人教A版（2019）必修第一册 第五章5.1.2弧度制（Word含解析）

人教A版（2019）必修第一册突围者第五章5.1课时2弧度制
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、多选题
1．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．的角是周角的，的角是周角的
C．的角比的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
二、单选题
2．是
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
3．把化为角度是（ ）
A． B． C． D．
4．将－1485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　)
A．－－8π B．－8π
C．－10π D．－10π
5．一个扇形的弧长为6，面积为6，则这个扇形的圆心角是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为
A． B． C． D．
三、填空题
7．若三角形三内角之比为，则三内角的弧度数分别是______．
8．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20cm，则扇形的周长为___cm.
9．如图，扇形的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角的弧度数为______．
10．如图，点是圆上的点，其中圆的半径为 且，则劣弧的长为______．
四、解答题
11．已知，试判断角的终边所在的象限．
12．已知，，，．
（1）将用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；
（2）将用角度制表示出来，并在内找出与它们终边相同的所有角．
13．已知一扇形的中心角为，所在圆的半径为．
（1）若，求该扇形的弧长．
（2）若扇形的周长为，问当多大时，该扇形有最大面积？并求出这个最大面积．
14．一扇形的圆心角为2弧度，记此扇形的周长为，面积为，则的最大值为.
15．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有60齿，小轮有45齿．
（1）当小轮转动一周时，求大轮转动的弧度数；
（2）当小轮的转速是时，大轮上每转过的弧长是，求大轮的半径．
16．在一块顶角为、腰长为2的等腰三角形钢板废料中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案．
（1）求两种方案中扇形的周长之差的绝对值；
（2）比较两种方案中的扇形面积的大小．
17．已知扇形的圆心角为，半径为．
（1）若扇形的周长是定值（），求扇形的最大面积及此时的值；
（2）若扇形的面积是定值（），求扇形的最小周长及此时的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．ABC
【分析】
根据角度制和弧度制的概念，以及角度制和弧度制的互化，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，对于A中，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位,所以是正确的；
对于B中，周角为，所以的角是周角的，周角为弧度，所以的角是周角的是正确的；
对于C中，根据弧度制与角度制的互化，可得，所以是正确；
对于D中，用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径无关的，所以D项是错误的.
故选ABC.
【点睛】
本题主要考查了角度制与弧度制的概念，以及角度制与弧度制的互化，其中解中熟记角度制和弧度制的概念是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
2．D
【详解】
分析：根据终边相同的角的表示方法找到在在内与其终边相同的角，然后可判断所给角的终边所在的位置．
详解：由题意得，
∴的终边和角的终边相同，
∴是第四象限角．
故选D．
点睛：所有与α角终边相同的角(连同角α在内)，可以表示为β＝，k∈Z；在确定α角所在象限时，有时需要对整数k的奇、偶情况进行讨论．
3．C
【解析】
【分析】
根据角度制与弧度制的互化公式，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，根据角度制和弧度制的互化，可得.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了角度制与弧度制的互化，其中解答中熟记角度制和弧度制的互化公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4．D
【分析】
由题意，得－1485°＝－5×360°＋315°，又由315°＝，根据终边相同角的表示，即可得到答案．
【详解】
由题意，可知－1485°＝－5×360°＋315°，又π＝180°，则315°＝，
故－1485°化成＋2kπ(0≤<2π，k∈Z)的形式是－10π．
【点睛】
本题主要考查了终边相同角的表示，其中解答中熟记终边相同角的表示方法，以及角度制与弧度制的互化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
5．C
【分析】
根据扇形的弧长公式和扇形的面积公式，列出方程组，即可求解，得到答案.
【详解】
设扇形所在圆的半径为，由扇形的弧长为6，面积为6，
可得，解得，即扇形的圆心角为.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和扇形的面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6．C
【详解】
试题分析：设圆内接正方形的边长为，则该圆的直径为，所以弧长等于的圆弧所对的圆心角为，故选C.
考点：弧长公式.
7．
【分析】
由三角形的内角和为，根据三角形三内角之比为，利用弧度制的表示，即可求解.
【详解】
由题意，可知三角形的内角和为，又由三角形三内角之比为，
所以三内角的弧度数分别是，，
故答案为.
【点睛】
本题主要考查了弧度制的表示，以及三角形的内角和定理的应用，其中解答中熟记弧度制的表示是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
8．6π＋40
【分析】
根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角，再由扇形的弧长公式，可得弧长，即可求解扇形的周长，得到答案.
【详解】
由题意，根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角，
∴由扇形的弧长公式，可得弧长，
∴扇形的周长为.
【点睛】
本题主要考查了扇形的弧长公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
9．
【分析】
根据扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，即可求解.
【详解】
由题意，设扇形所在圆的半径为，扇形的弧长为，
因为扇形的面积是1，它的弧长是2，
由扇形的面积公式和弧长公式，可得 ，解得，.
故答案为2.
【点睛】
本题主要考查了扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式和扇形的面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10．
【解析】
【分析】
根据圆的性质，可得圆心角等于圆周角的2倍，求得，再由弧长公式，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，根据圆的性质，可得圆心角等于圆周角的2倍，
因为，所以，
又由弧长公式，可得弧长为.
故答案为.
【点睛】
本题主要考查了圆周角与圆心角的关系，以及弧长公式的应用，其中解答中熟记弧长公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
11．第一象限或第二象限
【分析】
分为奇数和为偶数，两种情况讨论，根据终边相同角的表示，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，当为奇数时，设，则，
此时与的终边相同，所以的终边位于第二象限；
当为偶数时，设，则，
此时与的终边相同，所以的终边位于第一象限，
综上可得，角的终边所在的象限为第一象限或第二象限.
【点睛】
本题主要考查了终边相同角的表示，其中解答中熟记终边相同角的表示方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12．（1）终边位于第二象限，终边位于第一象限；
（2），与终边相同的角为和，与终边相同的角为.
【分析】
（1）根据角度制与弧度制的互化公式，利用终边相同角的表示方法，即可求解；
（2）根据角度制与弧度制的互化公式，再利用终边相同角的表示方法，即可求解；
【详解】
（1）由题意，根据角度制与弧度制的互化公式，可得：，
，
又由，所以与角的终边相同，所以终边位于第二象限；
，所以与角的终边相同，所以终边位于第第一象限.
（2）根据角度制与弧度制的互化公式，可得，，
根据终边相同角的表示，可得与终边相同的角为，
当时，；当时，.
与终边相同的角为，当时，.
【点睛】
本题主要考查了角度制与弧度制的互化，以及终边相同角的表示方法，其中解答中熟记角度制与弧度制的互化公式，以及终边相同角的表示方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
13．（1）； （2），扇形的最大面积为.
【分析】
（1）由扇形的弧长公式，即可求得该扇形的弧长；
（2）由扇形的周长为，求得，再由扇形的面积公式，可得,结合二次函数性质，即可求解面积的最大值，以及对应的的值.
【详解】
（1）由扇形的弧长公式，可得该扇形的弧长为；
（2）由题意，扇形的周长为，所以，可得，
又由扇形的面积公式，可得,
当时，扇形的面积取得最大值，此时最大面积为，
此时，即，解得.
【点睛】
本题主要考查了扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和扇形的面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
14．4
【解析】
试题分析：：∵设扇形的弧长为l，圆心角大小为2，半径为r，则l=2r，可求：C=l+2r=2r+2r=4r，扇形的面积为时等号成立，则的最大值为4.
考点：扇形面积公式
15．（1）； （2）.
【分析】
（1）设大轮的半径为，小轮的半径为，求得，再利用弧长公式，即可求解.
（2）由（1）和小轮的转速为，求得小轮转动的的弧长为，利用弧长公式，列出方程，即可求解.
【详解】
（1）由题意，相互啮合的两个齿轮，大轮有60齿，小轮有45齿
设大轮的半径为，小轮的半径为，则，即，即，
当小轮转动一周时，设大轮转动的弧度数为，则，
即，解得，即大轮转动的弧度数为.
（2）由（1）知，大轮的半径为，小轮的半径为，且，
因为小轮的转速为，当小轮转动时，小轮转过的弧度数为，
其转过的弧长为，
又由大轮上每转过的弧长是，所以，解得.
【点睛】
本题主要考查了扇形的弧长公式的实际应用，其中解答中正确理解题意，合理利用扇形的弧长公式，列出方程求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
16．（1）； （2），.
【分析】
（1）根据题意，求得方案一和方案二对应的圆心角和半径，利用弧长公式，即可求解；
（2）由（1）中的扇形的圆心角和半径，利用扇形的面积公式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，顶角为、腰长为2的等腰三角形钢板废料中裁剪扇形，
方案一：可得，所以扇形的周长为；
方案二：可得，所以扇形的周长为，
所以两种方案中扇形的周长之差的绝对值.
（2）由（1），根据扇形的面积公式，可得
方案一：扇形面积为；
方案二：扇形面积为.
【点睛】
本题主要考查了扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和扇形的面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
17．（1），面积最大值为； （2），周长的最大值为.
【分析】
（1）由扇形的周长是定值，求得，再由扇形的面积公式，结合二次函数的性质和弧长公式，即可求解.
（2）由扇形的面积是定值，求得，再由扇形的弧长公式和本不等式，即可求解.
【详解】
（1）由题意知，扇形的圆心角为，半径为，设扇形的弧长弧长为，
若扇形的周长是定值（），则，即，
又由扇形的面积为，
当时，扇形的面积取得最大值，此时最大值为，
此时，又由扇形的弧长公式，可得，解得.
（2）由扇形的圆心角为，半径为，设扇形的弧长弧长为，
若扇形的面积是定值（），则，即，
又由扇形的弧长公式，可得扇形的周长为，
当且仅当时，即时，等号成立，
此时，由弧长公式，可得，解得.
【点睛】
本题主要考查了扇形的弧长公式和扇形的面积公式，以及基本不等式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和扇形的面积公式，利用基本不等式准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
答案第1页，共2页
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