，
∴CM＝DM，
∵ME⊥CD，
∴CE＝DE，
∴BC＝CD＝2CE；
（2）如图，分别延长AB，DF交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠G＝∠CDF＝∠BAC，
∴MG＝MA，
在△CDF和△BGF中
∴△CDF≌△BGF（AAS），
∴GF＝DF，
在△CEM和△CFM中
∴△CEM≌△CFM（SAS），
∴ME＝MF，
∴AM＝GM＝GF+MF＝DF+ME．
寒假预习同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．菱形ABCD的周长是8cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线BD的长是（ ）
A．cm B．2cm C．1cm D．2cm
2．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H．则DH＝（ ）
A．6 B． C． D．5
3．如图，已知菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，且AC+BD＝16，则该菱形的面积等于（ ）
A．6 B．8 C．14 D．28
4．平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．∠ABD＝∠CBD C．AB＝BC D．AC＝BD
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．BA⊥BD C．AB＝CD D．AD＝BC
6．下列选项中能使 ABCD成为菱形的是（ ）
A．AB＝CD B．AB＝BC C．∠BAD＝90° D．AC＝BD
7．如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；
③AD＝4AG；④4FH＝BD；其中正确结论的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
8．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①OG＝AB；②S△ACD＝6S△BOF；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④S四边形ODGF＞S△ABF．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
9．如图，锐角∠BOC＝α，∠AOC是它的邻补角，AD∥OC，OD平分∠AOC，P为射线OC上一点（不含端点O），连接PD，作∠DPE＝α，PE交直线AB于点E．甲、乙、丙、丁四位同学都对这个问题进行了研究，并得出自己的结论．
甲：若点E与点O重合，四边形PEAD是菱形；
乙：若α＝60°，一定PD＝PE；
丙：若α≠60°，一定PD≠PE；
丁：若α＝80°，可能PD＝PE．
下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙、丙正确，丁不正确
B．甲、乙、丁正确，丙不正确
C．甲、乙正确，丙、丁不正确
D．甲、乙、丁不正确，丙正确
10．如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHLK的各个内角相等，记四边形HCH′L、四边形EKE′A、△BGF的周长分别为C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，则AB的长是（ ）
A．9.5 B．10 C．10.5 D．11
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．如图，在菱形ABCD外侧作等边△CBE，连接DE、AE．若∠ABC＝100°，则∠DEA的大小为 ．
12．如图，已知点A的坐标是，2），点B的坐标是（﹣1，，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则点D的坐标是 ．
13．在菱形ABCD中，AD＝10，AC＝12，则菱形ABCD的面积是 ．
14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，下列条件①AC⊥BD；②OA＝OC；③AC平分∠BCD；④∠ABC＝∠ADC，能判定四边形ABCD是菱形的有 ．（填写序号）
15．如图，在 ABCD中，点E，F分别是AB，CD边上的点，且∠ADE＝∠CBF，连接BD，EF．补充一个条件，可使四边形EBFD是菱形，这个条件是 ．
16．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD，且AC平分BD，若添加一个条件 ，则四边形ABCD为菱形．
17．如图所示，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向△ABC外构造等边△ACD和等边△ABE，F为AB的中点，连接CF，DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．有下列五个结论：①AC⊥DF；②DA+DF＝BE；③四边形ADCF是菱形；④S四边形BCDE＝6S△ACD；⑤四边形BCDF是平行四边形．其中正确的结论是
18．把2张大小形状完全相同的平行四边形纸片（如图1）按两种不同的方式（如图2、图3）不重叠地放在平行四边形ABCD内，未被覆盖的部分用阴影表示，若AD﹣AB＝1，则图3中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差值是 ．
19．如图，点E，F分别是矩形ABCD的边CD，AB的中点，两条平行线AK，CL分别经过菱形EGFH的顶点H，G和边FG，EH的中点M，N，已知菱形EGFH的面积为S，则图中阴影部分的面积和为 .（用含S的代数式表示）
20．在平面直角坐标系xOy中，A（6，8），点C在x轴上，在平面直角坐标系内存在点D，使A、O、C、D为顶点的四边形是菱形，则D点的坐标为 ．
三．解答题（共9小题，满分60分）
21．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AB和BC上的点，且BE＝BF．求证：∠DEF＝∠DFE．
22．如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F．求证AE＝CF．
23．如图，在菱形ABCD中，点E在边CD上，AE与BD相交于点F，连接CF．
（1）求证：∠AED＝∠BCF；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝2，求菱形ABCD的面积．
24．如图，四边形ABCD是平行四边形，延长DA，BC，使得AE＝CF，连接BE，DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接BD，若∠1＝32°，∠ADB＝22°，请直接写出当∠ABE＝ °时，四边形BFDE是菱形．
25．如图，在△ABC中，PQ是CA的垂直平分线，CF∥AB交PQ于点F，连接AF．
（1）求证：△AED≌△CFD；
（2）求证：四边形AECF是菱形．
26．如图，点E是 ABCD的边CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）若AD的长为2，求CF的长；
（2）若∠BAF＝90°，则当∠F＝ 时，平行四边形ABCD是菱形．
27．已知：在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点O作EF⊥BD，分别交AB，DC于点E，F，连接BF，DE．
（1）如图1，求证：四边形DEBF是菱形；
（2）如图2，AD∥EF，且AD＝AE，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中四个度数为30°的角．
28．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点．
求证：四边形EGFH是菱形．
29．如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠BAC＝∠CDF．
（1）求证：BC＝2CE；
（2）求证：AM＝DF+ME．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：∵菱形ABCD的周长为8cm，
∴AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2cm，
∴OA＝1（cm），
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝＝＝（cm），
∴BD＝2OB＝2（cm），
故选：B．
2．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB＝＝5，
则AD＝5，
∵S菱形ABCD＝ AC BD，
S菱形ABCD＝DH AB，
∴DH 5＝×6×8，
∴DH＝．
故选：B．
3．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，
∵菱形ABCD的周长为24，
∴AD＝AB＝6，
∵AC+BD＝16，
∴AO+BO＝8，
∴AO2+BO2+2AO BO＝64，
∵AO2+BO2＝AB2，
∴AO BO＝14，
∴菱形的面积＝4×三角形AOD的面积＝4××14＝28，
故选：D．
4．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
又∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：D．
5．解：能判定四边形ABCD是菱形的是AC⊥BD，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故选：A．
6．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴ ABCD为菱形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°，
∴ ABCD为矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴ ABCD为矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
7．解：∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°，AE＝AC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠EAF＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，
∵F为AB的中点，
∴AB＝2AF，
∴BC＝AF，
在△ABC和△EFA中，
，
∴△ABC≌△EFA（SAS），
∴FE＝AB，∠AEF＝∠BAC＝30°，
∴∠AHE＝180°﹣∠EAC﹣∠AEF＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴EF⊥AC，故①正确，
∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴FH∥BC，
∵F是AB的中点，
∴FH是△ABC的中位线，
∴FH＝BC，
∵BC＝AB，AB＝BD，
∴BD＝4FH，故④正确；
∵AD＝BD，BF＝AF，
∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，
∵∠FAE＝90°，
∴∠DFB＝∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF＝30°，
∴∠BDF＝∠FEA，
在△DBF和△EFA中，
，
∴△DBF≌△EFA（AAS），
∴AE＝DF，
∵FE＝AB＝AD，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∵AB＞AC，
∴AD＞AE，
∴四边形ADFE不是菱形，故②错误；
∵AG＝AF，
∴AG＝AB，
∵AD＝AB，
则AD＝4AG，故③正确，
故选：C．
8．解：①∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB∥CD，AB＝CD，BO＝OD，
∴∠ABG＝∠GED，∠BAG＝∠GDE，
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴BG＝GE，
∴OG＝AB，∴①正确；
②由①知△ABG≌△DEG，
∴AG＝GD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AO⊥BO，
∵∠BAD＝60°，
∴AB＝BD＝AD，BG⊥AD，
∴∠FBO＝30°，∠ABO＝60°，∠BAO＝30°，
∴，
∵S△ACD＝S△ABC＝2S△ABO，
∴，∴②正确
③由①知△ABG≌△DEG，
∴AB＝DE，
∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
由②知：AB＝BD，
∴四边形ABDE是菱形，∴③正确．
④∵BO＝DO，AG＝DG，
∴，OG∥AB，
∴S△AFG＝2S△OFG，
∵S△AOG＝S△AFG+S△OFG，
∴，S△DOG：S△DBA＝1：4，S△FOG：S△FAB＝1：4，
∴，
∵AG＝GD，
∴S△AOG＝S△GOD，
∴S四边形，
∴S四边形ODGF＝S△FAB，∴④不正确．
综上所述①②③正确．
故选：B．
9．解法一：如图1，点E与点O重合.
∵AD∥OC，
∴∠A＝∠BOC＝α，
∵∠DPE＝α，
∴∠DPE＝∠A，即∠DPO＝∠A，
∵∠AOD＝∠POD，OD＝OD，
∴△ADO≌△PDO，
∴PO＝AO，PD＝AD，
∵∠ADO＝∠POD，∠AOD＝∠POD，
∴∠ADO＝∠AOD，
∴AO＝AD，
∴PO＝AO＝AD＝PD，
∴四边形POAD是菱形，即四边形PEAD是菱形，
解法二：可以证明，AO＝AD，四边形PEAD是平行四边形，可得菱形．
故甲正确；
当α＝60°时，则∠AOD＝∠DOP＝∠POB＝60°．
如图2，点E在线段AO上，连接DE交OD于点F．
∵∠AOB＝∠DPE＝60°，∠OFE＝∠PFD，
∵∠OFP＝∠EFD，
∴△OFP∽△EFD，
∴∠PED＝∠POD＝60°，
∴∠PDE＝60°＝∠PED，
∴PD＝PE；
如图3，点E在线段AO的延长线上，延长DO、PE交于点F，连接DE．
∵∠FOE＝∠DPE＝60°，∠EFO＝∠DFP（公共角），
∵∠OFP＝∠EFD（公共角），
∴△OFP∽△EFD，
∴∠POF＝∠DEF＝120°，
∴∠PED＝60°，
∵∠DPE＝60°，
∴∠PDE＝60°＝∠PED，
∴PD＝PE．
故乙正确；
由甲的结论可知，当点E与点O重合时，四边形PEAD是菱形，
此时PD＝PE，这与α是否等于60°无关，
故丙错误；
由甲的结论可知，当点E与点O重合时，PD＝PE，这与锐角α的大小无关，
如图4，即使α＝80°，也可能存在PD＝PE的情况．
故丁正确．
故选：B．
10．解：∵六边形EFGHLK的各个内角相等，
∴该六边形的每个内角为120°，每个外角都是60°，
∴△BFG，△AEK，△CHL都是等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，BF＝FG，AE＝AK，CL＝HL，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，即BF+FE+AE＝AK+KL+CL，
又∵BF＝FG＝KL，
∴EF＝CL＝6＝CH，
由轴对称可得，四边形HCH′L、四边形EKE′A都是菱形，
∵C1＝2C2，
∴AE＝CH＝3，
又∵2C2＝4C3，
∴C3＝C2＝×12＝6，
∴BF＝×6＝2，
∴AB＝BF+EF+AE＝2+6+3＝11，
故选：D．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD，AB∥CD，
∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝80°，
∵△CBE是等边三角形，
∴BC＝BE＝CE，∠CBE＝∠BCE＝∠BEC＝60°，
∴AB＝BE，CD＝CE，∠DCE＝140°，∠ABE＝160°，
∴∠CED＝∠CDE＝（180°﹣∠DCE）＝20°，∠BAE＝∠BEA＝（180°﹣160°）＝10°，
∴∠DEA＝∠BEC﹣∠DEC﹣∠BEA＝30°，
故答案为：30°．
12．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴OB＝OD，
又∵点O为坐标原点，
∴点B和点D关于原点对称，
∵点B的坐标为（﹣1，﹣），
∴D点坐标为（1，），
故答案为：（1，）．
13．解：如图，连接AC，BD交于点O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝6，
∴∠AOD＝90°，
∴OD＝＝8，
∴BD＝2OD＝16，
∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝×12×16＝96，
故答案为96．
14．解：①∵AB＝AD，AC⊥BD，
∴OB＝OD，
∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
又∵∠AOD＝∠COB，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故①能判定四边形ABCD是菱形；
②∵AB＝AD，AC⊥BD，
∴OB＝OD，
∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故②能判定四边形ABCD是菱形；
③∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵AC平分∠BCD，
∴∠DCA＝∠BCA，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝CD，
∴AB＝AD＝CD，不能判定四边形ABCD是菱形；
④∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故④能判定四边形ABCD是菱形；
故答案为：①②④．
15．解：添加BD⊥EF，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，∠A＝∠C，AB∥CD，AB＝CD，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，
即BE＝DF，
又∵BE∥DF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BD⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形．
故答案为：BD⊥EF．
16．解：添加一个条件OA＝OC，则四边形ABCD为菱形，理由如下：
∵AC平分BD，OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：OA＝OC（答案不唯一）．
17．解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，AC＝AB，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴CD∥AB，
∵F为AB的中点，
∴BF＝AF＝AB，
∴BF∥CD，CD＝BF＝AF，
∴四边形BCDF为平行四边形，故⑤正确；四边形ADCF是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，AF＝BF，
∴CF＝AF＝AB，
∴四边形ADCF是菱形，故③正确；
∵四边形BCDF为平行四边形，
∴DF∥BC，
又∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥DF，故①正确；
∵DA＝CA，DF＝BC，AB＝BE，BC+AC＞AB，
∴DA+DF＞BE，故②错误；
设AC＝x，则AB＝2x，
∴S△ACD＝x2，S△ACB＝x2，S△ABE＝x2，
∴＝＝，故④错误；
故答案为：①③⑤．
18．解：设图1平行四边形的长边为y，短边为x，AD＝m，AB＝n，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝n，AD＝BC＝m，
∵AD﹣AB＝1，
∴m﹣n＝1，
∴图2中阴影部分的周长＝2y+2（n﹣x）+2x+2（n﹣y）
＝2y+2n﹣2x+2x+2n﹣2y
＝4n，
图3中阴影部分的周长＝2（n﹣x）+2y+2x+2（m﹣y）
＝2n﹣2x+2y+2x+2m﹣2y
＝2m+2n，
∴图3中阴影部分的周长﹣图2中阴影部分的周长＝2m+2n﹣4n＝2（m﹣n）＝2×1＝2，
故答案为：2．
19．解：如图，连接EF、GH交于点O，设EF交NG于点R，交AK于点T，连接AG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠D＝90°，
∵E、F分别是CD、AB的中点，
∴DE＝CD，AF＝AB，
∴DE＝AF，
∵DE∥AF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∵∠D＝90°，
∴四边形ADEF是矩形，
∴EF∥AD，EF＝AD，∠AFE＝90°，
∵四边形EGFH是菱形，
∴GH⊥EF，OG＝OH＝GH，
∴∠EOG＝90°，
∴∠EOG＝∠AFE，
∴GH∥AF，
∴∠GHM＝∠FAM，
∵点M是FG的中点，
∴GM＝FM，
在△HGM和△AFM中，
，
∴△HGM≌△AFM（AAS），
∴GH＝AF，
∴GH＝AB，
∵OG＝AF，OE＝OF，OG∥AF，
∴点G是矩形ADEF的中心，即A、G、E三点在同一条直线上，
∴AG＝EG，
∵EF∥AD，
∴∠LAG＝∠REG，
在△AGL和△EGR中，
，
∴△AGL≌△EGR（ASA），
∴AL＝ER，
∵AK∥CL，AL∥CK，
∴四边形ALCK是平行四边形，
同理，四边形ALRT是平行四边形，
∴AL＝RT＝CK，
∴ER＝RT，
同理可得，RT＝FT，
∴ER＝RT＝FT＝EF＝AD，
∵菱形EGFH的面积为S，
∴EF GH＝2S，
∴AD AB＝4S，
∵AL＝AD，
∴S ALCK＝AL AB＝AD AB＝S，
∵S GMHN＝S，
∴S阴影＝S ALCK﹣S GMHN＝S﹣S＝S；
故答案为：S．
20．解：根据题意画图如下：
∵A（6，8），
∴OA＝＝10，
当四边形AODC是菱形时，D（6，﹣8）；
当四边形AOC′D′是菱形时，D′（16，8）；
当四边形AOC″D″是菱形时，D″（﹣4，8），
综上所述，满足条件的点D的坐标为：（6，﹣8）、（16，8）、（﹣4，8）．
故答案为：（6，﹣8）、（16，8）、（﹣4，8）．
三．解答题（共9小题，满分60分）
21．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C，AB＝CB，AD＝DC，
∵BE＝BF，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE．
22．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA＝BC，∠A＝∠C，
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BEA＝∠BFC＝90°，
在△ABE与△CBF中
，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF．
23．解：（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，AB∥CD．
在△ABF和△CBF中，
，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠BAF＝∠BCF，
∵AB∥CD，
∴∠BAP＝∠AED．
∴∠AED＝∠BCF；
（2）过点A作AG⊥BC，垂足为G，
∴∠AGB＝90°．
∴∠ABC＝60°，
∴∠BAG＝30°．
∵AB＝2，
∴BG＝1．
∵在Rt△ABG中，AG2+BG2＝AB2．
∴．
∴．
24．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，
∴∠1＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当∠ABE＝12°时，四边形BFDE是菱形，理由如下：
∵△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，AE＝CF，
∴BF＝DE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵∠1＝32°，∠ADB＝22°，
∴∠ABD＝∠1﹣∠ADB＝10°，
∵∠ABE＝12°，
∴∠DBE＝∠ABD+∠ABE＝22°，
∴∠DBE＝∠ADB＝22°，
∴BE＝DE，
∴平行四边形BFDE是菱形，
故答案为：12．
25．证明：（1）PQ为线段AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，AD＝CD，
∵CF∥AB
∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，
在△AED与△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（ASA）；
（2）∵△AED≌△CFD，
∴AE＝CF，
∵EF为线段AC的垂直平分线，
∴EC＝EA，FC＝FA，
∴EC＝EA＝FC＝FA，
∴四边形AECF为菱形．
26．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CF，
∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴CF＝AD＝2；
（2）∠F＝30°时，平行四边形ABCD是菱形．
证明：∵∠BAF＝90°，∠F＝30°，
∴AB＝BF，
∵点E是 ABCD的边CD的中点，
∴AD＝BC＝CF，
∵BF＝BC+CF＝2AD，
∴AD＝BF，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
27．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠OBE＝∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AD∥EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AE＝DF，
由（1）得：四边形DEBF是菱形，
∴DE＝DF＝BE，
∴AD＝DE，
∵AD＝AE，
∴AD＝AE＝DE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠AED＝60°，
∵DE＝BE，
∴∠EDB＝∠EBD＝∠AED＝30°，
同理：∠FDB＝∠FBD＝30°，
即图2中四个度数为30°的角为∠EDB、∠EBD、∠FDB、∠FBD．
28．证明：∵点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，
∴GF是△ADC的中位线，GE是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，
∴GF∥AD，GF＝AD，GE＝BC，EH∥AD，EH＝AD，
∴GF∥EH，GF＝EH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
又∵AD＝BC，
∴GE＝EH，
∴四边形EGFH是菱形．
29．证明：
（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，且BC＝CD，
∴∠BAC＝∠ACD，且∠BAC＝∠CDF，
∴∠ACD＝∠CDF，
∴CM＝DM，
∵ME⊥CD，
∴CE＝DE，
∴BC＝CD＝2CE；
（2）如图，分别延长AB，DF交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠G＝∠CDF＝∠BAC，
∴MG＝MA，
在△CDF和△BGF中
∴△CDF≌△BGF（AAS），
∴GF＝DF，
在△CEM和△CFM中
∴△CEM≌△CFM（SAS），
∴ME＝MF，
∴AM＝GM＝GF+MF＝DF+ME．