第五章三角函数5.5三角恒等变换5.5.2简单的三角恒等变换（Word含解析）

第五章三角函数5.5三角恒等变换5.5.2简单的三角恒等变换
一、单选题
1．将的图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图像，则下列说法不正确的是 （ ）
A．的定义域为 B．的最小正周期为2
C．的递增区间为 D．的图像没有对称轴
2．将函数y＝cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
3．若，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知，则的值是（ ）
A． B． C．-3 D．3
5．在锐角中，关于向量夹角的说法，正确的是（ ）
A．与的夹角是锐角
B．与的夹角是锐角
C．与的夹角是钝角
D．与的夹角是锐角
6．在中，内角A，B，C所对的边分别是，已知8b=5c，C=2B，则cosC=
A． B．
C． D．
7．函数的部分图象如图所示，关于函数有下述四个结论:①②；③当时，的最小值为；④在上单调递增.其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．②④ C．①② D．①②③④
8．已知，则
A． B． C． D．
9．在中，，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
11．函数的最小正周期是
A． B． C． D．
12．在中，角所对的边分别为，且，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
13．等腰三角形底和腰之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是最美的三角形.例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，且每个黄金三角形都是顶角为36°的等腰三角形，如图所示：在黄金角形ABC中，，根据这些信息，可求得的值为（ ）
A． B． C． D．
14．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
15．在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
16．下列各式中，值为的是（ ）
A． B．cos2-sin2
C． D．
三、填空题
17．若函数的值域为，则实数的取值范围是________．
18．已知点是内一点，，则_______________________．
19．函数的最大值为______.
20．函数的最小正周期是________．
21．已知，且，则____________.
22．已知 ，则___________.
四、解答题
23．已知函数的图象在处的切线为，曲线过点的切线为，且，不重合.在①与直线平行，②的倾斜角为，且这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题.
（1）求的方程；
（2）求，与x轴围成的图形的面积.
24．已知，，分别为三个内角，，的对边，且.
（1）求的大小；
（2）若，的面积，求的周长.
25．已知中，.
（1）试判断三角形的形状；
（2）求的值.
26．（1）已知，，，，求的值；
（2）已知都是锐角，，，求的值.
27．在中，内角所对的边分别为.，，.
（Ⅰ）求边的值；
（Ⅱ）求的值.
28．函数的部分图象如图所示，为图象的最高点，，为图象与轴的交点，为等边三角形.将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍后，再向右平移个单位，得到函数的图象.
（1）求函数的解析式；
（2）若不等式对任意恒成立，求正实数的取值范围.
29．已知函数，.
(1)若是第三象限角，且，求的值；
(2)设，讨论在区间上的单调性.
30．已知函数．
（1）求的单调递减区间；
（2）在中，分别为角的对边，且满足，求的取值范围．
31．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求；
（2）若，，求△ABC的面积.
32．已知函数.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.
试卷第页，共页
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参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据三角函数图像的变换得到的解析式，然后利用正切型函数的知识逐一判断即可.
【详解】
将的图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的是的图像
然后再向左平移个单位长度，得到函数的图像，所以
由可得，所以的定义域为，故A正确
的最小正周期为，故B正确
由可得，
所以的递增区间为，故C错误
的图像没有对称轴，故D正确
故选：C
2．A
【解析】
【分析】
由题意结合辅助角公式可得，进而可得g(x)＝2sin，由三角函数的性质可得，化简即可得解.
【详解】
设f(x)＝cosx＋sinx＝2sin，
向左平移m个单位长度得g(x)＝2sin，
∵g(x)的图象关于y轴对称，
∴，
∴m＝,
由m>0可得m的最小值为.
故选：A.
【点睛】
本题考查了辅助角公式及三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
3．B
【解析】
【分析】
将两边同时平方，再根据平方关系及二倍角的正余弦公式可得，即可得解.
【详解】
解：因为，
所以，
即，所以，
所以.
故选：B.
4．A
【解析】
【分析】
根据化弦为切，从而可得答案.
【详解】
解：因为，所以．
故选：A．
5．B
【解析】
【分析】
利用向量夹角的定义逐一判断即可.
【详解】
为锐角三角形，
A，与的夹角是钝角，A错误；
B，与的夹角是锐角，B正确；
C，与的夹角是锐角，C错误；
D，与的夹角是钝角，D错误.
故选：B
6．A
【解析】
【详解】
在中,由正弦定理可知:
【考点定位】本题考查解三角形，考查学生灵活应用正弦定理和二倍角公式的解题能力
7．C
【解析】
【分析】
根据题意，可得函数的最小正周期，从而求出，再根据特殊点求出的值，得到函数的解析式，再对各个结论进行判断..
【详解】
根据题意，得函数的最小正周期，所以，
又易知，所以，
又，所以，所以，①正确
，所以②正确；
当时，，，的最小值为，所以③不正确；
令，解得，所以的单调递增区间为，当时的单调递增区间为，所以④不正确
故选:C
【点睛】
本题考查根据三角函数图像求解析式，考查函数 的性质,属于中档题.
8．D
【解析】
【详解】
∵，∴，∴，故选D.
点睛：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题；由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用两角差的余弦函数公式即可计算求值得解.
9．C
【解析】
【分析】
由已知数量积相等求得，取中点D，从而求得中线的长，可表示为的函数，由三角函数知识得取值范围．
【详解】
在中，，即，取中点D，即，则
又BD是中线，所以是等腰三角形，BA=BC.由，即，
，
则，
由，则，所以.
故选：C．
10．A
【解析】
【分析】
先判断奇偶性,再分别代入进行排除即可.
【详解】
依题意,,,故函数为奇函数,
图象关于原点对称,排除C；而,排除B；
而,,故,排除D,
故选:A．
【点睛】
判断图像的问题,可以考虑判断单调性、代入图像中有的横坐标的点进行分析排除即可.
11．B
【解析】
【详解】
试题分析：
，所以最小正周期为，故选B.
考点：1.三角函数的性质；2.三角恒等变换.
12．C
【解析】
【分析】
利用余弦定理结合求得的范围，从而可得出角的范围，利用辅助角公式将化为，，结合正弦函数的性质即可求得实数的取值范围.
【详解】
解：由余弦定理得，
当时，取等号，
，
由已知得，
，.
故选：C.
13．C
【解析】
由已知求得，可得的值，再由二倍角的余弦及三角函数的诱导公式求解．
【详解】
由图可知，且，
所以
故选:C.
14．C
【解析】
【分析】
由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期等于 ，可求得的最小正周期.，得出结论．
【详解】
解:函数
，
其最小正周期为．
故选:C
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，属于基础题．
15．AB
【解析】
【分析】
利用二倍角的正弦公式可求得的值，结合同角三角函数的基本关系可判断A选项的正误；利用余弦定理求出的值，可判断BC选项的正误；利用三角形的面积公式可判断D选项的正误.
【详解】
，，
由正弦定理可得，可得，故为锐角，
所以，，A选项正确；
由余弦定理可得，
即，解得或，
若，则，，此时，与题意不符，
所以，，即选项B正确，选项C错误；
的面积，即选项D错误.
故选：AB.
16．ACD
【解析】
【分析】
利用两角差的正弦公式的逆应用判断A正确，再逆用二倍角的三角函数公式判断BCD的正误即可.
【详解】
A中，，故正确；
B中，cos2-sin2，故错误；
C中，，故正确；
D中，，故正确.
故选：ACD.
17．
【解析】
【分析】
由题设知有，要使在上的值域为，则上讨论、判断的值域，进而求参数的范围.
【详解】
由解析式知：时，，而函数在上的值域为，
∴在上，
若，则，不合题意；
若，则，即，可得.
∴的范围为.
故答案为：
18．
【解析】
【分析】
设，，，在和，由正弦定理得，，两式相比得：，化简后可得，即可得解.
【详解】
，
设，，
在和，由正弦定理得，
两式相比得：
即
又，
利用正弦定理得：
又，，
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角形求边长，正确运用正弦定理，三角形内角和及三角恒等变换公式是解题的关键，考查学生的数形结合及运算能力，属于一般题.
19．
【解析】
【分析】
利用二倍角公式及辅助角公式化简，结合三角函数的有界限可得答案．
【详解】
解：函数
当时，取得最大值为．
故答案为．
【点睛】
本题考查三角函数的有界性，化简能力，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．
20．1
【解析】
【详解】
试题分析：，所以函数的最小正周期.
考点：二倍角公式、三角函数的周期.
21．
【解析】
【分析】
由题意可知， ，再根据诱导公式，可知，代入求解即可.
【详解】
，且
.
即.
故答案为：
【点睛】
本题考查三角函数给值求值问题，“切割化弦”是解决本题的关键.属于中档题.
22．
【解析】
【分析】
将原式平方后利用二倍角公式求解即可.
【详解】
，平方得，即，则，
故答案为：.
23．（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
选①,（1）先求导，再根据两直线平行斜率相等可求解；
（2）先求出两条直线的交点，即可算出，与x轴围成的图形的面积；
选②，先求导，再算出的值，根据，解出即可；
（2）先求出两条直线的交点，即可算出，与x轴围成的图形的面积；
【详解】
选①，
（1）因为，
所以.
因为与直线平行，
所以，所以.
所以，f.
设与曲线的切点为，
则，即，解得（舍去）或，
所以切点为，切线的斜率为24，
所以切线的方程为，
即切线的方程为.
（2）因为，
所以的方程为.
联立，解得，
所以与的交点为，
又与x轴的交点为，
，与x轴围成的图形为三角形，
所以，与x轴围成的图形的面积.
选②，
（1）因为，
所以.，
解得，所以，所以.
所以，；
下同①.
24．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理结合三角恒等变换转化条件为，即可得解；
（2）由三角形面积公式可得，再由余弦定理可得，即可得解.
【详解】
（1）由正弦定理得：.
∵，∴.
∴.
∴，即.
∵，∴，∴；
（2）由得：
解得：.
由得：.
∴（负值舍去），
∴的周长.
25．（1）钝角三角形；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）将原式平方得2sinAcosA<0,得cosA即可判断三角形为钝角三角形；（2）结合（1）求得cosA+sinA=，求得sinA及cosA即可求解
【详解】
（1）将原式平方得1-2sinAcosA=得2sinAcosA=-,故cosA，三角形为钝角三角形
（2）由（1）cosA+sinA=,解得或，故tanA=或
【点睛】
本题考查同角三角函数基本关系，二倍角公式，考查化简求值能力，是中档题
26．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设，，分别求得的范围及正弦及余弦值，然后利用两角和与差的余弦公式求得结果；（2）利用同角三角函数的基本关系式及二倍角公式求得和的正弦及余弦，然后利用两角和与差的余弦公式求得结果.
【详解】
解：（1）设，，则，，
，，
，
（2） 为锐角，，，
又，，
，
都是锐角，，则.
27．（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由已知利用诱导公式，可求得值，利用正弦定理化简已知等式可求得的值，再根据余弦定理可解得的值；
（Ⅱ）利用同角三角函数的基本关系式可求得的值，根据二倍角公式可求得的值，进而根据两角和的余弦函数公式，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）由，得，
因为，由，得，∴ ，
由余弦定理，得，
解得或（舍）∴
（Ⅱ）由得
∴，
∴
【点睛】
本题主要考查了诱导公式、正弦定理、余弦定理，以及三角恒等变换公式的综合应用，其中解答中合理应用正弦定理和余弦定理，以及熟记三角恒等变换的公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
28．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题知三角形边长为2，进而，再根据公式即可得，再根据平移变换求解即可；
（2）由题知不等式等价于在恒成立，进而令，，，再根据二次函数的性质分和时求解即可.
【详解】
解：（1）点的纵坐标为，为等边三角形，所以三角形边长为2，
所以，解得，所以，
将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍后，得到，
再向右平移个单位，得到.
（2），
原不等式等价于在恒成立.
令，，即在上恒成立.
设，
对于时，
当时，在上单调递减，在上单调递增，则
，∴，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
则，解得，∴.
综上，正实数的取值范围为.
29．(1)
(2)在上递增，在递减
【解析】
【分析】
（1）根据和差角公式展开即可得，进而，再根据同角三角函数关系得，最后结合半角公式求解即可；
（2）结合（1）得，再结合题意得，进而解和即可得单调区间.
(1)
解：
因为，所以
因为是第三象限角，所以，
.
(2)
解：由（1）得，
因为，所以
要使为增函数，则，解得
要使为减函数，则，解得
综上所述，当时，在上单调递增，在单调递减.
30．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）先化简得到，解不等式即得的单调递减区间；
（2）化简已知得到，得到，再利用三角函数的图象和性质求的取值范围．
【详解】
（1），
由，得，
所以的单调递减区间为；
（2）由条件，得，
又由，得．
由，得，故.
所以.
的取值范围为．
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换和正弦定理，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
31．（1）；（2）；
【解析】
【分析】
（1）由求得，从而求得；
（2）由余弦定理，结合条件求得，则由三角形面积公式求得面积.
【详解】
（1）由知，，又
故
（2）由余弦定理知，，
则，
故三角形面积为
32．（1）（2）
【解析】
（1）利用两角和与差的正弦公式、降次公式和辅助角公式化简解析式，根据三角函数的单调减区间的求法，求得的单调减区间.
（2）将在上有两个零点转化为在有
两个不等的实根，结合在区间上的图像，求得的取值范围.
【详解】
（1）
. ，
得： . 故函数的单调递减区间为
（2）函数在上有两个零点，等价于方程在有
两个不等的实根，即函数在上的图像与直线有两个不同的交点.
作出函数在上的图像，由得：.
【点睛】
本小题主要考查三角恒等变形，考查三角函数单调区间的求法，考查三角函数图像，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
试卷第页，共页
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