2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-3正方形的判定与性质》寒假预习同步达标测评 （word版含解析））
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-3正方形的判定与性质》寒假预习同步达标测评 （word版含解析）） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 261.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-21 08:34:37 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-3正方形的判定与性质》
寒假预习同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．下列说法中正确的是（ ）
A．矩形的对角线平分每组对角 B．菱形的对角线相等且互相垂直
C．有一组邻边相等的矩形是正方形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当 ABCD是矩形时，∠ABC＝90° B．当 ABCD是菱形时，AC⊥BD
C．当 ABCD是正方形时，AC＝BD D．当 ABCD是菱形时，AB＝AC
3．如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，过点A作FA＝AE交CB的延长线于点F，若AB＝4，则四边形AFCE的面积是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．无法计算
4．如图，四边形ABCD、CEFG均为正方形，其中正方形ABCD面积为8cm2，图中阴影部分面积为5cm2，正方形CEFG面积为（ ）
A．14cm2 B．16cm2 C．18cm2 D．20cm2
5．如图，O是正方形ABCD内一点，四边形OHBE与OGDF也都是正方形，图中阴影部分的面积是10，则EG长为（ ）
A． B． C．10 D．20
6．下列条件中，能判定四边形是正方形的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形 B．对角线互相垂直的矩形
C．对角线相等的平行四边形 D．对角线互相平分且垂直的四边形
7．菱形，矩形，正方形都具有的性质是（ ）
A．四条边相等，四个角相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（ ）
A．S＝6 B．S＝8
C．S＝10 D．S与BE长度有关
9．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在BC和CD上，分别连接AE、AF、EF，若∠EAF＝45°，EC＝3，则CF的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：
①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF；⑤∠BAE＝∠AFB
其中，正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．如图，正方形ABCD的边长为，E在正方形外，DE＝DC，过D作DH⊥AE于H，直线DH，EC交于点M，直线CE交直线AD于点P，则下列结论正确的是
①∠DAE＝∠DEA；②∠DMC＝45°；③；④若MH＝2，则S△CMD＝
12．如图，以Rt△DEC的斜边向外作正方形ABCD，已知DE＝12，DC＝13，则BE＝ ．
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA＝4，OB＝3，点C，D在第一象限．则O、D两点的距离＝ ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），以AB为边作正方形ABCD，连接OD，DB．则△DOB的面积是 ．
15．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为8，则正方形ABCD的面积为 ．
16．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝3，OC＝6，则另一直角边BC的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．如图，点M，N分别是正方形ABCD的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM与BN交于点P，试探索AM与BN的关系．
（1）数量关系 ，并证明；
（2）位置关系 ，并证明．
18．如图，四边形ACDE、BAFG是以△ABC的边AC、AB为边向△ABC外所作的正方形．
求证：（1）EB＝FC．
（2）EB⊥FC．
19．探究：
（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ；
（2）如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明．
20．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝MF
（2）若AE＝2，求FC的长．
21．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DA，AB上，且BE⊥CF于点G．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）若四边形AECF的面积为12，求BC的长．
22．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF，BE与AF相交于点O，P是BF的中点，连接OP．
（1）试判断AF与BE的关系，并证明你的结论；
（2）若AB＝5，AE＝2，求OP的长．
23．如图，正方形ABCD的边长为1，E为对角线BD上一点，且BE＝BC，点P为线段CE上一动点，且PM⊥BE于点M，PN⊥BC于点N，求PM+PN的值．
24．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，点F在边BC的延长线上，且∠EDF＝90°．求证：DE＝DF．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：A、矩形的对角线平分每组对角，说法错误，故本选项不符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，故本选项不符合题意；
C、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故本选项符合题意；
D、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．解：因为矩形的四个角是直角，
故A正确，
因为菱形的对角线互相垂直，
故B正确，
因为正方形的对角线相等，
故C正确，
菱形的对角线和边长不一定相等，
例如：∠ABC＝80°，因为AB＝BC，所以∠BAC＝∠ACB＝50°，此时AC＞AB，
故选：D．
3．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD，
即∠ABF＝∠D＝90°，
在Rt△ABF和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），
∴SRt△ABF＝SRt△ADE，
∴SRt△ABF+S四边形ABCE＝SRt△ADE+S四边形ABCE，
∴S四边形AFCE＝S正方形ABCD＝16．
故选：C．
4．解：∵阴影部分面积＝DE×（BC+CG），
∴阴影部分面积＝×（CE﹣DC）（BC+CG）＝（CE2﹣BC2），
∵正方形ABCD面积为8cm2，图中阴影部分面积为5cm2，
∴5＝（S正方形CEFG﹣8），
∴S正方形CEFG＝18，
故选：C．
5．解：如图，连接AO，
∵四边形OHBE，四边形OGDF都是正方形，
∴FO＝OG，HO＝OE，
∵阴影部分的面积是10，
∴×OG×OF+×OE×OH＝10，
∴OG2+OE2＝20，
∴EG2＝20，
∴EG＝2，
故选：B．
6．解：A、对角线互相垂直且相等的四边形不一定的正方形，不符合题意；
B、对角线互相垂直的矩形是正方形，符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意；
D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不符合题意；
故选：B．
7．解：菱形，矩形，正方形都具有的性质为对角线互相平分．
故选：D．
8．解：设正方形EFGB的边长为a，
根据题意得：S＝a2+16+a（4﹣a）﹣a（a+4）﹣×4×4＝8．
故选：B．
9．解：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，
由旋转的性质得，HD＝BE，AH＝AE，∠DAH＝∠BAE，
所以，∠FAH＝∠DAH+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣∠EAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠FAH＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAH＝∠EAF，
在△AEF和△AHF中，
，
∴△AEF≌△AHF（SAS），
∴EF＝FH，
∵EC＝3，
∴BE＝3，
∴HF＝3+DF＝EF，
∵EF2＝FC2+EC2，
∴（3+DF）2＝（6﹣DF）2+9，
∴DF＝2，
∴FC＝CD﹣DF＝4，
故选：B．
10．解：在正方形ABCD中，∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，
∵CE＝DF，
∴AD﹣DF＝CD﹣CE，即AF＝DE，
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴AE＝BF，故①正确；∠ABF＝∠DAE，
∵∠DAE+∠BAO＝90°，
∴∠ABF+∠BAO＝90°，
在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠ABF+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
假设AO＝OE，
∵AE⊥BF（已证），
∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，
所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF＝S△DAE，
∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，
即S△AOB＝S四边形DEOF，故④正确；
∵AE⊥BF，
∴∠AOB＝90°．
∴∠OAB+∠ABO＝90°．
又∵∠AFB+∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠AFO，故⑤正确．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠ADC＝90°，
∵DC＝DE，
∴DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，故①正确，
∵DA＝DC＝DE，
∴∠AEC＝∠ADC＝45°
∵DM⊥AE，
∴∠EHM＝90°，
∴∠DMC＝45°，故②正确，
如图，作DF⊥DM交PM于F，
∵∠ADC＝∠MDF＝90°，
∴∠ADM＝∠CDF，
∵∠DMF＝45°，
∴∠DMF＝∠DFM＝45°，
∴DM＝DF，∵DA＝DC，
∴△ADM≌△CDF（SAS），
∴AM＝CF，
∴AM+CM＝CF+CM＝MF＝DM，
∴＝，故③正确，
若MH＝2，则易知AH＝MH＝HE＝2，AM＝EM＝2，
在Rt△ADH中，DH＝＝＝1，
∴DM＝3，AM+CM＝3，
∴CM＝CE＝，
∴S△DCM＝S△DCE，故④错误．
故选：①②③正确．
12．解：如图，过点B作BH⊥EC，交EC的延长线于H，
∴∠H＝∠DEC＝90°，
∵DE＝12，DC＝13，
∴EC＝＝＝5，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝BC，∠DCB＝90°，
∴∠DCE+∠BCH＝90°＝∠DCE+∠CDE，
∴∠BCH＝∠CDE，
在△DCE和△CBH中，
，
∴△DCE≌△CBH（AAS），
∴DE＝12＝CH，EC＝BH＝5，
∴EH＝17，
∴BE＝＝＝，
故答案为：．
13．解：如图，过点D作DF⊥OA于点F，
∵四边形ABCD是正方形
∴AD＝AB，∠DAB＝90°
∴∠DAF+∠BAO＝90°，且∠BAO+∠ABO＝90°
∴∠DAF＝∠ABO，且AD＝AB，∠DFA＝∠AOB＝90°
∴△DFA≌△AOB（AAS）
∴DF＝AO＝4，OB＝AF＝3
∴OF＝OA+AF＝7
∴OD＝＝
故答案为：
14．解：过点D作DE⊥y轴，垂足为E．
∵A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），
∴OA＝3，OB＝4．
∵ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝90°．
∴∠DAE+∠BAO＝∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠DAE＝∠ABO．
在△ABO和△DAE中，
，
∴△ABO≌△DAE．
∴AE＝OB＝4．
∴OE＝AE+AO＝4+3＝7．
∴△OBD的面积＝OB OE＝×4×7＝14．
故答案为：14．
15．解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，
由题意可得出：△DAF≌△BAF′，
∴DF＝BF′，∠DAF＝∠BAF′，
∴∠EAF′＝45°，
在△FAE和△EAF′中，
，
∴△FAE≌△EAF′（SAS），
∴EF＝EF′，
∵△ECF的周长＝DF+EB+CF+CE＝CD+CB＝8，
∴AD＝4，
∴正方形ABCD的面积为16．
故答案为：16．
16．解：过O作OF⊥BC于F，过A作AM⊥OF于M，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AMO＝∠OFB＝90°，∠ACB＝∠CFM＝∠AMF＝90°，
∴四边形ACFM是矩形，
∴AM＝CF，AC＝MF＝3，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠AOM+∠BOF＝90°，
又∵∠AMO＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠BOF＝∠OAM，
在△AOM和△OBF中，
∴△AOM≌△OBF（AAS），
∴AM＝OF，OM＝FB，
∴OF＝CF，
∵∠CFO＝90°，
∴△CFO是等腰直角三角形，
∵OC＝6，由勾股定理得：CF＝OF＝6，
∴BF＝OM＝OF﹣FM＝6﹣3＝3，
∴BC＝6+3＝9．
故答案为：9．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（1）解：AM＝BN；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC，
在△ABM和△BCN中，，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴AM＝BN；故答案为：
（2）解：AM⊥BN；理由如下：
由（1）得：△ABM≌△BCN，
∴∠BAM＝∠NBC，
∵∠NBC+∠ABN＝∠ABC＝90°，
∴∠BAM+∠ABN＝90°，
在△ABP中，∠APB＝180°﹣（∠BAM+∠ABN）＝90°，
∴AM⊥BN；
故答案为：AM⊥BN．
18．证明：（1）∵四边形ACDE、BAFG都是正方形，
∴AB＝AF，AC＝AE，∠BAF＝∠CAE＝90°，
∴∠BAF+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
即∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△AFC中，，
∴△ABE≌△AFC（SAS），
∴EB＝FC；
（2）∵△ABE≌△AFC，
∴∠AEB＝∠ACF，
连接CE，设EB、CF相交于O，
则∠OEC+∠OCE＝∠OEC+∠ACE+∠BEA＝∠ACE+∠AEC＝90°，
在△OCE中，∠COE＝180°﹣（∠OEC+∠OCE）＝180°﹣90°＝90°，
∴EB⊥FC．
19．解：（1）如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF′＝∠EAF＝45°，
在△AEF和△AEF′中，
，
∴△AEF≌△AEF′（SAS），
∴EF＝EF′，
又EF′＝BE+BF′＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
（2）结论EF＝BE+DF仍然成立．
理由如下：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，
则△ADF≌△ABF′，
∴∠BAF′＝∠DAF，AF′＝AF，BF′＝DF，∠ABF′＝∠D，
又∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠EAF＝∠DAF+∠BAE＝∠BAE+∠BAF′，
∴∠EAF＝∠EAF′，
又∵∠ABC+∠D＝180°，
∴∠ABF′+∠ABE＝180°，
∴F′、B、E三点共线，
在△AEF与△AEF′中，
，
∴△AEF≌△AEF′（SAS），
∴EF＝EF′，
又∵EF′＝BE+BF′，
∴EF＝BE+DF；
（3）发生变化．EF、BE、DF之间的关系是EF＝BE﹣DF．
理由如下：如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，点F落在BC上点F′处，得到△ABF′，
∴△ADF≌△ABF′，
∴∠BAF′＝∠DAF，AF′＝AF，BF′＝DF，
又∵∠EAF＝∠BAD，且∠BAF′＝∠DAF，
∴∠F′AE＝∠BAD﹣（∠BAF′+∠EAD）＝∠BAD﹣（∠DAF+∠EAD）＝∠BAD﹣∠FAE＝∠FAE，
即∠F′AE＝∠FAE，
在△F′AE与△FAE中，，
∴△F′AE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EF′，
又∵BE＝BF′+EF′，
∴EF′＝BE﹣BF′，
即EF＝BE﹣DF．
20．解：（1）∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°．
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF．
（2）设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，且BC＝6，∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4．
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2．
即42+（8﹣x）2＝x2，
∴解得：x＝5，即FM＝5．
∴FC＝FM﹣CM＝5﹣2＝3．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠CBF＝90°，
∵BE⊥CF，
∴∠ABE+∠AEB＝∠ABE+∠BFC＝90°，
∴∠BFC＝∠AEB．
在△ABE和△BCF中，
．
∴△ABE≌△BCF（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△BCF，
∴S△ABE＝S△BCF，
∴S△ABE﹣S△BFG＝S△BCF﹣S△BFG，
∴S四边形AEGF＝S△BGC，
∵四边形AECF的面积为12，
∴S△BCE＝12．
∴正方形ABCD的面积是24．
∴BC＝＝2．
22．解：（1）AF＝BE，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
在△BAE和△ADF中，
，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴AF＝BE；
（2）由（1）知∴△BAE≌△ADF，
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF＝90°，
∵点P为BF的中点，
∴OP＝BF，
∵BC＝AB＝CD＝5，AE＝DF＝2，
∴CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，
∴BF＝＝＝，
∴OP＝．
23．解：连接BP，作EF⊥BC于点F，则∠EFB＝90°，
∵正方形的性质可知∠EBF＝45°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∵正方形的边长为1，
∴BE＝BC＝1，
在直角三角形BEF中，sin∠EBF＝，
∴BF＝EF＝BEsin45°＝1×＝，
∵PM⊥BD，PN⊥BC，
∴S△BPE+S△BPC＝S△BEC，
∴BE×PM+BC×PN＝BC×EF，
∵BE＝BC，
∴PM+PN＝EF＝．
24．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠DCF＝∠ADC＝90°，
又∵∠EDF＝90°，
∴∠ADC﹣∠EDC＝∠EDF﹣∠EDC，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE与△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE＝DF．
寒假预习同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．下列说法中正确的是（ ）
A．矩形的对角线平分每组对角 B．菱形的对角线相等且互相垂直
C．有一组邻边相等的矩形是正方形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当 ABCD是矩形时，∠ABC＝90° B．当 ABCD是菱形时，AC⊥BD
C．当 ABCD是正方形时，AC＝BD D．当 ABCD是菱形时，AB＝AC
3．如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，过点A作FA＝AE交CB的延长线于点F，若AB＝4，则四边形AFCE的面积是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．无法计算
4．如图，四边形ABCD、CEFG均为正方形，其中正方形ABCD面积为8cm2，图中阴影部分面积为5cm2，正方形CEFG面积为（ ）
A．14cm2 B．16cm2 C．18cm2 D．20cm2
5．如图，O是正方形ABCD内一点，四边形OHBE与OGDF也都是正方形，图中阴影部分的面积是10，则EG长为（ ）
A． B． C．10 D．20
6．下列条件中，能判定四边形是正方形的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形 B．对角线互相垂直的矩形
C．对角线相等的平行四边形 D．对角线互相平分且垂直的四边形
7．菱形，矩形，正方形都具有的性质是（ ）
A．四条边相等，四个角相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（ ）
A．S＝6 B．S＝8
C．S＝10 D．S与BE长度有关
9．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在BC和CD上，分别连接AE、AF、EF，若∠EAF＝45°，EC＝3，则CF的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：
①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF；⑤∠BAE＝∠AFB
其中，正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．如图，正方形ABCD的边长为，E在正方形外，DE＝DC，过D作DH⊥AE于H，直线DH，EC交于点M，直线CE交直线AD于点P，则下列结论正确的是
①∠DAE＝∠DEA；②∠DMC＝45°；③；④若MH＝2，则S△CMD＝
12．如图，以Rt△DEC的斜边向外作正方形ABCD，已知DE＝12，DC＝13，则BE＝ ．
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA＝4，OB＝3，点C，D在第一象限．则O、D两点的距离＝ ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），以AB为边作正方形ABCD，连接OD，DB．则△DOB的面积是 ．
15．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为8，则正方形ABCD的面积为 ．
16．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝3，OC＝6，则另一直角边BC的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．如图，点M，N分别是正方形ABCD的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM与BN交于点P，试探索AM与BN的关系．
（1）数量关系 ，并证明；
（2）位置关系 ，并证明．
18．如图，四边形ACDE、BAFG是以△ABC的边AC、AB为边向△ABC外所作的正方形．
求证：（1）EB＝FC．
（2）EB⊥FC．
19．探究：
（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ；
（2）如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明．
20．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝MF
（2）若AE＝2，求FC的长．
21．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DA，AB上，且BE⊥CF于点G．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）若四边形AECF的面积为12，求BC的长．
22．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF，BE与AF相交于点O，P是BF的中点，连接OP．
（1）试判断AF与BE的关系，并证明你的结论；
（2）若AB＝5，AE＝2，求OP的长．
23．如图，正方形ABCD的边长为1，E为对角线BD上一点，且BE＝BC，点P为线段CE上一动点，且PM⊥BE于点M，PN⊥BC于点N，求PM+PN的值．
24．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，点F在边BC的延长线上，且∠EDF＝90°．求证：DE＝DF．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：A、矩形的对角线平分每组对角，说法错误，故本选项不符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，故本选项不符合题意；
C、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故本选项符合题意；
D、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．解：因为矩形的四个角是直角，
故A正确，
因为菱形的对角线互相垂直，
故B正确，
因为正方形的对角线相等，
故C正确，
菱形的对角线和边长不一定相等，
例如：∠ABC＝80°，因为AB＝BC，所以∠BAC＝∠ACB＝50°，此时AC＞AB，
故选：D．
3．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD，
即∠ABF＝∠D＝90°，
在Rt△ABF和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），
∴SRt△ABF＝SRt△ADE，
∴SRt△ABF+S四边形ABCE＝SRt△ADE+S四边形ABCE，
∴S四边形AFCE＝S正方形ABCD＝16．
故选：C．
4．解：∵阴影部分面积＝DE×（BC+CG），
∴阴影部分面积＝×（CE﹣DC）（BC+CG）＝（CE2﹣BC2），
∵正方形ABCD面积为8cm2，图中阴影部分面积为5cm2，
∴5＝（S正方形CEFG﹣8），
∴S正方形CEFG＝18，
故选：C．
5．解：如图，连接AO，
∵四边形OHBE，四边形OGDF都是正方形，
∴FO＝OG，HO＝OE，
∵阴影部分的面积是10，
∴×OG×OF+×OE×OH＝10，
∴OG2+OE2＝20，
∴EG2＝20，
∴EG＝2，
故选：B．
6．解：A、对角线互相垂直且相等的四边形不一定的正方形，不符合题意；
B、对角线互相垂直的矩形是正方形，符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意；
D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不符合题意；
故选：B．
7．解：菱形，矩形，正方形都具有的性质为对角线互相平分．
故选：D．
8．解：设正方形EFGB的边长为a，
根据题意得：S＝a2+16+a（4﹣a）﹣a（a+4）﹣×4×4＝8．
故选：B．
9．解：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，
由旋转的性质得，HD＝BE，AH＝AE，∠DAH＝∠BAE，
所以，∠FAH＝∠DAH+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣∠EAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠FAH＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAH＝∠EAF，
在△AEF和△AHF中，
，
∴△AEF≌△AHF（SAS），
∴EF＝FH，
∵EC＝3，
∴BE＝3，
∴HF＝3+DF＝EF，
∵EF2＝FC2+EC2，
∴（3+DF）2＝（6﹣DF）2+9，
∴DF＝2，
∴FC＝CD﹣DF＝4，
故选：B．
10．解：在正方形ABCD中，∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，
∵CE＝DF，
∴AD﹣DF＝CD﹣CE，即AF＝DE，
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴AE＝BF，故①正确；∠ABF＝∠DAE，
∵∠DAE+∠BAO＝90°，
∴∠ABF+∠BAO＝90°，
在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠ABF+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
假设AO＝OE，
∵AE⊥BF（已证），
∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，
所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF＝S△DAE，
∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，
即S△AOB＝S四边形DEOF，故④正确；
∵AE⊥BF，
∴∠AOB＝90°．
∴∠OAB+∠ABO＝90°．
又∵∠AFB+∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠AFO，故⑤正确．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠ADC＝90°，
∵DC＝DE，
∴DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，故①正确，
∵DA＝DC＝DE，
∴∠AEC＝∠ADC＝45°
∵DM⊥AE，
∴∠EHM＝90°，
∴∠DMC＝45°，故②正确，
如图，作DF⊥DM交PM于F，
∵∠ADC＝∠MDF＝90°，
∴∠ADM＝∠CDF，
∵∠DMF＝45°，
∴∠DMF＝∠DFM＝45°，
∴DM＝DF，∵DA＝DC，
∴△ADM≌△CDF（SAS），
∴AM＝CF，
∴AM+CM＝CF+CM＝MF＝DM，
∴＝，故③正确，
若MH＝2，则易知AH＝MH＝HE＝2，AM＝EM＝2，
在Rt△ADH中，DH＝＝＝1，
∴DM＝3，AM+CM＝3，
∴CM＝CE＝，
∴S△DCM＝S△DCE，故④错误．
故选：①②③正确．
12．解：如图，过点B作BH⊥EC，交EC的延长线于H，
∴∠H＝∠DEC＝90°，
∵DE＝12，DC＝13，
∴EC＝＝＝5，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝BC，∠DCB＝90°，
∴∠DCE+∠BCH＝90°＝∠DCE+∠CDE，
∴∠BCH＝∠CDE，
在△DCE和△CBH中，
，
∴△DCE≌△CBH（AAS），
∴DE＝12＝CH，EC＝BH＝5，
∴EH＝17，
∴BE＝＝＝，
故答案为：．
13．解：如图，过点D作DF⊥OA于点F，
∵四边形ABCD是正方形
∴AD＝AB，∠DAB＝90°
∴∠DAF+∠BAO＝90°，且∠BAO+∠ABO＝90°
∴∠DAF＝∠ABO，且AD＝AB，∠DFA＝∠AOB＝90°
∴△DFA≌△AOB（AAS）
∴DF＝AO＝4，OB＝AF＝3
∴OF＝OA+AF＝7
∴OD＝＝
故答案为：
14．解：过点D作DE⊥y轴，垂足为E．
∵A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），
∴OA＝3，OB＝4．
∵ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝90°．
∴∠DAE+∠BAO＝∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠DAE＝∠ABO．
在△ABO和△DAE中，
，
∴△ABO≌△DAE．
∴AE＝OB＝4．
∴OE＝AE+AO＝4+3＝7．
∴△OBD的面积＝OB OE＝×4×7＝14．
故答案为：14．
15．解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，
由题意可得出：△DAF≌△BAF′，
∴DF＝BF′，∠DAF＝∠BAF′，
∴∠EAF′＝45°，
在△FAE和△EAF′中，
，
∴△FAE≌△EAF′（SAS），
∴EF＝EF′，
∵△ECF的周长＝DF+EB+CF+CE＝CD+CB＝8，
∴AD＝4，
∴正方形ABCD的面积为16．
故答案为：16．
16．解：过O作OF⊥BC于F，过A作AM⊥OF于M，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AMO＝∠OFB＝90°，∠ACB＝∠CFM＝∠AMF＝90°，
∴四边形ACFM是矩形，
∴AM＝CF，AC＝MF＝3，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠AOM+∠BOF＝90°，
又∵∠AMO＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠BOF＝∠OAM，
在△AOM和△OBF中，
∴△AOM≌△OBF（AAS），
∴AM＝OF，OM＝FB，
∴OF＝CF，
∵∠CFO＝90°，
∴△CFO是等腰直角三角形，
∵OC＝6，由勾股定理得：CF＝OF＝6，
∴BF＝OM＝OF﹣FM＝6﹣3＝3，
∴BC＝6+3＝9．
故答案为：9．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（1）解：AM＝BN；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC，
在△ABM和△BCN中，，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴AM＝BN；故答案为：
（2）解：AM⊥BN；理由如下：
由（1）得：△ABM≌△BCN，
∴∠BAM＝∠NBC，
∵∠NBC+∠ABN＝∠ABC＝90°，
∴∠BAM+∠ABN＝90°，
在△ABP中，∠APB＝180°﹣（∠BAM+∠ABN）＝90°，
∴AM⊥BN；
故答案为：AM⊥BN．
18．证明：（1）∵四边形ACDE、BAFG都是正方形，
∴AB＝AF，AC＝AE，∠BAF＝∠CAE＝90°，
∴∠BAF+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
即∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△AFC中，，
∴△ABE≌△AFC（SAS），
∴EB＝FC；
（2）∵△ABE≌△AFC，
∴∠AEB＝∠ACF，
连接CE，设EB、CF相交于O，
则∠OEC+∠OCE＝∠OEC+∠ACE+∠BEA＝∠ACE+∠AEC＝90°，
在△OCE中，∠COE＝180°﹣（∠OEC+∠OCE）＝180°﹣90°＝90°，
∴EB⊥FC．
19．解：（1）如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF′＝∠EAF＝45°，
在△AEF和△AEF′中，
，
∴△AEF≌△AEF′（SAS），
∴EF＝EF′，
又EF′＝BE+BF′＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
（2）结论EF＝BE+DF仍然成立．
理由如下：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，
则△ADF≌△ABF′，
∴∠BAF′＝∠DAF，AF′＝AF，BF′＝DF，∠ABF′＝∠D，
又∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠EAF＝∠DAF+∠BAE＝∠BAE+∠BAF′，
∴∠EAF＝∠EAF′，
又∵∠ABC+∠D＝180°，
∴∠ABF′+∠ABE＝180°，
∴F′、B、E三点共线，
在△AEF与△AEF′中，
，
∴△AEF≌△AEF′（SAS），
∴EF＝EF′，
又∵EF′＝BE+BF′，
∴EF＝BE+DF；
（3）发生变化．EF、BE、DF之间的关系是EF＝BE﹣DF．
理由如下：如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，点F落在BC上点F′处，得到△ABF′，
∴△ADF≌△ABF′，
∴∠BAF′＝∠DAF，AF′＝AF，BF′＝DF，
又∵∠EAF＝∠BAD，且∠BAF′＝∠DAF，
∴∠F′AE＝∠BAD﹣（∠BAF′+∠EAD）＝∠BAD﹣（∠DAF+∠EAD）＝∠BAD﹣∠FAE＝∠FAE，
即∠F′AE＝∠FAE，
在△F′AE与△FAE中，，
∴△F′AE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EF′，
又∵BE＝BF′+EF′，
∴EF′＝BE﹣BF′，
即EF＝BE﹣DF．
20．解：（1）∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°．
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF．
（2）设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，且BC＝6，∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4．
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2．
即42+（8﹣x）2＝x2，
∴解得：x＝5，即FM＝5．
∴FC＝FM﹣CM＝5﹣2＝3．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠CBF＝90°，
∵BE⊥CF，
∴∠ABE+∠AEB＝∠ABE+∠BFC＝90°，
∴∠BFC＝∠AEB．
在△ABE和△BCF中，
．
∴△ABE≌△BCF（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△BCF，
∴S△ABE＝S△BCF，
∴S△ABE﹣S△BFG＝S△BCF﹣S△BFG，
∴S四边形AEGF＝S△BGC，
∵四边形AECF的面积为12，
∴S△BCE＝12．
∴正方形ABCD的面积是24．
∴BC＝＝2．
22．解：（1）AF＝BE，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
在△BAE和△ADF中，
，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴AF＝BE；
（2）由（1）知∴△BAE≌△ADF，
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF＝90°，
∵点P为BF的中点，
∴OP＝BF，
∵BC＝AB＝CD＝5，AE＝DF＝2，
∴CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，
∴BF＝＝＝，
∴OP＝．
23．解：连接BP，作EF⊥BC于点F，则∠EFB＝90°，
∵正方形的性质可知∠EBF＝45°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∵正方形的边长为1，
∴BE＝BC＝1，
在直角三角形BEF中，sin∠EBF＝，
∴BF＝EF＝BEsin45°＝1×＝，
∵PM⊥BD，PN⊥BC，
∴S△BPE+S△BPC＝S△BEC，
∴BE×PM+BC×PN＝BC×EF，
∵BE＝BC，
∴PM+PN＝EF＝．
24．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠DCF＝∠ADC＝90°，
又∵∠EDF＝90°，
∴∠ADC﹣∠EDC＝∠EDF﹣∠EDC，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE与△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE＝DF．