人教A版（2019）必修第一册 第二章第二节基本不等式（Word含解析）

人教A版（2019）必修第一册 第二章第二节基本不等式
一、单选题
1．设，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，实数，，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
4．阳马，中国古代算数中的一种几何体，它是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥.已知在阳马中，平面，且阳马的体积为9，则阳马外接球表面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知中，P为线段上的点，且，则的最大值为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．1
6．已知四棱柱的侧棱垂直于底面，底面四边形是平行四边形，且该四棱柱的体积为16，，则此四棱柱外接球表面积的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
7．设a,b∈R,且a2+2b2=6,则a+b的最小值是(　　)
A．- B． C．-3 D．
8．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比，若在距离车站处建仓库，则为万元，为万元，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．有最大值 D．无最小值
二、多选题
9．已知，下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列结论中，所有正确的结论有
A．若，则 B．若，则
C．当时 ， D．若，，则
三、填空题
11．若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是______ （写出所有正确不等式的编号）．①；②；③；④．
四、解答题
12．已知函数
(1)当,解关于的不等式
(2)对于,,恒成立,求的取值范围.
13．水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放（且）个单位的营养液，它在水中释放的浓度(克/升）随着时间(天)变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4(克/升)时，它才能有效.
（1）若只投放一次2个单位的营养液，则有效时间最多可能达到几天？
（2）若先投放2个单位的营养液，3天后再投放个单位的营养液，要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求的最小值.
14．已知二次函数f（x）满足f（x）=f（﹣4﹣x），f（0）=3，若是f（x）的两个零点，且．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x＞0，求g（x）=的最大值．
15．如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为，沿倾斜角为（其中）的斜坡前进后到达D处，休息后继续行驶到达山顶B．
（1）求山的高度；
（2）现山顶处有一塔从A到D的登山途中，队员在点P处测得塔的视角为若点P处高度，则x为何值时，视角最大？
16．（1）已知实数求证：．
（2）已知为正实数，求证：．
17．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲花园，如图，计划修建三条直线型休闲步道AE，AD，AF，点D位于∠EAF的平分线上.为安全起见，需要在过点D安装一直线型隔离网BC（B，C分别在AE和AF上），围出三角形区域ABC.设AB = x，AC = y（0 < x≤5，0 < y≤5单位：百米）.
（1）若x = 5，y = 4，BC = 6，求AD的长度；
（2）公园需要对两个三角形区域ABD，ACD进行绿化.若∠EAF = 120°，AD = 1百米，经测算，ABD区城每平方百米的绿化费用是ACD区域的两倍，试确定x，y的值，使得所需的总费用最少.
18．若函数在区间上的图象是连续不断的，且满足：，均有，当且仅当时等号成立，则称函数为区间内的上凸函数.
（1）下列函数：①；②；③；④是其定义域内的上凸函数的是（直接写出序号）；
（2）选择（1）中一个上凸函数，加以证明；
（3）试利用上凸函数解决下列问题：若实数满足，求的最大值.
19．选修4-5：不等式选讲
已知，，函数的最小值为．
（1）求的值；
（2）证明：与不可能同时成立．
20．已知双曲线过点，焦距为，．
（1）求双曲线C的方程；
（2）是否存在过点的直线与双曲线C交于M，N两点，使△构成以为顶角的等腰三角形？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，请说明理由．
21．直线过点，且分别交轴的正半轴和轴的正半轴于两点，为坐标原点.
①当最小时，求的方程；
②若最小，求的方程.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．D
【分析】
利用基本不等式即可求出.
【详解】
，，
，
当且仅当，即时等号成立.
故选：D.
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，属于基础题.
2．A
【分析】
对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.
【详解】
因为a，b均为正实数，
则
，
当且仅当，且，即时取等号，
则的最大值为．
故选：A．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”中的“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.
3．B
【分析】
由基本不等式和重要不等式可知当时，有，根据函数的单调性即可比较出大小关系.
【详解】
，又是上的减函数， ，
又，
，
故选：B.
【点睛】
本题考查基本不等式和重要不等式的应用，考查对数函数公式的运用，考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题.
4．C
【分析】
利用阳马的体积，结合外接球的半径，通过长方体体对角线长以及基本不等式求解外接球的表面积的最小值即可.
【详解】
由题意可知阳马的体积为：，
设阳马的外接球的半径为R，
则，
当且仅当时等号成立，
所以阳马的外接球的表面积.
故选：C.
5．A
【分析】
根据三点共线的关系得出，利用均值不等式即可求出结果.
【详解】
设，
所以，
又因为，所以，即，
所以，当且仅当，即时，等号成立，因此，故的最大值为3.
故选：A.
6．B
【分析】
首先可证四棱柱为长方体，设外接球的半径为，，，根据四棱柱的体积可得，再由长方体的体对角线即为外接球的直径，可得再利用基本不等式求出的最小值，根据表面积公式计算可得；
【详解】
解：因为四棱柱是球的内接四梭柱，所以四边形是圆内接四边形．
因为底面四边形是平行四边形，所以根据圆内接四边形的性质定理知，在四边形中，．
又，所以，所以．由，得，所以，
所以，所以，所以四边形是矩形，又四棱柱的侧棱垂直于底面，
所以该四棱柱为长方体．设外接球的半径为，，．因为该棱柱的体积为16，所以，
解得．又，所以，当且仅当时取等号，
所以，此时故外接球半径的最小值为所以所求外接球表面积的最小值．
故选：B
【点睛】
本题考查多面体的外接球的表面积的相关计算，基本不等式的应用，属于中档题.
7．C
【解析】
【分析】
由题意利用三角换元的方法整理计算即可求得最终结果.
【详解】
由题意，设，，
则，
其中，当时，取得最小值.
本题选择C选项.
【点睛】
换元法是解数学题的一种基本思想方法，而三角代换法是换元法的灵魂.三角换元法在解决函数、不等式、数列、解析几何、立体几何的难题方面往往可以起到化繁为简、化难为易、出奇制胜的功效.形如的代数式或方程，只须进行如下换元：即可.
8．D
【分析】
根据题意求出、关于的表达式，可判断AB选项的正误；利用基本不等式可判断C选项的正误；利用函数的单调性可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，设，可得，所以，，则，A错；
对于B选项，设，可得，所以，，则，B错；
对于C选项，因为，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，C错；
对于D选项，令，则函数在上为减函数，
故无最小值，D对.
故选：D.
9．AD
【分析】
由不等式的基本性质可判定ABD；利用基本不等式可判定C.
【详解】
，，A正确；
，，，B错误：
由基本不等式，， C错误；
，，
，D正确.
故选：AD.
10．ACD
【分析】
A选项由不等式的基本性质判定；
B选项赋特值判定；
C选项由基本不等式判定；
D选项因为，则，化简后由基本不等式判定.
【详解】
A选项因为，则，不等式两边同减不等号不变，所以成立，正确；
B选项赋特值，若，左边=，右边=，显然左边<右边，错误；
C选项因为，则，由基本不等式可知当且仅当时，成立，正确；
D选项因为，则，又，所以由基本不等式，当且仅当时，取等号，正确.
故选：ACD
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，主要是使用的限制和等式的转化，还考查了不等式的简单性质，属于中档题.
11．①③④
【分析】
由基本不等式判断①；由结合基本不等式判断②；由结合①可判断③；由基本不等式“1”的代换判断④.
【详解】
因为，，，
对于①，，当且仅当时等号成立，，故①正确；
对于②，，当且仅当时等号成立，，故②错误；
对于③，，当且仅当时等号成立，故③正确；
对于④，，当且仅当，即时等号成立，故④正确.
故答案为：①③④
12．（1）见解析（2）
【分析】
（1）根据分类讨论并结合二次函数的图象解不等式即可．（2）由条件可得不等式在上恒成立，求出的最大值即可．
【详解】
(1)由题意可得 ，
可化为．
①当时， ，解得；
②当时， ，原不等式无解；
③当时， ，解得．
综上可得：当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为．
(2)由题意知，即，
∵对一切实数恒成立，
在上恒成立，
又，当且仅当时等号成立，
∴．
的取值范围是．
【点睛】
（1）不等式的恒成立问题，可通过分离参数的方法转化为求函数的最值的问题处理．
（2）运用基本不等式求最值时要注意等号成立的条件，其中运用基本不等式时“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．
13．(1) 3天；(2) .
【详解】
试题分析：（1）由题意可知营养液有效则需满足，由此得或，解不等式可得，故最多可达3天；（2）设，分别为第一、二次投放营养液的浓度，为水中的营养液的浓度，由题意得在上恒成立，可得在上恒成立，求得在上的最大值即可得到的最小值．
试题解析：
（1）营养液有效则需满足，
则或，
即为或，
解得，
所以营养液有效时间最多可达3天；
（2）解法一:设第二次投放营养液的持续时间为天，
则此时第一次投放营养液的持续时间为天，且；
设为第一次投放营养液的浓度，为第二次投放营养液的浓度，为水中的营养液的浓度；
∴，
，
由题意得在上恒成立，
∴ 在上恒成立，
令，则，
又，
当且仅当，即时等号成立；
因为
所以的最小值为.
答:要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，的最小值为.
解法二:设两次投放营养液后的持续时间为天，
则第一次投放营养液的持续时间为天，
第二次投放营养液的持续时间为天，且，
设为第一次投放营养液的浓度，为第二次投放营养液的浓度，为水中的营养液的浓度；
∴，
由题意得在上恒成立
∴ 在上恒成立
则
又，
当且仅当即时等号成立；
因，
所以的最小值为.
答:要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，的最小值为.
14．(1) f（x）=x2+4x+3.(2)见解析.
【分析】
（Ⅰ）根据题意分析出x1=﹣3，x2=﹣1，设f（x）=a（x+3）（x+1）（a≠0），再利用f（0）=3a=3得到a的值即得f(x)的解析式.( Ⅱ)先化简得，再利用基本不等式求它的最大值.
【详解】
（Ⅰ）∵f（x）=f（﹣4﹣x），x1，x2是f（x）的两个零点，且|x1﹣x2|=2．
∴f（x）的对称轴为：x=﹣2，可得x1=﹣3，x2=﹣1
设f（x）=a（x+3）（x+1）（a≠0）
由f（0）=3a=3得a=1，∴f（x）=x2+4x+3.
（Ⅱ）∵g（x）==1﹣,
当且仅当即x=时取等．
∴g(x)的最大值是1﹣.
【点睛】
(1)本题主要考查二次函数的解析式的求法，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 使用基本不等式求最值时，要注意观察收集题目中的数学信息（正数、定值等），然后变形，配凑出基本不等式的条件.
15．（1）4km，（2）km
【分析】
（1）利用等腰求出底边AB，再利用直角三角形ABE求出山高BE的值；
（2）过P作于N，设，则，且，利用直角三角形的边角关系和三角恒等变换求出的最大值即可
【详解】
解：因为，为锐角，所以，
所以
，
在中，过作于，
因为，
所以，
在中，，
所以山的高度为4km，
（2）过作于，因为，所以，
因为在上，，所以，
所以，
所以
，
令（），则，
所以
当且仅当，即，时，取得最大值，
所以当km时，视角最大
【点睛】
关键点点睛：此题考查解三角形的实际模型应用问题，考查数学建模和计算能力，解题的关键是，则，且，利用直角三角形的边角关系和三角恒等变换，结合基本不等式求出的最大值即可，属于中档题
16．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）作差后分解因式，判断符号即可证得结论；（2）利用基本不等式证得，两边同时除以即可证得结论．
【详解】
（１）证明：
又，而
故即
（2）证明：由
相加得，所以，
因为，上式两边同时除以得：．
17．（1）；（2）.
【分析】
（1）在中利用余弦定理求得的余弦值，进而根据同角的平方关系以及二倍角公式求得，，然后结合三角形的面积公式得到，解方程即可求出结果；
（2）根据得到，设设ACD区域的绿化费用为，然后表示出总绿化费用，利用均值不等式即可求解.
【详解】
（1）由题意在中，设，
因为点D位于∠EAF的平分线上，所以，
所以，所以，
因此，
因为，所以，
解得；
（2）因为，所以，即，设ACD区域的绿化费用为，则ABD区域的绿化费用为，
因此总绿化费用为
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，使得所需的总费用最少.
18．
（1）①④
（2）答案见解析
（3）
【分析】
（1）由函数特征可直接判断①④为上凸函数；
（2）分别表示出，结合上凸函数定义，由作差法可证①；同理表示出，作差后结合基本不等式可证④；
（3）设，表示出，由上凸函数定义可得，化简即可求得的最大值.
（1）
①④；
（2）
若选择①，证明如下：任取，
则，
所以，
当且仅当时等号成立，则是内的上凸函数.
若选择④，证明如下：任取，则，，
所以，因为，故.
当且仅当时等号成立，则是内的上凸函数；
（3）
设，则.
由于函数是内的上凸函数，
故，即，
当且仅当，即，
即时，有最大值为.
19．(1) (2)见解析
【详解】
试题分析：（Ⅰ）首先利用三角绝对值不等式的性质求得最小值的表达式，然后结合已知条件求解即可；（Ⅱ）首先由（1）及基本不等式，得，然后假设与同时成立，推出且，与相矛盾，即证得结论．
试题解析：（1）∵，∴.
（2）∵且，由基本不等式知道：，∴
假设与同时成立，则由及，得．
同理，∴，这与矛盾，故与不可能同时成立.
考点：1、基本不等式；2、三角绝对值不等式的性质；3、反证法．
20．
（1）.
（2）存在，直线为或.
【分析】
（1）根据焦距、双曲线上的点求双曲线参数，进而写出双曲线C的方程；
（2）由题设有，设直线为，，并联立双曲线方程，应用韦达定理、中点坐标公式求M，N的中点坐标，由等腰三角形中垂线性质求参数k，进而可得直线l的方程.
（1）
由题设，，又在双曲线上，
∴，可得，
∴双曲线C的方程为.
（2）
由（1）知：，
直线的斜率一定存在，当直线斜率为0时，直线：，符合题意；
设直线为，，
联立双曲线方程可得：，
由题设，
∴，，则.
要使△构成以为顶角的等腰三角形，则，
∴的中点坐标为，
∴，可得或，
当时，，不合题意，所以，直线l：，
∴存在直线为或，使△构成以为顶角的等腰三角形.
21．（1）；（2）
【分析】
①设直线斜率，表示出直线方程，分别表示出，根据基本不等式求出最值，由等号成立条件求出斜率，进而求得直线方程；
②由两点间距离公式分别表示出两线段长，求出线段的积，结合基本不等式即可求出最值，由等号成立条件求出斜率，进而求得直线方程.
【详解】
①依题意，的斜率存在，且斜率为负，
设直线的斜率为，则直线的方程为.
令，可得；令，可得.
.
∴当且仅当且，即时，
取最小值，这时的方程为.
②
当且仅当且，即时，
取最小值，这时的方程为.
【点睛】
本题考查直线方程与基本不等式求最值的条件，结合题意要首先判断斜率的正负，注意基本不等式等号成立的条件，也可以将此函数看作对勾函数解决问题.
答案第1页，共2页
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