人教A版（2019）必修第一册 第三章3.2课时1单调性（Word含解析）

人教A版（2019）必修第一册 第三章3.2课时1单调性
一、单选题
1．已知满足对任意，都有成立，那么的取值范围是
A．(1，2) B．
C． D．
2．若函数(e=2.71828,是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有M性质,下列函数中具有M性质的是
A． B． C． D．
3．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
4．下列四个命题：(1)函数在时是增函数，也是增函数，所以是增函数；(2)若函数与轴没有交点，则且；(3) 的递增区间为；(4) 和表示相等函数．其中正确命题的个数是
A． B． C． D．
5．下列函数在上是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．在[1,2]上的最小值为
A．-1 B．0 C．1 D．3
7．对于函数，，下列说法正确的有（ ）
①在处取得极大值；
②有两个不同的零点；
③；
④在上是单调函数.
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
8．已知函数，的最小值为1，则实数的值为__________.
9．设为常数且是定义在上的奇函数，当时，，若对一切都成立，则的取值范围为_________．
10．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且只有7个不同实数根，则实数的取值范围是______；
11．二次函数的二次项系数为负，且对任意实数，恒有，若，则的取值范围是
三、解答题
12．已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求m，n的值，判断函数的单调性并用定义加以证明；
（2）求使成立的实数a的取值范围.
13．已知函数.
（1）当时，为R上的增函数，求a的最小值；
（2）若，，，求x的取值范围.
14．“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A，B两个果园运送有机化肥，甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥；A，B两个果园分别需用110吨和70吨有机化肥．两个仓库到A，B两个果园的路程如下表所示：
路程（千米）
甲仓库 乙仓库
A果园 15 25
B果园 20 20
设甲仓库运往A果园x吨有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为2元．
（1）根据题意，填写下表．
运量（吨） 运费（元）
甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库
A果园 x 110–x 2×15x 2×25（110–x）
B果园 __________ __________ __________ __________
（2）设总运费为y元，求y关于x的函数表达式，并求当甲仓库运往A果园多少吨有机化肥时，总运费最省？最省的总运费是多少元？
15．已知函数，且．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在区间（0，1）上的单调性，并用定义法证明．
16．试判断函数在其定义域上的单调性，并用定义证明其单调性.
17．已知函数.
（1）当时，判断并证明的单调性，解关于x的不等式：；
（2）当时，不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.
18．已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）函数若存在使得成立，求实数的取值范围；
（3）若函数讨论函数的零点个数(直接写出答案，不要求写出解题过程)．
19．已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）确定函数的解析式；
（2）用定义法证明在上是增函数；
（3）解关于x的不等式．
20．判断函数的单调性，并给出证明.
21．求函数的单调区间
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．C
【分析】
由题意知函数为增函数，所以有，从而得解.
【详解】
由已知条件得为增函数，
所以解得：，
所以a的取值范围是，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了分段函数的单调性，忽视断点处的不等关系是本题的易错点，属于基础题.
2．B
【详解】
当f(x)=x2时,函数exf(x)在f(x)的定义域R上没有单调性,故函数f(x)不具有M性质，故排除A；
当f(x)=2x时,函数exf(x)在f(x)=ex 2x=(2e)x的定义域R上单调递增,故函数f(x)具有M性质，故B满足条件；
当f(x)=3 x时,函数exf(x)在f(x)的定义域R上单调递减,故函数f(x)不具有M性质，故排除C；
当f(x)=cosx时,函数exf(x)在f(x)的定义域R上没有单调性,故函数f(x)不具有M性质，故排除D，
故选B.
3．D
【详解】
分析：分别判断函数的奇偶性和单调性，即可得到结论．
详解：A．函数为奇函数，不满足条件．
B．y=﹣x2+1是偶函数，当x＞0时，函数为减函数，不满足条件．
C. 是偶函数又在上单调递减，故不正确.
D．y=|x|+1是偶函数，当x＞0时，y=x+1是增函数，满足条件．
故选D．
点睛：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合函数奇偶性和单调性的定义和函数的性质是解决本题的关键．
4．A
【详解】
①举一个例子y=-，当x＜0时，函数为增函数，当x＞0时，函数为增函数，但是在x≠0时，函数不单调，所以错误；
②由若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2-8a＜0且a＞0，或者b2-8a＜0且a＜0，或者a=b=0；所以此命题错；
③当x≥0时，y=x2-2x-3，为对称轴为直线x=1的开口向上的抛物线，所以[1，+∞）为函数的增区间；当x＜0时，y=x2+2x-3，为对称轴为直线x=-1的开口向上的抛物线，所以[-1，0]为增区间，综上，y=x2-2|x|-3的递增区间为[1，+∞）和[-1，0]，故③不正确；
④因为y=1+x和y=
=|1+x|表示的函数的解析式不同，故命题不正确．
故答案为A
5．C
【分析】
根据二次函数，对数函数、反比例函数，一次函数的性质即可判断每个函数在（0，∞）上的单调性，从而找出正确选项．
【详解】
二次函数y＝x2+1在（0，+∞）上为增函数；
对数函数在（0，+∞）上为增函数；
反比例函数y在（0，+∞）上为减函数；
一次函数y＝x+1在（0，+∞）上为增函数，；
∴C正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查一次函数、二次函数、反比例函数的单调性，以及根据单调性的定义判断函数的单调性．
6．B
【详解】
可证得函数在[1,2]上单调递增，
所以当x=1时，函数有最小值，且最小值为．选A．
7．C
【分析】
利用导函数的正负可确定的单调性，知④错误；由单调性可知极大值点，并求得极大值，知①正确；由零点存在定理和单调性可确定函数恰有两个不同零点，②正确；根据单调性和函数值的大小可知③正确.
【详解】
当时，；当时，
在上单调递增，在上单调递减，④错误；
在处取得极大值，①正确；
在必有一个零点
又，即为的一个零点且在无零点
恰有两个不同的零点，②正确；
，
又在上单调递减
，③正确
则正确的命题为：①②③，共个
故选：
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点个数的问题，涉及到零点存在定理的应用；关键是能够明确函数的单调性与导函数的正负之间的关系，属于导数部分知识的综合应用.
8．
【分析】
分类讨论对称轴的位置即可根据最小值为，求出的值.
【详解】
解：二次函数开口向下，对称轴为，
①当时，区间上单调递减，
，解得，舍去；
②当时，区间上单调递增，
，满足题意，故；
③当时，区间上单调递增，上单调递减，，即，舍去；
④当时，区间上单调递增，上单调递减，，即，舍去；
故答案为：
9．
【分析】
根据函数奇偶性，得到；由题意，先得到，得出；再根据函数奇偶性，求出时的解析式，根据函数单调性的定义，判断在上的单调性，求出最小值，进而可列出不等式求出结果.
【详解】
因为是定义在上的奇函数，所以；
又对一切都成立，则，解得，
∴．
当时，，由题意，．
∵为奇函数，∴．
任取，则，
所以
，
当时，易得，所以，因此，
所以函数在上单调递减；
同理，可证函数在上单调递增；
所以，
∴，即，解得．
又，∴．
综上所述，．
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查由函数的最值求参数的问题，熟记函数的单调性以及函数奇偶性即可，属于常考题型.
10．
【分析】
确定函数的图像与性质，可得关于的方程有且只有7个不同实数根，则方程必有两个根，，其中，，根据根与系数之间的关系，即可得出结论.
【详解】
由题意，在和上是减函数，在和上是增函数，
时，函数取得极大值，时，函数取得极小值，
时，，
关于的方程有且只有7个不同实数根，
设，则方程必有两个根，，其中，，
，则，即
故答案为：
【点睛】
本题考查了分段函数的应用，考查函数的性质，考查数形结合的数学思想，正确理解函数的性质是关键.
11．
【分析】
根据求得二次函数的对称轴，结合二次函数开口方向，去不等式的函数符号，解不等式求得的取值范围.
【详解】
由于所以二次函数的对称轴是，由于二次函数二次项系数为负，开口向下，故由可得，即，即，解得或，所以的取值范围是.
【点睛】
本小题主要考查二次函数的对称轴、开口方向，考查一元二次不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
12．
（1），增函数，证明见解析
（2）
【分析】
（1）因为函数为定义在上的奇函数，所以，又，由此可得，的值，再由单调性定义判断函数的单调性；
（2），即，根据定义域及单调性列出不等式组，从而可得出答案.
（1）
解：因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，解得，
又因，所以，
所以，，经检验符合题意，
在上任取，，且，
则，
因为，
所以，，
所以，
即，
所以函数在单调递增；
（2）
解：因为，
所以，即，
因为函数在单调递增，
所以，解得.
13．
（1）
（2）
【分析】
（1）代入，由于函数为R上的增函数，所以导数大于或等于零恒成立，利用基本不等式求出最小值，令其大于或等于零即可求出的最小值；
（2）根据导数可判断函数为增函数，根据函数单调性解不等式.
（1）
当时，，
∴对恒成立，
则，
∵，
当且仅当即时取等号，
∴，
则a的最小值为.
（2）
∵，
∴.
∵，
∴，，，
∴，所以为R上的增函数.
∵，
∴，∴.
∵，∴，
故x的取值范围为.
14．(1)
运量（吨） 运费（元）
甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库
A果园 x 110–x 2×15x 2×25（110–x）
B果园 80–x x–10 2×20×（80–x） 2×20×（x–10）
(2) y=–20x+8300,当甲仓库运往A果园80吨有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是6700元．
【分析】
（1）根据已知甲乙两个仓库可运出的化肥，和运费的单价，填写好表格.（2）根据（1）中表格的数据，将所有运费相加，求得运费的函数表达式，根据一次函数单调性可求得为何值时总运费最省，并求得总的运费.
【详解】
（1）填表如下：
运量（吨） 运费（元）
甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库
A果园
B果园
故答案为80–x，x–10，2×20×（80–x），2×20×（x–10）；
（2）y=2×15x+2×25×（110–x）+2×20×（80–x）+2×20×（x–10），
整理得y关于x的函数表达式为y=–20x+8300，
∵–20<0，且10≤x≤80，
∴当x=80时，总运费y最省，此时y最小=–20×80+8300=6700．
故当甲仓库运往A果园80吨有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是6700元．
【点睛】
本小题主要考查函数在实际生活中的应用，考查一次函数的单调性和最值，属于中档题.
15．（1）（2）f（x）在（0，1）上单调递减，证明见解析.
【分析】
（1）根据即可求出a＝b＝1，从而得出；
（2）容易判断f（x）在区间（0，1）上单调递减，根据减函数的定义证明：设x1，x2∈（0，1），并且x1＜x2，然后作差，通分，得出，根据x1，x2∈（0，1），且x1＜x2说明f（x1）＞f（x2）即可．
【详解】
解：（1）∵；
∴；
解得a=1，b=1；
∴；
（2）f（x）在区间（0，1）上单调递减，证明如下：
设x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，则：
=；
∵x1，x2∈（0，1），且x1＜x2；
∴x1-x2＜0，，；
∴；
∴f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）在（0，1）上单调递减．
【点睛】
本题考查减函数的定义，根据减函数的定义证明一个函数是减函数的方法和过程，清楚的单调性．
16．函数在和上单调递减；证明见解析.
【分析】
根据单调性的定义，利用定义法证明函数的单调性.
【详解】
解：
函数的定义域为
函数在和上单调递减；
证明：设任意的，，且，
则，
，且
，，，
．
在上单调递减，
同理可证函数在上单调递减，
即函数在和上单调递减.
【点睛】
本题考查函数的单调性的判断与证明，属于基础题，解题时要注意定义法的合理运用．
17．（1）在上是增函数，证明见解析，不等式的解集为；（2）.
【分析】
（1）先按照定义证明函数的单调性，然后再利用函数的单调性解不等式即可；
（2）令，故在上单调递增，“不等式对任意实数恒成立”转化为“在区间上恒成立”，求出的最小值即可．
【详解】
（1）当时，任取，且，
则，所以，
因为，所以，即.
故当时，在上是增函数；
不等式，即，
因为，所以，
又因为函数的定义域为，
所以不等式的解集为；
（2）令，
在区间上单调递增，
，
，
，即.
【点睛】
本题考查函数单调性的证明以及利用单调性解不等式，考查不等式恒成立问题，考查转化思想和计算能力，属于中档题.
18．（1） ；（2） ；（3）答案见解析．
【解析】
【分析】
（1）先判断出函数的是定义在区间上的减函数，然后将所求不等式等价转化为即，由此求得解集为．（2）由题意知： 时，值域有交集．时，是减函数对分成两类讨论得出的值域，由此求得的取值范围．（3）由，得，令则作出图像，对分类，结合图象讨论零点的个数．
【详解】
（1），定义域为，，函数是奇函数．又在时是减函数，(也可用定义法证明)，故不等式等价于，即，
又，故不等式的解集为．
（2）由题意知： 时，值域有交集．
时，是减函数
当时，时单调递减，
当时，时单调递增，显然不符合．
综上： 的取值范围为．
（3）由，得，令则
作出图像
由图可知，①当时，由得出，
当时，，对应有3个零点；
当时，，对应有1个零点；
②当时，只有一个，对应有1个零点；
③当时，只有一个，对应只有一个零点；
④当时，，此时 ，，
由得在时，，三个分别对应一个零点，共3个，在时，，三个分别对应1个，1个，3个零点，共5个．
综上所述，当或或时，函数只有1个零点；当或时，函数有3个零点；当时，函数有5个零点．
【点睛】
本题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查存在性问题的处理策略，考查复杂的零点问题，考查数形结合与分类讨论的数学思想．要求复合函数不等式的解集，可先求得函数的单调性和奇偶性，由此将原不等式变形，利用单调性去掉外层函数符号，进而求出不等式的解集．
19．
（1）
（2）证明见解析
（3）
【分析】
（1）由，求得，再根据，求得的值，即可求得函数的解析式.
（2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可证得函数在区间上是增函数.
（3）把不等式转化为，列出不等式组，即可求解.
（1）
（1）由题意，函数是定义在上的奇函数，
可得，即，可得，即，
又由，可得，解得，所以，
经验证，此时满足，所以函数为奇函数.
所以函数的解析式为，
（2）
解：设且，
则，
因为且，可得，
所以，即，
所以函数在区间上是增函数.
（3）
（3）因为函数是定义在上的奇函数，
则不等式可化为，
又因为函数在区间上是增函数，
可得，解得，即不等式的解集为
20．在上单调递减；证明见解析.
【分析】
由一次函数的性质可判断函数单调性，由函数单调性的定义任取，设，可证明，即可得证.
【详解】
函数在上单调递减，证明如下：
任取，设，
则，
由可得，所以，
所以，所以函数在上单调递减.
【点睛】
本题考查了函数单调性的判断与证明，考查了运算求解能力，属于基础题.
21．单调递增区间为和；单调递减区间为和.
【分析】
画出函数图象，利用数形结合即可得结果.
【详解】
∵．其图象如图所示，所以函数的单调递增区间为和；单调递减区间为和．
【点睛】
本题主要考查函数的单调性以及函数图象的应用，属于中档题.函数的单调性常用判断方法有定义法，求导法，基本函数的单调性法，复合函数的单调性法，图象法等，利用图象法判断函数的单调性时，一定要准确画出函数图象.
答案第1页，共2页
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