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北师版 八年级下
第五章 分式与分式方程
4 分式方程
第2课时 解分式方程
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(1)最简公分母；整式 (2)整式 (3)验根
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B
B
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B
A
B
A
零；整式方程；整式方程；最简公分母
最简公分母；最简公分母
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x＝3
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见习题
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见习题
1．分式方程的解法：(1)去分母，在方程两边都乘____________，化为________方程；(2)解这个________方程；(3)________．
最简公分母
整式
整式
验根
2．已知分式方程 ，下列说法错误的是( )
A．方程两边各分式的最简公分母是(x－1)(x＋1)
B．方程两边都乘(x－1)(x＋1)，得整式方程2(x－1)＋3(x＋1)＝6
C．解B中的整式方程，得x＝1
D．原方程的解为x＝1
D
··
3．【2020·上海】用换元法解方程 ＝2时，若设 ＝y，则原方程可化为关于y的方程是( )
A．y2－2y＋1＝0 B．y2＋2y＋1＝0
C．y2＋y＋2＝0 D．y2＋y－2＝0
A
A．－5 B．－4 C．－3 D．－2
∴a－2<0，∴a<2.
综上，－4
∵a为整数，∴a＝－3，－2，0或1.
∴满足条件的整数a的值之和是－3－2＋0＋1＝－4.
故选B.
【答案】B
5．解分式方程检验时，将整式方程的解代入__________，如果__________的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
最简公分母
最简公分母
6．【教材P126例1变式】【2021·哈尔滨】方程 的解为( )
A．x＝5 B．x＝3
C．x＝1 D．x＝2
【点拨】去分母得，3x－1＝2(2＋x)，
去括号得，3x－1＝4＋2x，
移项合并同类项得，x＝5，
检验：当x＝5时，(2＋x)·(3x－1)≠0，
∴分式方程的解为x＝5.
故选A.
【答案】A
7．【2020·成都】已知x＝2是分式方程 ＝1的解，那么实数k的值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
B
8．【2021·黑龙江】已知关于x的分式方程 ＝1的解为非负数，则m的取值范围是( )
A．m≥－4 B．m≥－4且m≠－3
C．m>－4 D．m>－4且m≠－3
【答案】B
【点拨】解分式方程，得x＝ .
∵分式方程的解为非负数，∴ ≥0且 ≠1，
解得m≤5且m≠3.
∴正整数m的值有1，2，4，5，共4个．
9．【2020·泸州】已知关于x的分式方程 ＋2＝－ 的解为非负数，则正整数m的所有个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
B
10．在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使原分式方程的分母为________，则这个根叫做原方程的增根，但它是去分母后的________的根；若分式方程无解，则说明去分母后的________无解或解这个整式方程得到的解使原方程的____________等于0.
零
整式方程
整式方程
最简公分母
11．【中考·齐齐哈尔】若关于x的方程 无解，则m的值为______________．
【点拨】去分母，得x＋4＋m(x－4)＝m＋3，
可得(m＋1)x＝5m－1.
当m＋1＝0且5m－1≠0时，一元一次方程无解，此时m＝－1；
当m＋1≠0时，x＝ ＝±4，解得m＝5或－ .
综上所述，m的值为－1或5或－ .
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝－1 D．无解
D
【点拨】方程两边同时乘(x－3)得，m＋4＝3x＋2(x－3)，
解得x＝ m＋2，
∵方程有增根，∴x－3＝0，∴x＝3，∴ m＋2＝3，
∴m＝5.故选D.
13．【2021·贺州】若关于x的分式方程 ＋2有增根，则m的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
D
14．【2021·常德】分式方程 的解为________．
【点拨】去分母得，x－1＋x＝x＋2，
解得x＝3，
检验：把x＝3代入得，x(x－1)＝6≠0，
∴分式方程的解为x＝3.
故答案为x＝3.
x＝3
15．【教材P128习题T1变式】
解：去分母得，3x＝x＋3x＋3，解得x＝－3，
检验：当x＝－3时，3(x＋1)≠0，
∴分式方程的解为x＝－3.
解：方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得
(x＋1)2－4＝(x＋1)(x－1)，
整理得2x－2＝0，解得x＝1.
检验：当x＝1时，(x＋1)(x－1)＝0，
∴x＝1是增根，应舍去．
∴原方程无解．
解：方程 的两边同时乘y2－9，得y－(y＋3)＝3(y－3)．
解这个一元一次方程，得y＝2.
经检验，y＝2是原分式方程的解．
∴k＝2.
去分母，得3(x＋3)＝2(x＋2)－6.
去括号，得3x＋9＝2x＋4－6.
移项，得3x－2x＝4－6－9.
合并同类项，得x＝－11.
解：方程两边同时乘(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋ax＝3(x－2)．
整理，得(1－a)x＝10.
若方程产生增根，则增根为x＝2或x＝－2，且增根一定是整式方程(1－a)x＝10的解．
∴将x＝2代入整式方程(1－a)x＝10，可得a＝－4；将x＝－2代入整式方程(1－a)x＝10，可得a＝6.
∴当a＝－4或a＝6时，原方程会产生增根．
17．当a为何值时，关于x的方程 会产生增根？
【答案】B
19．对于两数a，b，我们规定“*”运算：a*b＝ .请解方程：(x－2)*(x2－4)＝ .
去分母，得x＋2＋1＝－(x＋2)．
去括号，得x＋2＋1＝－x－2.
移项、合并同类项，得2x＝－5.
解得x＝－2.5.
经检验，x＝－2.5是原方程的解．
(1)若方程的增根为x＝1，求m的值；
解：方程两边同时乘(x＋2)(x－1)，得2(x＋2)＋mx＝x－1，
整理得(m＋1)x＝－5.
(1)∵x＝1是分式方程的增根，
∴1＋m＝－5，解得m＝－6.
(2)若方程有增根，求m的值；
解：∵原分式方程有增根，
∴(x＋2)(x－1)＝0，
解得x＝－2或x＝1.
当x＝－2时，m＝ ；
当x＝1时，m＝－6.
(3)若方程无解，求m的值．
解：当m＋1＝0时，整式方程无解，此时m＝－1；
当m＋1≠0时，要使原分式方程无解，
由(2)得m＝－6或m＝ .
综上，m的值为－1或－6或 .(共30张PPT)
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第五章 分式与分式方程
全章热门考点整合专训
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②④⑤
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1．下列说法中，正确的是( )
A．分式的分子中一定含有字母
B．当B＝0时，分式 无意义
C．分数一定是分式
D．分式的分子、分母乘(或除以)同一个整式，分式的值不变
B
2．【2021·乐山】某种商品m千克的售价为n元，那么这种商品8千克的售价为( )元．
A
3．【2020·金华】分式 的值是零，则x的值为( )
A．2 B．5 C．－2 D．－5
D
4．下列关于x的方程：
其中分式方程有__________(填序号)．
②④⑤
5．若关于x的方程 －3 ＝ 有增根，则增根为( )
A．x＝6 B．x＝5 C．x＝4 D．x＝3
B
6．已知方程 有增根x＝1，求k的值．
解：方程两边同乘x2－1，
得2(x－1)＋k(x＋1)＝6.
整理得(2＋k)x＋k－8＝0.
∵原分式方程有增根x＝1，
∴2＋k＋k－8＝0，解得k＝3.
7．不改变下列分式的值，将分式的分子和分母中的各项的系数化为整数：
8．先阅读下列解题过程，再解题：
题目：已知 (a，b，c互不相等)，求x ＋y＋z的值．
解：设 ＝k，则x＝k(a－b)，y＝k(b－c)，z＝k(c－a)，
∴x＋y＋z＝k(a－b＋b－c＋c－a)＝k·0＝0，∴x＋y＋z＝0.
【方法解读】分式求值小妙招——设参数法，当已知几个式子相等(如此题)或已知几个字母或式子的比时，往往可以设出参数k(k≠0)，将所有未知量都用参数k表示出来，通过运算消去参数，从而得到要求的结果．
依照上述方法解答下列问题：
①＋②＋③，得2x＋2y＋2z＝k(x＋y＋z)．
∵x＋y＋z≠0，∴k＝2，
9．【2020·山西】下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
任务一：填空：①以上化简步骤中，第________步是进行分式的通分，通分的依据是_______________．或填为__________________________________________________________________________；
②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________________________________________
三
分式的基本性质
分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变
五
括号前是 “－”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号．
答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式；约分、通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆．
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；
10．【2021·威海】先化简 ，然后从－1，0，1，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．
＝2(a－3)
＝2a－6，
∵a＝－1或a＝3时，原分式无意义，
∴a只能取1或0，
当a＝1时，原式＝2－6＝－4.(当a＝0时，原式＝－6.)
11．【中考·贺州】解分式方程：
解：去分母，得4＋x2－1＝x2－2x＋1.
解得x＝－1.
经检验，x＝－1是增根，故原分式方程无解．
解：方程两边同乘x，得1－(x－2)＝1.……①
去括号，得1－x－2＝1.……②
合并同类项，得－x－1＝1.……③
移项，得－x＝2.……④
解得x＝－2.……⑤
∴原方程的解为x＝－2.……⑥
请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．
解：步骤①去分母时，没有在等号右边乘x；
步骤②的括号前面是“－”号，去括号时，有一项没有变号；
步骤⑥前没有检验．
正确的解答过程如下：
解：方程两边同乘x，
得1－(x－2)＝x.
去括号，得1－x＋2＝x.
移项、合并同类项，得－2x＝－3.
解得x＝ .
经检验，x＝ 是原分式方程的解．
13．【中考·济宁】世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设，“孔夫子家”自此有了5G网络.5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是( )
A
14．【2020·张家界】2020年疫情防控期间，某学校花2 000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液的单价下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1 600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．
解：设第一批购进的消毒液的单价为x元，则第二批购进的消毒液的单价为(x－2)元．
依题意，得
解得x＝10.
经检验，x＝10是分式方程的解，且符合题意．
答：第一批购进的消毒液的单价为10元．
16．已知2x－3y＋z＝0，3x－2y－6z＝0，且z≠0，求 的值．
17．解下列分式方程：
(1)请完成上面的填空；
0
1
2
3
(2)根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解；
(3)请你用一个含正整数n的方程表示上述规律，并写出它的解．
解：用含正整数n的方程表示为 －1，方程的解为x＝n－1.(共27张PPT)
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第五章 分式与分式方程
3 分式的加减法
第1课时 同分母分式的加减法
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1．同分母的分式相加减，分母________，把分子________，即 ＝________.
不变
相加减
2．【2021·江西】计算 的结果为( )
A．1 B．－1 C. D.
A
3．【2021·安顺】计算 的结果是( )
A. B. C．1 D．－1
C
4．【中考·宁德】下面的分式化简，对于所列的每一步运算，依据错误的是( )
··
A．①：同分母分式的加减法法则
B．②：合并同类项法则
C．③：提公因式法
D．④：等式的基本性质
【答案】D
5．【教材P117例1变式】计算：
6．【2021·天津】计算 的结果是( )
A．3 B．3a＋3b C．1 D.
A
B
8．下列计算正确的是( )
【答案】D
9．阅读下列题目的计算过程：
＝x－3－2x＋2 ②
＝－x－1 ③
(1)上面计算过程从哪一步开始出现错误？请写出该步骤的序号：________；
(2)错误的原因是____________；
(3)本题的正确结论是____________．
②
丢了分母
10．【教材P118例2变式】计算：
11．已知两个式子： ，其中x≠±2，则A与B的关系是( )
A．相等 B．互为相反数
C．互为倒数 D．A大于B
B
12．计算：
13．有这样一道题：“求 的值，其中a＝2 023”，“小马虎”不小心把a＝2 023错抄成a＝ 2 003，但他的计算结果却是正确的，请说明理由．
∴算式的值与a无关．
∴“小马虎”不小心把a＝2 023错抄成a＝2 003，但他的计算结果却是正确的．
∵(x－3)2与2|y－2|互为相反数，
∴(x－3)2＋2|y－2|＝0.
∴x－3＝0，y－2＝0.
∴x＝3，y＝2.
∴原式＝
15．已知 ，用“＋”或“－”连接M，N，P有多种不同的形式，如：M＋N－P.请你任选一种进行计算，并化简求值，其中x∶y＝5∶2.
16．已知abc≠0且a＋b＋c＝0，求
【点拨】解法一巧用a＋b＋c＝0这一条件，将所求式子化为含有a＋b＋c的形式．(共27张PPT)
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第五章 分式与分式方程
2 分式的乘除法
第1课时 分式的乘除法
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见习题
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见习题
1．分式乘分式，用分子的积作为__________，分母的积作为__________，即 ＝________.
积的分子
积的分母
2．【中考·江西】计算(－a)2· 的结果为( )
A．b B．－b C．ab D.
A
3．计算 的结果是( )
A
4．【教材P114例1变式】计算：
5．分式除以分式，把除式的___________颠倒位置后，与被除式______，即 ＝ ·______＝______．
分子和分母
相乘
B
7．使 有意义的x满足( )
A．x≠3且x≠2
B．x≠3且x≠－1
C．x≠2且x≠－2
D．x≠－1，x≠2且x≠3
D
8．计算a÷ 的结果是( )
A．a B．a2 C. D.
D
9．计算 的结果是( )
A．1 B．x＋y C．－1 D．x－y
A
10．阅读下列解题过程，然后回答问题．
(1)上述计算过程中，第一步使用的公式用字母表示为_________________________________________________；
(2)第二步使用的运算法则用字母表示为________________；
(3)由第二步到第三步进行了分式的________；
(4)以上三步中，第________步出现错误，正确的化简结果是________．
a2－2ab＋b2＝(a－b)2，a2－b2＝(a＋b)(a－b)
约分
三
－1
11．【教材P115例2变式】计算：
【方法解读】分式除法的一般步骤：(1)如果分式的分子、分母为多项式，先要进行因式分解；(2)利用除法法则，将除法运算转化为乘法运算；(3)运用分式的乘法法则计算；(4)约分化简，结果必须化为最简分式或整式．
12．(1)【2020·云南】先化简，再求值： ，其中x＝ .
(2)【2021·黔东南州】先化简： ，然后从0，1，2三个数中选一个你认为合适的数代入求值．
＝x＋2，
∵x取0或2时，原式无意义，
∴x只能取1，当x＝1时，原式＝3.
13．【中考·珠海】先化简，再求值： ，其中x＝ .
14．先化简，再求值： ，其中a满足a2－a＝12.
【点拨】本题无法直接求出a的值，将a2－a看成一个整体代入求值．
解： ＝ · (a＋1)(a－1)＝(a－2)(a＋1)＝a2－a－2.
当a2－a＝12时，原式＝a2－a－2＝12－2＝10.
15．(1)计算：(a＋2)(a2－2a＋4)＝________，
(2x＋y)(4x2－2xy＋y2)＝________．
(2)上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式，用含a，b的字母表示为___________________________．
a3＋8
8x3＋y3
(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3
(3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是________(填序号)．
①(a＋3)(a2－3a＋9)
②(2m＋n)(2m2＋2mn＋n2)
③(4－x)(16＋4x－x2)
④(m－n)(m2＋2mn＋n2)
①
(4)利用所学知识以及(2)所得的等式，化简代数式
16．有甲、乙两筐水果，甲筐水果重(m－1)2kg，乙筐水果重(m2－1)kg(其中m>1)，售完后，两筐水果都卖了120元．
(1)哪筐水果的单价高？
解：甲筐水果的单价为 元/kg，乙筐水果的单价为 元/kg.
∵m>1，∴(m2－1)－(m－1)2＝2m－2＝2(m－1)＞0.
∴0<(m－1)2∴
故甲筐水果的单价高．
(2)单价高的水果价格是单价低的多少倍？(共25张PPT)
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第五章 分式与分式方程
3 分式的加减法
第3课时 分式的混合运算
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A
乘方；乘除；加减
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见习题
1．分式的混合运算顺序与实数相同，即先________，再________，然后________．
乘方
乘除
加减
A
B
A
6．【2021·苏州】已知两个不等于0的实数a，b满足a＋b＝0，则 等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
A
A
9．(1)【2021·益阳】先化简，再求值： ，其中a＝2.
11．【2021·烟台】先化简，再求值： ，从－2∵－2∴x的整数值为－1，0，1，2且x≠±1，2，
∴x＝0，
当x＝0时，原式＝ ＝－1.
【点拨】根据分式的乘除法法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出x，y的值，再代入计算即可．
【点拨】运用待定系数法求值时，应先将等式左边化成与右边相同的形式，再由各相同项的系数也相同求解．
15．【2021·黑龙江】先化简，再求值： ，其中x满足x2－2x－3＝0.
解：原式＝ ·(x－1)＝ ·(x－1)－2(x－1)＝x2－3－2x＋2＝x2－2x－1.
由x2－2x－3＝0，得x2－2x＝3.
∴原式＝3－1＝2.(共12张PPT)
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第五章 分式与分式方程
4 分式方程
第1课时 分式方程
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C
未知数；方程；分母
(2)等量关系
1．分母中含有________的方程叫做分式方程；分式方程的识别标准：一是______，二是______中含有未知数．
未知数
方程
分母
2．下列关于x的方程中，不是分式方程的是( )
C
··
其中是分式方程的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．②③④
D
4．列分式方程的步骤：(1)审清题意，明确题目中的未知数；(2)根据题意找__________，列出分式方程．
等量关系
5．【2021·鄂尔多斯】2020年疫情防控期间，鄂尔多斯市某电信公司为了满足全体员工的需要，花1万元购买了一批口罩，随着2021年疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩降价10元，电信公司又花6 000元购买了一批口罩，购买的数量比2020年购买的数量还多100包，设2020年每包口罩为x元，可列方程为( )
C
6．【2021·十堰】某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是( )
B
7．【教材P126习题T2改编】某工程在招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：
Ⅰ.甲队单独完成这项工程能如期完成；
Ⅱ.乙队单独完成这项工程要比规定日期多6天；
Ⅲ.若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做也能如期完成．
(2)根据题意及表中所得到的信息列出方程_________________________________．
(1)设甲队单独完成这项工程需要x天．
工程总量, 所用时间/天 工程效率
甲队 ________ ________ ________
乙队 ________ ________ ________
1
x
1
x＋6(共29张PPT)
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第五章 分式与分式方程
4 分式方程
第3课时 分式方程的应用
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1．一辆汽车开往距离出发地180 km的目的地，按原计划的速度匀速行驶60 km后，再按原计划速度的1.5倍匀速行驶，结果比原计划提前40 min到达目的地．求原计划的行驶速度．
(1)审：审清题意，找出已知量和未知量．
(2)设：设未知数，设原计划的行驶速度为x km/h，则行驶60 km后的速度为__________．
1.5x km/h
(3)列：根据等量关系，列分式方程为_____________________．
(4)解：解分式方程，得x＝________．
(5)验：检验所求得的解是否为分式方程的解，并检验分式方程的解是否符合问题的实际意义．
经检验：________是原方程的解，且符合题意．
(6)答：写出答案(不要忘记单位)．
答：原计划的行驶速度为________．
60
x＝60
60 km/h
2．【教材P129例3改编】【2021·常州】为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？
解：设该景点在设施改造后平均每天用水x吨，则在改造前平均每天用水2x吨，
根据题意，得 ＝5.
解得x＝2.
经检验：x＝2是原方程的解，且符合题意．
答：该景点在设施改造后平均每天用水2吨．
3．【中考·宁夏】某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需A种原料1.2千克，B种原料1千克．已知A种原料每千克的价格比B种原料每千克的价格多10元．
(1)为使每件产品的成本价不超过34元，那么购入的B种原料每千克的价格最高不超过多少元？
解：设B种原料每千克的价格为x元，则A种原料每千克的价格为(x＋10)元．
根据题意，得1.2(x＋10)＋x≤34，
解得x≤10.
答：购入的B种原料每千克的价格最高不超过10元．
(2)将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发价多30元．现用10 000元通过批发价购买该产品的件数与用16 000元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？
解：设这种产品的批发价为a元，则零售价为(a＋30)元．
根据题意，得
解得a＝50.
经检验，a＝50是原方程的根，且符合题意．
答：这种产品的批发价为50元．
4．【2021·徐州】某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？
解：设该商品打折前每件x元，则打折后每件0.8x元，
根据题意得，
解得x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解且符合题意．
答：该商品打折前每件50元．
5．【2021·威海】六一儿童节来临之际，某商店用3 000元购进一批玩具，很快售完；第二次购进时，每件的进价提高了20%，同样用3 000元购进的数量比第一次少了10件．
(1)求第一次每件的进价为多少元；
解：设第一次每件的进价为x元，则第二次每件的进价为(1＋20%)x元，
根据题意，得
解得x＝50.
经检验，x＝50是方程的解，且符合题意．
答：第一次每件的进价为50元．
(2)若两次购进的玩具售价均为70元，且全部售完，求两次的总利润为多少元．
解：70× －3 000×2＝1 700(元)．
答：两次的总利润为1 700元．
6．【2021·黑龙江】某中学九年级学生在开学前去商场购进A，B两款书包奖励班级表现优秀的学生，购买A款书包共花费6 000元，购买B款书包共花费3 200元，且购买A款书包数量是购买B款书包数量的3倍，已知购买一个B款书包比购买一个A款书包多花30元．
(1)求购买一个A款书包、一个B款书包各需多少元；
解：设购买一个A款书包需要x元，则购买一个B款书包需要(x＋30)元，
依题意得：
解得x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意．
∴x＋30＝50＋30＝80.
答：购买一个A款书包需要50元，购买一个B款书包需要80元．
(2)为了调动学生的积极性，学校在开学后再次购进了A，B两款书包，每款书包不少于14个，总花费恰好为2 268元，且在购买时商场对两款书包的销售单价进行了调整，A款书包销售单价比第一次购买时提高了8%，B款书包按第一次购买时销售单价的九折出售．求此次A款书包有几种购买方案；
解得：14≤m≤21.
又∵42－ m为整数，∴m为3的倍数，
∴m可以取15，18，21，∴此次A款书包有3种购买方案．
(3)在(2)的条件下，商场这次销售两款书包，单价调整后利润比调整前减少72元，直接写出两款书包的购买方案．
解：购买18个A款书包，18个B款书包．
7．【教材P129随堂练习拓展】【2021·营口】为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两类图书，购买“科普类”图书花费了3 600元，购买“文学类”图书花费了2 700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．
(1)求这两类图书的单价分别是多少元；
解：设“文学类”图书的单价为x元，则“科普类”图书的单价为(1＋20%)x元，
依题意，得
解之得，x＝15.
经检验，x＝15是所列方程的根，且符合题意．
∴(1＋20%)x＝18.
答：“科普类”图书的单价为18元，“文学类”图书的单价为15元．
(2)学校决定再次购买这两类图书共100本，且总费用不超过1 600元，求最多能购买“科普类”图书多少本．
解：设“科普类”图书购买a本，则“文学类”图书购买(100－a)本，
依题意得18a＋15(100－a)≤1 600，解之得a≤
∵a是正整数，∴a最大值＝33.
答：最多能购买“科普类”图书33本．
8．【2021·衡阳】“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6 000棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树________棵．
【答案】500
【点拨】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树(1＋25%)x棵，
依题意得 ＝3，解得x＝400.
经检验，x＝400是原方程的解，且符合题意．
∴(1＋25%)x＝500.
故答案为500.
9．【2021·泰州】甲、乙两个工程队共同修建150 km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两个工程队原计划平均每月分别修建多长？
解：设甲工程队原计划平均每月修建x km，乙工程队原计划平均每月修建y km，
检验：当x＝2，y＝3时，x＋y≠0，(1＋50%)·x＋y≠0，且符合题意．
答：甲工程队原计划平均每月修建2 km，乙工程队原计划平均每月修建3 km.
10．【2021·包头】小刚家到学校的距离是1 800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．
(1)求小刚跑步的平均速度；
解：设小刚跑步的平均速度为x米/分，则小刚骑自行车的平均速度为1.6x米/分，
根据题意，得
解得x＝150，
经检验，x＝150是所列方程的根且符合题意，
答：小刚跑步的平均速度为150米/分．
解：由(1)得小刚跑步的平均速度为150米/分，
则小刚跑步所用时间为1 800÷150＝12(分钟)，
骑自行车所用时间为12－4.5＝7.5(分钟)，
∵在家取作业本和取自行车共用了3分钟，
∴小刚从开始跑步回家到赶回学校需要12＋7.5＋3＝22.5(分钟)．
又∵22.5>20，∴小刚不能在上课前赶回学校．
(2)如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．(共7张PPT)
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第五章 分式与分式方程
素养集训
分式方程的解在求字母的值或取值范围中的四种常用技巧
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见习题
见习题
见习题
1．已知关于x的分式方程 与分式方程 的解相同，求m2－2m的值．
2．若关于x的方程 ＋2有解，求m的取值范围．
解：去分母并整理，得x＋m－4＝0，解得x＝4－m.
∵分式方程有解，∴x＝4－m不能为增根．
又∵原方程若有增根，则增根为x＝3，
∴4－m≠3，解得m≠1.
∴当m≠1时，原分式方程有解．
3．解关于x的方程 时产生了增根，请求出所有满足条件的k的值．
解：方程去分母后整理得(k＋2)x＝－3.
分以下两种情况：
①若x＝1，则k＋2＝－3，∴k＝－5；
②若x＝－2，则－2(k＋2)＝－3，∴k＝－ .
综上所述，k的值为－5或－ .
4．已知关于x的方程 －m－4＝ 无解，求m的值．
解：原方程可化为(m＋3)x＝4m＋8.由于原方程无解，故有以下两种情况：
(1)若整式方程无实根，则m＋3＝0且4m＋8≠0，此时m＝－3.
(2)若整式方程的解是原方程的增根，则 ＝3，解得m＝1.
经检验，m＝1是方程 ＝3的解．
综上所述，m可取－3或1.(共23张PPT)
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第五章 分式与分式方程
2 分式的乘除法
第2课时 分式的乘方
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C
B
见习题
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见习题
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见习题
1．分式乘方要把分子、分母分别________，即 ＝________.
乘方
2．下列计算中，正确的是( )
D
3．【中考·曲靖】下列计算正确的是( )
A．a2·a＝a2 B．a6÷a2＝a3
C．a2b－2ba2＝－a2b D.
C
4．【中考·山西】下列运算错误的是( )
··
B
5．下列计算中，错误的是( )
C
··
6．(1)若是分式的乘除混合运算，则颠倒其中的除式的分子、分母位置，统一成________运算，如：a÷ ·b÷ ·c÷ ＝a·________·b·________·c·________；
(2)若是含乘方、乘除的混合运算，则先算________，再算________，如： ＝________÷ ·________.
乘法
b
c
d
乘方
乘除
7．化简x÷ 的结果为( )
A．1 B．xy C. D.
D
B
B
上述过程是否有错？若有错，是从第几步开始出错的？并写出正确的计算过程．
解：有错，是从第一步开始出错的．
正确的计算过程如下：
11．计算：
12．先化简，再求值 ： ，其中a＝－ ，b＝ .
解：由已知条件得(a＋5)2＋|b－3|＝0，
∴a＝－5，b＝3.
14．已知a2＋10a＋25＝－|b－3|，求
的值．
15．阅读下面的解题过程：
该题的解法叫做“倒数求值法”，请你利用此方法解下面的题目：
已知
【方法总结】在求分式的值时，当分母中次数最高项的次数大于分子中次数最高项的次数且直接求值难度较大时，可用“取倒数”这一妙法求值，即先求原分式的倒数的值，再取倒数得原分式的值，这种求值的方法叫做倒数求值法．(共29张PPT)
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第五章 分式与分式方程
3 分式的加减法
第2课时 异分母分式的加减法
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A
D
最高次幂；相等
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见习题
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见习题
1．各分母系数(都是整数)的最小公倍数与所有字母的____________的积叫做最简公分母．根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式__________的同分母的分式，叫做分式的通分．
最高次幂
相等
2．【中考·百色】下列三个分式 的最简公分母是( )
A．4(m－n)x
B．2(m－n)x2
C.
D．4(m－n)x2
D
3．将分式 通分的过程中，不正确的是( )
A．最简公分母是(x－2)(x＋3)2
D
4．异分母的分式相加减，先________，化为________的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算，即 ＝________±________＝__________.
通分
同分母
5．【2021·南充】下列运算正确的是( )
D
6．【2020·临沂】计算 的结果为( )
A
7．【2021·湘西州】下列计算结果正确的是( )
A．(a3)2＝a5 B.(－bc)4÷(－bc)2＝－b2c2
C．a÷b· D．1＋
C
8．学完分式的加减法后，老师出了一道题：
小亮的做法：原式＝(x＋3)(x－2)＋(2－x)＝x2＋x－6＋2－x＝x2－4；
其中做法正确的是( )
A．小明 B．小亮
C．小芳 D．没有正确的
C
9．【教材P120例3变式】计算：
10．下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误( )
A．① B．② C．③ D．④
B
11．【教材P120例3改编】化简：
【方法解读】确定最简公分母的一般方法：(1)如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是由各分母系数的最小公倍数、各分母相同字母的最高次幂、各分母所有不同字母及其指数这三部分的乘积组成；(2)如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再按照分母都是单项式时求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定．
12．【2021·河北】由 值的正负可以比较A＝ 与 的大小，下列正确的是( )
C
13．已知a，b为实数，且ab＝1.设M＝ ，N＝ ，比较M，N的大小．
【点拨】巧妙地运用ab＝1将式子进行变形是解此题的关键．
D
15．【2021·乐山】已知 ，求A，B的值．
16．【教材P122习题T5变式】现有大小两艘船，小船每天运x(x＞40)吨货物，大船比小船每天多运10吨货物．现在让大船完成运送100吨货物的任务，小船完成运送80吨货物的任务．
(1)分别写出大船、小船完成任务所用的时间；
(2)试说明哪艘船完成任务所用的时间少．(共26张PPT)
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第五章 分式与分式方程
1 认识分式
第2课时 分式的基本性质
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不等于0；C；C
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C
10
公因式；分式的基本性质；公因式
C
D
B
两；不变
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见习题
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见习题
16
见习题
1．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以)同一个________的整式，分式的值不变．
用式子表示为 ， (其中A，B，C是整式，B≠0，C≠0)．
不等于0
C
C
2．下列各式从左到右的变形一定正确的是( )
D
3．下列各式从左到右的变形一定正确的是( )
C
4．【教材P110例2变式】【2020·河北】若a≠b，则下列分式化简正确的是( )
D
5．对于分式 的符号，它包含分子A、分母B、分式 (本身)三种符号，改变其中任意________种的符号，分式的值________，即
两
不变
6．不改变分式的值，使分式的分子、分母中不含负号：
(1) ＝________；(2) ＝________.
7．【中考·扬州】分式 可变形为( )
D
8．把一个分式的分子与分母的________约去，叫做分式的约分，其依据是________________；其目的是将分式转化成分子与分母没有__________的分式，即将分式转化为最简分式．
公因式
分式的基本性质
公因式
9．【教材P110例3变式】分式 约分后等于( )
A．－1 B．－2a C．－ D.
C
10．分式 的分子与分母的公因式是( )
A．4ab B．2ab C．4a2b2 D．2a2b2
B
11．下列各分式中，是最简分式的为( )
C
12．【教材P112随堂练习T2变式】约分：
13．(1)【中考·福州】化简：a－b－
解：原式＝a－b－(a＋b)＝a－b－a－b＝－2b.
(2)不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项系数都化为整数：
(3)【教材P113习题T2变式】先化简，再求值： ，其中a＝－2，b＝2.
D
(2)【2021·福建】已知非零实数x，y满足y＝ ，
则 的值等于________．
4
(3)求下列各式的值：
15．阅读理解：
(1)回答下列问题：
①第一步运用了________的基本性质．
②第二步的解题过程运用了__________的方法；
由 ，是对分式进行了________．
等式
代入消元
约分
(2)模仿上述方法解题：
16．【中考·天水】若x＋ ＝3，求 的值．(共12张PPT)
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第五章 分式与分式方程
素养集训
分式及其运算的八种常见题型
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见习题
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见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
6
见习题
1．从a－1，3＋π，2，x2＋5中任选2个构成分式，共有________个．
6
2．【教材P132复习题T6变式】x取何值时，下列分式有意义？
根据题意得x2＋1≠0.
∵x2＋1＞0，∴x取全体实数．
∴当x取全体实数时，分式有意义．
解：根据题意得3x＋2≠0，解得x≠－ .
∴当x≠－ 时，分式有意义．
解：根据题意得|x|＋2≠0，∴|x|≠－2.
∵|x|≥0，∴x取全体实数．
∴当x取全体实数时，分式有意义．
根据题意得x2－9≠0，∴x≠±3.
∴当x≠±3时，分式有意义．
3．下列各式中x为何值时，分式的值为零？
4．已知分式 ，问x取何值时，分式的值为正数？
解：分式的值为正数，需满足
解得x＜1且x≠0.
5．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项系数都化为整数：
6．先化简，再求值： ，其中x＝5，y＝－10.
7．【2021·十堰】化简：
C(共25张PPT)
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第五章 分式与分式方程
1 认识分式
第1课时 认识分式
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B
5
(2)整式；字母
6
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D
C
10
A＝0；B≠0
D
(1)B≠0 (2)B＝0
B
A
B
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见习题
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C
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见习题
见习题
1．判断一个式子是否为分式，要明确两点：
(1)从“形”去看，看是否为“ ”这种形式；
(2)从“意义”去看，A为________，且B为含有________的非零整式．
整式
字母
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
3．【教材P109随堂练习T3改编】【2021·台州】将x克含糖10%的糖水与y克含糖30%的糖水混合，混合后的糖水含糖( )
D
4．对于分式 ，(1)当________时，分式 有意义；(2)当________时，分式 没有意义．
B≠0
B＝0
5．【教材P109随堂练习T1变式】【2021·宁波】要使分式 有意义，x的取值应满足( )
A．x≠0
B．x≠－2
C．x≥－2
D．x>－2
B
6．已知分式 ，当x＝6时，分式无意义，则m的值为( )
A．12 B．－12
C．±12 D．不确定
B
7．【2020·菏泽】函数y＝ 的自变量x的取值范围是( )
A．x≠5 B．x＞2且x≠5
C．x≥2 D．x≥2且x≠5
D
8．对于分式 ，当______且______时，分式的值为零．
A＝0
B≠0
9．【2021·扬州】不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是( )
A．x＋1 B．x2－1
C. D．(x＋1)2
C
10．【2021·雅安】若分式 的值等于0，则x的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．±1
A
11．当x取何值时，下列分式值为零？
解：x2－81＝0，即x2＝81，∴x＝±9.
又∵x＋9≠0，∴x≠－9，∴x＝9.
解：2x2－8＝0，∴2x2＝8，∴x2＝4，∴x＝±2.
又∵x－2≠0，∴x≠2，∴x＝－2.
12．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
【点拨】 ＋3这两个式子不是分式，是含分式的式子．
13．下列说法正确的是( )
A. 是整式
B．若分式的分子为零，则分式的值为零
C．对于任意实数x，分式 总有意义
D．将式子a÷(m＋n)写成分式的形式是
【答案】 C
14．已知分式 ，当x＝1时，分式无意义；当x＝4时，分式的值为0.求a＋b的值．
解：∵当x＝1时，分式无意义，
∴1－a＝0，解得a＝1.
∵当x＝4时，分式的值为0，
∴4＋2b＝0，解得b＝－2.
∴a＋b＝1－2＝－1.
15．已知分式 ，当x＝4时，分式没有意义；当x＝－3时，分式的值为零．求分式 的值．
16．当x为何值时，分式 的值为1？当x为何值时，分式 的值为－1
(1)请你完成这道题．
(2)做完这道题后，聪明的王鑫发现：无论x取何值时，上述分式都有意义．你知道这是为什么吗？
解：因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
无论x为何值，都有(x－1)2≥0，
所以(x－1)2＋2≠0，
即x2－2x＋3≠0.
所以无论x取何值时， 都有意义．
(3)如果分式 不论x取何实数总有意义，你能求出m的取值范围吗？
解：因为x2－2x＋m＝(x－1)2＋m－1，所以当m－1＞0，即m＞1时，分式 不论x取何实数总有意义．