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北师版 八年级下
第六章 平行四边形
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1．【2020·重庆B】如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F.
(1)若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；
解：∵CF平分∠DCB，∴∠BCF＝∠DCF.
∵∠BCF＝60°，∴∠BCD＝120°.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.
∴∠ABC＋∠BCD＝180°，∴∠ABC＝60°.
(2)求证BE＝DF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，AB∥CD.
∴∠ABE＝∠CDF.
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，
∴∠BAE＝ ∠BAD，∠DCF＝ ∠DCB.
又∵∠BAD＝∠DCB，∴∠BAE＝∠DCF.
∴△ABE≌△CDF.∴BE＝DF.
2．【2021·天津】如图， ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0，1)，(－2，－2)，(2，－2)，则顶点D的坐标是( )
A．(－4，1) B．(4，－2)
C．(4，1) D．(2，1)
C
3．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA＝OC.猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并说明理由．
解：CD＝AE且CD∥AE.理由如下：
∵CE∥AB，∴∠DAO＝∠ECO.
∵OA＝OC，∠AOD＝∠COE，
∴△AOD≌△COE(ASA)．∴OD＝OE.
又∵OA＝OC，∴四边形ADCE为平行四边形．
∴CD＝AE且CD∥AE.
4．【2021·河北】如图①，在 ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角，要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图②中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案有( )
A．甲、乙、丙都是
B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是
D．只有乙、丙才是
【点拨】方案甲：连接AC，由平行四边形的性质得OB＝OD，OA＝OC，则NO＝OM，得四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；
方案乙：证△ABN≌△CDM(AAS)，得AN＝CM，再由AN∥CM，得四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确；
方案丙：证△ABN≌△CDM(ASA)，得AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，则ANM＝∠CMN，证出AN∥CM，得四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确．
【答案】A
5．如图，已知BE∥DF，∠ADF＝∠CBE，AF＝CE.
求证：四边形DEBF是平行四边形．
证明：∵BE∥DF，∴∠AFD＝∠CEB.
∵∠ADF＝∠CBE，AF＝CE，
∴△ADF≌△CBE(AAS)．
∴DF＝BE.
又∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形．
6．【2021·重庆改编】在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE＋∠BAC＝180°.
(1)如图①，当∠BAC＝90°时，连接BE，交AC于点F.若BE平分∠ABC，BD＝2，求AF的长；
解：如图①，连接CE，过点F作FQ⊥BC于Q.
∵BE平分∠ABC，∠BAC＝90°，∴FA＝FQ.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°.
∴FQ＝QC，由勾股定理，得FQ＝ CF.
∵∠BAC＋∠DAE＝180°，∴∠DAE＝∠BAC＝90°.
∴∠BAD＝∠CAE.
由旋转知AD＝AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．
∴BD＝CE＝2，∠ABD＝∠ACE＝45°.
∴∠BCE＝90°. ∴∠CBF＋∠BEC＝90°.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF.
∴∠ABF＋∠BEC＝90°.
∵∠BAC＝90°，∴∠ABF＋∠AFB＝90°.
∴∠AFB＝∠BEC.
∵∠AFB＝∠CFE，∴∠BEC＝∠CFE.
∴CF＝CE＝2.
(2)如图②，连接BE，取BE的中点G，连接AG.猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想．
解：AG＝ CD.
证明：如图②，延长BA至点M，使AM＝AB，连接EM.
∵G是BE的中点，∴AG＝ ME.
∵∠BAC＋∠DAE＝∠BAC＋∠CAM＝180°，
∴∠DAE＝∠CAM. ∴∠DAC＝∠EAM.
∵AB＝AM，AB＝AC，∴AC＝AM.
∵AD＝AE，∴△ADC≌△AEM(SAS)．∴CD＝EM
.又∵AG＝ ME，∴AG＝ CD.
7．【2021·福建】如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于( )
A．108° B．120°
C．126° D．132°
【点拨】∵△ABF是等边三角形，
∴AB＝AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，
在正五边形ABCDE中，AB＝BC，∠ABC＝108°，
∴BF＝BC，∠FBC＝∠ABC－∠ABF＝48°，
∴∠BFC＝
∴∠AFC＝∠AFB＋∠BFC＝126°，故选C.
【答案】 C
8．【2021·毕节】若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为( )
A．540° B．720° C．900° D．1 080°
D
9．【中考·遂宁】如图，在 ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF.求证：
(1)AE＝CF；
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD. ∴∠ABE＝∠CDF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
∴AE＝CF.
(2)四边形AECF是平行四边形．
证明：如图，连接AC，与BD交于点O.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO.
又∵BE＝DF，
∴EO＝FO.
∴四边形AECF是平行四边形．
10．如图，已知四边形ABCD为平行四边形．
求证：AC2＋BD2＝AB2＋BC2＋CD2＋DA2.
证明：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F.
∴AC2＝AE2＋CE2＝AB2－BE2＋(BC－BE)2＝AB2＋BC2－2BE·BC，
BD2＝DF2＋BF2＝(CD2－CF2)＋(BC＋CF)2＝CD2＋BC2＋2BC·CF.
∴AC2＋BD2＝AB2＋CD2＋BC2＋BC2＋2BC·CF－2BE·BC.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD且AB＝DC，DA＝BC. ∴∠ABE＝∠DCF.
∵∠AEB＝∠DFC＝90°，∴△ABE≌△DCF(AAS)．
∴BE＝CF.
∴AC2＋BD2＝AB2＋BC2＋CD2＋DA2.
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC的内部，∠BOC＝90°，OB＝OC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点．
(1)求证：四边形DEFG是矩形；
证明：如图，连接AO并延长，交BC于H.
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AH是BC的中垂线，即AH⊥BC于H，BH＝HC.
∵D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点，
∴DG∥EF∥BC，DE∥AH∥GF.
∴四边形DEFG是平行四边形．
∵EF∥BC，AH⊥BC，∴AH⊥EF.
∵DE∥AH，∴DE⊥EF. ∴四边形DEFG是矩形．
(2)若DE＝2，EF＝3，求△ABC的面积．
解：∵D，E，F分别是AB，OB，OC的中点，△BOC是直角三角形，
∴OA＝2DE，BC＝2EF＝2OH＝2×3＝6，
∴OH＝EF.∴AH＝OA＋OH＝2DE＋EF＝2×2＋3＝7.
∴S△ABC＝ BC·AH＝ ×6×7＝21.
证明：如图，连接BE，DF.
又∵AE＝AF，∴DG＝BH.
12．如图，已知点E，F分别在 ABCD的边DC和CB上，且AE＝AF，DG⊥AF，BH⊥AE，点G，H是垂足．
求证：DG＝BH.(共14张PPT)
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第六章 平行四边形
2 平行四边形的判定
第3课时 平行线间的距离
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都相等；相等
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C
见习题
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1．平行线之间的距离：如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离________，这个距离称为平行线之间的距离．夹在两条平行线间的平行线段________．
都相等
相等
2．如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，E，G为垂足，则下列说法不正确的是( )
A．AB＝CD
B．EC＝FG
C．A，B两点的距离就是线段AB的长度
D．a与b的距离就是线段CD的长度
D
···
3．如图，直线m∥n，A，B为直线n上两点，C，P为直线m上两点．
(1)如果固定A，B，C，点P在直线m上移动，那么不论点P移动到何处(不与点C重合)，总有________与△ABC的面积相等，理由是______________________；
△PBA
两三角形同底等高
(2)如果点P在如图所示的位置，请写出另外两对面积相等的三角形：①______________；②________________.
△PAC与△PBC
△OAC与△OBP
4．如图，在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F，图中全等三角形有( )
A．5对 B．4对
C．3对 D．2对
C
5．有这样一个结论：夹在两条平行线间的平行线段相等．下面是经历探索与应用的过程．
探索：如图①，AD∥BC，AB∥CD.求证：AB＝CD.
证明：如图①，连接AC.
∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA.
∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA.
在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA(ASA)． ∴AB＝CD.
应用一：如图②，AD∥BC，AD＜BC，AB＝CD.
求证：∠B＝∠C.
证明：如图②，作DE∥AB，且DE交BC于点E.
∵AD∥BC，∴AB＝DE.
∵AB＝CD，∴DE＝CD. ∴∠DEC＝∠C.
∵DE∥AB，∴∠B＝∠DEC. ∴∠B＝∠C.
解：如图③，作DF∥AC，且DF交BC的延长线于点F.
∵AD∥BC，∴AC＝DF.
∵DF∥AC，∴∠BDF＝∠BEC，AD＝CF.
∵AC⊥BD，∴∠BDF＝∠BEC＝90°.
在Rt△BDF中，由勾股定理得BF＝5，
∴BC＋AD＝BC＋CF＝BF＝5.
应用二：如图③，AD∥BC，AC⊥BD，AC＝4，BD＝3.
求AD与BC两条线段的和．
6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O.
(1)△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？
解：△ABC与△DBC的面积相等．
理由：∵AD∥BC，
∴△ABC的边BC上的高和△DBC的边BC上的高相等，设此高为h，
∴△ABC的面积是 BC·h，△DBC的面积是 BC·h，
∴△ABC与△DBC的面积相等．
(2)若S△AOB＝21 cm2，求S△COD.
解：∵S△ABC＝S△DBC，
∴S△ABC－S△OBC＝S△DBC－S△OBC，
∴S△COD＝S△AOB＝21 cm2.
(3)若S△AOD＝10 cm2，且BO∶OD＝2∶1，求S△ABD.
解：∵BO∶OD＝2∶1，∴BD＝3OD.
∵△AOD的边OD上的高和△ABD的边BD上的高相等，设此高为a，
∴S△AOD＝ OD·a＝10 cm2，
∴S△ABD＝ BD·a＝ ·3OD·a＝3×10＝30(cm2)．(共24张PPT)
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第六章 平行四边形
2 平行四边形的判定
第1课时 用边的关系判定平行四边形
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∥；＝
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见行；相等
A
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D
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见习题
1．在四边形ABCD中，若AB∥CD且AD______BC，或AB＝CD且AD______BC，则四边形ABCD是平行四边形．
∥
＝
2．在四边形ABCD中，AD∥BC，如果要添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，那么这个条件可以是( )
A．∠A＋∠C＝180°
B．∠B＋∠D＝180°
C．∠A＋∠B＝180°
D．∠A＋∠D＝180°
D
3．一组对边________且________的四边形是平行四边形．
平行
相等
4．【2020·玉林】已知：点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，如图所示．
求证：DE∥BC，且DE＝BC.
证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，又AE＝EC，则四边形ADCF是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：
DF BC；
②∴CF AD.即CF BD；
③∴四边形DBCF是平行四边形；
④∴DE∥BC，且DE＝BC.
则正确的证明顺序应是( )
A．②→③→①→④ B．②→①→③→④
C．①→③→④→② D．①→③→②→④
A
5．【中考·东营】如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF，添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是( )
A．AD＝BC B．CD＝BF
C．∠A＝∠C D．∠F＝∠CDF
D
6．【中考·衡阳】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是( )
A．AB＝CD B．BC＝AD
C．∠A＝∠C D．BC∥AD
B
7．【教材P141例1变式】如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，EF，BF，则图中平行四边形共有( )
A．2个 B．4个
C．6个 D．3个
B
8．【2021·永州】如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，AE∥BF.
(1)求证：△AEC≌△BFD.
证明：∵AD＝BC，∴AD＋DC＝BC＋DC，∴AC＝BD.
∵AE∥BF，∴∠A＝∠B，
在△AEC和△BFD中，
∴△AEC≌△BFD(SAS)．
解：四边形DECF是平行四边形，
证明如下：∵△AEC≌△BFD，
∴∠ACE＝∠BDF，CE＝DF，
∴CE∥DF，
∴四边形DECF是平行四边形．
(2)判断四边形DECF的形状，并证明．
9．【易错题】顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，从①AB∥CD，②BC＝AD，③∠A＝∠C，④∠B＝∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有( )
A．5种 B．4种 C．3种 D．1种
【点拨】由①③可以推得四边形两组对边分别平行，所以四边形ABCD为平行四边形；由①④可以推得四边形两组对边分别平行，所以四边形ABCD为平行四边形；由③④可以推得四边形两组对角分别相等，所以四边形ABCD为平行四边形．故选C.
【答案】C
10．【教材P142习题T2变式】【2020·岳阳】如图，点E，F在 ABCD的边BC，AD上，BE＝ BC，FD＝ AD，连接BF，DE.
求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C.
∵BE＝ BC，FD＝ AD，
∴BE＝DF，EC＝AF.
∴△BAF≌△DCE.
∴BF＝DE.
∴四边形BEDF是平行四边形．
11．【2021·岳阳】如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F.
(1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是________________________；
AE＝CF(添加条件不唯一)
(2)添加了条件后，请证明四边形AECF为平行四边形．
证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF.
∵AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
12．【中考·福建】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度α得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E.
(1)当点E恰好在AC上时，如图①，求∠ADE的大小；
【思路点拨】利用旋转的性质得CA＝CD，∠DCE＝∠ACB＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAD，从而利用外角的性质计算出∠ADE的度数；
解：∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，
∴CA＝CD，∠DCE＝∠ACB＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°.
∴∠CAD＝∠CDA＝ ×(180°－30°)＝75°.
∴∠ADE＝90°－75°＝15°.
(2)若α＝60°，点F是边AC的中点，如图②，求证：四边形BEDF是平行四边形．
【思路点拨】连接AD，利用旋转的性质可知△ACD和△BCE为等边三角形，易得△ABF也是等边三角形，根据等边三角形的性质可证得EB∥DF，ED∥BF，即可得到结论．
证明：如图，连接AD，设BE与AF交于点G.
由旋转的性质得AC＝DC，∠ACD＝60°，
∴△ACD是等边三角形．
∵F是AC的中点，∴DF⊥AC.
同理可证△BCE是等边三角形，∴∠BEC＝60°.
∵∠ACE＝60°－∠ACB＝30°，∴∠EGC＝90°.
∴EB⊥AC. ∴EB∥DF.
∵∠BAC＝90°－∠ACB＝60°，AB＝AF＝ AC，
∴△ABF是等边三角形．
∴∠AFB＝60°. ∴∠FBG＝30°.
由旋转的性质得∠DEC＝∠ABC＝90°，则∠DEB＋∠FBG＝90°＋60°＋30°＝180°，
∴ED∥BF.
∴四边形BEDF是平行四边形．(共19张PPT)
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第六章 平行四边形
素养集训
1．判定平行四边形的五种常用方法
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1．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．
求证：四边形ADEF是平行四边形．
证明：∵△ABD，△BCE都是等边三角形，
∴BA＝BD，BC＝BE，∠DBA＝∠EBC＝60°.
∴∠EBC－∠EBA＝∠DBA－∠EBA.
∴∠ABC＝∠DBE.
∴△ABC≌△DBE.
∴AC＝DE.
同理可证△ABC≌△FEC，∴AB＝EF.
在等边三角形ACF和等边三角形ABD中，
AF＝AC，AB＝AD，
∴AF＝DE，AD＝EF.
∴四边形ADEF是平行四边形．
2．如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由．
解：四边形BFDE是平行四边形．
理由：在 ABCD中，∠ABC＝∠CDA，∠A＝∠C.
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC，∠CDF＝∠ADF＝ ∠ADC.
∴∠ABE＝∠CBE＝∠CDF＝∠ADF.
∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠A，
∴∠DFB＝∠BED.
∴四边形BFDE是平行四边形．
3．【中考·黄冈】已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE.求证：四边形ABCD为平行四边形．
证明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.
∵BE∥DF，∴∠BEF＝∠DFE，∴∠AEB＝∠CFD.
在△AEB和△CFD中，
∴△AEB≌△CFD(ASA)，∴AB＝CD.
又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．
4．【中考·郴州】如图，在 ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF.求证：四边形ACDF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE.
∵E是AD的中点，∴AE＝DE.
又∵∠FEA＝∠CED，∴△FAE≌△CDE(ASA)，∴CD＝FA.
又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形．
5．如图，在 ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB.
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形．
证明：在 ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，AB∥CD，AD∥CB，
∴∠ADE＝∠DAB＝∠CBF＝60°.
又∵AE＝AD，CF＝CB，
∴△ADE和△BCF都是等边三角形．
∴DE＝AE＝AD＝CB＝CF＝BF.
∵点E，F分别在CD，AB的延长线上，
∴CD＋DE＝AB＋BF，即CE＝AF.
又∵AB∥CD，∴四边形AFCE是平行四边形．
(2)若去掉已知条件中的“∠DAB＝60°”，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
解：若去掉已知条件中的“∠DAB＝60°”，上述结论仍然成立．
证明：在 ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，AB∥CD，AD∥CB.
∵AE＝AD，CF＝CB，
∴AE＝CF，∠ADE＝∠AED，∠CBF＝∠CFB.
∵AB∥CD，AD∥CB，
∴∠AED＝∠ADE＝∠DAB＝∠CBF＝∠CFB，
∴△ADE≌△CBF，∴DE＝BF.
∵点E，F分别在CD，AB的延长线上，
∴CD＋DE＝AB＋BF，即CE＝AF.
又∵AB∥CD，∴四边形AFCE是平行四边形．
6．【中考·鄂州】如图，在 ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于M，N.
(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB.
∵AM⊥BD，CN⊥BD，
∴AM∥CN.
∴四边形CMAN是平行四边形．
(2)已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．
解：∵四边形CMAN是平行四边形，∴CM＝AN.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，CD∥AB.
∴DM＝BN，∠MDE＝∠NBF.
在△MDE和△NBF中，
∴△MDE≌△NBF(AAS)．
∴BF＝DE＝4.
在Rt△NBF中，∵∠BFN＝90°，BF＝4，FN＝3，
∴BN＝
7．【中考·哈尔滨】如图①，在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.
∴∠EAO＝∠FCO.
在△OAE与△OCF中，
∴△OAE≌△OCF(ASA)．
∴OE＝OF.
同理得OG＝OH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
(2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外)．
解：与四边形AGHD面积相等的平行四边形有 GBCH， ABFE， EFCD， EGFH.(共12张PPT)
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第六章 平行四边形
素养集训
2．构造三角形的中位线的五种方法
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1．如图，已知点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．
(1)求证：PM＝PN；
证明：如图，连接CD，AE.
∵M，N，P分别是AD，CE，AC的中点，
∴MP，NP分别是△ACD和△ACE的中位线．
∴PM＝ DC，PN＝ AE.
∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°.
∴∠ABE＝∠DBC. ∴△ABE≌△DBC(SAS)．
∴AE＝DC.∴PM＝PN.
解：如图，设PM交AE于点F，PN交DC于点G，AE交DC于点H.
由(1)知△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC.
∴∠AHD＝∠ABD＝60°.∴∠FHG＝120°.
易知PN∥AE，PM∥DC，
∴四边形PFHG为平行四边形．
∴∠MPN＝∠FHG＝120°.
(2)求∠MPN的度数．
2．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点，求DE的长．
解：如图，延长BD交AC于点F.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠FAD.
∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF＝90°.
又∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADF(ASA)．
∴AF＝AB＝6，BD＝FD.
∵AC＝10，∴CF＝AC－AF＝10－6＝4.
∵E为BC的中点，BD＝FD，∴DE是△BCF的中位线．
∴DE＝ CF＝ ×4＝2.
3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点．求证：ME＝ CF.
证明：如图，延长FE至点N，使EN＝EF，
连接BN，AN.
易得ME＝ AN.
∵EF＝EN，∠BEF＝90°，∴BF＝BN.
∴∠BNF＝∠BFN.
∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，
∴∠BFN＝45°，∴∠BNF＝45°.
∴∠FBN＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°.
又∵∠FBA＋∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠ABN.
在△BCF和△BAN中，
∴△BCF≌△BAN(SAS)． ∴CF＝AN. ∴ME＝ CF.
4．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，若AB＝10，CD＝8，求MN长度的取值范围．
解：如图，连接BD并取BD的中点P，连接PM，PN.
∵M是AD的中点，P是BD的中点，
∴PM是△ABD的中位线．∴PM＝ AB＝5.
同理可得PN＝ CD＝4.
在△PMN中，
∵PM－PN
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于点N.求证：AN＝ AC.
证明：如图，取NC的中点H，连接DH，过点H作HE∥AD，交BN的延长线于点E.
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点．
又∵H为NC的中点，∴DH为△BCN的中位线．
∴DH∥BN.
∵HE∥AD，∴四边形PDHE是平行四边形．
∴HE＝PD.
∵P为AD的中点，∴AP＝PD.
∴AP＝HE.
易证△APN≌△HEN，∴AN＝NH.
又∵NH＝HC，∴AN＝NH＝HC.
∴AN＝ AC.(共28张PPT)
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第六章 平行四边形
4 多边形的内角和与外角和
第3课时 综合与实践 平面图形的镶嵌
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1
2
3
4
见习题
5
不留空隙；不重叠
6
7
8
9
D
(1)18 (2)(4n＋2)
10
C
B
C
周；不能
一个周角
B
11
12
C
答案显示
D
13
D
14
见习题
15
见习题
16
17
见习题
见习题
1．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间__________、________地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．
不留空隙
不重叠
2．【中考·绍兴】把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点O为正方形的中心，点E，F分别为AB，AD的中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ(要求这四块纸片不重叠无缝隙)，则四边形MNPQ的周长是____________．
【点拨】如图所示：
图①周长为1＋2＋3＋2 ＝6＋2 ，
图②周长为1＋4＋1＋4＝10，
图③周长为3＋5＋ ＋ ＝8＋2 .
故答案为6＋2 或10或8＋2 .
【答案】
3．一幅美丽的图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中有两个是正八边形，那么第三个是( )
A．正三角形 B．正方形
C．正五边形 D．正六边形
B
4．如图，已知等边三角形ABC的边长为1，按图中所示的规律，用2 022个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是( )
A．2 022 B．2 023
C．2 024 D．2 025
C
5．阳光中学阅览室在装修过程中，用边长相等的正方形和正三角形两种地砖镶嵌地面，在每个顶点的周围正方形、正三角形地砖的块数可以分别是( )
A．2，2 B．2，3
C．1，2 D．2，1
B
6．正三角形、正方形和正六边形都可以用来作平面镶嵌，这是因为在一个顶点处的几个角恰好拼成一个________角，这样镶嵌不重叠、无缝隙．正五边形________用来作平面镶嵌(填“能”或“不能”)．
周
不能
7．用一种正多边形铺满地面的条件是( )
A．内角是整数度数
B．边数是3的倍数
C．内角可以整除180°
D．内角可以整除360°
D
8．【2021·铜仁】用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌( )
A．等边三角形 B．正方形
C．正五边形 D．正六边形
【点拨】A选项，等边三角形的内角为60°，360°÷60°＝6(个)，所以6个等边三角形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
B选项，正方形的内角为90°，360°÷90°＝4(个)，所以4个正方形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
【答案】 C
C选项，正五边形的内角为108°，360°÷108°＝3 ，所以正五边形不能在一个顶点处实现内角之和等于360°，符合题意；
D选项，正六边形的内角为120°，360°÷120°＝3(个)，所以3个正六边形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意．故选C.
9．用黑白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律，拼成若干个图案：
(1)第4个图案中有白色地砖________块；
(2)第n个图案中有白色地砖________块．
18
(4n＋2)
10．平面图形镶嵌的条件：要实现平面图形的镶嵌，必须保证每一个拼接点处的角恰好能拼成__________(不留空隙、不重叠)．
一个周角
11．现要选用两种不同的正多边形地砖铺地，若已选择了正四边形，则可以再选择的正多边形是( )
A．正七边形 B．正五边形
C．正六边形 D．正八边形
D
12．一幅美丽的图案，在某顶点处由四个正多边形镶嵌而成，其中三个分别为正三角形、正方形、正六边形，则第四个为( )
A．正六边形 B．正五边形
C．正方形 D．正三角形
C
13．用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是( )
A．2m＋3n＝12 B．m＋n＝8
C．2m＋n＝6 D．m＋2n＝6
【点拨】∵正三角形的内角为60°，正六边形的内角为120°，
∴60m＋120n＝360，∴m＋2n＝6.
故选D.
D
14．如图，用边长相等的正多边形A，B，C镶嵌地面，其中A为正六边形，C为正方形，请通过计算求出正多边形B的边数．
解：设正多边形B的一个内角为x，
易得120°＋90°＋x＝360°，解得x＝150°.
设正多边形B的边数为n，
则150°＝ ，解得n＝12.
故正多边形B的边数为12.
15．已知正多边形A和正多边形B的边长相等，2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌(密铺)，A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的 .
(1)试确定A，B分别是正几边形；
解：设B的一个内角的度数为x，则A的一个内角的度数为 x.
∵2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌(密铺)，∴3x＋2× x＝360°，解得x＝60°.
×60°＝90°.
∴A为正方形，B为正三角形．
(2)画出这5个正多边形进行平面镶嵌(密铺)的图形；(画一种即可)
解：所画图形如图所示．(答案不唯一)
(3)判断你所画图形的对称性．(直接写出结果)
解：所画图形是轴对称图形．
16．如图，它是某广场用地板砖铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层有6个正方形和6个正三角形，第2层有6个正方形和18个正三角形，以此类推，求第8层有多少个正三角形．
解：由题意易知，从里向外的第1层有6个正三角形，第2层有18个正三角形，第3层有30个正三角形……所以第n层有6(2n－1)个正三角形．
当n＝8时，6(2n－1)＝90，
故第8层有90个正三角形．
17．如图，有四种正多边形(所有正多边形的边长相等)．
(1)请你用其中两种进行平面镶嵌，有几种选择？是哪几种？
解：有两种：正三角形和正方形，正三角形和正六边形．
(2)若两种正多边形构成平面镶嵌，p，q表示这两种正多边形的个数，x°，y°分别表示对应正多边形的每个内角的度数，则有方程px＋qy＝360，求(1)中每种平面镶嵌中p，q的值．
解：当正三角形和正方形构成平面镶嵌时，则有60p＋90q＝360(p为正三角形的个数，q为正方形的个数)，即2p＋3q＝12，因为p，q是正整数，所以p＝3，q＝2；当正三角形和正六边形构成平面镶嵌时，则有60p＋120q＝360(p为正三角形的个数，q为正六边形的个数)，即p＋2q＝6，因为p，q是正整数，所以p＝4，q＝1或p＝2，q＝2.(共16张PPT)
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第六章 平行四边形
4 多边形的内角和与外角和
第1课时 多边形的内角和
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1
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4
B
5
(n－2)；(n－2)；(n－2)×180°
6
7
8
9
见习题
见习题
D
D
相等；5
C
D
1．一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n－3)条对角线，它们将n边形分为________个三角形，因此n边形的内角和是________个三角形的内角的和，即n边形的内角和等于______________．
(n－2)
(n－2)
(n－2)×180°
2．【中考·福建】一个n边形的内角和为360°，则n等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
B
3．【2021·北京】下列多边形中，内角和最大的是( )
D
4．正多边形的每个内角都______；若一个正多边形的一个内角是108°，则这个多边形的边数是______.
相等
5
5．【中考·梧州】正九边形的一个内角的度数是( )
A．108° B．120° C．135° D．140°
D
6．【2021·济宁】如图，正五边形ABCDE中，∠CAD的度数为( )
A．72° B．45° C．36° D．35°
【点拨】根据正多边形的内角和公式可得，
正五边形ABCDE的内角和＝180°×(5－2)＝540°，
则∠BAE＝∠B＝∠E＝ ＝108°，
根据正五边形的性质，得△ABC≌△AED，
∴∠CAB＝∠DAE＝ (180°－108°)＝36°，
∴∠CAD＝108°－36°－36°＝36°. 故选C.
【答案】C
7．在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°.
(1)如图①，若∠B＝∠C，试求出∠C的度数；
解：∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∠B＝∠C，∠A＝140°，∠D＝80°，
∴∠B＝∠C＝(360°－∠A－∠D)÷2＝70°.
(2)如图②，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
解：∵BE∥AD，
∴∠BEC＝∠D＝80°，∠ABE＋∠A＝180°.
∴∠ABE＝180°－∠A＝180°－140°＝40°.
又∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE＝40°.
∴∠C＝180°－∠EBC－∠BEC＝180°－40°－80°＝60°.
(3)如图③，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．
解：∵∠A＋∠ABC＋∠BCD＋∠D＝360°，
∴∠ABC＋∠BCD＝360°－∠A－∠D＝360°－140°－80°＝140°.
∵∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，
∴∠EBC＝ ∠ABC，∠BCE＝ ∠BCD.
∴∠BEC＝180°－∠EBC－∠BCE＝180°－ (∠ABC＋∠BCD)＝180°－ ×140°＝110°.
8．【教材P155习题T1变式】【2021·扬州】如图，点A，B，C，D，E在同一平面内，连接AB，BC，CD，DE，EA，若∠BCD＝100°，则∠A＋∠B＋∠D＋∠E＝( )
A．220° B．240°
C．260° D．280°
【点拨】如图，连接BD.
∵∠BCD＝100°，
∴∠CBD＋∠CDB＝180°－100°＝80°，
∴∠A＋∠ABC＋∠E＋∠CDE＝360°－(∠CBD＋∠CDB)＝360°－80°＝280°.
故选D.
【答案】D
解：如图，连接BF.
∵∠A＋∠G＋∠AOG＝180°，∠1＋∠2＋∠BOF＝180°，∠AOG＝∠BOF，∴∠A＋∠G＝∠1＋∠2.
∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＝∠FBC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠BFE＝(5－2)×180°＝540°.
9．如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数．(共19张PPT)
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第六章 平行四边形
2 平行四边形的判定
第2课时 用对角线的关系判定平行四边形
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1
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4
D
5
DO＝BO(答案不唯一)
6
7
8
9
见习题
见习题
10
见习题
B
D
B
见习题
C
1．【中考·牡丹江】如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO＝CO，请添加一个条件：____________________(只添一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．
DO＝BO(答案不唯一)
2．【中考·湘西州】下列说法错误的是( )
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D
··
3．【教材P143试一试变式】四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．AD∥BC
B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD∥BC，AB＝DC
D．AC⊥BD
B
4．【中考·绵阳】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为( )
A．6 B．12
C．20 D．24
D
5．在四边形ABCD中，对角线AC交BD于点O，且AB∥CD，给出以下四种说法：
①如果再加上条件BC＝AD，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
②如果再加上条件∠BAD＝∠BCD，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
③如果再加上条件AO＝OC，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
④如果再加上条件∠DBA＝∠CAB，那么四边形ABCD一定是平行四边形．
其中正确的是( )
A．①② B．①③④
C．②③ D．②③④
C
6．【中考·广州】下列命题中，真命题有( )
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
B
7．【教材P144随堂练习改编】如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O交AD于点E，交BC于点F，G是OA的中点，H是OC的中点，试证明四边形EGFH是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO.
又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE＝OF.
∵G是OA的中点，H是OC的中点，∴OG＝OH.
∴四边形EGFH是平行四边形．
8．如图， ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，OA＝OC，AB∥CD.
∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO.
在△FDO和△EBO中，
∴△FDO≌△EBO(AAS)．
∴OF＝OE.
9．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12 cm，AC＝6 cm，点E在线段BO上从点B出发以1 cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O出发以2 cm/s的速度运动．若点E，F同时开始运动，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止．设运动时间为t s，运动过程中是否存在某一时刻，使得四边形AECF为平行四边形？
解：要使四边形AECF为平行四边形，则需AO＝OC，EO＝OF.
∵四边形ABCD为平行四边形，BD＝12 cm，AC＝6 cm，
∴AO＝OC＝3 cm，BO＝OD＝6 cm.
∴EO＝(6－t)cm，OF＝2t cm.
由题意可得0≤t≤3.
由6－t＝2t，得t＝2，满足0≤t≤3，
∴当t为2时，四边形AECF是平行四边形．
10．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DE∥AC，DE交直线AB于点E，DF∥AB，DF交直线AC于点F.
(1)当点D在边BC上时，如图①所示，求证：DE＋DF＝AC.
证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴∠FDC＝∠B，四边形AEDF是平行四边形．
∴DE＝AF.
又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∴∠FDC＝∠C.
∴DF＝FC.
∴DE＋DF＝AF＋FC＝AC.
(2)当点D在边BC的延长线上时，如图②所示；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③所示．请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．
解：当点D在边BC的延长线上时，
DE－DF＝AC；
当点D在边BC的反向延长线上时，
DF－DE＝AC.
(3)若AC＝6，DE＝4，则DF＝__________.
2或10(共23张PPT)
北师版 八年级下
第六章 平行四边形
3 三角形的中位线
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1
2
3
4
D
5
中位线；平行于；一半
6
7
8
9
D
见习题
10
B
B
见习题
8
C
平行四边形
11
12
见习题
答案显示
见习题
13
D
14
见习题
15
见习题
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的________．三角形的中位线________三角形的第三边，并且等于第三边的________．
中位线
平行于
一半
2．【2020·宜宾】如图，M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，若∠A＝65°，∠ANM＝45°，则∠B＝( )
A．20°
B．45°
C．65°
D．70°
D
3．【2021·衢州】如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，则四边形ADEF的周长为( )
A．6
B．9
C．12
D．15
B
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝8 cm，E，F分别为AC，AB的中点．
(1)求∠A的度数；
解：∵∠C＝90°，∠B＝60°.
∴∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.
(2)求EF的长．
解：在Rt△ABC中，∠A＝30°，AB＝8 cm，
∴BC＝ AB＝4 cm.
∵E，F分别是AC，AB的中点，
∴EF＝ BC＝2 cm.
5．顺次连接四边形各边中点所形成的四边形一定是______________．
平行四边形
6．【2020·沈阳】如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2MD，点E，点F分别是BM，CM的中点，若EF＝6，则AM的长为________．
8
7．【教材P152随堂练习T1变式】如图，已知E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，若AC＝10 cm，BD＝12 cm，则四边形EFGH的周长为( )
A．10 cm B．11 cm
C．12 cm D．22 cm
D
8．【中考·河池】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是( )
A．∠B＝∠F
B．∠B＝∠BCF
C．AC＝CF
D．AD＝CF
B
证明：∵AD是△ABC的边BC上的中线，F是BE的中点，
∴BF＝EF，BD＝CD，
∴DF∥CE，∴AD∥CE，∵AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形．
9．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，F是BE的中点，连接CE.求证：四边形ADCE是平行四边形．
10．【2021·宁波】如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，BD＝ .若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为( )
【点拨】∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵∠B＝45°，BD＝ ，∴AD＝BD＝ .
∵∠C＝60°，∴∠CAD＝30°. ∴AC＝2CD.
∵AD 2＋CD 2＝AC 2，∴( ) 2＋CD 2＝4CD 2，
∴CD＝1. ∴AC＝2.
∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF＝ AC＝1.
【答案】C
11．【中考·湖州】如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连接DF，EF，BF.
(1)求证：四边形BEFD是平行四边形；
证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DF∥BC，EF∥AB.
∴四边形BEFD是平行四边形．
(2)若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．
解：∵∠AFB＝90°，F是AC的中点，
∴∠AFB＝∠CFB，AF＝CF.
又∵BF＝BF，∴△ABF≌△CBF(SAS)．
∴AB＝BC＝6.
∴BD＝ AB＝3，BE＝ BC＝3.
∴四边形BEFD的周长为3×4＝12.
12．如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝CF，BE和AF的交点为M，CE和DF的交点为N.求证：MN∥AD，MN＝ AD.
证明：连接EF.
∵四边形ABCD为平行四边形，且DE＝CF，
∴四边形ABFE和四边形DCFE均为平行四边形．
∴FM＝AM，FN＝DN.
∴MN∥AD，MN＝ AD.
13．【中考·黑龙江】如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是( )
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
D
14．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，M，N分别是AB，CD的中点，MN分别交BD和AC于点E，F，对角线AC和BD相交于点G，则GE和GF相等吗？为什么？
【点拨】针对四边形含中点这一特征，构造中位线是解决问题的一种有效方法．
解：GE＝GF.理由如下：
取BC的中点P，连接MP，NP.
∵AM＝BM，BP＝CP，∴MP∥AC，MP＝ AC.
同理得NP∥BD，NP＝ BD.
又∵AC＝BD，∴MP＝NP. ∴∠PMN＝∠PNM.
∵MP∥AC，NP∥BD，
∴∠GFE＝∠PMN，∠GEF＝∠PNM.
∴∠GFE＝∠GEF. ∴GE＝GF.
15．如图，在 ABCD中，E，F分别是DC，AE的中点，FC与BE交于G.求证：GF＝GC.
证明：如图，取BE的中点H，连接FH，CH.
∵F是AE的中点，H是BE的中点，
∴FH是△ABE的中位线．
∴FH∥AB且FH＝ AB.
在 ABCD中，AB∥DC，AB＝DC.
又∵点E是DC的中点，
∴EC＝ DC＝ AB.
∴FH＝EC.
又∵AB∥DC，
∴FH∥EC.
∴四边形EFHC是平行四边形．
∴GF＝GC.(共15张PPT)
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第六章 平行四边形
4 多边形的内角和与外角和
第2课时 多边形的外角和
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1
2
3
4
B
5
360°；无关；4；4；4；4
6
7
8
见习题
见习题
B
180°；不变
C
D
1．多边形的外角和都等于______，它与边数的多少______．由此可知，任何多边形不可能有______个或______个以上的外角为钝角，也就是说任何多边形不可能有________个或________个以上的内角为锐角．
360°
无关
4
4
4
4
2．【2021·襄阳】正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是( )
A．3 B．6 C．9 D．12
B
3．【中考·南通】已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
B
4．多边形每增加一条边，它的内角和就增加________，外角和________．
180°
不变
5．【2021·眉山】正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为( )
A．1∶3 B．1∶2
C．2∶1 D．3∶1
【点拨】正八边形的内角和为：(8－2)×180°＝1 080°；
正八边形的每个内角的度数为：1 080°÷8＝135°；
正八边形的每个外角的度数为：360°÷8＝45°；
∴正八边形每个内角与每个外角的度数之比为：135∶45＝3∶1. 故选D.
D
6．【教材P156例2变式】【2021·绥化】一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是( )
A．八边形 B．九边形
C．十边形 D．十二边形
【点拨】设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为(n－2)×180°，
依题意得(n－2)×180°＝360°×4，解得n＝10，
所以这个多边形是十边形．故选C.
C
7．如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等，那么这样的多边形叫做正多边形．如正三角形就是等边三角形，正四边形就是正方形，如图所示是一组正多边形．
(1)观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表：
正多边形的边数 3 4 5 6 … n
∠α的度数 …
60° 45° 36° 30°
(2)根据规律，计算正八边形中∠α的度数．
解：根据规律得正八边形中∠α＝ ＝22.5°.
(3)是否存在正n边形使得∠α＝21°？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．
解：不存在．理由如下：
假设存在正n边形使得∠α＝21°，
则∠α＝21°＝ ，解得n＝8 .
因为n是正整数，所以n＝8 不符合题意，故不存在正n边形使得∠α＝21°.
8．(1)如图①，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1＋∠2等于( )
A．90° B．135° C．270° D．315°
C
(2)如图②，已知在△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成了四边形，∠1＋∠2＝________；
(3)根据(1)与(2)的求解过程，请你归纳猜想∠1＋∠2与∠A的关系是________________________；
220°
∠1＋∠2＝180°＋∠A
解：∠1＋∠2＝2∠A.理由如下：
∵△EFP是由△EFA折叠得到的，
∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF.
∴∠1＝180°－2∠AFE，∠2＝180°－2∠AEF.
∴∠1＋∠2＝360°－2(∠AFE＋∠AEF)．
又∵∠AFE＋∠AEF＝180°－∠A，
∴∠1＋∠2＝360°－2(180°－∠A)＝2∠A.
(4)如图③，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图所示的形状，试探究∠1＋∠2与∠A的关系，并说明理由．(共27张PPT)
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第六章 平行四边形
1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形的对角线性质
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1
2
3
4
D
5
互相平分；4；12
6
7
8
9
C
见习题
10
50
D
C
C
见习题
底、高；交点
11
12
见习题
答案显示
见习题
13
见习题
1．平行四边形的对角线________，并将平行四边形分成______对全等的三角形，______对面积相等的三角形．
互相平分
4
12
2．【2021·宜宾】下列说法正确的是( )
A．平行四边形是轴对称图形
B．平行四边形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相垂直
D．平行四边形的对角线互相平分
D
3．【2020·益阳】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是( )
A．10
B．8
C．7
D．6
D
4．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝3，△ABO的周长比△BOC周长小1，则 ABCD的周长是( )
A．10
B．12
C．14
D．16
C
5．平行四边形的面积等于________的积；过平行四边形对角线________的任一直线都将平行四边形分成面积相等的两部分．
底、高
交点
6．在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为3，则 ABCD的面积为( )
A．6 B．9
C．12 D．18
C
7．如图，在 ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为( )
A．3
B．6
C．12
D．24
C
8．【教材P139习题T2变式】【2021·扬州】如图，在 ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则 ABCD的面积为________．
【答案】 50
【点拨】如图，过点E作EF⊥BC，垂直为点F，
∵∠EBC＝30°，BE＝10，∴EF＝ BE＝5，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
又∵EC平分∠BED，即∠BEC＝∠DEC，
∴∠BCE＝∠BEC. ∴BC＝BE＝10.
∴S ABCD＝BC·EF＝10×5＝50.
9．【2021·嘉兴】如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2 ，求AH的长．
10．【教材P139习题T3变式】【2020·重庆A】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.AC平分∠DAE.
(1)若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；
解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°.
∵∠AOE＝50°，∴∠EAO＝40°.
∵AC平分∠DAE，
∴∠DAC＝∠EAO＝40°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC＝40°.
(2)求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°.
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO(AAS)．
∴AE＝CF.
11．如图，在平行四边形ABCD中，过BD的中点O任作一条直线l，分别交AD，BC于E，F两点．
(1)OE与OF相等吗？试说明理由．
解：OE＝OF.
理由：∵O是BD的中点，∴OB＝OD.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠ODE＝∠OBF.
在△ODE和△OBF中，
∴△ODE≌△OBF(ASA)，∴OE＝OF.
(2)若直线l分别交BA和DC的延长线于点M，N，OM与ON相等吗？试说明理由．
解：OM＝ON.理由：∵O是BD的中点，∴OB＝OD.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠OBM＝∠ODN.
在△OBM和△ODN中，
∴△OBM≌△ODN(ASA)，∴OM＝ON.
(3)由(1)(2)你发现了什么？用语言表述出来．
解：过平行四边形对角线中点的任意一条直线和这个平行四边形的两组对边(或其延长线)相交，所得每组对边的交点到对角线中点的距离相等．
12．如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AC∶BD＝2∶3.求：
(1)AC的长；
(2)△AOD的面积．
13．如图①，已知 ABCD.
(1)试用三种不同的方法用一条直线MN将它分成面积相等的两部分(保留作图痕迹，不写作法)；
解：作图如图①(作法不唯一)．
解：过对角线交点的任意一条直线都能将平行四边形分成面积相等的两部分．
(2)由上述方法，你能得到什么样的结论？
(3)解决问题：兄弟俩分家，原来他们共同承包了一块平行四边形田地ABCD，现要拉一条直线EF将田地平均划分，在这块田地里有一口井P，如图②所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，聪明的你能帮他们解决这个问题吗？(保留作图痕迹，不写作法)
解：作图如图②.(共35张PPT)
北师版 八年级下
第六章 平行四边形
1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角性质
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1
2
3
4
C
5
平行； ABCD； ABCD； ABCD
6
7
8
9
B
相等；互补
10
8或3
对称中心
A
B
C
对边；对边
11
12
B
答案显示
D
13
见习题
14
C
15
见习题
16
17
见习题
见行
ABCD
ABCD
ABCD
2．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，且DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，则图中平行四边形共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C
3．平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的____________．
对称中心
4．【2021·南充】如图，点O是 ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论一定成立的是( )
A．OE＝OF
B．AE＝BF
C．∠DOC＝∠OCD
D．∠CFE＝∠DEF
A
5．平行四边形的________平行；
平行四边形的________相等．
对边
对边
6．【2021·恩施州】如图，在 ABCD中，AB＝13，AD＝5，AC⊥BC，则 ABCD的面积为( )
A．30 B．60
C．65 D.
B
【点拨】∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD＝5.
∵AC⊥BC，∴AC＝ ＝12.
∴S ABCD＝BC·AC＝5×12＝60.
7．【2021·安顺】如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是( )
A．1 B．2
C．2.5 D．3
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∴∠DFC＝∠FCB.
又∵CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠FCB.
∴∠DFC＝∠DCF. ∴DF＝DC＝3.
同理可得AE＝AB＝3.
∵AD＝4，∴AF＝4－3＝1，DE＝4－3＝1.
∴EF＝4－1－1＝2.
【答案】 B
8．在 ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于点E，DF平分∠ADC交边BC于点F.若AD＝11，EF＝5，则AB＝________.
【点拨】如图①，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝11，BC∥AD，CD＝AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC.
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，∴AB＝BE＝CF＝CD.
∵EF＝5，∴BC＝BE＋CF－EF＝2AB－EF＝2AB－5＝11，
∴AB＝8.
如图②，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝11，BC∥AD，CD＝AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC.
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，∴AB＝BE＝CF＝CD.
∵EF＝5，∴BC＝BE＋CF＋EF＝2AB＋EF＝2AB＋5＝11，∴AB＝3.
综上所述，AB的长为8或3.
【答案】 8或3
9．平行四边形的对角________，邻角________．
相等
互补
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝58°，
∴∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝58°.
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝61°.
∴∠AEC＝∠B＋∠BAE＝119°.
10．【教材P137随堂练习T2变式】【2021·泸州】如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D＝58°，则∠AEC的大小是( )
A．61° B．109°
C．119° D．122°
C
11．【2020·温州】如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作 BCDE，则∠E的度数为( )
A．40° B．50°
C．60° D．70°
D
12．【2021·苏州】如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线翻折得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝ ，则B′D的长是( )
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ADC＝∠B＝60°.
∴∠CAE＝∠ACB＝45°.
∵将△ABC沿AC所在直线翻折至△AB′C，
∴∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝60°.
∴∠AEC＝180°－∠CAE－∠ACB′＝90°，
∴AE＝CE＝
∵∠AEC＝90°，∠AB′C＝60°，∠ADC＝60°，
∴∠B′AD＝30°，∠DCE＝30°.
∴B′E＝DE＝1，
∴B′D＝
【答案】 B
13．【教材P137习题T3变式】【2021·怀化】已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，AE＝CF.求证：
(1)△ADE≌△CBF；
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DA＝BC，DA∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，
∵∠DAC＋∠EAD＝180°，∠BCA＋∠FCB＝180°，
∴∠EAD＝∠FCB，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS)．
(2)ED∥BF.
证明：由(1)知△ADE≌△CBF，
∴∠E＝∠F.
∴ED∥BF.
14．【2021·荆门】如图，将一副三角尺在平行四边形ABCD中进行如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝( )
A．55° B．65°
C．75° D．85°
【点拨】如图，延长EH交AB于点N.
∵△EFH是等腰直角三角形，∴∠FHE＝45°.
∴∠NHB＝∠FHE＝45°.
∵∠1＝30°，∴∠HNB＝180°－∠1－∠NHB＝105°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，
∴∠2＋∠HNB＝180°.
∴∠2＝180°－∠HNB＝75°.
【答案】 C
15．如图所示，四边形ABCD为平行四边形，且AE＝AB，BE和CD的延长线交于点F，且∠BFC＝40°，求 ABCD各内角的度数．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD.
∴∠AEB＝∠CBF，∠ABE＝∠BFC.
∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE，
∴∠ABE＝∠CBF＝∠BFC＝40°，
∴∠ABC＝∠ADC＝80°.
易知∠ADC＋∠C＝180°，
∴∠C＝180°－∠ADC＝180°－80°＝100°，
∴∠A＝∠C＝100°.
16．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
(1)求证：BE＝CD；
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠E.
∵∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，
∴∠BAE＝∠DAE，∴∠E＝∠BAE，∴AB＝BE.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∴BE＝CD.
(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
解：由BE＝AB，∠BEA＝60°得△ABE为等边三角形，
∴AE＝AB＝4.
又∵BF⊥AE，∴AF＝EF＝2.
根据勾股定理得BF＝2 ，
易证△ADF≌△ECF，
∴S△AFD＝S△ECF.
又S ABCD＝S四边形ABCF＋S△AFD，S△ABE＝S四边形ABCF＋S△CFE，
∴平行四边形ABCD的面积等于三角形ABE的面积，
故S ABCD＝S△ABE＝
17．【2021·绍兴】问题：如图，在 ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
答案：EF＝2.
探究：(1)把问题中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
解：如图所示．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，BC＝AD＝5，AB∥CD. ∴∠DEA＝∠BAE.
∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE.
∴∠DEA＝∠DAE，∴DE＝AD＝5.
同理，CF＝BC＝5.
∵点E与点F重合，∴AB＝CD＝DE＋CF＝10.
②当点E与点C重合时，求EF的长．
解：如图所示．
∵点E与点C重合，∴DE＝DC＝5.
∵CF＝BC＝5，∴点F与点D重合．
∴EF＝DC＝5.
(2)把问题中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求 的值．
解：分三种情况：
①如图所示．
易得AD＝DE，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴AD＝DE＝EF＝CF，
②如图所示．
易得AD＝DE＝CF，
∵DF＝FE＝CE，∴
③如图所示．
易得AD＝DE＝CF.
∵DF＝DC＝CE，∴
综上所述，(共11张PPT)
北师版 八年级下
第六章 平行四边形
素养集训
活用多边形的内角和与外角和的五种方法
提示：点击 进入习题
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1
2
3
4
见习题
5
A
6
7
见习题
300°
见习题
见习题
见习题
1．已知一个正多边形的每个外角是60°，则这个正多边形的边数是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
A
2．已知两个多边形的内角总和是900°，且边数之比是1∶2.求这两个多边形的边数．
解：设这两个多边形的边数分别是n，2n.
由题意得(n－2)×180°＋(2n－2)×180°＝900°，
解得n＝3.
所以2n＝6.
故这两个多边形的边数分别是3，6.
3．如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角，且∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________．
【点拨】∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°－(180°－120°)＝360°－60°＝300°.
300°
4．如图，已知CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠C＝120°，∠E＝80°.试求∠F的度数．
解：如图，连接AD.
在四边形ABCD中，∠BAD＋∠ADC＋∠B＋∠C＝360°.
∵AB⊥BC，∴∠B＝90°.
∵∠C＝120°，∴∠BAD＋∠ADC＝150°.
∵CD∥AF，∴∠ADC＝∠DAF.
∴∠BAF＝150°.
又∵∠CDE＝∠BAF，∴∠CDE＝150°.
∴在六边形ABCDEF中，
∠F＝(6－2)×180°－∠BAF－∠B－∠C－∠CDE－∠E＝720°－150°－90°－120°－150°－80°＝130°.
5．一个多边形除去一个内角后，其余内角之和是2 570°，求：
(1)这个多边形的边数；
解：设这个多边形的边数为n，则内角和为(n－2)·180°.
依题意得2 570°＜(n－2)·180°＜2 570°＋180°，
解得16 ＜n＜17 .
因为n是正整数，所以n＝17.
即这个多边形的边数为17.
(2)除去的那个内角的度数．
解：除去的那个内角的度数为(17－2)×180°－2 570°＝130°.
6．如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．
解：如图，连接AD.
易知∠1＋∠2＝∠E＋∠F.
∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠1＋∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠2＝∠BAD＋∠B＋∠C＋∠ADC＝360°.
7．【教材P154议一议改编】一个多边形截去一个角后，形成一个新多边形的内角和是2 700°，那么原多边形的边数是多少？
解：设新多边形的边数是n，根据多边形的内角和公式，得(n－2)·180°＝2 700°，解得n＝17.
把一个多边形的一个角截去后，所得新多边形边数可能不变，可能减少1，也可能增加1.
所以原多边形的边数是16或17或18.