人教A版（2019）必修第一册过关斩将第三章3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大（小）值第一课时函数的单调性（word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册过关斩将第三章3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大（小）值第一课时函数的单调性
一、单选题
1．下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，1)内是增函数的是
A． B．
C． D．
2．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．下列函数中，在定义域内单调递增且是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．设函数()，则下列命题是错误的是（ ）.
A．若，则为奇函数
B．若，则函数在上是增函数
C．函数的图像关于点成中心对称图形
D．关于的方程最多有两个实根
5．下列函数既是奇函数，在定义域内又是增函数的是　　
A． B． C． D．
6．若偶函数（是自然对数的底数）的最大值为n，则f（nm）=（ ）
A． B． C．e D．1
7．设函数在区间上有意义，任意两个不相等的实数，下列各式中，能够确定函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列函数中，在上既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
9．若，则实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
10．已知是定义在上奇函数，且，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知是定义在上的偶函数，且当时，都有成立，设，，，则，，的大小关系为
A． B． C． D．
12．若与在区间上都是增函数，则的取值范围是
A． B． C． D．
13．已知函数，若对于任意的，，函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
14．函数的定义域为，且对任意，都有，若在区间上则
A．0 B．1 C．2 D．2018
15．如果函数（且）在区间上是增函数，那么实数的取值范围为
A． B． C． D．
16．若函数 f(x)＝ax2＋(a＋3)x－1 在区间(－∞，1)上为递增的，则 a 的取值范围是(　　)
A．[－1,0) B．(－1,0]
C．(－1,0) D．[－1,0]
17．下列函数中在定义域内既是奇函数又是增函数的为　　
A． B． C． D．
18．已知函数的图象如图，则函数的单调减区间为
A． B． C． D．
19．如果函数的图象关于原点对称，在区间上是减函数，且最小值为3，那么在区间上是
A．增函数且最小值为3 B．增函数且最大值为3
C．减函数且最小值为-3 D．减函数且最大值为-3
20．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是
A． B．
C． D．
21．已知，函数，若且，都有，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
22．下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是
A． B． C． D．
二、多选题
23．下列命题为真命题的有（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的单调增区间为；
C．若，，则“”是“”的充分不必要条件；
D．，，使得
24．我们把定义域为[0,+∞）且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为“Ω函数”∶（1）对任意的x∈[0,+∞)，总有f (x)≥0；（2）若x≥0，y≥0，则有f(x+y)≥f(x)+f(y)成立，下列判断正确的是（ ）
A．若f (x)为“Ω函数”，则
B．若f (x)为“Ω函数”，则f(x)在[0,+∞）上是增函数
C．函数，在[0,+∞）上是“Ω函数”
D．函数在[0,+∞）上是“Ω函数”
三、填空题
25．函数，的单调递增区间是_____．
26．若是上的增函数，且，设，，若“”是“的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____________．
27．设是上的奇函数，，当时，，则的值__________
28．已知函数，若对任意均有，则的取值范围是_________.
29．函数的单调递减区间是______
30．若f(x)＝x2＋2(a－2)x＋2的单调增区间为[3,＋∞)，则a的值是________．
四、解答题
31．已知函数.
（1）当时，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；
（2）探究函数的奇偶性，并证明.
32．函数
（1）当 时，求函数在 上的值域；
（2）是否存在实数 ，使函数在递减，并且最大值为1，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
33．已知命题p：实数x满足不等式，命题q：实数x的值使函数有意义.
（1）当时，若命题p，q均为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
34．定义在上的函数对于任意的，总有，且当时，且．
（1）求的值；
（2）判断函数在上的单调性，并证明；
（3）求函数在上的最大值与最小值．
35．已知函数的定义域为，且是奇函数.
（1）求的表达式；
（2）若在上的值域是，求证：，是方程的两个根.
36．已知函数.
（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论.
（2）求该函数在区间上的最大值与最小值.
37．已知，对于函数.
（1）判断函数的单调性，并简要说明；
（2）是否存在实数使函数为奇函数？若存在，求出的值.
试卷第页，共页
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
A、B为非奇非偶函数，C为偶函数，只有D选项满足既是奇函数，并且在内为增函数.
【详解】
A.函数的定义域为，函数为非奇非偶函数，不满足条件．
B.，，则，则函数不是奇函数，不满足条件．
C.是偶函数，不满足条件．
D.，函数是奇函数，函数在上是增函数，满足条件，故选D．
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键，属于中档题.
2．D
【解析】
将函数的解析式变形为，利用双勾函数的单调性可得出函数的单调区间，结合可判断出函数的图象.
【详解】
，
故该图象是由函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的，
由于函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增.
，故函数的图象大致为D项.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数图象的识别，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法得解，考查推理能力，属于中等题.
3．C
【解析】
【分析】
由的单调性可判断A；根据的性质可判断B；判断出的单调性和奇偶性可判断C；由奇偶性可判断D.
【详解】
对于A： ，
，
因为是减函数，是增函数，根据复合函数的单调性的判断方法（同增异减），所以是减函数，故A错误；
对于B：，由于在上不是单调函数，故B错误；
对于C，，因为与都是增函数，所以是增函数，
，所以是奇函数，故C正确；
对于D，，，故D错误.
故选：C.
4．D
【解析】
根据函数奇偶性的定义、单调性的定义以及对称性的判断，结合二次函数的性质，即可容易判断选择.
【详解】
若，则，，
且其定义域关于原点对称，即为奇函数，故A正确，
若，则函数，在上为增函数，故B正确，
由A可得，为奇函数，则它的图像关于原点对称，
则函数的图像关于点成中心对称图形，故C正确，
根据C结论和二次函数的性质，不妨取，画出其函数图象如下所示：
可得关于的方程最多有三个实根，故D错误，
故选：D.
【点睛】
本题考查函数奇偶性、单调性、对称性和方程根个数的求解，属综合中档题.
5．B
【解析】
【分析】
容易判断为非奇非偶函数，为偶函数，在定义域内没有单调性，从而判断A，C，D都错误，从而选．
【详解】
对于是非奇非偶函数，该选项错误；
对于.；
该函数是奇函数；
和在R上都是增函数；
在R上是增函数；
该选项正确；
对于.是偶函数，该选项错误；
对于.在定义域内没有单调性，该选项错误．
故选．
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，运用函数性质即可判断出结果，较为基础
6．A
【解析】
【分析】
当时，函数（是自然对数的底数）的最大值为，再由是偶函数，求出，由此能求出.
【详解】
解：∵函数（是自然对数的底数）的最大值为，
∴当时，函数的最大值为，
∵是偶函数，∴，
∴，
∴，
，解得，
∴．
故选A．
【点睛】
本题考查根据函数的最值求参数，根据函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力，是简单题．
7．C
【解析】
【分析】
由于函数在区间上单调递增，则任意两个不相等的实数，与应该同号，从而可得答案.
【详解】
解：函数在区间上单调递增，则任意两个不相等的实数，与应该同号，所以，
故选：C.
【点睛】
此题考查增函数的定义和质，属于基础题.
8．C
【解析】
【分析】
本道题结合,以及减函数的判定,每个选项依次分析,即可.
【详解】
A选项,在R上不保证一直单调递减,故错误.
B选项,定义域满足,故定义域不是R,故错误.
C选项,,故为奇函数,对于,
故为单调递减,对于
,故为单调递减,对于
,故为单调递减,所以在R上为减函数,故正确.
D选项,不满足奇函数的判定,故选C.
【点睛】
本道题考查了奇函数的判定,考查了函数单调的判定,难度中等.
9．B
【解析】
【分析】
把1变成底数的对数，讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于a的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果．
【详解】
∵＜1=logaa，
当a＞1时，函数是一个增函数，不等式成立，
当0＜a＜1时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有a＜，
综上可知a的取值是（0，）∪（1，+∞）.
故答案为（0，）∪（1，+∞）
【点睛】
本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，本题解题的关键是对于底数与1的关系，这里应用分类讨论思想来解题．
10．B
【解析】
根据已知条件，不能确定函数在上的单调性，故ACD不能确定，利用奇函数的性质和对B选项判断，可得出答案.
【详解】
对于A、C、D，根据已知条件无法确定奇函数在上的单调性，所以与大小无法判断，与大小无法判断，与大小无法判断，故A、C、D错误；
对于B，利用奇函数知，，又，则，即，故B正确；
故选：B.
11．B
【解析】
【分析】
通过可判断函数在上为增函数，再利用增函数的性质即可得到，，的大小关系.
【详解】
由于当时，都有成立，故在上为增函数，,,而，所以
，故答案为B.
【点睛】
本题主要考查函数的性质，利用函数性质判断函数值大小，意在考查学生的转化能力，分析能力和计算能力，难度中等.
12．A
【解析】
对二次函数和分式函数的单调性进行分类讨论，从而确定参数的范围即可.
【详解】
对函数，若满足题意，只需对称轴即可
对函数，若满足题意，只需即可，
综上所述：.
故选：A.
【点睛】
本题考查二次函数和分式函数的单调性，属基础题.
13．D
【解析】
【详解】
试题分析：，，由于函数在上单调递减，则有在上恒成立，即不等式在上恒成立，即有在上恒成立，而函数在上单调递增，由于，，当时，函数
取得最大值，即，所以，故选D.
考点：1.函数的单调性；2.不等式恒成立
14．C
【解析】
【详解】
由知，是周期为2的函数，故，代入解析式，得，解得，从而，
故.
故选C.
15．B
【解析】
【分析】
对分成两种情况，利用复合函数单调性，结合指数函数和对数函数的单调性，求得的取值范围.
【详解】
函数可看作是关于的二次函数，若，则是增函数，原函数在区间上是增函数，则要求对称轴，与矛盾；若，则是减函数，原函数在区间上是减函数，则要求对称轴，所以，解得，故选B.
【点睛】
本小题主要考查复合函数单调性，考查指数函数和二次函数单调性结合，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
16．D
【解析】
【分析】
根据函数在区间(－∞，1)上为递增的，可知(－∞，1)是函数增区间的子集，从而确定出的取值范围.
【详解】
当时，，函数在R上是增函数，符合题意；当时，函数为二次函数，对称轴方程为 ，若函数满足在区间(－∞，1)上为递增的，则需，解得 ，综上可知，故选D.
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性及分类讨论思想，属于中档题.
17．A
【解析】
【详解】
试题分析：由题意，选项A中的函数既是奇函数又是增函数；选项B中函数是偶函数，且在上是增函数，在上是减函数；选项C中函数是奇函数，且在是减函数，在上是减函数；选项D中函数是既不是奇函数也不是偶函数，且上是增函数.故选A.
考点：函数的奇偶性、单调性.
18．C
【解析】
【详解】
试题分析：由题意得，，由图象可知，即，解得，所以，令，即，解得或，又设，可得函数在上单调递减，根据复合函数的单调性可得函数的单调减区间为，故选C.
考点：复合函数的单调性及其应用.
19．D
【解析】
【详解】
试题分析：关于原点对称，且在上是减函数，
为奇函数，且在上也是减函数．
在上是减函数，．
在上有最大值为．故D正确．
考点：函数的奇偶性，单调性．
20．B
【解析】
【分析】
对选项逐一分析函数的奇偶性以及在上的单调性，由此得出正确选项.
【详解】
对于A选项，函数为非奇非偶函数.对于B选项，既是偶函数又在上单调递增.对于C选项，函数是偶函数，但在上递减.对于D选项，函数是非奇非偶函数.故本小题选B.
【点睛】
本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.
21．D
【解析】
【分析】
根据题意得到为单调递增函数，结合分段函数的单调性的方法，以及二次函数与对数函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】
由题意，函数，
因为且，都有，可得函数为单调递增函数，
则满足或，即或，
解得或，
综上可得，实数的取值范围是.
故选：D.
22．C
【解析】
【详解】
试题分析：因为函数是奇函数，所以选项A不正确；因为函为函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以选项B不正确；函数的图象抛物线开口向下，对称轴是轴，所以此函数是偶函数，且在区间上单调递减，所以，选项C正确；函数虽然是偶函数，但是此函数在区间上是增函数，所以选项D不正确；故选C．
考点：1、函数的单调性与奇偶性；2、指数函数与对数函数； 3函数的图象．
23．BC
【解析】
【分析】
对于A，求出函数的定义域，可知A不正确；对于B，根据复合函数的单调区间的求法可知B正确；对于C，根据充分不必要条件的定义可知C正确；对于D，当时，可知D不正确.
【详解】
对于A，由得，所以函数的定义域为，故A不正确；
对于B，函数的定义域为，设，，则，因为，在上递减，在上递增，且为增函数，所以函数在上递减，在上递增，所以函数的单调增区间为，故B正确；
对于C，若，，当时，因为，所以，即，
所以“”是“”的充分条件；当时，令，则，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
对于D，当时，不存在，使得成立，故D不正确.
故选：BC
【点睛】
关键点点睛：对于B，在函数的定义域内求单调区间是解题关键；对于C，掌握充分不必要条件的定义是解题关键.
24．AD
【解析】
【分析】
利用赋值法及条件可判断A，验证“Ω函数”条件可判断B，取，则可判断C，验证“Ω函数”条件可判断D.
【详解】
取得到，即，又对任意的x∈[0，+∞），总有，故，A正确；
由题知，满足“Ω函数”条件，f(x)为“Ω函数”，但f(x)在上不是增函数，故B错误；
，取，则，不满足，故C错误；
在上单调递增，故，即，又，所以，故D正确.
故选：AD.
25．
【解析】
根据二次函数的开口方向以及对称轴即可求解.
【详解】
解：的图象开口向下，
又的对称轴为，
的单调递增区间是.
故答案为：.
26．
【解析】
【详解】
，可得，而是上的增函数，，即，而可得
因为“”是“的充分不必要条件，，即，故答案为.
27．
【解析】
【分析】
转化条件为，进而可得，再由奇函数的性质即可得解.
【详解】
∵，∴，是周期为4的函数.
又是定义在上的奇函数，且当时，，
∴.
故答案为：.
28．
【解析】
【分析】
先判断出为增函数，列不等式组即可解得.
【详解】
根据题意，对任意均有，则为增函数，
只需或
解得：或，
故实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
函数单调性的等价结论：
（1）复合函数单调性满足同增异减；
（2）为增函数或，
为减函数或.
29．
【解析】
【分析】
先分析定义域，然后根据二次函数的对称轴确定单调递减区间.
【详解】
因为，所以，又因为对称轴为且开口向下，所以单调递减区间为：.
【点睛】
本题考查复合函数的单调递减区间，难度较易.复合函数的单调性的判断规则：同增异减.
30．－1
【解析】
【分析】
根据二次函数的图像性质即可求解.
【详解】
∵f(x)＝x2＋2(a－2)x＋2的单调增区间为[2－a，＋∞)，
∴2－a＝3，∴a＝－1.
故答案为：－1.
31．（1）在区间上单调递增，证明见解析；（2）当时，是偶函数；当时，既不是奇函数，也不是偶函数，证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)结合定义法证明函数的单调性即可.
(2)结合奇偶函数的定义即可证明.
【详解】
(1)当时，，
，令，则
因为，所以，，，
所以，即，
故，即，
所以在区间上单调递增.
(2)的定义域是，关于原点对称，
当时，，因为，所以是偶函数.
当时，因为，，所以，
因为，所以，
所以既不是奇函数，也不是偶函数.
综上所述，当时，是偶函数；当时，既不是奇函数，也不是偶函数.
32．（1） （2）不存在
【解析】
【详解】
试题分析：（1）函数为单调递减函数,根据单调性求值域（2）由复合函数单调性可得,根据函数最值可得,解得,根据函数定义域知无意义 ,所以不存在.
试题解析：解：（1）由题意：，
令，所以，所以函数的值域为；
（2）令，则在上恒正，，在上单调递减，，即
又函数在递减，在上单调递减，
，即 ， 又函数在的最大值为1，，
即， 与矛盾，不存在.
33．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）分别求出命题，均为真命题时的取值范围，再求交集即可.
（2）利用集合间的关系求解即可.
【详解】
命题p：实数x满足不等式，即
命题q：实数x的值使函数有意义，由得，
（1）当时，命题，均为真命题，则且
则实数的取值范围为；
（2）若是的充分不必要条件，则是的真子集
则且
解得，
即实数a的取值范围为
34．（1）；（2）在单调递减；（3）最大值，最小值.
【解析】
（1）令，代入计算；（2）利用函数单调性的定义证明，设，令，，则可判断，即可判断出函数在单调递减；（3）根据，令，代入计算，令，，计算，再根据函数单调递减，直接写出最大值与最小值.
【详解】
解：（1）令，
．
（2）在单调递减
设，令，，则，所以，
得
即对任意，若，则，在单调递减．
（3）因为，令，
令，，，
因为函数单调递减，所以
．
35．（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）考虑，利用与的关系从而可求的表达式；
（2）先根据的定义域和值域，确定的范围；然后确定单调性得出与的对应关系，则可说明待证明的问题.
【详解】
(1)设，则，
因为是奇函数，
所以，
即.
(2)由题意可得，又，
所以，，所以在上是减函数，所以，
故是方程的两个根.
【点睛】
（1）求解含奇偶性的分段函数的解析式，从已知某段函数入手，将未知转化为已知，然后再利用奇偶性完成求解；
（2）函数定义域与值域的对应情况，都可以通过先分析单调性然后得到其中的对应关系.
36．（1）是增函数，证明见解析；（2）最大值，最小值.
【解析】
（1）根据增函数的定义，任取，且，作差比较与的大小，即可得出结论；
（2）根据（1）的结果，判定函数在给定区间的单调性，进而可求出最值.
【详解】
（1）函数在上是增函数.证明如下：
任取，且，，
∵，，
所以，即，
所以函数在上是增函数.
（2）由（1）知函数在上是增函数，
所以最大值，最小值.
【点睛】
本题主要考查由定义法判定函数单调性，考查由函数单调性求最值，属于常考题型.
37．（1）在上是减函数；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据单调递增可得单调递减，又，可知为减函数；（2）利用奇函数的定义构造方程可求得.
【详解】
（1）函数在上是减函数，理由如下：
在上单调递增，且
在上单调递减，又，且为常数
故函数在上是减函数
（2）若函数为奇函数，则
即：，化简得：，
即：，解得：
存在使得为奇函数
【点睛】
本题考查函数单调性的判断、奇偶性的应用，属于基础题.
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