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北师版 八年级下
第四章 因式分解
1 因式分解
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1
2
3
4
C
5
积 (1)多项式 (2)整式的积
6
7
见习题
整式乘法
－4
C
1．把一个多项式化成几个整式的________的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式．
结构特征：(1)左边是一个__________；
(2)右边是几个____________的形式．
积
多项式
整式的积
2．【中考·常德】下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是( )
A．a(m＋n)＝am＋an
B．a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2
C．10x2－5x＝5x(2x－1)
D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
C
3．因式分解与__________是互逆的．
即：几个整式相乘 一个多项式．
整式乘法
4．【中考·桂林】若x2＋ax＋4＝(x－2)2，则a＝______.
－4
5．【2020·河北】对于①x－3xy＝x(1－3y)，②(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3，从左到右的变形，表述正确的是( )
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
C
6．【教材P94习题T4变式】如图，将两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形(它的直角边等于前两个直角三角形的斜边)拼接成一个梯形，请根据拼接前后图形面积的关系写出一个多项式的因式分解：______________________．
7．仔细阅读下面例题，并解答问题．
例题：已知二次三项式x2－4x＋m有一个因式是x＋3，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为x＋n，则x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，
∴x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n，
∴n＋3＝－4，m＝3n，
解得n＝－7，m＝－21，
∴另一个因式为x－7，m的值为－21.
依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2＋5x－k有一个因式是2x－3，求另一个因式以及k的值．
解：设另一个因式为x＋n，
则2x2＋5x－k＝(2x－3)(x＋n)．
∴2x2＋5x－k＝2x2＋(2n－3)x－3n.
∴2n－3＝5，－3n＝－k，
∴n＝4，k＝12.
∴另一个因式为x＋4，k的值为12.(共25张PPT)
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第四章 因式分解
2 提公因式法
第2课时 变形后用提公因式法
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1
2
3
4
①④⑤
5
偶数；奇数
6
7
8
9
B
C
10
C
B
A
(x－2)(x－1)
B
3(x－y)3－(x－y)2
11
12
见习题
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见习题
13
(1)A (2)A
14
见习题
15
A
16
17
见习题
3
18
见习题
1．形如(a－b)n或(b－a)n的式子，
当n为________时，(a－b)n＝(b－a)n；
当n为________时，(a－b)n＝－(b－a)n.
偶数
奇数
2．下列变形正确的是__________(填序号)．
①a－b＝－(b－a)；
②a＋b＝－(a＋b)；
③(b－a)2＝－(a－b)2；
④(a－b)2＝(b－a)2；
⑤(a－b)3＝－(b－a)3.
①④⑤
3．－m(m＋x)(x－n)与mn(m－x)(n－x)的公因式是( )
A．－m
B．m(n－x)
C．m(m－x)
D．(m＋x)(x－n)
B
4．(x＋y－z)(x－y＋z)与(y＋z－x)(z－x－y)的公因式是( )
A．x＋y－z
B．x－y＋z
C．y＋z－x
D．不存在
A
5．把多项式3(x－y)3－(y－x)2因式分解时，应先将多项式转化为________________，再用提公因式法分解因式．
3(x－y)3－(x－y)2
6．【2020·聊城】因式分解：x(x－2)－x＋2＝____________.
(x－2)(x－1)
7．将多项式x2y(a－b)－xy(b－a)＋y(a－b)提公因式后，另一个因式为( )
A．x2－x＋1 B．x2＋x＋1
C．x2－x－1 D．x2＋x－1
B
8．【教材P97例3变式】把多项式m2(a－2)＋m(2－a)因式分解，结果正确的是( )
A．(a－2)(m2－m)
B．m(a－2)(m＋1)
C．m(a－2)(m－1)
D．m(2－a)(m－1)
C
9．若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则M等于( )
A．y－x
B．x－y
C．3a(x－y)2
D．－3a(x－y)
C
10．△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【点拨】由a＋2ab＝c＋2bc得(a－c)＋2b(a－c)＝0，
∴(a－c)(1＋2b)＝0.
∵b为△ABC的一边长，
∴1＋2b≠0，
∴a－c＝0，即a＝c，
∴△ABC是等腰三角形．
【答案】B
11．【教材P98习题T1变式】分解因式：
(1)6xy－9x2y；
(2)(a－b)2－(b－a)；
(3)4xy(x＋y)2－6x2y(x＋y)．
解：原式＝3xy(2－3x)．
原式＝(a－b)2＋(a－b)＝(a－b)(a－b＋1)．
原式＝2xy(x＋y)·[2(x＋y)－3x]＝2xy(x＋y)(2y－x)．
12．【教材P97例3变式】把下列各式因式分解：
(1)2x(a－b)＋3y(b－a)；
解：原式＝2x(a－b)－3y(a－b)＝(a－b)(2x－3y)；
(2)－3a(1－x)－2b(x－1)＋c(x－1)；
原式＝(x－1)(3a－2b＋c)；
(3)a(a－2b)(2a－3b)－2b(2b－a)(3b－2a)；
(4)(m－n)4＋m(m－n)3－n(n－m)3.
解：原式＝(a－2b)2(2a－3b)；
原式＝2m(m－n)3.
13．(1)若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值是( )
A．3 B．2 C．1 D．－1
(2)已知(20x－33)(5x－6)－(14x－20)(5x－6)可以因式分解为(ax＋b)(6x＋c)，其中a，b，c均为整数，则a＋b－c的值为( )
A．12 B．14 C．－12 D．－14
A
A
14．已知a＋b＝－6，ab＝7，求a2b＋ab2－a－b的值．
解：a2b＋ab2－a－b＝ab(a＋b)－(a＋b)＝(a＋b)(ab－1)．
当a＋b＝－6，ab＝7时，原式＝(a＋b)·(ab－1)＝－6×(7－1)＝－36.
15．【2020·天水】观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2；…；已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，则用含S的式子表示这组数据的和是( )
A．2S2－S B．2S2＋S
C．2S2－2S D．2S2－2S－2
【点拨】∵2100＝S，
∴2100＋2101＋2102＋…＋2199＋2200
＝S＋2S＋22S＋…＋299S＋2100S
＝S(1＋2＋22＋…＋299＋2100)
＝S(1＋2100－2＋2100)
＝S(2S－1)
＝2S2－S.
【答案】A
16．【2021·苏州】若m＋2n＝1，则3m2＋6mn＋6n的值为________．
【点拨】∵m＋2n＝1，
∴3m2＋6mn＋6n＝3m(m＋2n)＋6n＝3m×1＋6n＝3m＋6n＝3(m＋2n)＝3×1＝3.
3
17．不解方程组 ，你能求代数式7y(x－3y)2＋2(x－3y)3的值吗？若能，请你求出它的值．
解：能．
原式＝(x－3y)2·(2x＋y)，
∴把x－3y＝1，2x＋y＝6代入得原式＝6.
18．阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：
1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2
＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]
＝(1＋x)2(1＋x)
＝(1＋x)3.
(1)上述分解因式的方法是____________；
提公因式法
(2)若分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2 022，则结果是___________；
(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n＝__________．(n为正整数)
(1＋x)2 023
(1＋x)n＋1(共27张PPT)
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第四章 因式分解
3 公式法
第2课时 完全平方公式
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1
2
3
4
D
5
平方和；积的2倍；a2＋2ab＋b2；a2－2ab＋b2 (1)三 (2)平方式；底数
6
7
8
9
C
D
10
C
A
D
A
(a＋b)2；(a－b)2；积的2倍；和(或差)
11
12
见习题
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36
13
见习题
14
(1)A (2)A
15
见习题
16
17
见习题
见习题
1．两个数的__________加上或减去这两个数的________，即把__________和__________这样的式子叫做完全平方式．其特征是：
(1)多项式是________项式；
(2)经升(降)幂排列，首尾两项是______且同号，中间项除符号外是首尾两项________的积的2倍．
平方和
积的2倍
a2＋2ab＋b2
a2－2ab＋b2
三
平方式
底数
2．多项式4x2＋1加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以从①－1；②4x；③－4x；④4x4中选取( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①②③④
D
3．下列各式：①x2－10x＋25；②4a2＋4a－1；③x2－2x－1；④－m2＋m－ ；⑤4x4－x2＋ .其中，是完全平方式的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
A
4．如果x2－(m＋1)x＋1是完全平方式，那么m的值为( )
A．－1 B．1
C．1或－1 D．1或－3
D
5．a2＋2ab＋b2＝________，a2－2ab＋b2＝________，即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的________，等于这两个数的________的平方．
(a＋b)2
(a－b)2
积的2倍
和(或差)
6．【2021·贺州】多项式2x3－4x2＋2x因式分解为( )
A．2x(x－1)2 B．2x(x＋1)2
C．x(2x－1)2 D．x(2x＋1)2
A
7．【2020·益阳】下列因式分解正确的是( )
A．a(a－b)－b(a－b)＝(a－b)(a＋b)
B．a2－9b2＝(a－3b)2
C．a2＋4ab＋4b2＝(a＋2b)2
D．a2－ab＋a＝a(a－b)
C
8．【教材P101例3变式】多项式(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2分解因式的结果为( )
A．(3a－b)2 B．(3b＋a)2
C．(3b－a)2 D．(3a＋b)2
C
9．【教材P101例4变式】a4b－6a3b＋9a2b分解因式的正确结果是( )
A．a2b(a2－6a＋9) B．a2b(a＋3)(a－3)
C．b(a2－3)2 D．a2b(a－3)2
D
10．(1)【2021·淄博】分解因式：3a2＋12a＋12＝________．
(2)【2021·包头】因式分解： ＋ax＋a＝________.
3(a＋2)2
11．【2021·十堰】已知xy＝2，x－3y＝3，则2x3y－12x2y2＋18xy3＝________.
【点拨】原式＝2xy(x2－6xy＋9y2)＝2xy(x－3y)2.
∵xy＝2，x－3y＝3，
∴原式＝2×2×32＝4×9＝36.
36
12．分解因式：
(1)16a2＋24a＋9；
解：原式＝(4a＋3)2.
(2)3x2－18x＋27；
(3)a3＋9ab2－6a2b;
原式＝3(x2－6x＋9)＝3(x－3)2.
原式＝a(a－3b)2.
(4)(x－y)2＋2(x－y)＋1；
(5)x4－8x2＋16.
解：原式＝(x－y＋1)2.
原式＝(x＋2)2(x－2)2.
13．把下列各式因式分解：
(1)(2a－b)2＋8ab；
解：原式＝4a2－4ab＋b2＋8ab＝4a2＋4ab＋b2＝(2a＋b)2；
(2)(x2＋16y2)2－64x2y2；
原式＝(x2＋16y2)2－(8xy)2＝(x2＋16y2＋8xy)(x2＋16y2－8xy)＝(x＋4y)2(x－4y)2；
(3)(m2－4m)2＋8(m2－4m)＋16；
(4)【中考·齐齐哈尔】a2＋1－2a＋4(a－1)．
解：原式＝(m2－4m＋4)2＝[(m－2)2]2＝(m－2)4；
解：原式＝(a－1)2＋4(a－1)＝(a－1)(a－1＋4)＝(a－1)(a＋3)．
14．(1)如果ax2＋24x＋b＝(mx－3)2，那么( )
A．a＝16，b＝9，m＝－4
B．a＝64，b＝9，m＝－8
C．a＝－16，b＝－9，m＝－8
D．a＝16，b＝9，m＝4
(2)【2020·眉山】已知a2＋ b2＝2a－b－2，则3a－ b的值为( )
A．4 B．2 C．－2 D．－4
A
A
15．【教材P105复习题T6变式】利用因式分解计算：
(1)已知a＋b＝ ，ab＝－2，求 a3b＋a2b2＋ ab3的值；
(2)已知x＋y＝3，x－y＝－2，求(x2＋y2)2－4x2y2的值．
解：(x2＋y2)2－4x2y2
＝(x2＋2xy＋y2)(x2－2xy＋y2)
＝(x＋y)2(x－y)2.
将x＋y＝3，x－y＝－2代入，得
原式＝(x＋y)2(x－y)2＝32×(－2)2＝9×4＝36.
16．【中考·湘潭】多项式乘法是：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：
x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
(1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋____)(x＋____)；
2
4
解：∵x2－3x－4＝0，
∴(x－4)(x＋1)＝0.
∴x－4＝0或x＋1＝0，
∴x＝4或x＝－1.
(2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
17．下面是某同学对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解的过程．
解：设x2－4x＝m，
则原式＝(m＋2)(m＋6)＋4 (第一步)
＝m2＋8m＋16 (第二步)
＝(m＋4)2 (第三步)
＝(x2－4x＋4)2. (第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的( )
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
C
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？________(填“彻底”或“不彻底”)．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：____________．
不彻底
(x－2)4
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2－2x)(x2－2x＋2)＋1进行因式分解．
解：设x2－2x＝y，则原式＝y(y＋2)＋1＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2＝(x2－2x＋1)2＝(x－1)4.(共13张PPT)
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第四章 因式分解
素养集训
因式分解应用的八种常见题型
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1
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见习题
5
见习题
6
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8
见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
1．计算：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718.
解：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718
＝(23＋59＋18)×2.718＝100×2.718
＝271.8.
2．已知x－2y＝3，x2－2xy＋4y2＝11.求下列各式的值：
(1)xy； (2)x2y－2xy2.
解：(1)∵x－2y＝3，∴x2－4xy＋4y2＝9.
∴(x2－2xy＋4y2)－(x2－4xy＋4y2)＝11－9，化简得2xy＝2，即xy＝1.
(2)x2y－2xy2＝xy(x－2y)＝1×3＝3.
3．【教材P105复习题T5变式】随便写出一个十位数字与个位数字不相等的两位数，把它的十位数字与个位数字对调得到另一个两位数，并用较大的两位数减去较小的两位数，所得的差一定能被9整除吗？请说明理由．
解：所得的差一定能被9整除．
理由：不妨设该两位数个位上的数字是b，十位上的数字是a，且a>b，b不为0，则这个两位数是10a＋b，将十位数字与个位数字对调后的数是10b＋a，则这两个两位数中，较大的数减较小的数的差是(10a＋b)－(10b＋a)＝9a－9b＝9(a－b)，所以所得的差一定能被9整除．
4．已知长方形的周长为20，相邻两边长分别为a，b(a，b均为整数)，且a，b满足a2－2ab＋b2－4a＋4b＋4＝0.求a，b的值．
解：∵a2－2ab＋b2－4a＋4b＋4＝0，
∴(a－b)2－4(a－b)＋4＝0，
即(a－b－2)2＝0，∴a－b＝2.①
又∵周长为20，∴a＋b＝10.②
联立①②，解得
5．已知在△ABC中，三边长a，b，c满足a2＋8b2＋c2－4b(a＋c)＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
解：△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵a2＋8b2＋c2－4b(a＋c)＝0，
∴a2＋8b2＋c2－4ab－4bc＝0.
∴a2－4ab＋4b2＋c2－4bc＋4b2＝0.
∴(a－2b)2＋(c－2b)2＝0. ∴a＝2b，c＝2b.
∴a＝c≠b. ∴△ABC是等腰三角形．
6．设a＝8582－1，b＝8562＋1 713，c＝1 4292－1 1422，试比较a，b，c的大小．
解：∵a＝8582－1＝(858－1)×(858＋1)＝857×859，
b＝8562＋1 713＝8562＋856×2＋1＝(856＋1)2＝8572，
c＝1 4292－1 1422＝(1 429＋1 142)×(1 429－1 142)＝2 571×287＝857×3×287＝857×861，
∴b＜a＜c.
7．若a，b，c为三角形的三边长，求证：(a2＋b2－c2)2－4a2b2的值一定为负．
证明：(a2＋b2－c2)2－4a2b2＝(a2＋b2－c2)2－(2ab)2＝(a2＋b2－c2＋2ab)(a2＋b2－c2－2ab)＝[(a＋b)2－c2][(a－b)2－c2]＝(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)．
∵a，b，c为三角形的三边长，
∴a＋b＋c＞0，a＋b－c＞0，a－b＋c＞0，a－b－c＜0.
∴(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)＜0，即(a2＋b2－c2)2－4a2b2＜0.
∴(a2＋b2－c2)2－4a2b2的值一定为负．
8．观察下列各式：
12＋(1×2)2＋22＝9＝32，
22＋(2×3)2＋32＝49＝72，
32＋(3×4)2＋42＝169＝132，….
你发现了什么规律？请用含有字母n(n为正整数)的等式表示出来，并说明理由．
解：规律：n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)＋1]2.
理由：n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)]2＋2n2＋2n＋1＝[n(n＋1)]2＋2n(n＋1)＋1＝[n(n＋1)＋1]2.(共15张PPT)
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第四章 因式分解
全章热门考点整合专训
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见习题
5
C
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见习题
(1)2(x－1)2 (2)x(x＋3)2 (3)b(2a－1)2
见习题
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12
1．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是( )
A．(a＋5)(a－5)＝a2－25
B．mx＋my＋2＝m(x＋y)＋2
C．x2－9＝(x＋3)(x－3)
D．2x2＋1＝2x2
C
2．求代数式8x3(x－3)＋12x2(3－x)的值，其中x＝ .
解：8x3(x－3)＋12x2(3－x)＝8x3(x－3)－12x2(x－3)＝4x2(x－3)(2x－3)．
3．(1)【2021·本溪】分解因式：2x2－4x＋2＝________．
(2)【2021·陕西】分解因式：x3＋6x2＋9x＝________．
(3)【2021·东营】因式分解：4a2b－4ab＋b＝__________．
2(x－1)2
x(x＋3)2
b(2a－1)2
4．计算：2.1×31.4＋62×3.14＋0.17×314.
解：原式＝2.1×31.4＋6.2×31.4＋1.7×31.4＝31.4×(2.1＋6.2＋1.7)＝31.4×10＝314.
解：∵a＋b＝x＋y＝3，∴(a＋b)(x＋y)＝9.
∴(ax＋by)＋(ay＋bx)＝9.
∵ax＋by＝7，∴ay＋bx＝2.
∵(a2＋b2)xy＋ab(x2＋y2)＝xya2＋xyb2＋abx2＋aby2＝ax(ay＋bx)＋by(bx＋ay)＝(ay＋bx)(ax＋by)，
∴原式＝14.
5．已知a，b，x，y满足a＋b＝x＋y＝3，ax＋by＝7.求(a2＋b2)xy＋ab(x2＋y2)的值．
6．对于任意自然数n，(n＋7)2－(n－5)2能否被24整除？
解：能．理由如下：(n＋7)2－(n－5)2＝[(n＋7)＋(n－5)][(n＋7)－(n－5)]＝(n＋7＋n－5)·(n＋7－n＋5)＝(2n＋2)×12＝24(n＋1)．
∵24(n＋1)中含有24这个因数，且n＋1为正整数，∴(n＋7)2－(n－5)2能被24整除．
解：此三角形是等边三角形．理由如下：
∵a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，
∴a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0. ∴(a－b)2＋(b－c)2＝0.
∴a－b＝0且b－c＝0. ∴a＝b且b＝c，即a＝b＝c.
∴此三角形是等边三角形．
7．【教材P105复习题T12变式】若一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，试判断该三角形的形状，并说明理由．
8．把下列各式因式分解：
(1)a2－ab＋ac－bc； (2)x3＋6x2－x－6.
解：(1)原式＝a(a－b)＋c(a－b)＝(a－b)(a＋c)；
(2)原式＝(x3－x)＋(6x2－6)＝x(x2－1)＋6(x2－1)＝(x2－1)(x＋6)＝(x＋1)(x－1)(x＋6)．
9．把下列各式因式分解：
解：原式＝x2－y2－2x－4y－4＋1＝(x2－2x＋1)－(y2＋4y＋4)＝(x－1)2－(y＋2)2＝[(x－1)＋(y＋2)]·[(x－1)－(y＋2)]＝(x＋y＋1)(x－y－3)；
(1)x2－y2－2x－4y－3;
10．分解因式：(m2－2m－1)(m2－2m＋3)＋4.
【点拨】运用换元法分解因式时，注意最后要将其还原．
解：令m2－2m＝y，则原式＝(y－1)(y＋3)＋4＝y2＋2y－3＋4＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2.
将y＝m2－2m代入，则原式＝(y＋1)2＝(m2－2m＋1)2＝(m－1)4.
11．【中考·苏州】若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1)2－(b－1)2的值为________．
12(共25张PPT)
北师版 八年级下
第四章 因式分解
3 公式法
第1课时 平方差公式
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1
2
3
4
C
5
(a＋b)(a－b)；和；差
6
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9
C
a(b＋1)(b－1)
10
D
A
A
A
(x＋2y)(x－2y)；(2a＋3)(2a－3)
见习题
11
12
见习题
答案显示
－4
13
见习题
14
见习题
15
见习题
16
17
见习题
见习题
1．a2－b2＝______________，即两个数的平方差，等于这两个数的________与这两个数的________的积．
(a＋b)(a－b)
和
差
2．【2020·金华】下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是( )
A．a2＋b2
B．2a－b2
C．a2－b2
D．－a2－b2
C
3．下列多项式中，不能用平方差公式分解的是( )
A．－m4－n4
B．－16x2＋y2
C．1.96－x2
D．a2－ b2
A
4．【2021·杭州】因式分解：1－4y2＝( )
A．(1－2y)(1＋2y)
B．(2－y)(2＋y)
C．(1－2y)(2＋y)
D．(2－y)(1＋2y)
A
5．【教材P99例1变式】把下列各式因式分解：
(1)4x2－9y2； (2)a4－1.
解：(1)原式＝(2x)2－(3y)2＝(2x＋3y)(2x－3y)．
(2)原式＝(a2＋1)(a2－1)＝(a2＋1)(a＋1)(a－1)．
6．一次课堂练习，小颖做了以下几道因式分解题，你认为她做得不够完整的是( )
A．x3－x＝x(x2－1)
B．x2y－y3＝y(x＋y)(x－y)
C．－m2＋4n2＝(2n＋m)(2n－m)
D．3p2－27q2＝3(p＋3q)(p－3q)
A
7．【中考·泸州】把2a2－8分解因式，结果正确的是( )
A．2(a2－4)
B．2(a－2)2
C．2(a＋2)(a－2)
D．2(a＋2)2
C
8．因式分解的结果是(x＋y－z)(x－y＋z)的多项式是( )
A．x2－(y＋z)2
B．(x－y)2－z2
C．－(x－y)2＋z2
D．x2－(y－z)2
D
9．【2020·安徽】分解因式：ab2－a＝______________.
a(b＋1)(b－1)
10．【2021·江西】因式分解：x2－4y2＝_______________.
【2021·乐山】因式分解：4a2－9＝________________.
(x＋2y)(x－2y)
(2a＋3)(2a－3)
11．已知|x－y＋2|＋(x＋y－2)2＝0，则x2－y2的值为________．
－4
12．【教材P99例2变式】把下列各式因式分解：
(1)4x3y2－x；
解：原式＝x(4x2y2－1)＝x(2xy＋1)(2xy－1)；
(2)16(x－y)2－25(x＋y)2；
原式＝[4(x－y)]2－[5(x＋y)]2＝[4(x－y)＋5(x＋y)][4(x－y)－5(x＋y)]＝－(9x＋y)(x＋9y)；
(3)3a2－48;
(4)2a2(n－m)＋8(m－n)．
解：原式＝3(a2－16)＝3(a＋4)(a－4)；
原式＝2a2(n－m)－8(n－m)＝2(n－m)(a2－4)＝2(n－m)(a＋2)(a－2)．
13．计算：
解：原式＝25×(1012－992)
＝25×(101＋99)×(101－99)
＝25×200×2
＝10 000；
(1)25×1012－992×25；
14．【2021·大庆】先因式分解，再计算求值： 2x3－8x，其中x＝3.
解：原式＝2x(x2－4)＝2x(x＋2)(x－2)．
当x＝3时，原式＝2×3×(3＋2)×(3－2)＝2×3×5×1＝30.
解：∵x2－y2＝12，
∴(x＋y)(x－y)＝12.
∵x＋y＝3 ①，
∴x－y＝4 ②.
由①＋②，得2x＝7.∴2x2－2xy＝2x(x－y)＝7×4＝28.
15．【中考·大庆】已知x2－y2＝12，x＋y＝3，求2x2－2xy的值．
16．李老师在黑板上写出三个算式：52－32＝8×2，92－72＝8×4，152－32＝8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112－52＝8×12，152－72＝8×22.
(1)请你再写出两个(不同于上面的算式)具有上述规律的算式；
解：答案不唯一，如：112－92＝8×5，132－112＝8×6.
(2)用文字写出反映上述算式的规律；
解：任意两个奇数的平方差都是8的倍数．
证明：设m，n为整数(m＞n)，两个奇数可分别表示为2m＋1和2n＋1，则(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－n)(m＋n＋1)．
①当m，n同是奇数或偶数时，m－n一定为偶数，所以4(m－n)一定是8的倍数；
②当m，n是一奇一偶时，m＋n＋1一定为偶数，所以4(m＋n＋1)一定是8的倍数．
综上所述，任意两个奇数的平方差都是8的倍数．
(3)证明这个规律的正确性．
17．分解因式：x2－4y2－2x＋4y.
细心观察这个式子就会发现，前两项满足平方差公式的应用条件，后两项可提取公因式，前、后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程：x2－4y2－2x＋4y＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y－2)．这种分解因式的方法叫做分组分解法．
请利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：x2－y2－x－y.
解：x2－y2－x－y＝(x＋y)(x－y)－(x＋y)＝(x＋y)(x－y－1)．
(2)△ABC的三边长a，b，c满足a2－ab－ac＋bc＝0，试判断△ABC的形状．
解：∵a2－ab－ac＋bc＝0，∴a(a－b)－c(a－b)＝0，
∴(a－b)(a－c)＝0，
∴a－b＝0或a－c＝0，
∴a＝b或a＝c，
∴△ABC是等腰三角形．(共25张PPT)
北师版 八年级下
第四章 因式分解
2 提公因式法
第1课时 直接提公因式法
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1
2
3
4
D
5
相同因式；公因式 (1)2ax (2)2m
6
7
8
9
a(a＋2)；2x(3x－2y)
A
10
B
C
A
两个因式乘积
D
见习题
11
12
D
答案显示
A
13
C
14
D
15
见习题
16
17
见习题
见习题
18
19
见习题
见习题
20
见习题
1．多项式各项都含有的__________，叫做这个多项式各项的________．如：
(1)单项式2ax2与6a2x的公因式是__________；
(2)多项式4m2＋2m＋6mn中各项的公因式是________．
相同因式
公因式
2ax
＝
2m
2．多项式－6xyz＋3xy2－9x2y中各项的公因式是( )
A．－3x B．3xz C．3yz D．－3xy
D
3．下列各组多项式中没有公因式的是( )
A．2x－2y与y－x
B．x2－xy与xy－y2
C．3x＋y与x＋3y
D．5x＋10y与－2y－x
C
··
4．下列多项式的各项中，公因式是5a2b的是( )
A．15a2b－20a2b2
B．30a2b3－15ab4－10a3b2
C．10a2b2－20a2b3＋50a4b5
D．5a2b4－10a3b3＋15a4b2
A
5．【教材P95例1变式】确定下列多项式中各项的公因式：
(1)2x2＋6x3；
解：公因式为2x2；
公因式为5(a－b)．
(2)5(a－b)3＋10(a－b)．
6．如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成______________的形式．这种因式分解的方法叫做提公因式法．
两个因式乘积
7．【2021·长春】分解因式：a2＋2a＝________.
【2021·株洲】因式分解：6x2－4xy＝__________.
a(a＋2)
2x(3x－2y)
8．若把多项式－6mn＋18mnx＋24mny因式分解后的一个因式是－6mn，则另一个因式是( )
A．－1－3x－4y B．1－3x－4y
C．－1－3x＋4y D．1＋3x－4y
B
9．【中考·武汉】把a2－2a分解因式，正确的是( )
A．a(a－2) B．a(a＋2)
C．a(a2－2) D．a(2－a)
A
10．下列因式分解正确的是( )
A．2a2－3ab＋a＝a(2a－3b)
B．2πR－2πr＝π(2R－2r)
C．－x2－2x＝－x(x－2)
D．5x4＋25x2＝5x2(x2＋5)
D
11．【2020·达州】如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是( )
A．12(m－1)
B．4m＋8( m－2)
C．12( m－2)＋8
D．12m－16
【点拨】正方体有12条棱，每条棱上的小球数为m，则有12m个小球，而每个顶点处的小球计算了3次，则正方体上小球总数为12m－8×2＝12m－16，再将各选项化简即可．
【答案】A
12．【2020·潍坊】若m2＋2m＝1，则4m2＋8m－3的值是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
D
13．若多项式mx＋n可因式分解为m(x－y)，则n等于( )
A．m B．my
C．－my D．－y
【点拨】∵mx＋n＝m(x－y)＝mx－my，∴n＝－my.
C
14．若A＝10a2＋3b2－5a＋5，B＝a2＋3b2－8a＋5，则A－B的值与－9a3b2的公因式为( )
A．a B．－3 C．9a3b2 D．3a
【点拨】A－B＝9a2＋3a，A－B的值与－9a3b2的公因式为3a，故选D.
D
15．指出下列各组式子的公因式：
(1)5a3，4a2b，12abc；
(2)2a(a＋b)2，ab(a＋b)，5a(a＋b)；
(3)2xn＋1，3xn－1，xn(n是大于1的整数)．
解：公因式为a；
公因式为a(a＋b)；
公因式为xn－1.
16．用提公因式法分解因式：
(1)6m2n－15n2m＋30m2n2；
解：原式＝3mn(2m－5n＋10mn)；
(2)2xmyn＋1－4xm＋1yn－1；
原式＝2xmyn－1(y2－2x)；
原式＝4a(x－2)．
(3)a(x－2)(x＋2)－a(2－x)2.
17．用提公因式法进行简便计算：
(1)30.14×950＋30.14×50；
(2)3.14×31＋27×3.14＋42×3.14；
(3)22 022－5×22 021＋6×22 020＋2 022.
解：原式＝30.14×(950＋50)＝30.14×1 000＝30 140；
原式＝3.14×(31＋27＋42)＝3.14×100＝314；
原式＝22 020(22－5×2＋6)＋2 022＝0＋2 022＝2 022.
18．【教材P97习题T3变式】已知a＋b＝1，ab＝ ，利用因式分解求a(a＋b)(a－b)－a(a＋b)2的值．
解：原式＝a(a＋b)(a－b－a－b)＝－2ab(a＋b)．
∵a＋b＝1，ab＝ ，
∴原式＝－2ab(a＋b)＝－2× ×1＝－ .
19．若x2＋2x＝1，试求1－2x2－4x的值．
解：∵x2＋2x＝1，
∴1－2x2－4x＝1－2(x2＋2x)＝1－2×1＝－1.
20．阅读理解：
把多项式am＋an＋bm＋bn分解因式．
解法一：am＋an＋bm＋bn＝(am＋an)＋(bm＋bn)＝a(m＋n)＋b(m＋n)＝(m＋n)(a＋b)．
解法二：am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(m＋n)(a＋b)．
(1)分解因式：m2x－3m＋mnx－3n；
解：原式＝m(mx－3)＋n(mx－3)＝(mx－3)(m＋n)．
(2)已知：a，b，c为△ABC的三边长，且a3－a2b＋5ac－5bc＝0，试判断△ABC的形状．
解：∵a3－a2b＋5ac－5bc＝0，
∴a2(a－b)＋5c(a－b)＝0. ∴(a－b)(a2＋5c)＝0.
∵a，b，c为△ABC的三边长，∴a2＋5c≠0.
∴a－b＝0.∴a＝b.
∴△ABC是等腰三角形．
