高中数学人教A版（2019）必修 第一册 第四章指数函数与对数函数 4.3对数 （word含答案解析）

第四章指数函数与对数函数4.3对数
一、单选题
1．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震与2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震所释放出来的能量的比值为（ ）
A． B．1.5 C． D．
2．已知，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．或1
3．声强是指声音在传播途径上每平方米面积上的声能流密度，用I表示．由于声强I的变化范围非常大，为方便起见，引入声强级的概念，规定声强级，其中，称为基准声强，声强级的单位是Bel，又称为1 dB，生活在30 dB左右的安静环境有利于人的睡眠，而长期生活在90 dB以上的噪音环境中会严重影响人的健康，根据所给信息，可得90 dB声强级的声强是30 dB声强级的声强的（ ）
A．3倍 B．倍 C．倍 D．倍
4．已知，，，则的最小值是
A．4 B．3 C．2 D．1
5．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知, 则
A．2 B．3 C． D．
7．已知函数若非零实数满足，则的值为
A．或 B．或 C．或 D．或
8．某企业的生产废水中某重金属对环境有污染，因此该企业研发了治理回收废水中该重金属的过滤装置，废水每通过一次该装置，可回收20%的该重金属．若当废水中该重金属含量低于最原始的5%时，至少需要经过该装置的次数为（ ）（参考数据：）
A．13 B．14 C．15 D．16
9．下列语句正确的是
①对数式logaN=b与指数式ab=N是同一关系的两种不同表示方法．
②若ab=N（a>0且a≠1，N>0），则一定成立．
③对数的底数可以为任意正实数．
④logaab=b对一切a>0且a≠1恒成立．
A．①②③④ B．①②④
C．①③④ D．②③④
10．的值是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）=5-x-1，则f（log499 log57）的值为（　　）
A． B． C． D．
12．已知，，则（ ）（结果用，表示）
A． B． C． D．
13．已知方程的两根为，，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
14．已知幂函数的图像过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
15．在中，若，则是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
16．已知函数是定义在上的增函数，函数的图像关于点对称，
若任意的、，不等式恒成立，则当时，的
取值范围是
A． B． C． D．
17．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列人世界遗产名录．良诸古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了华夏五千年文明史．考古学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量随时间（年）的衰变规律满足：（表示碳14原来的质量），经过测定，良渚古城某文物样本中碳14的质量是原来的倍，据此推测良渚古城遗址存在的时期距今大约是（ ）．（参考数据：，）
A．3440年 B．4010年 C．4580年 D．5160年
二、多选题
18．已知x>0，y>0，z>0，若，则（ ）
A．z19．下列等式不成立的是
A． B． C． D． E．
三、填空题
20．若，则________.
21．将下列指数式改为对数式：
（1），对数式为_____________；
（2），对数式为___________；
（3），对数式为_____________；
（4），对数式为_____________.
22．已知集合M是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式＝＋恒成立．现有两个函数：，，则函数、与集合M的关系为___________________________ .
23．计算： __________
24．已知函数，若，则实数的值为_________．
25．lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2的值为________．
26．设，则y关于x的解析式是_________．
27．化简：.
28．设，若，则=_________.
29．已知且，则____________．
30．若已知，则=__________．
31．求值：2+=____________．
四、解答题
32．（1）计算：；
（2）解关于的方程：.
33．计算：
(1)；
(2)．
34．若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“可移点”.
（1）函数是否有“可移点”？请说明理由；
（2）若函数有“可移点”，求实数a的取值范围；
（3）求证：有“可移点”.
35．设定义域为[﹣1，1]的函数f（x）＝ln（a+x）+ln（a﹣x），且a＞1．用函数单调性定义证明函数f（x）在[0，1]上是减函数；
试卷第页，共页
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参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
设日本地震所释放出的能量是，汶川地震所释放出的能量是，由已知列式结合对数的运算性质求得与的值，作比得答案．
【详解】
解：设日本地震所释放出的能量是，汶川地震所释放出的能量是，
则，，
，；
．
故选：A．
【点睛】
本题考查根据实际问题选择函数模型，考查对数的运算性质，是基础题．
2．B
【解析】
【分析】
利用对数的运算法则和对数性质得到关于的代数式，转化为关于的一元二次方程，求得的值，注意根据已知等式，由对数的定义探求范围，做出取舍，进而利用对数的定义求得所求对数的值.
【详解】
，.
∴.
∵，∴，解之得:或.
∵，∴，∴.
∴.
【点睛】
本题考查对数的运算，易错点是忽视对数中的真数大于零的要求，缺少对范围的确定，产生多余的解.
3．C
【解析】
【分析】
由题设列对数方程，应用指对数关系转化对数式为指数式：用表示90 dB、30 dB声强级的声强，进而求结果.
【详解】
设90 dB和30 dB声强级的声强分别是，，
由题意，得，，则，，
∴，
故选：C．
4．A
【解析】
【详解】
试题分析：由，可得，所以，则，因为，，则，当且仅当即时，取得等号，所以，即的最小值是，故选A．
考点：1、对数运算性质；2、基本不等式．
5．A
【解析】
【分析】
先利用对数的运算和性质比较的大小，再作差比较大小即得解.
【详解】
，，
；
，，
，
，
故选：A.
【点睛】
方法点睛：比较实数的大小，一般先和“0”比，再和“±1”比，再和特殊值比较，最后利用作差法比较. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
6．B
【解析】
【分析】
将化为，然后两边同时取对数即可．
【详解】
由，得，
所以．
故选B．
【点睛】
本题考查指数形式化为指定底的对数形式，要正确运用指数的运算性质，难度不大．
7．D
【解析】
【详解】
得
所以的值为或
故选D
8．B
【解析】
【分析】
由题可得，即求.
【详解】
设至少需要经过该装置的次数为，
则，即，
∴，又，
∴.
故选：B.
9．B
【解析】
【分析】
根据对数函数的概念以及对数的运算公式依次对选项进行判断即可得到答案.
【详解】
由对数概念及知①正确；若ab=N（a>0且a≠1，N>0），则logaN=b，，故②正确；由对数的性质知④正确．对数的底数不能为1，故③错误．
故选B．
【点睛】
本题考查了对数的概念，以及对数的简单公式，对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
10．A
【解析】
【分析】
利用指数幂的运算性质化简即可.
【详解】
．
故选：A
11．B
【解析】
【分析】
化简log499 log57，根据f（x）为奇函数即可求出其值.；
【详解】
log499 log57==
又x＜0时，f（x）=5-x-1，且f（x）为奇函数；
∴f（log499 log57）=f()=-f()=-=-2．
故选B．
【点睛】
本题考查奇函数的定义，对数式的运算，以及对数的换底公式，指数与对数的互化．
12．A
【解析】
【分析】
由换底公式化简，然后把已知代入计算即可得
答案．
【详解】
解：
将已知代入得：．
故选：A．
13．D
【解析】
【分析】
根据韦达定理及对数的运算即可得到答案.
【详解】
∵方程的两根为，，
∴，
∴.
故选：D．
14．A
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义，求解幂函数解析式，再代入求值.
【详解】
由题意，幂函数的图像过点，
设，代入，则，则，
故选：A
【点睛】
本题考查幂函数解析式的求法，考查对数运算法则，考查计算能力，属于基础题.
15．D
【解析】
【分析】
由条件及正弦定理得到三角形角的关系，进而可得三角形的形状．
【详解】
由及正弦定理得，
所以，
又为三角形的内角，
所以，
所以为等边三角形．
故选D．
【点睛】
判断三角形的形状有两种方法，一是把角化为边后进行判断，另一种方法是把边化为角后再进行判断，其中两种判定方法有相互交叉的情形，如等腰直角三角形，解题时要灵活选择相应的方法进行求解．
16．C
【解析】
【详解】
试题分析∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，
即函数y=f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），又∵f（x）是定义在R上的增函数且f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立∴f（x2﹣6x+21）＜﹣f（y2﹣8y）=f（8y﹣y2）恒成立，
∴x2﹣6x+21＜8y﹣y2，∴（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4恒成立，
设M （x，y），则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，
则d=表示区域内的点和原点的距离．由图可知：d的最小值是OA=，OB=OC+CB，5+2=7，
当x＞3时，x2+y2的范围为（13，49）．
考点：函数的性质及应用．
点评：本题考查了函数图象的平移、函数的奇偶性、单调性及圆的有关知识．
17．B
【解析】
由题得，求解指数方程即可得答案.
【详解】
由题得，即，
两边同时取以2为底的对数，则有，
故年.
故选：B
【点睛】
本题主要考查指数型函数的应用，考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．AC
【解析】
【分析】
设，则，再利用在上的单调性比较；由，利用在上的单调性比较.
【详解】
设，
所以，
因为，
所以，
所以在上是减函数，
所以 z而，
在上是增函数，
所以3x<5y<7z
故选：AC
【点睛】
本题主要考查对数转化为指数，幂函数的单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19．DE
【解析】
根据对数式的运算、根式与指数式的互化公式、对数的定义直接判断即可
【详解】
根据对数式的运算,可得,,故A B成立;
由根式与指数式的互化可得,故C成立;
取,,发现D不成立;,故E不成立.
故选：DE
【点睛】
本题考查了对数式的运算，考查了根式与指数式的互化，考查了对数的定义，考查了数学运算能力.
20．
【解析】
【分析】
根据对数的换底公式和对数的运算性质，准确运算，即可求解.
【详解】
由对数的换底公式，可得，
所以，所以.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了对数的运算性质，以及对数的换底公式的应用，其中解答中熟记对数的运算性质，以及对数的换底公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力，属于基础题.
21．
【解析】
【分析】
利用指数式与对数式的等价关系，即
【详解】
解：(1) 利用互化公式可得，.
(2) 利用互化公式可得，
(3) 利用互化公式可得，
(4) 利用互化公式可得，.
故答案为: ；；；.
【点睛】
本题主要考查指数式与对数式互化公式的理解，考查基本运算求解能力.
22．M,
【解析】
【详解】
（1）若＝ax＋b∈M，则存在非零常数k，对任意x∈D均有 ＝akx＋b＝＋，即a(k－1)x＝恒成立，得无解，所以M．
（2）＝＋，则＝，k＝4，k＝2时等式恒成立，所以＝∈M．
23．
【解析】
【分析】
由分数指数幂的运算法则进行计算．
【详解】
【点睛】
本题考查分数指数幂的运算，属于基础题．
24．
【解析】
先求，再代入求，求实数的值.
【详解】
，
，即，又，且，
所以.
故答案为：
25．3
【解析】
【分析】
利用对数运算的性质把原式等价转化，由此即可求出结果.
【详解】
原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(1＋lg 2)＋lg2 2＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 2＋lg 5)＝2＋lg 5＋lg 2＝3.
故答案为3
【点睛】
本题考查对数的运算性质，属于基础题，解题时要认真审题，注意与的区别和同底数对数和的求法.
26．
【解析】
【分析】
由指对数的互化即可求得.
【详解】
因为，由指对数的互化关系可得：.
故答案为：.
27．
【解析】
【分析】
利用平方差与立方差公式即可化简得到结果.
【详解】
解：原式＝
＝.
【点睛】
本题考查了分数指数幂的运算法则，平方差与立方差公式，属于基础题.
28．##
【解析】
【分析】
先把对数式化为指数式，求出的值，再利用指数幂的运算性质化简所求式子，代入的值即可求出结果．
【详解】
，，
又，，
，
．
故答案为：．
29．2
【解析】
【详解】
试题分析：．
考点：指数的运算性质．
30．
【解析】
【分析】
根据指数与对数的互化以及指数的运算即可求解.
【详解】
由，
则，，
所以.
故答案为：
31．-3
【解析】
【分析】
利用对数、指数的性质和运算法则求解．
【详解】
解：（）lg（1）lg1
[（）3]2+（）0
2+1
＝﹣3．
故答案为﹣3．
【点睛】
本题考查对数式、指数式的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数的性质、运算法则的合理运用．
32．（1）；（2）.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据分数指数幂运算法则进行化简即可；（2）利用对数函数的性质和对数运算法则进行计算即可.
试题解析：（1）原式；
（2）原方程化为，
从而，解得或，经检验，不合题意，
故方程的解为.
33．(1)3
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用对数的运算法则求解；
（2）利用指数幂的运算求解.
(1)
解：，
，
，
，
；
(2)
，
，
．
34．（1）有，理由见解析；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
解:（1）由已知得，，由此可判断.
（2）由已知得，可求得，根据指数函数的值域可求得实数a的取值范围；
（3）由已知等价于方程有解，根据三角函数的值域可得证.
【详解】
解:（1），
，
定义域，有“可移点”；
（2），
，
，
，
定义域为R，；
（3）定义域为R，设可移点为，
则方程有解，
，
，
，
方程有解，有可移点.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了函数的新定义及指数函数和对数函数的应用，同时考查了三角函数的化简与应用，将问题转化为方程有解是问题是关键.
35．证明见解析
【解析】
【分析】
设0≤x1＜x2≤1，然后作差比较f（x1）与f（x2）的大小，再结合对数函数的性质和函数单调性的定义即可证明
【详解】
证明：设0≤x1＜x2≤1，
则f（x2）﹣f（x1）＝ln（a+x2）+ln（a﹣x2）﹣ln（a+x1）﹣ln（a﹣x1）
，
因为0≤x1＜x2≤1，a＞1，
所以，
故1，
所以f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1），
故函数f（x）在[0，1]上是减函数
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