人教A版（2019）必修第一册必杀技第四章4.2.2指数函数的图像和性质（word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册必杀技第四章4.2.2指数函数的图像和性质
一、单选题
1．函数（且）的图象必经过点
A． B． C． D．
2．若集合，集合，则
A． B． C． D．
3．已知函数，则其大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
4．下列式子正确的是（ ）.
① ②
③且 ④且
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
5．定义在R上的偶函数，当时，，则的大小为（ ）
A． B．
C． D．
6．若,则函数的值域是( )
A． B． C． D．
7．已知函数（）在上是单调递增函数，则的最小值是
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知，函数与的图像只可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．函数的定义域为
A． B． C． D．
10．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
11．对任意实数，都有（且），则实数的取值范围是（ ）
A． B．（1，4）
C．（1，4] D．[4，+∞）
12．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知，，，则三者的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
14．函数恰有一个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．已知函数，则函数f（x）（　　）
A．有最小值 B．有最小值2 C．有最大值 D．有最大值
16．在同一直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是
A． B．
C． D．
17．函数的部分图象为（ ）
A． B．
C． D．
18．若函数则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
19．已知实数a，b满足等式，下列五个关系式：
①；②；③；④；⑤
其中有可能成立的关系式有（ ）
A．① B．②⑤ C．②③ D．④
三、填空题
20．已知，化简__________．
21．函数的定义域为_____________.
22．如图，在等腰三角形中，已知，，分别是边上的点，且,其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是_____.
23．若函数f (x)＝有最大值3，则a＝________.
24．设关于x的方程有负实数解．则实数a的取值范围是______．
25．已知函数(，且)，若函数的值域为，则实数a的取值范围是___________.
26．已知函数，则f(x)的单调递增区间是___________.
27．为定义在上的偶函数，在区间上是增函数，则不等式的解集为___________.
28．已知函数，若在上是增函数，则实数的取值范围是__________.
四、解答题
29．已知函数
（1）若，求的值；
（2）解不等式.
30．（1）用描点法在同一平面直角坐标系中画出与的图象.
（2）计算与 与 与的值，从中你得到什么结论？
31．已知函数，
（1）当时，求函数的最大值和最小值；
（2）若实数a使得对，恒成立，求a的取值范围．
32．若函数f(x)＝．(1)求定义域；(2)求值域．
33．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题：
已知集合.
(1)当时，求；
(2)若___________，求实数a的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分.
34．已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且.
(1)判断的奇偶性；
(2)判断在上的单调性，并证明；
(3)若对任意，，，总有恒成立，求实数m的取值范围.
试卷第页，共页
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参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
由指数函数恒过定点，结合左右平移、上下平移得到图象必过的定点.
【详解】
因为函数（且）恒过定点，
把图象向右平移个单位，再向上平移个单位，得，
所以定点向右平移个单位，再向上平移个单位，得为函数
图象过的定点，故选A.
【点睛】
本题考查指数型函数图象过定点问题，注意借助平移知识进行求解.
2．B
【解析】
【详解】
试题分析：，，
则
考点：集合的运算.
3．A
【解析】
【分析】
本题可通过、得出结果.
【详解】
因为
所以，
所以，
结合图像易知，仅A项满足，
故选：A
4．B
【解析】
【分析】
利用对数的运算法则及根式的性质即可得到结果.
【详解】
①，故错误；②，正确；
③当时，显然不成立；④且正确.
故选B.
【点睛】
本题考查对数的运算法则，根式的性质，考查学生对基本法则与性质的掌握情况，属于基础题目.
5．A
【解析】
【分析】
确定函数在的单调性，利用偶函数和定义，，然后比较大小可得．
【详解】
∵函数是偶函数，∴，，
又在上是增函数，，
∴，∴，
故选： A.
【点睛】
本题考查函数的单调性和奇偶性，这类比较大小问题一般是把自变量值利用偶函数转化同一单调区间上，然后再由单调性比较出大小．
6．B
【解析】
【分析】
首先根据指数函数的单调性解不等式求出的取值范围，再利用指数函数的单调性即可求解.
【详解】
由，可得，
解得，所以
故函数的值域是.
故选：B
【点睛】
本题考查了利用指数函数的单调性解不等式、求值域，同时考查了一元二次不等式的解法，属于基础题
7．A
【解析】
【详解】
由题意的，
因为函数在上单调递增，所以满足，可得，且
所以，当且仅当时等号成立，
所以，故选A.
点睛：本题考查了函数的单调性的应用，以及基本不等式求最值问题，解答中根据函数在上单调递增，列出不等式组，求解，代入，利用基本不等式求最值是解得关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.
8．B
【解析】
【分析】
根据是增函数，函数的定义域为，且在定义域内为减函数，从而得出结论．
【详解】
解：已知，故函数是增函数．
而函数的定义域为，且在定义域内为减函数，
故选：．
【点睛】
本题主要考查函数的定义域、单调性，函数的图象，属于基础题．
9．A
【解析】
【详解】
要使函数有意义，则，解得.
所以函数的定义域为.
故选A.
10．C
【解析】
【分析】
求解二次不等式和指数函数值域，解得集合，再求交集即可.
【详解】
依题意，，，所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查二次不等式的求解，指数函数的值域，集合的交运算，属综合基础题.
11．C
【解析】
【分析】
由题意可得且对任意实数都成立，根据指数函数的性质即可求出．
【详解】
解：对任意实数，都有，且，
所以且对任意实数都成立，
所以的取值范围是．
故选：C．
12．D
【解析】
先求出集合，，由此能求出．
【详解】
解：集合，，
，，
．
故选：．
【点睛】
本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基知识，考查运算求解能力，属于基础题．
13．C
【解析】
根据函数的单调性得到得到答案.
【详解】
根据函数单调性得到.
故选：.
【点睛】
本题考查了利用函数单调性比较函数值大小，意在考查学生对于函数单调性的灵活运用.
14．C
【解析】
【分析】
将问题转化为与只有一个交点，画出的图象，应用数形结合法求m的取值范围.
【详解】
由题设，与只有一个交点，
又的图象如下：
∴.
故选：C.
15．D
【解析】
【分析】
令x+2=t，则t＜0，把已知函数进行转化为f（t），分离变量后利用基本不等式可求
【详解】
∵x＜﹣2，
∴x+2＜0，令x+2＝t，则t＜0
∵f（x），
∴y[（﹣t）+（）]﹣4≤﹣2﹣4＝﹣6
当且仅当t且t＜0即t＝﹣1，从而有x＝﹣3时取最大值﹣6
故选D．
【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是条件的变换及配凑．
16．A
【解析】
【分析】
根据函数解析式对各选项的函数图象分别讨论可得；
【详解】
解：因为，
对于B，两函数单调性不一致；
对于C，函数中，函数中；
对于D，函数中，函数中.
故选：A
【点睛】
本题考查函数图象的识别，考查数形结合思想，属于基础题.
17．B
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性和时的函数值判断.
【详解】
因为，所以为奇函数，排除AC；
当时，，，，排除D，
故选：．
18．D
【解析】
分别根据二次函数和指数函数的性质，求得区间和上点值域，即可求解.
【详解】
由二次函数的性质，可得函数在区间单调递减，
当，函数取得最小值，最小值为，即值域为；
由指数函数的性质，可得函数在区间单调递增，此时值域为，
综上可得，函数的值域为.
故选：D.
19．AB
【解析】
【分析】
画出指数函数，的图象，利用单调生即可得出答案.
【详解】
如图所示，数，的图象，
由图象可知：
( 1 ) 当时，若，则；
( 2 ) 当时，若，则；
( 3 ) 当 时，若 ，则 .
综上可知，有可能成立的关系式是①②⑤ .
故选：AB
20．
【解析】
【分析】
根据同底指数相乘，底数不变，指数相加可求解．
【详解】
．
【点睛】
常见指数运算公式（）
（1）
（2）
（3）
，m,n是正整数）
（5）
（6）
21．
【解析】
【分析】
根据偶次根式和分式有意义的要求可得不等式组，解不等式组可求得结果.
【详解】
由题意得：，解得：且，即的定义域为.
故答案为：.
22．
【解析】
【分析】
根据条件及向量数量积运算求得,连接,由三角形中线的性质表示出.根据向量的线性运算及数量积公式表示出,结合二次函数性质即可求得最小值.
【详解】
根据题意,连接,如下图所示:
在等腰三角形中,已知,
则由向量数量积运算可知
线段的中点分别为则
由向量减法的线性运算可得
所以
因为,代入化简可得
因为且
所以当时, 取得最小值
因而
故答案为:
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.
23．1
【解析】
【分析】
由复合函数的单调性得出应有最小值，再由二次函数的性质得出的值.
【详解】
令，则.
因为有最大值，所以应有最小值.
由此，解得
故答案为：
24．
【解析】
【分析】
根据x的方程有负实数解，得到，解得答案.
【详解】
x的方程有负实数解，故，解得.
故答案为：.
25．
【解析】
先求出当时的范围，再根据函数的值域得到关于的不等式，从而可求其范围.
【详解】
当时，，故此时，
因为函数的值域为，故当时，恒成立，
故在上恒成立，故，所以，
故答案为：
【点睛】
思路点睛：已知分段函数的值域，求参数的取值范围，可逐段处理函数在相应范围的取值范围，再结合已知的值域判断出参数满足条件即可解决此类问题.
26．(﹣∞，1)
【解析】
化简函数，利用指数函数的性质可得单调递增区间．
【详解】
；
∴f(x)在(﹣∞，1)上单调递增；
即f(x)的单调递增区间为(﹣∞，1).
故答案为：(﹣∞，1).
27．；
【解析】
根据题意，判断出为偶函数，且在上先减再增，把转化为，进行求解即可
【详解】
由为偶函数，可知也为偶函数，且在上先减再增，
由，
可知，即，
可知，解得.
故答案为：
【点睛】
关键点睛，利用函数的性质，得到的单调性，通过化简把问题转化为，进而利用的单调性求解，属于中档题
28．
【解析】
依题意在上是增函数，则二次函数的对称轴需大于等于，一次函数的，且在处的函数值需不小于二次函数的函数值，即可得到不等式组，解得.
【详解】
解：因为函数，在上是增函数
则解得，即
故答案为：
【点睛】
本题考查分段函数的单调性求参数的取值范围，特别需注意的断点处函数值的大小关系，属于中档题.
29．（1） ；（2）.
【解析】
【分析】
（1））当时，根据解析式求出，当时，求出对应的，判断是否符合要求，进而即可求解.
（2）根据分段函数对进行分类讨论，分别求出和时的满足的范围，进而求解即可.
【详解】
（1）当时，由，得，不符合题意；
当时，由，得或 (舍去)，故
（2）等价于 ——①或——②
解①得，解②得，
综合①②知的解集为.
【点睛】
本题考查了分段函数的应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，分类讨论的数学思想，属于一般题目.
30．（1）答案见解析；
（2）；与的图象关于y轴对称.
【解析】
【分析】
（1）在同一平面直角坐标系内，列表，描点画出图画即可；
（2）代入法进行运算，根据运算结果写出结论即可.
【详解】
（1）
作的图象如下.
；，故；与的图象关于y轴对称.
31．（1）最大值为，最小值为；（2）
【解析】
【分析】
（1）采用换元法可将函数化为，；由二次函数图象和性质可求得最大值和最小值；
（2）若不等式恒成立则需，从而得到结果．
【详解】
（1）令 ，
当时，；当时，
即最大值为，最小值为；
（2）由恒成立得：
由（1）知， 的取值范围为．
【点睛】
思路点睛：本题考查与指数函数有关的二次函数型的最值的求解、恒成立问题的求解；解决此类问题常采用换元法的方式，将函数转化为二次函数，从而利用二次函数图象与性质来进行求解；易错点是忽略换元后，新变量的取值范围，造成求解错误．
32．（1）(－1,1)．（2）(－∞，0]．
【解析】
【详解】
　试题分析：（1）由真数大于零列不等式，解不等式可得定义域（2）由平方非负可得真数取值范围，再根据对数单调性确定函数值域
试题解析：(1)由1－x2>0得x2<1，即－1(2)因为x2≥0，
所以1－x2≤1.
所以 (1－x2)≤1＝0，
所以值域为(－∞，0]．
33．(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）根据分式不等式的解法求出集合，再根据并集的运算即可解出；
（2）若选①，则由，可得，再按照子集的定义以及与分类讨论即可解出；
若选②，根据补集运算求出，由，可得，再按照子集的定义以及与分类讨论即可解出；
若选③，按照交集的定义以及与分类讨论即可解出．
(1)
当时，，，所以.
(2)
选①，因为，可得.
当时，即当时，，合乎题意；
当时，即当时，，
由可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是或；
选②，由（1）可得或，
因为，则.
当时，即当时，，合乎题意；
当时，即当时，，
由可得或，
解得或，此时或.
综上所述，实数的取值范围是或；
选③，当时，即当时，，，满足题意；
当时，即当时，，
因为，则或，解得或，此时或.
综上所述，实数的取值范围是或.
34．(1)奇函数
(2)单调递增，证明见详解
(3)或
【解析】
【分析】
（1）根据题意，令，即可判断；
（2）根据题意，先证，恒成立，再结合定义法，即可证明单调性；
（3）根据题意，先根据单调性求出的最值，再将原不等式转化为，构造关于的函数即可求解.
(1)
根据题意，令，得，因为，所以，故结合定义域可知，为奇函数.
(2)
在上单调递增.
证明：由题意，可知，
假设，使得，则，
而当时，由题意知，因此矛盾，故，恒成立.
设，且，则，
因此
，
因为，且当时，，所以，
又因为，所以，即，
又因为，所以在上单调递增.
(3)
根据题意，结合（1）（2）可知，在上单调递增，
因此，，
故，，
因为，恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
令，则，恒成立，
故，解得或.
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