2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-2矩形的判定与性质》寒假预习同步达标测评 （word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-2矩形的判定与性质》寒假预习同步达标测评 （word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 204.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-21 08:32:05 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-2矩形的判定与性质》
寒假预习同步达标测评（附答案）
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4
2．已知下列命题中：（1）矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；（2）两条对角线相等的四边形是矩形；（3）有两个角相等的平行四边形是矩形；（4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图，在任意四边形ABCD中，AC，BD是对角线，E、F、G、H分别是线段BD、BC、AC、AD上的点，对于四边形EFGH的形状，某班的学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ）
A．当E，F，G，H是各条线段的中点时，四边形EFGH为平行四边形
B．当E，F，G，H是各条线段的中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C．当E，F，G，H是各条线段的中点，且AB＝CD时，四边形EFGH为菱形
D．当E，F，G，H不是各条线段的中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
4．如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，G为MN的中点，GH⊥MN交CD于点H，且DM＝a，GH＝b，则CN的值为（用含a、b的代数式表示）（ ）
A．2a+b B．a+2b C．a+b D．2a+2b
5．下列四个命题中，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．两组对边分别相等的四边形是矩形 D．四个角都相等的四边形是矩形
6．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，若∠ABC＝90°，则四边形ABCD为（ ）
A．菱形 B．矩形 C．菱形或矩形 D．无法判断
7．如图，点A、B在直线l1上，点C、D在直线l2上，l1∥l2，CA⊥l1，BD⊥l2，AC＝3cm，则BD等于（ ）cm．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，四边形ABCD是矩形，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD＝4，AE＝10，则AB的长为（ ）
A．4.2 B．4.5 C．5.2 D．5.5
9．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ABO＝60°，若矩形的对角线长为6．则线段AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．2 D．3
10．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，P是CD边上一点，M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，以下四种情况，哪一种四边形PMEN不可能为矩形（ ）
A．AD＝3 B．AD＝4 C．AD＝5 D．AD＝6
12．如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（ ）
A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5
二．填空题（共6小题，满分24分）
13．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连接DE，则DE的最小值为 ．
15．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且EC平分∠BED，若AB＝1，BC＝，则∠ECD＝ °．
16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AE平分∠BAD交于点E，且BO＝BE，则∠CAE＝ ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为 ．
18．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝10，BD＝24，则OE的长为 ．
三．解答题（共6小题，满分60分）
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
21．已知，矩形ABCD中，延长BC至E，使BE＝BD，F为DE的中点，连接AF、CF．
（1）若AB＝3，AD＝4，求CF的长；
（2）求证：∠ADB＝2∠DAF．
22．将图1中的矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图2中的△A′BC′，除△ADC与△C′BA′全等外，你还可以指出哪几对全等的三角形（不能添加辅助线和字母）请选择其中一对加以证明．
23．已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．
24．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，
∴DF∥BC，
∴∠C＝90°，
∴四边形BCDE是矩形．
∵∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，
∴AB＝4，
∴AC＝＝2．
∴BE＝CD＝．
∴四边形BCDE的面积为：2×＝2．
故选：A．
2．解：已知如图：
（1）矩形是轴对称图形，对边中点连线所在的直线是它的对称轴，并且有两条，故该选项正确；
（2）只有两条对角线相等的平行四边形是矩形；故该选项错误；
（3）所有的平行四边形对角都相等，但不一定是矩形，故该选项错误；
（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加对角线相等则为矩形，故该选项正确；
所以其中正确的有（1）和（4）．
故选：C．
3．解：∵E，F，G，H是BD，BC，AC，AD的中点，
∴EF＝CD，FG＝AB，GH＝CD，HE＝AB，
∴EF＝GH，FG＝HE，
∴四边形EFGH为平行四边形，故A正确；
∵AB＝CD，
∴EF＝FG＝GH＝HE，
∴四边形EFGH是菱形，故C正确；
当AC⊥BD时，∠BOC＝90°，
∵∠BOC＞∠EHG，
∴四边形EHGF不可能是矩形，故B错误；
当E，F，G，H是相应线段的三等分点时，四边形EFGH是平行四边形，
∵E，F，G，H是相应线段的三等分点，
∴EH＝FG，
∵EH∥AB，FG∥AB，
∴EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，故D正确；
故选：B．
4．
解：连接DG并延长交CN于Q，
∵DM⊥AN，GH⊥AN，CN⊥AN，
∴DM∥GH∥CN，
∵G为MN的中点，
∴DG＝GQ，DH＝HC，
∴GH＝CQ，
∵DM∥CN，
∴DM＝NQ＝a，
∴CQ＝CN﹣a，
∴b＝（CN﹣a），
∴CN＝2b+a，
故选：B．
5．解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故原命题错误，不符合题意；
D、四个角都相等的四边形是矩形，正确，符合题意，
故选：D．
6．解：∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故选：B．
7．解：如图，CA⊥l1，BD⊥l2，
∴AC∥BD．
又∵l1∥l2，
∴四边形ABDC是矩形．
∴BD＝AC．
又∵AC＝3cm，
∴BD＝3cm．故选：C．
8．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠1＝∠E．
又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠E．
∴BE＝BD．
∵AE＝10，
∴BD＝BE＝10﹣AB．
在直角△ABD中，AD＝4，BD＝10﹣AB，则由勾股定理知：AB＝＝．
∴AB＝4.2．
故选：A．
9．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO，AC＝BD＝6，
∴AO＝OB＝3，
∵∠ABO＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝3＝OA，
∴AD＝＝＝3，
故选：A．
10．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝4，
故选：A．
11．解：方法1：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD＝10，∠C＝∠D＝90°，
∵M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，
∴ME、NE是△ABP的中位线，
∴ME∥BP，NE∥AP，
∴四边形PMEN是平行四边形，
当∠APB＝90°时，四边形PMEN是矩形，
设DP＝x，CP＝10﹣x，
由勾股定理得：AP2＝AD2+x2，BP2＝BC2+（10﹣x）2，AP2+BP2＝AB2，
∴AD2+x2+AD2+（10﹣x）2＝102，
AD2+x2﹣10x＝0，
①当AD＝3时，x2﹣10x+9＝0，
x＝1或x＝9，符合题意；
②当AD＝4时，x2﹣10x+16＝0，
x＝2或x＝8，符合题意；
③当AD＝5时，x2﹣10x+25＝0，
x＝5，符合题意；
④当AD＝6时，x2﹣10x+36＝0，无解；
故选：D．
方法2：
连接MN，PE，如图所示：
由方法1得：四边形PMEN是平行四边形，
∵M、N分别是PA、PB的中点，
∴MN是△PAB的中位线，
∴MN＝AB＝5，
若四边形PMEN是矩形，则PE＝MN＝5，
而当AD＝6时，PE不可能等于5，
∴当AD＝6时，四边形PMEN不可能为矩形，
故选：D．
12．解：连接BP，如图所示：
∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，
∴四边形BMPN是矩形，AC＝＝＝10，
∴BP＝MN，BP与MN互相平分，
∵点O是MN的中点，
∴BO＝MN，
当BP⊥AC时，BP最小＝＝＝4.8，
∴MN＝4.8，
∴BO＝MN＝2.4，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分）
13．解：如图，连接AP，
∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴∠EAF＝90°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，
∴EF，AP的交点就是M点．
∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．
∵AP BC＝AB AC，
∴AP BC＝AB AC，
∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴5AP＝3×4，
∴AP＝，
∴AM＝；故答案为：．
14．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
连接CP，
∵PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，
∴四边形DPEC是矩形，
∴DE＝CP，
当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，
∴DE＝CP＝＝4.8，
故答案为：4.8．
15．解：过点C作CM⊥BE交BE于M，如图，
∵EC平分∠BED，
∴∠CEM＝∠CED，
在△EMC和△EDC中
，
∴△EMC≌△EDC（AAS），
∴∠DCE＝∠MCE，MC＝DC＝1，
在Rt△BMC中，BM＝＝1＝MC，
∴△BMC为等腰直角三角形，
∴∠MCB＝45°，
∴∠MCD＝45°
∴∠ECD＝∠MCE＝22.5°．
故答案为：22.5．
16．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∠BAD＝90°，
∴OA＝OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∵BO＝BE，
∴AB＝BO＝OA，
∴△BAO是等边三角形，
∴∠OAB＝60°，
∴∠CAE＝∠OAB﹣∠BAE＝15°，故答案为：15°．
17．解：连接AD、EF，
∵∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，
∴BC＝＝15，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA＝∠DFA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DEAF是矩形，
∴EF＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝＝＝，
∴EF的最小值为，
∵点G为四边形DEAF对角线交点，
∴GF＝EF＝；
故答案为：．
18．解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD＝BD＝12，
∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝13，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝13，
故答案为：13．
三．解答题（共6小题，满分60分）
19．解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，
∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，
由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝16﹣t，得t＝8，
故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；
（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，
∴四边形AQCP为平行四边形，
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形
即＝16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，
故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；
（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，
则周长为4×10cm＝40cm；
面积为10cm×8cm＝80cm2．
20．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AE＝AD＝5；
由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5，
∵AE＝5，EF＝4，
∴AF＝＝3，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．
21．解：（1）∵因为四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝4，CD＝AB＝3，
在RT△ABD中，，
∴BE＝BD＝5CE＝BE﹣BC＝1，
∴，
∵F是DE的中点，
∴；
（2）连接BF．
∵BE＝BD，EF＝DF，
∴∠DBF＝∠EBF，
又∵CF＝DE＝DF，
∴∠DCF＝∠FDC，
∠ADC+∠CDF＝∠BCD+∠DCF，
即∠ADF＝BCF，
在△ADF和△BCF中，
，
∴△ADF≌△BCF（SAS），
∴∠DAF＝∠FBC＝∠DBE，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBE，
∴∠ADB＝2∠DAF．
22．解：有两对全等三角形，分别为：△AA′E≌△C′CF，△A′DF≌△CBE．
解法一：
求证：△AA′E≌△C′CF．
证明：由平移的性质可知：
∵AA′＝CC′，
又∵∠A＝∠C′，
∠AA′E＝∠C′CF＝90°，
∴△AA′E≌△C′CF．
解法二：
求证：△A′DF≌△CBE．
证明：由平移的性质可知：A′E∥CF，A′F∥CE，
∴四边形A′ECF是平行四边形．
∴A′F＝CE，A′E＝CF．
∵A′B＝CD∴DF＝BE，
又∵∠B＝∠D＝90°，
∴△A′DF≌△CBE．
23．证明：
（1）∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，
∴∠BCE＝∠DCE，∠DCF＝∠GCF，
∵EF∥BC，
∴∠BCE＝∠FEC，∠EFC＝∠GCF，
∴∠DCE＝∠FEC，∠EFC＝∠DCF，
∴OE＝OC，OF＝OC，
∴OE＝OF；
（2）∵点O为CD的中点，
∴OD＝OC，
又OE＝OF，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，
∴∠DCE＝∠BCD，∠DCF＝∠DCG
∴∠DCE+∠DCF＝（∠BCD+∠DCG）＝90°，
即∠ECF＝90°，
∴四边形DECF是矩形．
24．：（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，
∵CE＝8，CF＝6，
∴EF＝＝10，
∴OC＝EF＝5；
（3）答：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
寒假预习同步达标测评（附答案）
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4
2．已知下列命题中：（1）矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；（2）两条对角线相等的四边形是矩形；（3）有两个角相等的平行四边形是矩形；（4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图，在任意四边形ABCD中，AC，BD是对角线，E、F、G、H分别是线段BD、BC、AC、AD上的点，对于四边形EFGH的形状，某班的学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ）
A．当E，F，G，H是各条线段的中点时，四边形EFGH为平行四边形
B．当E，F，G，H是各条线段的中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C．当E，F，G，H是各条线段的中点，且AB＝CD时，四边形EFGH为菱形
D．当E，F，G，H不是各条线段的中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
4．如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，G为MN的中点，GH⊥MN交CD于点H，且DM＝a，GH＝b，则CN的值为（用含a、b的代数式表示）（ ）
A．2a+b B．a+2b C．a+b D．2a+2b
5．下列四个命题中，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．两组对边分别相等的四边形是矩形 D．四个角都相等的四边形是矩形
6．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，若∠ABC＝90°，则四边形ABCD为（ ）
A．菱形 B．矩形 C．菱形或矩形 D．无法判断
7．如图，点A、B在直线l1上，点C、D在直线l2上，l1∥l2，CA⊥l1，BD⊥l2，AC＝3cm，则BD等于（ ）cm．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，四边形ABCD是矩形，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD＝4，AE＝10，则AB的长为（ ）
A．4.2 B．4.5 C．5.2 D．5.5
9．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ABO＝60°，若矩形的对角线长为6．则线段AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．2 D．3
10．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，P是CD边上一点，M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，以下四种情况，哪一种四边形PMEN不可能为矩形（ ）
A．AD＝3 B．AD＝4 C．AD＝5 D．AD＝6
12．如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（ ）
A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5
二．填空题（共6小题，满分24分）
13．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连接DE，则DE的最小值为 ．
15．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且EC平分∠BED，若AB＝1，BC＝，则∠ECD＝ °．
16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AE平分∠BAD交于点E，且BO＝BE，则∠CAE＝ ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为 ．
18．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝10，BD＝24，则OE的长为 ．
三．解答题（共6小题，满分60分）
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
21．已知，矩形ABCD中，延长BC至E，使BE＝BD，F为DE的中点，连接AF、CF．
（1）若AB＝3，AD＝4，求CF的长；
（2）求证：∠ADB＝2∠DAF．
22．将图1中的矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图2中的△A′BC′，除△ADC与△C′BA′全等外，你还可以指出哪几对全等的三角形（不能添加辅助线和字母）请选择其中一对加以证明．
23．已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．
24．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，
∴DF∥BC，
∴∠C＝90°，
∴四边形BCDE是矩形．
∵∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，
∴AB＝4，
∴AC＝＝2．
∴BE＝CD＝．
∴四边形BCDE的面积为：2×＝2．
故选：A．
2．解：已知如图：
（1）矩形是轴对称图形，对边中点连线所在的直线是它的对称轴，并且有两条，故该选项正确；
（2）只有两条对角线相等的平行四边形是矩形；故该选项错误；
（3）所有的平行四边形对角都相等，但不一定是矩形，故该选项错误；
（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加对角线相等则为矩形，故该选项正确；
所以其中正确的有（1）和（4）．
故选：C．
3．解：∵E，F，G，H是BD，BC，AC，AD的中点，
∴EF＝CD，FG＝AB，GH＝CD，HE＝AB，
∴EF＝GH，FG＝HE，
∴四边形EFGH为平行四边形，故A正确；
∵AB＝CD，
∴EF＝FG＝GH＝HE，
∴四边形EFGH是菱形，故C正确；
当AC⊥BD时，∠BOC＝90°，
∵∠BOC＞∠EHG，
∴四边形EHGF不可能是矩形，故B错误；
当E，F，G，H是相应线段的三等分点时，四边形EFGH是平行四边形，
∵E，F，G，H是相应线段的三等分点，
∴EH＝FG，
∵EH∥AB，FG∥AB，
∴EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，故D正确；
故选：B．
4．
解：连接DG并延长交CN于Q，
∵DM⊥AN，GH⊥AN，CN⊥AN，
∴DM∥GH∥CN，
∵G为MN的中点，
∴DG＝GQ，DH＝HC，
∴GH＝CQ，
∵DM∥CN，
∴DM＝NQ＝a，
∴CQ＝CN﹣a，
∴b＝（CN﹣a），
∴CN＝2b+a，
故选：B．
5．解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故原命题错误，不符合题意；
D、四个角都相等的四边形是矩形，正确，符合题意，
故选：D．
6．解：∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故选：B．
7．解：如图，CA⊥l1，BD⊥l2，
∴AC∥BD．
又∵l1∥l2，
∴四边形ABDC是矩形．
∴BD＝AC．
又∵AC＝3cm，
∴BD＝3cm．故选：C．
8．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠1＝∠E．
又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠E．
∴BE＝BD．
∵AE＝10，
∴BD＝BE＝10﹣AB．
在直角△ABD中，AD＝4，BD＝10﹣AB，则由勾股定理知：AB＝＝．
∴AB＝4.2．
故选：A．
9．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO，AC＝BD＝6，
∴AO＝OB＝3，
∵∠ABO＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝3＝OA，
∴AD＝＝＝3，
故选：A．
10．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝4，
故选：A．
11．解：方法1：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD＝10，∠C＝∠D＝90°，
∵M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，
∴ME、NE是△ABP的中位线，
∴ME∥BP，NE∥AP，
∴四边形PMEN是平行四边形，
当∠APB＝90°时，四边形PMEN是矩形，
设DP＝x，CP＝10﹣x，
由勾股定理得：AP2＝AD2+x2，BP2＝BC2+（10﹣x）2，AP2+BP2＝AB2，
∴AD2+x2+AD2+（10﹣x）2＝102，
AD2+x2﹣10x＝0，
①当AD＝3时，x2﹣10x+9＝0，
x＝1或x＝9，符合题意；
②当AD＝4时，x2﹣10x+16＝0，
x＝2或x＝8，符合题意；
③当AD＝5时，x2﹣10x+25＝0，
x＝5，符合题意；
④当AD＝6时，x2﹣10x+36＝0，无解；
故选：D．
方法2：
连接MN，PE，如图所示：
由方法1得：四边形PMEN是平行四边形，
∵M、N分别是PA、PB的中点，
∴MN是△PAB的中位线，
∴MN＝AB＝5，
若四边形PMEN是矩形，则PE＝MN＝5，
而当AD＝6时，PE不可能等于5，
∴当AD＝6时，四边形PMEN不可能为矩形，
故选：D．
12．解：连接BP，如图所示：
∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，
∴四边形BMPN是矩形，AC＝＝＝10，
∴BP＝MN，BP与MN互相平分，
∵点O是MN的中点，
∴BO＝MN，
当BP⊥AC时，BP最小＝＝＝4.8，
∴MN＝4.8，
∴BO＝MN＝2.4，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分）
13．解：如图，连接AP，
∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴∠EAF＝90°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，
∴EF，AP的交点就是M点．
∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．
∵AP BC＝AB AC，
∴AP BC＝AB AC，
∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴5AP＝3×4，
∴AP＝，
∴AM＝；故答案为：．
14．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
连接CP，
∵PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，
∴四边形DPEC是矩形，
∴DE＝CP，
当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，
∴DE＝CP＝＝4.8，
故答案为：4.8．
15．解：过点C作CM⊥BE交BE于M，如图，
∵EC平分∠BED，
∴∠CEM＝∠CED，
在△EMC和△EDC中
，
∴△EMC≌△EDC（AAS），
∴∠DCE＝∠MCE，MC＝DC＝1，
在Rt△BMC中，BM＝＝1＝MC，
∴△BMC为等腰直角三角形，
∴∠MCB＝45°，
∴∠MCD＝45°
∴∠ECD＝∠MCE＝22.5°．
故答案为：22.5．
16．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∠BAD＝90°，
∴OA＝OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∵BO＝BE，
∴AB＝BO＝OA，
∴△BAO是等边三角形，
∴∠OAB＝60°，
∴∠CAE＝∠OAB﹣∠BAE＝15°，故答案为：15°．
17．解：连接AD、EF，
∵∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，
∴BC＝＝15，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA＝∠DFA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DEAF是矩形，
∴EF＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝＝＝，
∴EF的最小值为，
∵点G为四边形DEAF对角线交点，
∴GF＝EF＝；
故答案为：．
18．解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD＝BD＝12，
∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝13，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝13，
故答案为：13．
三．解答题（共6小题，满分60分）
19．解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，
∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，
由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝16﹣t，得t＝8，
故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；
（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，
∴四边形AQCP为平行四边形，
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形
即＝16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，
故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；
（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，
则周长为4×10cm＝40cm；
面积为10cm×8cm＝80cm2．
20．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AE＝AD＝5；
由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5，
∵AE＝5，EF＝4，
∴AF＝＝3，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．
21．解：（1）∵因为四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝4，CD＝AB＝3，
在RT△ABD中，，
∴BE＝BD＝5CE＝BE﹣BC＝1，
∴，
∵F是DE的中点，
∴；
（2）连接BF．
∵BE＝BD，EF＝DF，
∴∠DBF＝∠EBF，
又∵CF＝DE＝DF，
∴∠DCF＝∠FDC，
∠ADC+∠CDF＝∠BCD+∠DCF，
即∠ADF＝BCF，
在△ADF和△BCF中，
，
∴△ADF≌△BCF（SAS），
∴∠DAF＝∠FBC＝∠DBE，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBE，
∴∠ADB＝2∠DAF．
22．解：有两对全等三角形，分别为：△AA′E≌△C′CF，△A′DF≌△CBE．
解法一：
求证：△AA′E≌△C′CF．
证明：由平移的性质可知：
∵AA′＝CC′，
又∵∠A＝∠C′，
∠AA′E＝∠C′CF＝90°，
∴△AA′E≌△C′CF．
解法二：
求证：△A′DF≌△CBE．
证明：由平移的性质可知：A′E∥CF，A′F∥CE，
∴四边形A′ECF是平行四边形．
∴A′F＝CE，A′E＝CF．
∵A′B＝CD∴DF＝BE，
又∵∠B＝∠D＝90°，
∴△A′DF≌△CBE．
23．证明：
（1）∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，
∴∠BCE＝∠DCE，∠DCF＝∠GCF，
∵EF∥BC，
∴∠BCE＝∠FEC，∠EFC＝∠GCF，
∴∠DCE＝∠FEC，∠EFC＝∠DCF，
∴OE＝OC，OF＝OC，
∴OE＝OF；
（2）∵点O为CD的中点，
∴OD＝OC，
又OE＝OF，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，
∴∠DCE＝∠BCD，∠DCF＝∠DCG
∴∠DCE+∠DCF＝（∠BCD+∠DCG）＝90°，
即∠ECF＝90°，
∴四边形DECF是矩形．
24．：（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，
∵CE＝8，CF＝6，
∴EF＝＝10，
∴OC＝EF＝5；
（3）答：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．