人教A版（2019）必修第一册必杀技第四章4.5.3函数模型的应用（word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册必杀技第四章4.5.3函数模型的应用
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为的中点，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知点A(1,3)、B(3,1)、C(－1,0)，则△ABC的面积等于 (　 　)
A．3 B．4 C．5 D．6
4．若f（x）=，则f（–2）的值为
A．0 B．1 C．2 D．–2
5．如图，直线l的解析式为y=-x+4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动．它与x轴和y轴分别相交于C，D两点，运动时间为t秒(0≤t≤4)，以CD为斜边作等腰直角三角形CDE(E，O两点分别在CD两侧)．若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是
A． B．
C． D．
6．向如下图所示的容器中匀速注水时，容器中水面高度随时间变化的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知为一次函数，且则的值为
A．0 B．1 C．2 D．3
8．下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知五个数成等比数列，则的值为
A．3 B． C． D．
10．2019年底，武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，口罩成了重要的防疫物资.某口罩生产厂不断加大投入，提高产量.现对其在2020年2月1日~2月9日连续9天的日生产量(单位：十万只，)数据做了初步处理，得到如图所示的散点图.那么不可能作为关于的回归方程类型的是（ ）
A． B．
C． D．
11．我国工农业总产值从年到年的年间翻了两番，设平均每年的增长率为，则有（ ）
A． B．
C． D．
12．若某商店将进货单价为元的商品按每件元出售.则每天可销售件.现准备采用提高售价、减少进货量的方法来增加利润.己知这种商品的售价每提高元，销售量就要减少件，那么要保证该商品每天的利润在元以上，售价应定为（ ）
A．元 B．元到元之间 C．元 D．元到元之间
13．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）．若该食品在的保鲜时间是144小时，在的保鲜时间是36小时，则该食品在的保鲜时间是（ ）
A．16小时 B．18小时 C．20小时 D．24小时
14．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．建造一个容积为2m，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为
A．660 B．760 C．670 D．680
16．某种产品平均每三年降低价格25%,目前售价为640元,则9年后此产品的价格为
A．210 B．240 C．270 D．360
二、双空题
17．若将时钟拨慢5分钟，则分针转了________弧度，时针转了________度．
18．已知函数，则______；若，则实数______．
三、填空题
19．设函数，则________.
20．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是_________．
21．我国古代有一则家喻户晓的神话故事——后羿射日，在《淮南子 本经训》和《山海经 海内经》都有一定记载.如果被射下来的九个太阳中有一个距离地球约3500光年，如果将“3500光年”的单位“光年”换算成以”米”为单位，所得结果的数量级是___________（光年是指光在宇宙真空中沿直线经过一年时间的距离，光速；通常情况下，数量级是指一系列10的幂，例如数字的数量级是3）.
22．___________.
23．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为 (万元)．一万件售价为万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．
24．已知函数f(x)满足：f(x＋y)＝f(x)f(y)，且当x＞y时，f(x)＞f(y)，请你写出符合上述条件的一个函数f(x)＝_______．
四、解答题
25．已知A，B，C是函数图象上的三点，它们的横坐标依次为t，t＋2，t＋4，其中e＝2．71828…为自然对数的底数
（1）求△ABC面积S关于的函数关系式S＝g(t)；
（2）用单调性的定义证明函数在［0，＋∞）上是增函数
26．已知2016年我国国内生产总值为a，设以后每年的年平均增长率为b，试写出x年后国内生产总值y和x之间的函数关系式.
27．已知，，分别是的三个内角，，的对边，且.
（1）求角的值；
（2）若，边上的中线的长为，求.
28．已知函数．
（1）若函数为偶函数，求实数的值；
（2）若，且函数在上单调，求实数的值；
（3）令，若当时，总有，使得，求实数的取值范围．
29．如图，一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是3 km，从点P沿海岸正东12 km处有一个渔村.
（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是.y（单位：h）表示他从小岛到渔村的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处A与P点的距离.请将y表示为x的函数，并写出定义域；
（2）在（1）的条件下，是否有一个停船的位置使得从小岛到渔村花费的时间最少 说明理由.（）
30．一片森林原来面积为2014万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐的面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的．
（1）求每年砍伐面积的百分比；
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（3）今后最多还能砍伐多少年？
31．2013年9月22日，为应对台风“天兔”侵袭，我校食堂做好了充分准备，储备了至少三天的食物，食物在储藏时，有些易于保存，而有些却需要适当处理，如牛奶等，它们的保鲜时间会因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数（且），若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约为192时，放在22℃的厨房中，保鲜时间约为42时.
（1）写出保鲜时间（单位：时）关于储藏温度（单位：℃）的函数解析式；
（2）请运用（1）的结论计算，若我校购买的牛奶至少要储藏三天，则储藏时的温度最高约为多少？（精确到整数）.（参考数据：）
32．某汽车租赁公司的月收益y（单位：元）与每辆车的月租金x（单位：元）间的关系为，那么，每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
试卷第页，共页
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参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
先利用补集运算求得B的补集，再利用交集运算求解.
【详解】
因为，
所以，
又，
所以，
故选：C.
2．A
【解析】
【分析】
取的中点，连结，则，则与平面所成角可转化为与平面所成角，过点作于点，则是与平面所成角，由此能求出与平面所成角的正弦值.
【详解】
取的中点，连结，则，
则与平面所成角可转化为与平面所成角，
过点作于点，
由于是正三棱柱，
平面平面，
平面，
是与平面所成角，
由题意，，
，
在中，，
与平面所成角的正弦值为.
故选：A
【点睛】
本题考查了线面角的求法，解题的关键是作出线面角，考查了考生的空间想象能力，属于基础题.
3．C
【解析】
【详解】
设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h.|AB|＝ ，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为，因此，S△ABC＝×2 ×＝5.
4．B
【解析】
【分析】
利用函数的解析式知道当x＜1时是以2周期的周期函数，故f（﹣2）=f（2），再代入函数解析式即得
【详解】
∵f（x）=，x=–2<1，∴f（–2）=f（0）=f（2），∵x=2>1，∴f（2）=log22=1，故选B．
5．C
【解析】
【分析】
分别计算出和时, S与t之间的函数关系,再结合四个选项即可判断出答案.
【详解】
当时,,
当时,,
分析四个选项可知,选C.
故选:C
【点睛】
本题考查了求分段函数的解析式,考查了函数的图象的识别,属于基础题.
6．C
【解析】
【分析】
因为容器中间凸，所以匀速注水时，开始和结束时水位高度变化快中间时水位高度变化慢，可知选C.
【详解】
结合容器的形状，可知一开始注水时，水高度变化较快当水位接近中部时变慢并持续一段时间，接近上部时，水位高度变快，故选C.
【点睛】
本题主要考查了对函数概念的理解及函数图象的认识，结合生活实践，属于中档题.
7．B
【解析】
【分析】
设，代入得到或，计算得到答案.
【详解】
设
则
或
综上：
故答案选B
【点睛】
本题考查了一次函数的计算，待定系数法是常规方法，需要灵活掌握和应用.
8．B
【解析】
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案.
【详解】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A， ，为偶函数，不符合题意；
对于B，，为奇函数，当时，在上单调递增，符合题意；
对于C，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；
对于D，为正弦函数，在区间上不是单调函数，不符合题意；
故选：B.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题.
9．B
【解析】
【详解】
试题分析：由题意得，，又，所以，故选B．
考点：等比数列的性质．
10．D
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义和导数的单调性判断.
【详解】
对于A，，则，若函数为增函数，则，随着的增大，减小，故满足条件；
对于B，，则，若函数为增函数，则，随着的增大，减小，故满足条件；
对于C，，则，若函数为增函数，则，随着的增大，减小，故满足条件；
对于D，，则，若函数为增函数，则，随着的增大，增大，不满足条件.
故选：D.
11．D
【解析】
【分析】
设的总产值为，我国工农业总产值从年到年的年间翻了两番，说明年的工农业总产值是年工农业总产值的倍，然后根据平均增长率的定义列等式即可.
【详解】
本题为增长率模型函数，为指数函数形式.
设年总产值为，由于我国工农业总产值从年到年的年间翻了两番，说明年的工农业总产值是年工农业总产值的，则.
故选D.
【点睛】
本题考查平均增长律的定义，根据题意列式是解本题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
12．B
【解析】
【分析】
由题意列出关系式，并解不等式.
【详解】
设售价为，利润为，
则，
由题意，
即，
解得，
即售价应定为元到元之间，
故选：B.
13．B
【解析】
【分析】
根据保鲜时间与储藏温度满足函数关系：，并结合食品在的保鲜时间是144小时，在的保鲜时间是36小时，可求出，然后再将代入，即可得出答案.
【详解】
解：由题可知，保鲜时间与储藏温度满足函数关系：，
则，即，所以，
于是当时，＝18(小时).
故选：B.
14．B
【解析】
根据函数在上单调递增，则对称轴求解.
【详解】
因为函数在上单调递增，
所以,
解得.
故选：B
【点睛】
本题主要考查二次函数的单调性的应用，属于基础题.
15．B
【解析】
【详解】
试题分析：依题意可知长方体底面面积为1．
设长方体底面一边长为，则底面另一边长为．
设水池总造价为元，
则
即，当且仅当即时取等号．
故B正确．
考点：1函数解析式；2基本不等式．
16．C
【解析】
【详解】
试题分析：由已知中某种产品平均每三年降低价格25%，目前售价为640元，我们易得9年后此产品共降价3次，代入计算即可得到答案：∵产品平均每三年降低价格25%，故9年后此产品共降价3次，又∵目前售价为640元，∴9年后此产品的价格为640×（1-25%）3=270元,故选C.
考点：本试题主要考查了是函数模型的选择与应用，指数的运算.
点评：其中根据已知判断出9年后此产品共降价3次，是解答本题的关键．
17． 2.5
【解析】
【分析】
利用分针逆时针转一周为60分钟，转过的角度为2π，得到10分钟是一周的六分之一，可得分针转的弧度．推导出1分钟时针逆时针转动0.5°，由此能求出将时钟慢5分钟，时针转动的角的大小．
【详解】
将时钟拨慢5分钟，分针、时针都是按逆时针方向转动，转过的角都是正角，这时，分针转过的角度是，即（弧度），时针转过的角度是．
故答案为，2.5.
【点睛】
本题考查弧度的定义，一周对的角是2π弧度．考查逆时针旋转得到的角是正角．注意任意角定义的合理运用．
18． 0 -3
【解析】
（1）先求f(3)的值，再求的值得解；（2）对a分类讨论解方程得解.
【详解】
（1）由题得f(3)，所以.
（2）当a＜0时，或，因为a＜0，所以；
当a≥0时，，显然无实数解.
所以.
故答案为：（1）0；（2）-3.
【点睛】
本题主要考查分段函数的求值和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19．6
【解析】
【分析】
根据分段函数的定义，分别求出和，计算即可求出结果.
【详解】
由题知，，
，
.
故答案为：6.
【点睛】
本题考查了分段函数求函数值的问题，考查了对数的运算.属于基础题.
20．
【解析】
【分析】
函数f（x）与g（x）图象上存在关于y轴对称的点，就是f（﹣x）＝g（x）有解，也就是函数y＝f（﹣x）与函数y＝g（x）有交点，
在同一坐标系内画函数y＝f（﹣x）（x＞0）与函数y＝g（x）＝ln（x+a）的图象，结合图象解题．
【详解】
函数f（x）与g（x）图象上存在关于y轴有对称的点，
就是f（﹣x）＝g（x）有解，
也就是函数y＝f（﹣x）与函数y＝g（x）有交点，
在同一坐标系内画函数y＝f（﹣x）（x＞0）与函数y＝g（x）＝ln（x+a）的图象：
∴函数y＝g（x）＝ln（x+a）的图象是把由函数y＝lnx的图象向左平移
且平移到过点（0，）后开始，两函数的图象没有有交点，
把点（0，）代入y＝ln（x+a）得，lna，∴a，
∴a，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查函数的图象，把方程的根的问题转化为函数图象的交点问题，体现了数形结合的思想．
21．19
【解析】
【分析】
根据题意得到距离地球约3500光年，一年走过的路程为，3500光年走过的路程为计算出结果即可.
【详解】
根据题意得到距离地球约3500光年，一年有秒，光速，
一年走过的路程为
3500光年走过的路程为
数量级为19.
故答案为：19.
22．6
【解析】
【分析】
利用对数运算求解.
【详解】
，
故答案为：6
23．
【解析】
根据题意，可得利润=售价-成本，将利润表示出来，得到关于的二次函数，再根据二次函数性质求解最大值即可.
【详解】
设利润为，则，当时，有最大值，
故答案为：18.
【点睛】
本题是函数的应用题，关键是建立函数的关系式求解，解函数应用题，一般可按照以下步骤进行：
（1）读题：读懂和深刻理解题意，找出等量关系，将应用问题转化为数学问题；
（2）建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；
（3）求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；
（4）评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最终将结果应用于现实.
24．（答案不唯一）
【解析】
【分析】
由f(x＋y)＝f(x)f(y)，可得指数函数具有此性质，从而可得函数
【详解】
对于函数，
，
且当x＞y时，f(x)＞f(y)，
所以函数满足条件，
故答案为：（答案不唯一）
25．（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）通过面积作差法求出函数的S=g（t）的解析式；
（2）根据函数单调性的定义证明函数的单调性即可.
【详解】
（1）由题意，可知
（2）由（1），知．
考虑函数，任取，且，则
因为，所以，，从而，，
因此．
故在上是增函数，注意到，所以在上是增函数．
【点睛】
本题考查了函数的单调性问题，考查求函数的解析式，是一道中档题
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论
26．
【解析】
【分析】
由每年国内生产总值是上一年的倍得出函数关系式.
【详解】
因为每年的年平均增长率为b，所以年开始，每年国内生产总值是上一年的倍，所以x年后国内生产总值
27．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可求角A的值：
（2）若AB＝3，AC边上的中线BD的长为，求出AC，再求△ABC的面积．
【详解】
（1）由及正弦定理得：，
即，
即，
即，
因为，所以，则，又，所以.
（2）在中，，，，由余弦定理得
，所以，所以（负值舍去），
又为中点，所以.
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
28．（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根据偶函数图象关于轴对称，二次函数的一次项系数为0，可得的值；
（2）根据，可知时，取得最大值，且在，上是单调函数，即，即可求解实数的值．
（3）求解的值域和的值域，可得，即可求解实数的取值范围．
【详解】
（1）函数，为偶函数，
可得，
可得
即实数的值为；
（2）由，可知时，取得最大值，
即，
可得：
且在，上是单调函数，
，即
可得：．
当时，可得，
故得实数的值为．
（3）由，可得．
，，
，，
那么的值域，．
当，时，总有，，使得转化为函数的值域是的值域的子集；
即：当，时，
函数，
其对称轴，开口向下，
当时，即，可得（2）；；
可得解：
当时，即可得；或；
此时无解．
当时，即，可得；（2）；
此时无解．
综上可得实数的取值范围为，．
29．（1），；（2）当停船位置距离点约时，从小岛到渔村花费的时间最少；理由见解析
【解析】
【分析】
（1）利用路程除以速度可得时间，从而构造出函数关系式；
（2）利用定义法可证得函数在上单调递减，在上单调递增；由此可得当时，所花费时间最少.
【详解】
（1）由题意得：小岛距离点的距离为
一个人从小岛到处所需时间为，从处到渔村所需时间为
，
（2）当时，
，
函数在上单调递减
同理可得：函数在上单调递增
当时，（）
当停船位置距离点约时，从小岛到渔村花费的时间最少
【点睛】
本题考查构造函数模型求解实际问题，涉及到最值问题的求解；求解最值问题的关键是能够判断出函数的单调区间，进而根据单调性得到最值点.
30．（1）；（2）5；（3）15．
【解析】
【分析】
（1）设每年砍伐面积的百分比为，由指数函数的性质列式求解；
（2）由求解可得；
（3）由求解可得．
【详解】
（1）设每年砍伐面积的百分比为，则，解得；
（2）设到今年为止，该森林已砍伐了年，则，
，，；
（3）设今后最多还能砍伐年，
则，
，，．
答：（1）每年砍伐面积的百分比为；（2）到今年为止，该森林已砍伐了5年；（3）今后最多还能砍伐15年．
【点睛】
思路点睛：本题考查指数函数的应用，解题关键是根据每年砍伐的百分比相同，设百分比为，那么年后，剩余量为．抓住这个模型，通过解指数方程、指数不等式可得．
31．（1）；（2）14℃.
【解析】
【分析】
（1）运用代入法进行求解即可；
（2）由（1）的函数解析式，根据题意得到不等式，利用换底公式进行求解即可.
【详解】
（1）设（且），则有，，.
（2）依题意有，
若我校购买的牛奶至少要储藏三天，则储藏时的温度最高约为14℃.
32．4050元，最大月收益307050元
【解析】
将函数化为顶点式，由二次函数的性质即可得出结论.
【详解】
解：，∴当时，.即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050元.
【点睛】
本题主要考查了二次函数模型解决实际问题，属于中等题.
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