高中数学人教A版（2019）必修 第一册 第五章三角函数5.3诱导公式 （word含答案解析）

第五章三角函数5.3诱导公式
一、单选题
1．已知，那么
A． B． C． D．
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知角的终边在直线上，则（ ）
A． B． C． D．
4．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边、直角边，已知以直角边为直径的半圆的面积之比为，记，则（ ）
A． B． C．1 D．
5．已知,则
A． B．
C． D．
6．化简的结果是
A． B．
C． D．
7．若且为第三象限角，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
8．若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
9．已知等比数列中，，，则（ ）
A． B． C．或 D．
10．已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．若，则（　　）
A． B． C． D．
12．若A，B为锐角三角形的两个锐角，则tanAtanB的值（ ）
A．不大于1 B．小于1 C．等于1 D．大于1
13．若，且，则
A． B． C． D．
14．已知，则
A． B． C． D．
15．已知向量，若，则锐角θ＝（ ）
A． B．
C． D．
16．已知，且是第一象限角，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
17．已知角是的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）
A．
B．若，则是等腰三角形
C．若，则
D．若是锐角三角形，则
18．在中,下列关系恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
19．若，则a的取值范围是___________________.
20．化简:的结果为________．
21．已知，且，则__________．
22．若函数，则______．
23．若，且，则________.
24．已知角的终边经过点，则的值为__________．
25．已知角的终边过点，且，则的值_______
26．若是第三象限的角，，则_____．
27．求值:_____________.
28．已知为第三象限角，且，则_____________.
29．在△ABC中，若，，则A=________
30．已知，且，则______.
四、解答题
31．证明：，．
32．(1)设,求使成立的整数k应满足的条件;
(2)对于怎样的整数n,能由推出
33．已知.
（1）化简；
（2）若，求的值.
34．在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．已知角为锐角，_______
（1）求角的大小；
（2）求的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
35．（1）求值：；
（2）已知，，求的值．
36．已知，，求证：.
37．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，，______________？
38．（1）已知，求；
（2）已知，其中，求的值.
39．已知.
（1）化简；
（2）若，求的值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．B
【分析】
由可得，再有计算即可得解.
【详解】
因为，所以可得，所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查三角函数诱导公式的应用，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于常考题.
2．B
【分析】
利用两角和差的正弦公式和余弦公式，以及三角函数诱导公式进行化简，得到答案.
【详解】
所以，
即，
整理得，
所以
故选：B.
【点睛】
本题考查利用两角和差的公式结合诱导公式对三角函数的化简和求值，属于简单题.
3．A
【分析】
由已知条件求出的值，再利用二倍角的余弦公式结合弦化切可求得结果.
【详解】
由已知得，即，解得，
所以.
故选：A.
4．D
【分析】
根据以直角边为直径的半圆的面积之比求得，即的值，由此求得和的值，进而求得所求表达式的值.
【详解】
由于直角边为直径的半圆的面积之比为，所以，即，所以，所以.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题.
5．A
【详解】
∵,∴,
∴,∴.
∴.选A．
6．D
【分析】
确定角的象限，结合三角恒等式，然后确定的符号，即可得到正确选项．
【详解】
因为为第二象限角，
所以，故选D.
【点睛】
本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式，象限三角函数的符号，考查计算能力，常考题型．
7．C
【分析】
根据同角三角函数的基本关系及角所在的象限，即可求解.
【详解】
因为且为第三象限角，
所以，
则.
故选C
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，属于中档题.
8．B
【分析】
先利用代换，再由可化简得解.
【详解】
，
又，.
故选：B．
9．B
【分析】
由等比数列性质可知，即可求解，进而求出．
【详解】
解：由等比数列性质可知，所以或，
但，可知，所以，则，
故选：B
10．D
【分析】
利用任意角三角函数定义可求得，结合诱导公式可得关于正余弦的齐次式，由此求得结果.
【详解】
由题意得：，
.
故选：D.
11．D
【分析】
令，则把条件和目标都转化为关于的式子，根据诱导公式和二倍角公式，进行化简，得到答案.
【详解】
解：令，则
由，可得
故选D．
【点睛】
本题主要考查换元法、诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于简单题．
12．D
【分析】
根据已知条件可得，利用正弦函数的性质和诱导公式可得，同理，然后利用同角三角函数的关系可以判定，从而做出选择.
【详解】
解：因为三角形是锐角三角形，
所以,
，
所以，
同理，
,
故选：D.
【点睛】
本题考查三角函数的性质，涉及诱导公式和同角三角函数的关系，属基础题.
一般地，有下面的结论：
在锐角三角形中，任意一个内角的正弦值大于其余角的余弦值；
对于钝角三角形的两锐角，任意一个的正弦值小于另一个的余弦值.
13．C
【详解】
分析： 两边平方，求出，由二倍角公式求出，即可得到.
详解：两边平方得可得 ，
解得，
则
则
故选C.
点睛：本题考查同角三角函数基本关系式，二倍角公式，属基础题.
14．B
【分析】
先将转化为，再由代入求解.
【详解】
而
所以
故选：B
【点睛】
本题主要考查了诱导公式求值问题，还考查了转化问题的能力，属于中档题.
15．B
【分析】
根据向量平行的条件求出，结合为锐角即可求出角的值.
【详解】
因为，所以，即，
因为为锐角，所以，即.
故选：B.
16．A
【分析】
根据题意，结合诱导公式与同角的三角函数关系，即可求解.
【详解】
根据题意，得，即，
∵是第一象限角，∴，
故.
故选：A.
17．ACD
【分析】
利用三角形的内角和以及正弦定理，三角形性质，正弦函数的性质判断选项即可得解.
【详解】
对于A，在中，，故，故A正确；
对于B，在中，，可知或，即或，则是等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，在中，，利用正弦定理知，再利用三角形中大角对大边，小角对小边，可知，故C正确；
对于D，在锐角中，，即，所以，即，故D正确；
故选：ACD
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角形中的几何计算，正弦定理及三角方程的求法，熟悉正弦函数的性质是解题的关键，属于基础题.
18．BD
【分析】
根据三角形中和倍角和半角公式化简求值即可。
【详解】
A选项：，不正确；
B选项：,正确；
C选项： ,不正确；
D选项：,正确.
故选：BD
【点睛】
此题考查三角恒等变化，注意诱导公式和倍角半角公式的使用，属于较易题目。
19．
【分析】
根据同角的三角函数关系，先对等式的右边进行化简，再根据二次根式的性质，结合余弦函数的正负性进行求解即可.
【详解】
因为，
所以要想成立，只需，
所以.
故答案为：
【点睛】
本题考查了三角等式成立的条件，考查了同角三角函数的关系式的应用，考查了余弦函数正负性的应用，考查了数学运算能力.
20．
【分析】
对分奇数和偶数分别讨论，分别用诱导公式求值．
【详解】
原式
当为奇数时，设，
则原式
；
当为偶数时，设
则原式
．
综上：原式等于．
故填．
【点睛】
对于含有的三角函数求值问题，需对分奇数和偶数分类讨论，属于中档题.
21．-7
【详解】
（舍）．
22．0
【分析】
根据分段函数的定义域求解.
【详解】
因为函数
所以．
故答案为：0
23．
【分析】
利用诱导公式求出的值，利用同角三角函数的基本关系求出、的值，再结合诱导公式可求得结果.
【详解】
因为，所以，
因为，所以，，
所以，，，
故，
故答案为：.
24．
【详解】
由定义，则，所以，应填答案．
25．
【分析】
根据余弦函数的定义公式求解即可．
【详解】
由题意，，解得，
故答案为：．
26．
【解析】
【分析】
由象限角的正弦值的符号可得，由正、余弦的平方关系可得：，再结合运算即可得解.
【详解】
解：因为是第三象限的角，则，
由正、余弦的平方关系可得：，
则，
故答案为.
【点睛】
本题考查了正、余弦的平方关系及商数关系，主要考查了象限角的符号问题，重点考查了运算能力，属基础题.
27．
【分析】
直接利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得.
【详解】
解：
故答案为：
【点睛】
本题考查诱导公式的应用，属于基础题.
28．
【分析】
利用诱导公式计算出的值，利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系可求出结果.
【详解】
由诱导公式可得，
为第三象限角，则，
因此，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用诱导公式与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.
29．
【分析】
由条件利用诱导公式化简可得：，，两式平方相加可解出，进一步求出角.
【详解】
由，得 (1).
由，得 (2).
由得：,即.
由(2)和为三角形的内角，可知角均为锐角，则.
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用诱导公式化简和同角三角函数间的基本关系，属于中档题.
30．
【分析】
根据倍角公式，求得，再利用诱导公式对目标式进行化简，代值计算即可.
【详解】
因为，，
所以，解得.
所以.
所以原式.
故答案为：.
【点睛】
本题考查余弦的倍角公式，以及利用诱导公式进行化简和求值，属综合基础题.
31．证明见解析
【分析】
按的奇偶性分类讨论，用诱导公式变形可证．
【详解】
证明：当n为偶数时，令，，
左边．
右边，∴左边=右边．
当n为奇数时，令，，
左边
．
右边，∴左边=右边．
综上所述，，成立．
32．（1）.（2）,.
【分析】
（1）化简，再结合诱导公式，可得时，才能使等式成立；
（2）根据条件求出，即可得到整数满足的条件，能使.
【详解】
(1)要使
成立,必须且只需使,即满足条件的整数.
(2)
,
故使成立的整数为.
【点睛】
本题考查诱导公式的灵活运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
33．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用诱导公式化简；
（2）结合同角三角函数的基本关系式求得所求表达式的值.
【详解】
（1）
（2），
两边平方并化简得，
.
【点睛】
本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，属于中档题.
34．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据角为锐角，选①化简可得，所以，，选②化简可得，，.
（2）由，根据诱导公式，进行代入求值即可得解.
【详解】
（1）选①由，所以，
由角为锐角，所以，可得，
选②由，可得，
由角为锐角所以，，
（2）由可得：
.
35．（1）4；（2）.
【分析】
（1）根据对数的运算性质计算可得答案；
（2）利用诱导公式和已知对原式化简为，由，得，利用可得答案．
【详解】
（1）原式.
（2）原式，因为，
所以，则，所以，又因为，所以，则，所以原式．
36．证明见解析
【分析】
将两边平方，结合进行化简，先证得，然后利用二倍角公式证得，由此证得成立.
【详解】
，∴，
即，，
∴.
【点睛】
本小题主要考查三角恒等变换，考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式，考查运算求解能力，考查观察与思考的能力，属于中档题.
37．答案见解析.
【分析】
利用正弦定理化简可得的值.条件①借助辅助角公式可求得，再利用正弦定理解题.条件②可以利用二倍角公式计算的值，再利用正弦定理解题.条件③利用正弦定理求的值，再判断三角形不存在.
【详解】
解：由结合正弦定理可得，
所以.
因为，所以.
[选择条件①的答案]
所以.
由得，所以.
因为，所以.所以.
由正弦定理得.
[选择条件②的答案]
所以.
因为，所以.
由正弦定理得.
[选择条件③的答案]
所以.
由得.
因为，所以.
所以三角形不存在.
38．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用诱导公式得出，然后利用诱导公式化简所求分式，并在分式的分子和分母中同时除以，将分式转化为只含有的代数式，代值计算即可；
（2）由题意可知，将等式两边平方求出的值，可判断出的符号，利用平方关系可求出的值.
【详解】
（1）由诱导公式可得，，
因此，；
（2），，
将等式两边平方得，
得，所以，，则，
，
因此，.
【点睛】
本题考查利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系化简求值，在利用同角三角函数的基本关系求值时，要结合角的取值范围判断所求函数值的符号，考查计算能力，属于基础题.
39．(1)；(2).
【分析】
利用诱导公式即可化简求值得解；将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求的值，即可化简所求计算得解.
【详解】
（1）
.
（2）∵，
∴，∴，
∴.
【点睛】
本题需要熟练运用诱导公式进行化简，熟记化简方法：奇变偶不变，符号看象限，在求同角三角函数值时注意公式的运用，以及对已知条件的化简.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页